1. Trang chủ
  2. » Trung học cơ sở - phổ thông

Bất đẳng thức cho và nhận

17 520 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 17
Dung lượng 199,5 KB

Nội dung

Vấn đề này được chúng tôi đưa ra và đăng lên trang k2pi.net.vn và thu được rất nhiều lời giải, trong số đó chúng tôi nhận được vài giải pháp rất đẹp, để cho seminar này được tường minh hơn, chúng ta hãy chú ý đến bài đầu tiên này, nhằm hiểu hơn về vấn đề này : CHO ĐI Và LẤY LẠI. Dấu bằng xảy ra rất đặc biệt, đó là 3 biến bằng 1 hoặc 2 biến bằng 0 và 1 biến bằng 3. Vì thế muốn dồn a → b thì ta giả sử c = max{a; b; c} Không mất tính tổng quát giả sử: c = max{a; b; c}

Trang 1

T

THỨC

0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI

BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT

LẠI

0.1.1 Các ví dụ mở đầu:

Chúng ta cùng xét các ví dụ sau đây:

[ Lê Khánh Sỹ ]

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

X

cyc

a2

a + 3 +

ab + bc + ca

4 Bài 1

Vấn đề này được chúng tôi đưa ra và đăng lên trang k2pi.net.vn và thu được rất

nhiều lời giải, trong số đó chúng tôi nhận được vài giải pháp rất đẹp, để cho seminar

này được tường minh hơn, chúng ta hãy chú ý đến bài đầu tiên này, nhằm hiểu

hơn về vấn đề này : CHO ĐI Và LẤY LẠI Dấu bằng xảy ra rất đặc biệt, đó là 3

biến bằng 1 hoặc 2 biến bằng 0 và 1 biến bằng 3 Vì thế muốn dồn a → b thì ta

giả sử c = max{a; b; c}

Không mất tính tổng quát giả sử: c = max{a; b; c} Khi dó ta sẽ chứng minh bổ đề:

a2

a + 3 +

b2

b + 3 +

ab

4 ≥ (a + b)

2

a + b + 6 +

(a + b)2 16

Vậy trong bổ đề này cái nào là CHO ĐI và cái nào là LẤY LẠI?

Cho đi là

a2

a + 3 +

b2

b + 3 → (a + b)

2

a + b + 6

Lấy lại là

ab

4 → (a + b)

2

16 Vậy thì cho đi bao nhiêu và lấy lại bao nhiêu thì chỉ bằng kinh nghiệm cá nhân

mà thôi, ở đây không có một chuẩn mực nào cho việc đánh giá này Vấn đề là sau

quá trình làm điều đó thì phải là dồn biến được hoặc là quy đồng dễ hơn bài gốc

Trang 2

T

THỨC

ban đầu

Quay lại bổ đề ta cần chứng minh:

9(a − b)2 (a + 3)(b + 3)(a + b + 6) ≥ (a − b)

2

16

Bổ đề trên hiển nhiên đúng vì:

(a + 3)(b + 3)(a + b + 6) ≤ (a + b + 6)

3

4 ≤ 128 < 144

Do đó để hoàn tất chứng minh, ta cần chứng minh:

(3 − c)2

9 − c +

(3 − c)2

c2

c + 3 +

c(3 − c)

2 Bất đẳng thức trên là một biến, vì thế bằng cách nhóm đối tượng hợp lí quy đồng

ta được

3(c − 1)2(c − 3)2 16(9 − c)(3 + c) ≥ 0 Hoàn tất chứng minh q

[ Ji Chen ]

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa ab + bc + ca 6= 0 Chứng minh rằng:

1 (a + b)2 + 1

(b + c)2 + 1

4(ab + bc + ca) Bài 2

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng b = min {a, b, c} Khi đó ta sẽ đi chứng minh

X

cyc

1

(a + b)(b + c) +

1 4ac Thật vậy Bất đẳng thức được viết lại

(a − c)2 (a + b)2(b + c)2 ≥ (a − c)

2

4ac(a + c)2

Hay

(a − c)2[4ac(a + c)2− (a + b)2(b + c)2] ≥ 0 Bổ đề trên đúng vì:

