Bất đẳng thức cho và nhận

Vấn đề này được chúng tôi đưa ra và đăng lên trang k2pi.net.vn và thu được rất nhiều lời giải, trong số đó chúng tôi nhận được vài giải pháp rất đẹp, để cho seminar này được tường minh hơn, chúng ta hãy chú ý đến bài đầu tiên này, nhằm hiểu hơn về vấn đề này : CHO ĐI Và LẤY LẠI. Dấu bằng xảy ra rất đặc biệt, đó là 3 biến bằng 1 hoặc 2 biến bằng 0 và 1 biến bằng 3. Vì thế muốn dồn a → b thì ta giả sử c = max{a; b; c} Không mất tính tổng quát giả sử: c = max{a; b; c}

0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI 0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI 0.1.1 TH ỨC BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT Các ví dụ mở đầu: Chúng ta xét ví dụ sau đây: Bài [ Lê Khánh Sỹ ] Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ĐẲ NG a2 ab + bc + ca + ≥ a+3 4 cyc Vấn đề đưa đăng lên trang k2pi.net.vn thu nhiều lời giải, số chúng tơi nhận vài giải pháp đẹp, seminar tường minh hơn, ý đến này, nhằm hiểu vấn đề : CHO ĐI Và LẤY LẠI Dấu xảy đặc biệt, biến biến biến Vì muốn dồn a → b ta giả sử c = max{a; b; c} Khơng tính tổng qt giả sử: c = max{a; b; c} Khi dó ta chứng minh bổ đề: a2 b2 ab (a + b)2 (a + b)2 + + ≥ + a+3 b+3 a+b+6 16 BẤ T Vậy bổ đề CHO ĐI LẤY LẠI? Cho a2 b2 (a + b)2 + → a+3 b+3 a+b+6 Lấy lại ab (a + b)2 → 16 Vậy cho lấy lại kinh nghiệm cá nhân mà thơi, khơng có chuẩn mực cho việc đánh giá Vấn đề sau trình làm điều phải dồn biến quy đồng dễ gốc 0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI ban đầu Quay lại bổ đề ta cần chứng minh: Bổ đề hiển nhiên vì: (a + 3)(b + 3)(a + b + 6) ≤ TH ỨC (a − b)2 9(a − b)2 ≥ (a + 3)(b + 3)(a + b + 6) 16 (a + b + 6)3 ≤ 128 < 144 Do để hồn tất chứng minh, ta cần chứng minh: c2 c(3 − c) (3 − c)2 (3 − c)2 + + + ≥ 9−c 16 c+3 ĐẲ NG Bất đẳng thức biến, cách nhóm đối tượng hợp lí quy đồng ta 3(c − 1)2 (c − 3)2 ≥0 16(9 − c)(3 + c) Hoàn tất chứng minh ❑ Bài [ Ji Chen ] Cho số thực không âm a, b, c thỏa ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 4(ab + bc + ca) BẤ T Lời giải: Khơng tính tổng qt, giả sử b = {a, b, c} Khi ta chứng minh ≥ + (a + b) (a + b)(b + c) 4ac cyc Thật Bất đẳng thức viết lại (a − c)2 (a − c)2 ≥ (a + b)2 (b + c)2 4ac(a + c)2 Hay (a − c)2 [4ac(a + c)2 − (a + b)2 (b + c)2 ] ≥ Bổ đề vì: 4ac(a + c)2 ≥ (a + b)(b + c)(a + b)(b + c) = (a + b)2 (b + c)2 0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI Qua lại tốn ta cần chứng minh TH ỨC + ≥ (a + b)(b + c) 4ac 4(ab + bc + ca) Hay b[a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b)] − 6abc ≥ Bất đẳng thức cuối hiển nhiên theo AM − GM Đẳng thức xảy a = b = c > a = b > c = hốn vị chúng Hồn tất chứng minh ❑ Bài [ Jack Garfunkel ] Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 8abc + ≥ ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) ĐẲ NG Lời giải 1: Khơng tính tổng quát giả sử c = {a, b, c} Khi ta chứng minh bổ đề a2 + b2 + c2 8abc 2ab + c2 2(a + b)c + ≥ + ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) ab + bc + ca (b + c)(c + a) Thật Bất đẳng thức viết lại 2(a − b)2 c (a − b)2 ≥ ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) Bổ đề vì: 2c(ab + bc + ca) ≤ (a + b)(ab + bc + ca + c2 ) = (a + b)(b + c)(c + a) Quay lại tốn ta cần chứng minh Hay BẤ T 2ab + c2 2(a + b)c + ≥2 ab + bc + ca (b + c)(c + a) c2 (a − c)(b − c) ≥0 (a + c)(b + c)(ab + bc + ca) Lời giải 2: Không tính tổng quát giả sử: c = {a, b, c} Khi ta có: a2 + b2 + c2 8abc a2 + b2 + 2c2 8abc + ≥ + ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) (c + a)(c + b) (a + b)(b + c)(c + a) Vây nên ta cần chứng minh a2 + b2 + 2c2 8abc + ≥2 (c + a)(c + b) (a + b)(b + c)(c + a) 0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI Quy đồng mẫu số ta thu TH ỨC (a + b − 2c)(a − b)2 ≥0 (a + b)(b + c)(c + a) Bất đẳng thức hiển nhiên Dấu xảy a = b = c > 0; a = 0; b = c > Hoàn tất chứng minh ❑ Bài [ Lê Khánh Sỹ ] Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: cyc 2(ab + bc + ca) 13 + ≥ a+1 Lời giải: Khơng tính tổng qt giả sử c = {a, b, c} Khi ta chứng minh bổ đề ĐẲ NG 2ab (a + b)2 + + ≥ + a+1 b+1 a+b+2 18 Thật Bất đẳng thức viết lại (a − b)2 (a − b)2 ≥ (a + 1)(b + 1)(a + b + 2) 18 Bổ đề (a + b + 2)3 (a + 1)(b + 1)(a + b + 2) ≤ ≤ 16 < 18 Quay lại tốn ta cần chứng minh (3 − c)2 2c(3 − c) 13 + + + ≥ 5−c 18 c+1 Hay (c − 1)2 (c − 2)2 ≥0 6(5 − c)(c + 1) BẤ T Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = 1, a = b = c = hoán vị chúng ❑ Bài [ Tìm k ] Cho số thực dương a, b, c, k Tìm giá trị tốt k để a cyc cyc (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ + k a (a + b + c)2 0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI cyc TH ỨC Lời giải: Cho a = b = c = c = vào bất đẳng thức, ta thu l ≤ Vì ta cần chứng minh bất đẳng thức với k = Thật vậy, viết bất đẳng thức lại sau Chuẩn hóa a + b + c = Khi ta cần chứng minh + 48(ab + bc + ca) ≥ 25 a Khơng tính tổng qt giả sử c = max {a, b, c} Khi ta chứng minh bổ đề sau 1 + + 48ab ≥ + 12(a + b)2 a b a+b Thật Bất đẳng thức viết lại (a − b)2 ≥ 12(a − b)2 ab(a + b) ĐẲ NG Bổ đề 12ab(a + b) ≤ 3(a + b)3 ≤ < Quay lại tốn ta cần chứng minh + 12(1 − c)2 + + 48c(1 − c) ≥ 25 1−c c Hay (3c − 1)2 (2c − 1)2 ≥ c(1 − c) Bất đẳng thức hiển nhiên Vậy k = giá trị tốt cần tìm ❑ Bài [Schur r = 1] Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh BẤ T a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Lời giải 1: Khơng tính tổng qt, giả sử c = min{a, b, c} Khi ta chứng minh a3 + b3 + 3abc ≥ (a + b)(a2 + b2 ) 3(a + b)2 c (a − b)2 c + + 4 Thật Bất