Vấn đề này được chúng tôi đưa ra và đăng lên trang k2pi.net.vn và thu được rất nhiều lời giải, trong số đó chúng tôi nhận được vài giải pháp rất đẹp, để cho seminar này được tường minh hơn, chúng ta hãy chú ý đến bài đầu tiên này, nhằm hiểu hơn về vấn đề này : CHO ĐI Và LẤY LẠI. Dấu bằng xảy ra rất đặc biệt, đó là 3 biến bằng 1 hoặc 2 biến bằng 0 và 1 biến bằng 3. Vì thế muốn dồn a → b thì ta giả sử c = max{a; b; c} Không mất tính tổng quát giả sử: c = max{a; b; c}
Trang 1T
THỨC
0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI
BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT
LẠI
0.1.1 Các ví dụ mở đầu:
Chúng ta cùng xét các ví dụ sau đây:
[ Lê Khánh Sỹ ]
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
X
cyc
a2
a + 3 +
ab + bc + ca
4 Bài 1
Vấn đề này được chúng tôi đưa ra và đăng lên trang k2pi.net.vn và thu được rất
nhiều lời giải, trong số đó chúng tôi nhận được vài giải pháp rất đẹp, để cho seminar
này được tường minh hơn, chúng ta hãy chú ý đến bài đầu tiên này, nhằm hiểu
hơn về vấn đề này : CHO ĐI Và LẤY LẠI Dấu bằng xảy ra rất đặc biệt, đó là 3
biến bằng 1 hoặc 2 biến bằng 0 và 1 biến bằng 3 Vì thế muốn dồn a → b thì ta
giả sử c = max{a; b; c}
Không mất tính tổng quát giả sử: c = max{a; b; c} Khi dó ta sẽ chứng minh bổ đề:
a2
a + 3 +
b2
b + 3 +
ab
4 ≥ (a + b)
2
a + b + 6 +
(a + b)2 16
Vậy trong bổ đề này cái nào là CHO ĐI và cái nào là LẤY LẠI?
Cho đi là
a2
a + 3 +
b2
b + 3 → (a + b)
2
a + b + 6
Lấy lại là
ab
4 → (a + b)
2
16 Vậy thì cho đi bao nhiêu và lấy lại bao nhiêu thì chỉ bằng kinh nghiệm cá nhân
mà thôi, ở đây không có một chuẩn mực nào cho việc đánh giá này Vấn đề là sau
quá trình làm điều đó thì phải là dồn biến được hoặc là quy đồng dễ hơn bài gốc
Trang 2T
THỨC
ban đầu
Quay lại bổ đề ta cần chứng minh:
9(a − b)2 (a + 3)(b + 3)(a + b + 6) ≥ (a − b)
2
16
Bổ đề trên hiển nhiên đúng vì:
(a + 3)(b + 3)(a + b + 6) ≤ (a + b + 6)
3
4 ≤ 128 < 144
Do đó để hoàn tất chứng minh, ta cần chứng minh:
(3 − c)2
9 − c +
(3 − c)2
c2
c + 3 +
c(3 − c)
2 Bất đẳng thức trên là một biến, vì thế bằng cách nhóm đối tượng hợp lí quy đồng
ta được
3(c − 1)2(c − 3)2 16(9 − c)(3 + c) ≥ 0 Hoàn tất chứng minh q
[ Ji Chen ]
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa ab + bc + ca 6= 0 Chứng minh rằng:
1 (a + b)2 + 1
(b + c)2 + 1
4(ab + bc + ca) Bài 2
Lời giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng b = min {a, b, c} Khi đó ta sẽ đi chứng minh
X
cyc
1
(a + b)(b + c) +
1 4ac Thật vậy Bất đẳng thức được viết lại
(a − c)2 (a + b)2(b + c)2 ≥ (a − c)
2
4ac(a + c)2
Hay
(a − c)2[4ac(a + c)2− (a + b)2(b + c)2] ≥ 0 Bổ đề trên đúng vì:
4ac(a + c)2 ≥ (a + b)(b + c)(a + b)(b + c) = (a + b)2(b + c)2
Trang 3T
THỨC
0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI
Qua lại bài toán thì ta cần chứng minh
2 (a + b)(b + c) +
1
4(ab + bc + ca) Hay
b[a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b)] − 6abc ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng theo AM − GM Đẳng thức xảy ra khi
a = b = c > 0 hoặc a = b > 0 và c = 0 hoặc các hoán vị của chúng
Hoàn tất chứng minh q
[ Jack Garfunkel ]
Cho các số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng:
a2+ b2+ c2
ab + bc + ca +
8abc (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 2
Bài 3
Lời giải 1: Không mất tính tổng quát giả sử c = min {a, b, c} Khi đó ta sẽ chứng minh bổ đề
a2+ b2+ c2
ab + bc + ca +
8abc (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 2ab + c