4ac(a + c)2 ≥ (a + b)(b + c)(a + b)(b + c) = (a + b)2(b + c)2

Trang 3

T

THỨC

0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI

Qua lại bài toán thì ta cần chứng minh

2 (a + b)(b + c) +

1

4(ab + bc + ca) Hay

b[a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b)] − 6abc ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng theo AM − GM Đẳng thức xảy ra khi

a = b = c > 0 hoặc a = b > 0 và c = 0 hoặc các hoán vị của chúng

Hoàn tất chứng minh q

[ Jack Garfunkel ]

Cho các số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng:

a2+ b2+ c2

ab + bc + ca +

8abc (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 2

Bài 3

Lời giải 1: Không mất tính tổng quát giả sử c = min {a, b, c} Khi đó ta sẽ chứng minh bổ đề

a2+ b2+ c2

ab + bc + ca +

8abc (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 2ab + c

2

ab + bc + ca +

2(a + b)c (b + c)(c + a) Thật vậy Bất đẳng thức viết lại

(a − b)2

ab + bc + ca ≥ 2(a − b)

2c (a + b)(b + c)(c + a)

Bổ đề trên đúng vì:

2c(ab + bc + ca) ≤ (a + b)(ab + bc + ca + c2) = (a + b)(b + c)(c + a)

Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh

2ab + c2

ab + bc + ca +

2(a + b)c (b + c)(c + a) ≥ 2 Hay

c2(a − c)(b − c) (a + c)(b + c)(ab + bc + ca) ≥ 0 Lời giải 2: Không mất tính tổng quát giả sử: c = min {a, b, c} Khi đó ta có:

a2+ b2+ c2

ab + bc + ca +

8abc (a + b)(b + c)(c + a) ≥ a

2+ b2+ 2c2 (c + a)(c + b) +

8abc (a + b)(b + c)(c + a) Vây nên ta cần chứng minh

a2+ b2+ 2c2 (c + a)(c + b) +

8abc (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 2

Trang 4

T

THỨC

Quy đồng mẫu số ta thu được

(a + b − 2c)(a − b)2 (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 0 Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng Dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0;

a = 0; b = c > 0 Hoàn tất chứng minh q

[ Lê Khánh Sỹ ]

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

X

cyc

1

a + 1 +

2(ab + bc + ca)

6 Bài 4

Lời giải:

Không mất tính tổng quát giả sử c = min {a, b, c} Khi đó ta sẽ chứng minh bổ đề

1

a + 1 +

1

b + 1 +

2ab

a + b + 2 +

(a + b)2 18 Thật vậy Bất đẳng thức viết lại

(a − b)2 (a + 1)(b + 1)(a + b + 2) ≥ (a − b)

2

18

Bổ đề trên luôn đúng do

(a + 1)(b + 1)(a + b + 2) ≤ (a + b + 2)

3

4 ≤ 16 < 18 Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh

4

5 − c +

(3 − c)2

1

c + 1 +

2c(3 − c)

6 Hay

(c − 1)2(c − 2)2 6(5 − c)(c + 1) ≥ 0 Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1, hoặc a = b = 1

2 và

c = 2 hoặc các hoán vị của chúng q

[ Tìm k ]

Cho các số thực dương a, b, c, k Tìm giá trị tốt nhất của k để

X

cyc

cyc

1

a ≥ 9 + k.(a − b)

2+ (b − c)2+ (c − a)2 (a + b + c)2

Bài 5

Trang 5

T

THỨC

0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI

Lời giải:

Cho a = b = c = 1 và c = 2 thế vào bất đẳng thức, ta thu được l ≤ 8 Vì thế ta cần chứng minh bất đẳng thức trên đúng với k = 8 Thật vậy, viết bất đẳng thức lại như sau

Chuẩn hóa a + b + c = 1 Khi đó ta cần chứng minh

X

cyc

1

a + 48(ab + bc + ca) ≥ 25.

Không mất tính tổng quát giả sử c = max {a, b, c} Khi đó ta chứng minh bổ đề sau

1

a +

1

b + 48ab ≥

4

a + b+ 12(a + b)

2

Thật vậy Bất đẳng thức viết lại

(a − b)2 ab(a + b) ≥ 12(a − b)2

Bổ đề trên luôn đúng do

12ab(a + b) ≤ 3(a + b)3 ≤ 8

9 < 1.

Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh

4

1 − c + 12(1 − c)

2+ 1

c + 48c(1 − c) ≥ 25.

Hay

(3c − 1)2(2c − 1)2

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng Vậy k = 8 là giá trị tốt nhất cần tìm q

[Schur r = 1] Cho các số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng

a3+ b3+ c3+ 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)

Bài 6

Lời giải 1:

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng c = min{a, b, c} Khi đó ta sẽ chứng minh

a3+ b3+ 3abc ≥ (a + b)(a

2+ b2)

3(a + b)2c

(a − b)2c

Thật vậy Bất đẳng thức viết lại

(a − b)2(a + b)

2 ≥ (a − b)2c

Trang 6

T

THỨC

Bổ đề trên là đúng vì a + b ≥ 2c

Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh

(a + b)(a2+ b2)

3(a + b)2c

(a − b)2c

3 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)

Hay

a3+ b3+ 2abc + 2c3 ≥ ab(a + b) + 2c2(a + b)

Rút gọn hơn, ta được

(a + b)(a − b)2+ 2c(a − c)(b − c) ≥ 0

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng Dấu bằng xảy ra, hoặc là ba biến bằng nhau

và lớn hơn 0, hoặc là 1 biến bằng 0 và 2 biến kia bằng nhau và lớn hơn 0 Hoàn tất chứng minh q

Lời giải 2:

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng c = min{a, b, c} Khi đó ta sẽ chứng minh

a3+ b3+ 3abc ≥ ab(a + b) + 3(a + b)

2c

5(a − b)2c

Thật vậy Bất đẳng thức viết lại

(a − b)2(a + b) ≥ 2(a − b)2c

Bổ đề trên là đúng vì a + b ≥ 2c

Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh

3(a + b)2c

5(a − b)2c

3 ≥ bc(b + c) + ca(c + a)

Hay

c(a2+ b2+ c2− ab − bc − ca) ≥ 0

Bất đẳng thức trên luôn đúng Hoàn tất chứng minh q

[Tìm k suy ra ] Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca 6= 0 Chứng minh rằng

X

cyc

a

b + c ≥ 3(a

2+ b2+ c2) (a + b + c)2 + 1

2. Bài 7

Lời giải:

Nhân (a + b + c) cho 2 và chuẩn hóa a + b + c = 3 ta được

3

2+ X

cyc

a2

b + c ≥ (a2+ b2+ c2)

Trang 7

T

THỨC

0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI

Hay

X

cyc

a2

b + c + 2(ab + bc + ca) ≥

15

2 .

Ta sẽ chứng minh bổ đề với c = min{a, b, c}

a2

b + c+

b2

c + a + 2ab ≥

(a + b)2

a + b + 2c +

(a + b)2

Hay

(a − b)2(a + b + c)2 (a + c)(b + c)(a + b + 2c) ≥ (a − b)

2

Bổ đề trên là đúng vì

(a + c)(b + c)(a + b + 2c) ≤ (3 + c)

3

4 ≤ 16 < 18

Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh

(3 − c)2

3 + c +

(a + b)2

c2

3 − c + 2c(3 − c) ≥

15

2 . Quy đồng mẫu số ta được

3c2(c − 1)2 2(9 − c2) ≥ 0

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng Dấu bằng xảy ra, hoặc là ba biến bằng nhau

và lớn hơn 0, hoặc là 1 biến bằng 0 và 2 biến kia bằng nhau và lớn hơn 0 Hoàn tất chứng minh q

[Vasile Cirtoaje] Cho các số thực a, b, c thỏa a + b + c = 3 Chứng minh rằng

3(a4+ b4+ c4) + 33 ≥ 14(a2+ b2+ c2) Bài 8

Lời giải:

Không mất tính tổng quát giả sử c = min{a, b, c} Khi đó ta có bổ đề sau

3(a4+ b4) − 14(a2+ b2) ≥ 3(a + b)

4

8 − 7(a + b)2 Hay

3(a − b)2(7a2+ 10ab + 7b2)

