DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ THI Bài Từ ngân hàng 20 câu hỏi, có câu hỏi khó người ta xây dựng thành hai đề thi đề thi gồm 10 câu câu đề đánh số thứ tự từ Câu đến Câu 10 Tính xác suất để xây dựng hai đề thi mà đề thi gồm câu hỏi khó Khơng gian mẫu số cách xây dựng hai đề thi đề thi gồm 10 câu chọn từ ngân hàng 20 câu hỏi Lời giải Không gian mẫu số cách xây dựng hai đề thi đề thi gồm 10 câu chọn từ ngân hàng 20 câu hỏi ● Chọn 10 câu hỏi cho đề thứ nhất, sau xếp theo thứ tự từ 10 10! cách Câu đến Câu 10 có C20 ● 10 câu lại lấy làm đề thứ hai xếp theo thứ tự từ Câu đến Câu 10 có 10! cách 10 10 Suy số phân tử không gian mẫu W= C20 10!.10! = ( 10!) C20 Gọi A biến cố '' Xây dựng hai đề thi đề gồm câu hỏi khó '' ● Chọn câu hỏi khó câu câu hỏi dễ 16 câu cho đề thứ nhất, sau xếp 10 câu theo thứ tự từ Câu đến 10! cách Câu 10 có C42.C16 ● 10 câu lại lấy làm đề thứ hai xếp theo thứ tự từ Câu đến Câu 10 có 10! cách 8 Suy số phần tử biến cố A WA = C42.C16 10!.10! = ( 10!) C42.C16 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = ( 10!) C42.C168 135 = 10 323 ( 10!) C20 Bài Một đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà đề gồm câu chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình câu khó Một đề thi gọi '' Tốt '' đề thi có ba câu dễ, trung bình khó, đồng thời số câu dễ khơng Lấy ngẫu nhiên đề thi đề Tìm xác suất để đề thi lấy đề thi '' Tốt '' Lời giải Số phần tử không gian mẫu W= C30 = 142506 Gọi A biến cố '' Đề thi lấy đề thi '' Tốt '' '' Vì đề thi '' Tốt '' có ba câu dễ, trung bình khó, đồng thời số câu dễ khơng nên ta có trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A 1 C10C5 đề ● Đề thi gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C15 1 C10C5 đề ● Đề thi gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C15 C10C52 đề ● Đề thi gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C15 Suy số phần tử biến cố A 1 1 WA = C15 C10C5 +C15 C10C5 +C15 C10C52 = 56875 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 56875 625 = 142506 1566 Bài Trong kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu nhiên phiếu câu hỏi từ thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi, có cặp phiếu câu hỏi mà cặp phiếu có nội dung khác đơi cặp phiếu có nội dung giống Tính xác suất để thí sinh A chọn phiếu câu hỏi có nội dung khác Lời giải Không gian mẫu số cách chọn tùy ý phiếu câu hỏi từ 50 phiếu câu hỏi 3 Suy số phần tử không gian mẫu WA = C50 Gọi X biến cố '' Thí sinh A chọn phiếu câu hỏi khác '' Để tìm số phần tử X ta tìm số phần tử biến cố X , lúc cần chọn cặp cặp phiếu có câu hỏi giống chọn phiếu 48 phiếu lại 1 Suy số phần tử biến cố X WX = C4.C48 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = W- WX W = C50 - C41.C48 1213 = C50 1225 Bài Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm câu lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi Thí sinh A học thuộc 10 câu ngân hàng đề thi Tính xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc Lời giải Không gian mẫu số cách lấy ngẫu nhiên câu hỏi từ ngân hàng 20 câu hỏi Suy số phần tử không gian mẫu W= C20 = 4845 Gọi A biến cố '' Thí sinh A rút đề thi có câu thuộc '' ● Thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc 2 C10 = 2025 khả thuận lợi cho biến cố Trường hợp có C10 ● Thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc C10 = 1200 khả thuận lợi cho biến cố Trường hợp có C10 ● Thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc = 210 khả thuận lợi cho biến cố Trường hợp có C10 Suy số phần tử biến cố A WA = 2025+1200+ 210 = 3435 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 3435 229 = 4845 323 Bài Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi mơn có mơn bắt buộc Tốn, Văn, Ngoại ngữ mơn thí sinh tự chọn số mơn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử Địa lí Một trường THPT có 40 học sinh đăng kí dự thi, 10 học sinh chọn mơn Vật lí 20 học sinh chọn mơn Hóa học Lấy ngẫu nhiên học sinh trường, tính xác suất để học sinh ln có học sinh chọn mơn Vật lí học sinh chọn mơn Hóa học Lời giải Khơng gian mẫu số cách chọn ngẫu nhiên học sinh số 40 học sinh Suy số phần tử không gian mẫu W= C40 Gọi A biến cố '' học sinh chọn có học sinh chọn mơn Vật lý học sinh chọn mơn Hóa học '' nên ta có trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A ● Có học sinh chọn mơn Vật lí, học sinh chọn mơn Hóa học C20 Trường hợp có C10 khả thuận lợi cho biến cố ● Có học sinh chọn mơn Vật lí, học sinh chọn mơn Hóa học C20 Trường hợp có C10 khả thuận lợi cho biến cố ● Có học sinh chọn mơn Vật lí, học sinh chọn mơn Hóa học, học sinh chọn môn khác (Sinh học, Lịch sử Địa lí) 1 C20 C10 Trường hợp có C10 khả thuận lợi cho biến cố 2 1 1 Suy số phần tử biến cố A WA = C10.C20 +C10.C20 +C10.C20.C10 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 2 1 1 C10 C20 +C10 C20 +C10 C20 C10 120 = C40 247 Bài Một thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, câu có phương án trả lời Tính xác suất để học sinh làm thi câu hỏi Lời giải Không gian mẫu số phương án trả lời thi 10 Suy số phần tử không gian mẫu W= Gọi A biến cố '' Học sinh làm thi câu hỏi '' nên ta có trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A ● Học sinh làm câu hỏi, tức làm câu sai câu Mỗi câu có phương án trả lời, câu sai có phương án trả lời Trường hợp có C10 ( 3) khả thuận lợi cho biến cố ● Học sinh làm câu hỏi, tức làm câu sai câu khả thuận lợi cho biến cố Trường hợp có C10 ● Học sinh làm 10 câu hỏi, tức làm hết 10 (khơng sai câu nào) 10 Trường hợp có C10 khả thuận lợi cho biến cố 10 Suy số phần tử biến cố A WA = C10 ( 3) +C10 3+C10 = 436 Vậy xác suất cần tính P ( A) = WA W = 436 109 = 10 262144 Bài Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai mơn thi trắc nghiệm Vật lí Hóa học Đề thi mơn gồm 50 câu hỏi; câu hỏi có phương án lựa chọn; có phương án đúng, làm câu 0,2 điểm Mỗi mơn thi thí sinh A làm hết câu hỏi chắn 45 câu, câu lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để tổng điểm mơn thi thí sinh A khơng 19 điểm Lời giải Thí sinh A khơng 19 điểm 10 câu trả lời ngẫu nhiên hai mơn Vậy lí Hóa học phải câu Khơng gian mẫu số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn ngẫu nhiên 10 Suy số phần tử không gian mẫu W= Gọi X biến cố '' Thí sinh A làm câu 10 cho chọn ngẫu nhiên '' nên ta có trường hợp sau thuận lợi cho biến cố X ● Thí sinh A làm câu, tức làm câu sai câu Mỗi câu có phương án trả lời, câu sai có phương án trả lời 5 Trường hợp có C10 ( 3) khả thuận lợi cho biến cố ● Thí sinh A làm câu Trường hợp có C10 ( 3) thuận lợi khả ● Thí sinh A làm câu Trường hợp có C10 ( 3) khả khả thuận lợi ● Thí sinh A làm câu Trường hợp có C10 ( 3) thuận lợi khả thuận ● Thí sinh A làm câu Trường hợp có C10 lợi 10 ● Thí sinh A làm 10 câu Trường hợp có C10 khả thuận lợi Suy số phần tử biến cố X 5 10 WX = C10 ( 3) +C10 ( 3) +C10 ( 3) +C10 ( 3) +C10 3+C10 = 81922 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = 81922 �0,078 410 Cách Xác suất trả lời câu hỏi trường hợp: , trả lời sai Ta có 4 5 1� � ���� � ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C10 � � � �; � � � � ���� 4� 1� �� 3� �� � ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C10 �.� �; � � � � �� 4� �� 4� ● � ���� � Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C10 �.� � �; �� � ���� 4� � 4� 1� � ���� � ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C10 � � � �; � � � � ���� 4� 1� �� � ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C10 � ; � � �� 4� 10 1� 10 �� � ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 10 câu C10 � � � �� 4� Cộng xác suất ta xác suất cần tính P �0,078 Bài Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 có mơn thi bắt buộc mơn Tiếng Anh Mơn thi thi hình thức trắc nghiệm với phương án trả lời A, B, C, D Mỗi câu trả lời cộng 0,2 điểm câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm Bạn Hoa học mơn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên 50 câu trả lời Tính xác xuất để bạn Hoa đạt điểm môn Tiếng Anh kỳ thi Lời giải Gọi x số câu trả lời đúng, suy 50- x số câu trả lời sai Ta có số điểm Hoa 0,2.x - 0,1.( 50- x) = � x = 30 Do bạn Hoa trả lời 30 câu sai 20 câu Không gian mẫu số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên Mỗi câu có phương án trả lời nên có 450 khả 50 Suy số phần tử không gian mẫu W= Gọi X biến cố '' Bạn Hoa trả lời 30 câu sai 20 câu '' Vì câu có phương án trả lời, câu sai có phương án trả lời Vì có 30 C50 ( 3) 20 khả thuận lợi cho biến cố X 20 30 Suy số phần tử biến cố X WX = C50 ( 3) Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = C5300.( 3) 50 20 ; 1,3.10-