đẳng thức viết lại (a − b)2 (a + b) ≥ (a − b)2 c 0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI Bổ đề a + b ≥ 2c Quay lại tốn ta cần chứng minh TH ỨC (a + b)(a2 + b2 ) 3(a + b)2 c (a − b)2 c + + + c3 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 4 Hay a3 + b3 + 2abc + 2c3 ≥ ab(a + b) + 2c2 (a + b) Rút gọn hơn, ta (a + b)(a − b)2 + 2c(a − c)(b − c) ≥ Bất đẳng thức hiển nhiên Dấu xảy ra, ba biến lớn 0, biến biến lớn Hoàn tất chứng minh ❑ Lời giải 2: Khơng tính tổng qt, giả sử c = min{a, b, c} Khi ta chứng minh 3(a + b)2 c 5(a − b)2 c + 4 ĐẲ NG a3 + b3 + 3abc ≥ ab(a + b) + Thật Bất đẳng thức viết lại (a − b)2 (a + b) ≥ 2(a − b)2 c Bổ đề a + b ≥ 2c Quay lại tốn ta cần chứng minh 3(a + b)2 c 5(a − b)2 c + + c3 ≥ bc(b + c) + ca(c + a) 4 Hay c(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ≥ BẤ T Bất đẳng thức ln Hồn tất chứng minh ❑ Bài [Tìm k suy ra] Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ + b + c (a + b + c) cyc Lời giải: Nhân (a + b + c) cho chuẩn hóa a + b + c = ta + cyc a2 ≥ (a2 + b2 + c2 ) b+c 0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI Hay Ta chứng minh bổ đề với c = min{a, b, c} TH ỨC cyc a2 15 + 2(ab + bc + ca) ≥ b+c a2 b2 (a + b)2 (a + b)2 + + 2ab ≥ + b+c c+a a + b + 2c Hay (a − b)2 (a + b + c)2 (a − b)2 ≥ (a + c)(b + c)(a + b + 2c) Bổ đề (3 + c)3 ≤ 16 < 18 (a + c)(b + c)(a + b + 2c) ≤ Quay lại tốn ta cần chứng minh ĐẲ NG (3 − c)2 (a + b)2 c2 15 + + + 2c(3 − c) ≥ 3+c 3−c Quy đồng mẫu số ta 3c2 (c − 1)2 ≥ 2(9 − c2 ) Bất đẳng thức hiển nhiên Dấu xảy ra, ba biến lớn 0, biến biến lớn Hoàn tất chứng minh ❑ Bài [Vasile Cirtoaje] Cho số thực a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh 3(a4 + b4 + c4 ) + 33 ≥ 14(a2 + b2 + c2 ) BẤ T Lời giải: Khơng tính tổng qt giả sử c = min{a, b, c} Khi ta có bổ đề sau 3(a4 + b4 ) − 14(a2 + b2 ) ≥ Hay 3(a + b)4 − 7(a + b)2 3(a − b)2 (7a2 + 10ab + 7b2 ) ≥ 7(a − b)2 Bất đẳng thức ln (a − b)2 + 6(a + b)2 3(7a2 + 10ab + 7b2 ) = ≥ > 8 0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI Quay lại toán ta cần chứng minh từ phương pháp quy đồng, ta TH ỨC 3(3 − c)4 + 3c4 + 33 ≥ 14c2 + 7(3 − c)2 , 3(c − 1)2 (3c + 1)2 ≥ Hoàn tất chứng minh ❑ Bài [AoPS]Cho số thực a, b, c thỏa abc = Chứng minh a2 + b2 + c2 + ≥ 1 a+b+c+ + + a b c ĐẲ NG Dễ thấy cần chứng minh với a, b, c > Không tính tổng qt giả sử ab ≥ Khi ta có bổ đề sau 1 √ a2 + b2 − a+b+ + ≥ 2ab − ab + √ a b ab Hay √ √ √ √ ( a − b) ( a − b)2 + , (a − b)2 ≥ ab ta trục nghiệm sau (a − b)2 ≥ (a − b)2 (a − b)2 √ √ + √ √ ( a + b)2 ab( a + b)2 Bất đẳng thức hiển nhiên 1 3 √ √ + ≤ = < √ √ ( a + b)2 ab( a + b)2 2 Quay lại toán ta cần chứng minh ( đặt c = x2 ) BẤ T x4 + + ≥ x2 + + + 2x x x x Rút gọn ta (x − 1)2 (2x4 + 4x3 + 3x2 − 4x + 1) ≥ 0, x2 dể thấy bất đẳng thức 2x4 + + 4x3 + + 3x2 + > 4 2/63 + 3 4/62 + 6 Hoàn tất chứng minh ❑ 3/6 x > 4x 0.