Bất đẳng thức trên luôn đúng vì

3(7a2+ 10ab + 7b2)

3(a − b)2+ 6(a + b)2

Trang 8

T

THỨC

Quay lại bài toán ta cần chứng minh

3(3 − c)4

4+ 33 ≥ 14c2+ 7(3 − c)2,

từ đây bằng phương pháp quy đồng, ta được

3(c − 1)2(3c + 1)2

Hoàn tất chứng minh q

[AoPS]Cho các số thực a, b, c thỏa abc = 1 Chứng minh rằng

a2+ b2+ c2+ 6 ≥ 3

2



a + b + c + 1

a +

1

b +

1 c

 Bài 9

Dễ thấy rằng chúng ta chỉ cần chứng minh với a, b, c > 0 Không mất tính tổng quát giả sử ab ≥ 1 Khi đó ta có bổ đề sau

a2+ b2 − 3

2



a + b + 1

a +

1 b



≥ 2ab − 3

2

 2

ab + √2

ab

 Hay

(a − b)2 ≥ 3

2

"

(√

a −

√ b)2+ (

a −√ b)2 ab

# , bây giờ ta đi trục nghiệm như sau

(a − b)2 ≥ 3

2

 (a − b)2 (√

a +√ b)2 + (a − b)

2

ab(√

a +√ b)2

 Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng vì

3 2

(√

a +√

ab(√

a +√ b)2



≤ 3

2.

1

2 =

3

4 < 1.

Quay lại bài toán ta cần chứng minh ( đặt c = x2)

x4+ 6 + 2

x2 ≥ 3 2



x2+ 1

x2 + 2

x + 2x

 Rút gọn ta được

(x − 1)2(2x4+ 4x3+ 3x2− 4x + 1)

dể thấy rằng bất đẳng thức trên là đúng do

2x4+ 3

6+ 4x

3+ 2

6+ 3x

2+ 1

6 >



4p4

2/63+ 3p3

4/62+ 2p3/6x > 4x

Hoàn tất chứng minh q

Trang 9

T

THỨC

0.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỀ XUẤT

[Lê Khánh Sỹ]Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3.Chứng minh

X

cyc

a2

a + 2 +

64(ab + bc + ca)

81 . [Lê Khánh Sỹ]Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3.Chứng minh

X

cyc

1

a + 4 +

16(ab + bc + ca)

375. [Vasc]Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 3.Chứng minh

8 1

a +

1

b +

1 c

 + 9 ≥ 10(a2+ b2+ c2) (Vasc)

[Võ Quốc Bá Cẩn]Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng khi đó ta luôn có:

a2

a + 2 +

b2

b + 2 +

c2

ab + bc + ca. [Lê Khánh Sỹ]Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 và c = min{a, b, c} thỏa Chứng minh

X

cyc

1

a + 1 +

2(ab + bc + ca)

 a − b 12

2

[Lê Khánh Sỹ]Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1 và c = max{a, b, c} Chứng minh

X

cyc

1

a + 48(ab + bc + ca) ≥ 25 +

3(a − b)2

[Lê Khánh Sỹ]Chp các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

(a + b + c)3

√ 5)ab + bc + ca

a2+ b2+ c2 ≥ 31 + 10√5

Trang 10

T

THỨC

SẮC NÉT

Xin đi ngang qua 1 dạng toán nào đó trong cách vài trò là người ra đề, trước hết

là không thể có 1 cái chung nào được cho việc ra đề Đại đa số những người ra đề hay và chặt thì khi đó người ra đề phải cầm trong tay những bổ đề chặt nhất có thể của một số dạng bất đẳng thức nào đó

Ví như từ:

27(a − b)2(b − c)2(c − a)2 = 4(p2− 3q)3− (2p3− 9pq + 27r)2 ≥ 0

Chúng ta thu được

−2(p2− 3q)pp2− 3q ≤ 2p3− 9pq + 27r ≤ 2(p2− 3q)pp2− 3q;

từ đây ta có

−2p3+ 9pq − 2(p2− 3q)pp2− 3q

3+ 9pq + 2(p2− 3q)pp2− 3q

Bây giờ ta xét a, b, c không âm, ta chuẩn hóa a+b+c = 3 và khi đó tồn tại t ∈ [0; 1] sao cho ab + bc + ca = 3 − 3t2 Khi đó ta có

−(t + 1)2(2t − 1) ≤ abc ≤ (t − 1)2(2t + 1)

Hướng tiếp cận tiếp theo vẫn điều kiện như trên

Theo Cauchy-Schwarz, ta có

2(a2+ b2) ≥ (a + b)2;

vì thế ta có

1 − 2t ≤ c ≤ 1 + 2t

Do tính đối xứng nên ta có a, b, c ∈ [1 − 2t; 1 + 2t] vì thế ta có bất đẳng thức

(1 + 2t − a)(1 + 2t − b)(1 + 2t − c) ≥ 0

Hay

(1 + 2t)3− (a + b + c)(1 + 2t)2+ (ab + bc + ca)(1 + 2t) ≥ abc;

và tiếp tục rút gọn ta được

abc ≤ (t − 1)2(2t + 1)

Cách làm tương tự thì

−(t + 1)2(2t − 1) ≤ abc ≤ (t − 1)2(2t + 1) (∗)

Trang 11

T

THỨC

0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT

Vậy nên chỉ bằng Cauchy-Schwarz, chúng ta cũng thu về 1 bổ đề rất chặt

cyc

1 a Hiển nhiến điều là ai cũng biết với a, b, c dương và a + b + c = 3 thì 1

a+

1

b +

1

c ≥ 3 Bầy giờ ta sẽ làm chặt nó như sau:

Hướng 1

1

a +

1

b +

1

c ≥ 3 + y(a2 + b2+ c2− ab − bc − ca)

Từ bổ đề (∗) trên ta cần chứng minh

3(1 − t2) (t − 1)2(2t + 1) ≥ 3 + 9t2y

Rút nhân tử t2 ra ta được

3t2[2 − 3(−2t2+ t + 1)y]

(1 − t)(2t + 1) ≥ 0

Để bất đẳng thức đúng, ta cần có

2

−2t2+ t + 1 ≥ 3y ∀t ∈ [(0; 1);



2 2t2+ t + 1



t∈[(0;1)

= 16 9

Vậy nên giá trị tốt nhất củ y = 16

27 với t =

1 4 Nên ta có bài toán sau đây

Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

X

cyc

cyc

1

a ≥ 9 + 8(a − b)

2+ (b − c)2+ (c − a)2 (a + b + c)2

Bài toán

Theo như trên thì dấu bằng xảy ra là a = b = c và a = b = c/2 hoặc hoán vị Hay chọn a + b + c = 1 ta thu được bài toán quen thuộc sau

X

cyc

1

a + 48(ab + bc + ca) ≥ 25

Hướng 2

Đẩy các biến về biên như sau a, b, c → 1 + 2t

1

a =

1

1 + 2t +

 1

1 + 2t



Trang 12

T

THỨC

Nên ta có cách khai triển sau

X

cyc

1

a =

3

1 + 2t+

1

1 + 2t

X

cyc

1 + 2t − a

1 + 2t+

1

1 + 2t.

[3 + 6t − (a + b + c)]2 (2t + 1)(a + b + c) − (a2+ b2+ c2)

(1 + 2t)(1 − t) = 3 +

6t2 (1 − t)(2t + 1). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c, hoặc a = 1 + 2t và b = c, hoặc hoán vị q

Chúng ta vẫn thu được bài toán như trên Bầy giờ ta mở rộng với mẫu số như sau

cyc

1

a + 1 X

cyc

1

a + 1 =

3 2(1 + t) +

1 2(1 + t)

X

cyc

1 + 2t − a

a + 1 , =

3

2+

3t2 2(2 − t)(1 + t). Vẫn làm chặt như bài trên, bằng cách

3t2 2(2 − t)(1 + t) ≥ 9t2y

Bỏ qua nghiệm tầm thường ta cần xét

(2 − t)(1 + t) ≥ 4

9.

Dễ thấy rằng



1 (2 − t)(1 + t)



t∈[(0;1]

= 4

9.