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỀ XUẤT 0.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỀ XUẤT cyc TH ỨC [Lê Khánh Sỹ]Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3.Chứng minh a2 64(ab + bc + ca) 145 + ≥ a+2 243 81 [Lê Khánh Sỹ]Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3.Chứng minh cyc 16(ab + bc + ca) 241 + ≥ a+4 1125 375 [Vasc]Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 3.Chứng minh 1 + + a b c + ≥ 10(a2 + b2 + c2 ) (Vasc) ĐẲ NG [Võ Quốc Bá Cẩn]Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh ta ln có: a2 b2 c2 + + ≤ a+2 b+2 c+2 ab + bc + ca [Lê Khánh Sỹ]Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = c = min{a, b, c} thỏa Chứng minh cyc 2(ab + bc + ca) 13 + ≥ + a+1 a−b 12 [Lê Khánh Sỹ]Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = c = max{a, b, c} Chứng minh BẤ T cyc 3(a − b)2 + 48(ab + bc + ca) ≥ 25 + a [Lê Khánh Sỹ]Chp số thực dương a, b, c Chứng minh √ ab + bc + ca √ (a + b + c)3 + (4 + 10 5) ≥ 31 + 10 abc a + b2 + c2 0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT 0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ TH ỨC SẮC NÉT Xin ngang qua dạng tốn cách vài trò người đề, trước hết khơng thể có chung cho việc đề Đại đa số người đề hay chặt người đề phải cầm tay bổ đề chặt số dạng bất đẳng thức Ví từ: 27(a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 = 4(p2 − 3q)3 − (2p3 − 9pq + 27r)2 ≥ Chúng ta thu −2(p2 − 3q) p2 − 3q ≤ 2p3 − 9pq + 27r ≤ 2(p2 − 3q) p2 − 3q; từ ta có ĐẲ NG −2p3 + 9pq + 2(p2 − 3q) p2 − 3q −2p3 + 9pq − 2(p2 − 3q) p2 − 3q ≤ abc ≤ 27 Bây ta xét a, b, c khơng âm, ta chuẩn hóa a+b+c = tồn t ∈ [0; 1] cho ab + bc + ca = − 3t2 Khi ta có −(t + 1)2 (2t − 1) ≤ abc ≤ (t − 1)2 (2t + 1) Hướng tiếp cận điều kiện Theo Cauchy-Schwarz, ta có 2(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 ; ta có − 2t ≤ c ≤ + 2t Do tính đối xứng nên ta có a, b, c ∈ [1 − 2t; + 2t] ta có bất đẳng thức Hay BẤ T (1 + 2t − a)(1 + 2t − b)(1 + 2t − c) ≥ (1 + 2t)3 − (a + b + c)(1 + 2t)2 + (ab + bc + ca)(1 + 2t) ≥ abc; tiếp tục rút gọn ta abc ≤ (t − 1)2 (2t + 1) Cách làm tương tự −(t + 1)2 (2t − 1) ≤ abc ≤ (t − 1)2 (2t + 1) (∗) 10 0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT TH ỨC Vậy nên Cauchy-Schwarz, thu bổ đề chặt Ví dụ dạng a cyc 1 Hiển nhiến điều biết với a, b, c dương a + b + c = + + ≥ a b c Bầy ta làm chặt sau: Hướng 1 1 + + ≥ + y(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) a b c Từ bổ đề (∗) ta cần chứng minh 3(1 − t2 ) ≥ + 9t2 y (t − 1)2 (2t + 1) Rút nhân tử t2 ta 3t2 [2 − 3(−2t2 + t + 1)y] ≥ (1 − t)(2t + 1) ĐẲ NG Để bất đẳng thức đúng, ta cần có ≥ 3y ∀t ∈ [(0; 