Vậy nên giá trị tốt nhất của y = 2

27 với t =

1

2. q Nên ta có bài toán sau đây

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng

1

a + 1 +

1

b + 1 +

1

c + 1 +

2(ab + bc + ca)

6 . Bài toán

Theo như trên thì dấu bằng xảy ra là a = b = c = 1, hoặc a = b = 1

2 và c = 2, hoặc hoán vị

Để kiểm soát được đấu bằng theo ý muốn, chúng ta cùng đi đến bài toán sau

cyc

1

a + m (m ≥ 0) X

cyc

1

a + m =

3

1 + 2t + m +

1

1 + 2t + m

X

cyc

1 + 2t − a

a + m

1 + 2t + m +

1

1 + 2t + m

6t (m + 1 − t)

Trang 13

T

THỨC

0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT

(1 + 2t + m)(m + 1 − t) =

3

1 + m +

6t2 (m + 1)(m + 1 − t)(m + 1 + 2t). Vẫn làm chặt như bài trên, bằng cách

6t2 (m + 1)(m + 1 − t)(m + 1 + 2t) ≥ 9t2y

Bỏ qua nghiệm tầm thường ta cần xét

3

2(m + 1)y ≤ f (t) :=

1 (m + 1 − t)(m + 1 + 2t) ≥ 8

9(m + 1)2

Vậy nên giá trị tốt nhất củ y = 16

27(m + 1)2 vối t = m + 1

Nên ta có bài toán sau đây

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng 1

a + m +

1

b + m +

1

c + m +

48 (3m + 3)3(ab + bc + ca) ≥ 9m

2+ 18m + 25 3(m + 1)3 Bài toán

Hay phát biểu lại là

X

cyc

a2

a + m +

48m2 (3m + 3)3(ab + bc + ca) ≥ 25m

2+ 18m + 9 3(m + 1)3

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c và a = b = 3 − m

4 , hoặc c =

3 + m

2 , hoặc hoán vị.q

Vì thế chúng tôi mới có được bài toán rất đặc biệt sau đây

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 Chứng minh

X

cyc

a2

a + 3 +

ab + bc + ca

2 Bài toán

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c hoặc a = b = 0 và c = 3, hoặc các hoán vị của chúng Xin mời bạn đọc thử sức với bài toán trên

Trang 14

T

THỨC

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 và c = min a, b, c Chứng minh rằng khi đó ta có

X

cyc

a2

b + c+ 2(ab + bc + ca) ≥

15

 a − b 4

2

Cho các số thực a, b, c thỏa a + b + c = 3 và c = min{a, b, c} Chứng minh rằng

3(a4+ b4+ c4) + 33 ≥ 14(a2+ b2+ c2) + 2(a − b)2

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 và c = max{a, b, c} thỏa Chứng minh

X

cyc

1

a + 1 +

2(ab + bc + ca)

 a − b 12

2

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1 và c = max{a, b, c} Chứng minh

X

cyc

1

a + 48(ab + bc + ca) ≥ 25 +

3(a − b)2

Trang 15

T

THỨC

0.4 CHẶT HƠN NẾU CÓ THỂ

Viết lại biểu thức P như sau

2P := (x − y + z)a(b + c) + (x + y − z)b(a + c) + (y + z − x)c(a + b)

Trường hợp 1 Nếu như tồn tại 1 số lớn hơn hoặc bằng tổng hai số kia, giả sử

z ≥ x + y

Khi đó ta có

P = xab + ybc + zca ≤ max{za(b + c); zc(b + a)}

≤ z(a + b + c)

2

4

= zk

2

4 Vậy nên max P = zk

2

4 . Trường hợp 2 Bộ x, y, z là ba cạnh của 1 tám giác, có thể giải quyết theo Cauchy-Schwarz

cyc

(x − y + z)

4 k2− (2a − k)2

:= k2.x + y + z

4 X

cyc

(x − y + z)(2a − k)2

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có

X

cyc

(x − y + z)(2a − k)2 ≥ k

2

X

cyc

1

x − y + z

Vậy nên max P = k2.x + y + z

8.

k2 X

cyc

1

x − y + z

Ngày đăng: 01/05/2018, 21:54

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w