1); −2t2 + t + mà 2t2 + t + Vậy nên giá trị tốt củ y = = t∈[(0;1) 16 16 với t = 27 Nên ta có toán sau Bài toán Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a cyc cyc (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥9+8 a (a + b + c)2 BẤ T Theo dấu xảy a = b = c a = b = c/2 hoán vị Hay chọn a + b + c = ta thu toán quen thuộc sau cyc + 48(ab + bc + ca) ≥ 25 a Hướng Đẩy biến biên sau a, b, c → + 2t Vì 1 1 = + − a + 2t a + 2t 11 0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT Nên ta có cách khai triển sau cyc [3 + 6t − (a + b + c)] + 2t − a ≥ + a + 2t + 2t (2t + 1)(a + b + c) − (a2 + b2 + c2 ) TH ỨC cyc 1 = + a + 2t + 2t 3(1 + t) 6t2 =3+ (1 + 2t)(1 − t) (1 − t)(2t + 1) = Dấu xảy a = b = c, a = + 2t b = c, hoán vị ❑ Chúng ta thu toán Bầy ta mở rộng với mẫu số sau Ví dụ dạng a+1 cyc cyc 1 = + a+1 2(1 + t) 2(1 + t) cyc 3t2 + 2t − a , = + a+1 2(2 − t)(1 + t) Vẫn làm chặt trên, cách 3t2 ≥ 9t2 y 2(2 − t)(1 + t) ĐẲ NG Bỏ qua nghiệm tầm thường ta cần xét 6y ≤ f (t) := Dễ thấy ≥ (2 − t)(1 + t) (2 − t)(1 + t) Vậy nên giá trị tốt y = t∈[(0;1] = với t = ❑ 27 Nên ta có tốn sau Bài tốn Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh BẤ T 1 2(ab + bc + ca) 13 + + + ≥ a+1 b+1 c+1 Theo dấu xảy a = b = c = 1, a = b = c = 2, hoán vị Để kiểm soát đấu theo ý muốn, đến tốn sau Ví dụ dạng (m ≥ 0) a+m cyc 1 + 2t − a = + a+m + 2t + m + 2t + m cyc a + m cyc ≥ 6t + + 2t + m + 2t + m (m + − t) 12 0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT 3(m + + t) 6t2 = = + (1 + 2t + m)(m + − t) + m (m + 1)(m + − t)(m + + 2t) TH ỨC Vẫn làm chặt trên, cách 6t2 ≥ 9t2 y (m + 1)(m + − t)(m + + 2t) Bỏ qua nghiệm tầm thường ta cần xét (m + 1)y ≤ f (t) := ≥ (m + − t)(m + + 2t) 9(m + 1)2 Vậy nên giá trị tốt củ y = 16 m+1 vối t = ❑ 27(m + 1) Nên ta có tốn sau Bài tốn Cho số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh Hay phát biểu lại cyc ĐẲ NG 1 48 9m2 + 18m + 25 + + + (ab + bc + ca) ≥ a + m b + m c + m (3m + 3)3 3(m + 1)3 a2 48m2 25m2 + 18m + + (ab + bc + ca) ≥ a + m (3m + 3)3 3(m + 1)3 3−m 3+m , c = , hoán vị.❑ Vì chúng tơi có toán đặc biệt sau Bài toán Dấu xảy a = b = c a = b = Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh BẤ T cyc ab + bc + ca a2 + ≥ a+3 Dấu xảy a = b = c a = b = c = 3, hoán vị chúng Xin mời bạn đọc thử sức với tốn 13 0.4 CHẶT HƠN NẾU CĨ THỂ 0.4 CHẶT HƠN NẾU CÓ THỂ cyc TH ỨC Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = c = a, b, c Chứng minh ta có a2 15 + 2(ab + bc + ca) ≥ + b+c a−b Cho số thực a, b, c thỏa a + b + c = c = min{a, b, c} Chứng minh 3(a4 + b4 + c4 ) + 33 ≥ 14(a2 + b2 + c2 ) + 2(a − b)2 Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = c = max{a, b, c} thỏa Chứng minh 2(ab + bc + ca) 13 a−b + ≥ + a + 12 cyc BẤ T ĐẲ NG Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = c = max{a, b, c} Chứng minh 3(a − b)2 + 48(ab + bc + ca) ≥ 25 + a cyc 14 0.4 CHẶT HƠN NẾU CÓ THỂ Viết lại biểu thức P sau TH ỨC 2P := (x − y + z)a(b + c) + (x + y − z)b(a + c) + (y + z − x)c(a + b) Trường hợp Nếu tồn số lớn tổng hai số kia, giả sử z ≥ x + y Khi ta có P = xab + ybc + zca ≤ max{za(b + c); zc(b + a)} (a + b + c)2 ≤z zk = zk Trường hợp Bộ x, y, z ba cạnh tám giác, giải theo Cauchy-Schwarz Vậy nên max P = (x − y + z) k − (2a − k)2 ĐẲ NG 2P := cyc := k x+y+z − 4 (x − y + z)(2a − k)2 cyc Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có k2 (x − y + z)(2a − k)2 ≥ cyc cyc k2 x+y+z Vậy nên max P = k − 8 BẤ T cyc x−y+z 15 x−y+z 0.4 CHẶT HƠN NẾU CĨ THỂ Bài tốn Cho số thực dương a, b, c thỏa abc = Chứng minh TH ỨC 1 + + + ≥5 a b c a+b+c Chúng ta cần chứng minh với điều kiện 1 + 3+ 3+ ≥ 3 a b c a +b +c abc Hay (ab + bc + ca) a2 (b − c)2 + b2 (c − a)2 + c2 (a − b)2 2a3 b3 c3 (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ abc(a3 + b3 + c3 ) Rút họn ta cyc ĐẲ NG (ab + bc + ca) a2 (b − c)2 + b2 (c − a)2 + c2 (a − b)2 2a2 b2 c2 (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ a3 + b3 + c3 Giả sử a ≥ b ≥ c theop Cauchy-Schwarz, ta có 2a2 b2 c2 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 (b − c)2 ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 a2 Vì ta cần chứng minh a+b+c ab + bc + ca ≥ (ab + bc + ca)2 − 2abc(a + b + c) 3abc + (a + b + c) [(a + b + c)2 − 3(ab + bc + ca)] Chọn p = ab + bc + ca = q, abc = r ta chứng minh r(3q + 2) + q − 4q ≥ Hay Áp dụng Schur, ta chứng minh (4q − 1) (3q + 2) + q − 4q ≥ BẤ T Trường hợp q ≥ 2(4q − 1)(1 − 3q) ≥ Trường hợp q < Đúng r > nên r(3q + 2) + q − 4q > q(1 − 4q) > Vậy nên hoàn tất chứng minh ❑ 16 0.4 CHẶT HƠN NẾU CÓ THỂ Bất đẳng thức cần chứng minh giả sử TH ỨC 1 + 2+ 2+ ≥ (xyz = 1, x, y > 0) x y z x + y2 + z2 (x2 − 1)(y − 1) ≥ Hay + z2 x +y ≤1+x y = z2 2 2 Áp dụng AG, ta cần chứng minh 2z + + ≥ z2 + z2 + z2 z2 Rút gọn ta ĐẲ NG (z − 1)2 z(z − 1)2 (2z + 3z + 2) + ≥ BẤ T Hoàn tất chứng minh.❑ 17 ... c)2 0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI cyc TH ỨC Lời giải: Cho a = b = c = c = vào bất đẳng thức, ta thu l ≤ Vì ta cần chứng minh bất đẳng thức với k = Thật vậy, viết bất đẳng thức lại sau... b2 + c2 0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT 0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ TH ỨC SẮC NÉT Xin ngang qua dạng tốn cách vài trò người đề, trước hết khơng thể có chung cho việc đề Đại đa... c)2 0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI Qua lại tốn ta cần chứng minh TH ỨC + ≥ (a + b)(b + c) 4ac 4(ab + bc + ca) Hay b[a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b)] − 6abc ≥ Bất đẳng thức cuối