2
ab + bc + ca +
2(a + b)c (b + c)(c + a) Thật vậy Bất đẳng thức viết lại
(a − b)2
ab + bc + ca ≥ 2(a − b)
2c (a + b)(b + c)(c + a)
Bổ đề trên đúng vì:
2c(ab + bc + ca) ≤ (a + b)(ab + bc + ca + c2) = (a + b)(b + c)(c + a)
Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh
2ab + c2
ab + bc + ca +
2(a + b)c (b + c)(c + a) ≥ 2 Hay
c2(a − c)(b − c) (a + c)(b + c)(ab + bc + ca) ≥ 0 Lời giải 2: Không mất tính tổng quát giả sử: c = min {a, b, c} Khi đó ta có:
a2+ b2+ c2
ab + bc + ca +
8abc (a + b)(b + c)(c + a) ≥ a
2+ b2+ 2c2 (c + a)(c + b) +
8abc (a + b)(b + c)(c + a) Vây nên ta cần chứng minh
a2+ b2+ 2c2 (c + a)(c + b) +
8abc (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 2
Trang 4T
THỨC
Quy đồng mẫu số ta thu được
(a + b − 2c)(a − b)2 (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 0 Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng Dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0;
a = 0; b = c > 0 Hoàn tất chứng minh q
[ Lê Khánh Sỹ ]
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
X
cyc
1
a + 1 +
2(ab + bc + ca)
6 Bài 4
Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử c = min {a, b, c} Khi đó ta sẽ chứng minh bổ đề
1
a + 1 +
1
b + 1 +
2ab
a + b + 2 +
(a + b)2 18 Thật vậy Bất đẳng thức viết lại
(a − b)2 (a + 1)(b + 1)(a + b + 2) ≥ (a − b)
2
18
Bổ đề trên luôn đúng do
(a + 1)(b + 1)(a + b + 2) ≤ (a + b + 2)
3
4 ≤ 16 < 18 Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh
4
5 − c +
(3 − c)2
1
c + 1 +
2c(3 − c)
6 Hay
(c − 1)2(c − 2)2 6(5 − c)(c + 1) ≥ 0 Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1, hoặc a = b = 1
2 và
c = 2 hoặc các hoán vị của chúng q
[ Tìm k ]
Cho các số thực dương a, b, c, k Tìm giá trị tốt nhất của k để
X
cyc
cyc
1
a ≥ 9 + k.(a − b)
2+ (b − c)2+ (c − a)2 (a + b + c)2
Bài 5
Trang 5T
THỨC
0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI
Lời giải:
Cho a = b = c = 1 và c = 2 thế vào bất đẳng thức, ta thu được l ≤ 8 Vì thế ta cần chứng minh bất đẳng thức trên đúng với k = 8 Thật vậy, viết bất đẳng thức lại như sau
Chuẩn hóa a + b + c = 1 Khi đó ta cần chứng minh
X
cyc
1
a + 48(ab + bc + ca) ≥ 25.
Không mất tính tổng quát giả sử c = max {a, b, c} Khi đó ta chứng minh bổ đề sau
1
a +
1
b + 48ab ≥
4
a + b+ 12(a + b)
2
Thật vậy Bất đẳng thức viết lại
(a − b)2 ab(a + b) ≥ 12(a − b)2
Bổ đề trên luôn đúng do
12ab(a + b) ≤ 3(a + b)3 ≤ 8
9 < 1.
Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh
4
1 − c + 12(1 − c)
2+ 1
c + 48c(1 − c) ≥ 25.
Hay
(3c − 1)2(2c − 1)2
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng Vậy k = 8 là giá trị tốt nhất cần tìm q
[Schur r = 1] Cho các số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng
a3+ b3+ c3+ 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)
Bài 6
Lời giải 1:
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng c = min{a, b, c} Khi đó ta sẽ chứng minh
a3+ b3+ 3abc ≥ (a + b)(a
2+ b2)
3(a + b)2c
(a − b)2c
Thật vậy Bất đẳng thức viết lại
(a − b)2(a + b)
2 ≥ (a − b)2c
Trang 6T
THỨC
Bổ đề trên là đúng vì a + b ≥ 2c
Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh
(a + b)(a2+ b2)
3(a + b)2c
(a − b)2c
3 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)
Hay
a3+ b3+ 2abc + 2c3 ≥ ab(a + b) + 2c2(a + b)
Rút gọn hơn, ta được
(a + b)(a − b)2+ 2c(a − c)(b − c) ≥ 0
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng Dấu bằng xảy ra, hoặc là ba biến bằng nhau
và lớn hơn 0, hoặc là 1 biến bằng 0 và 2 biến kia bằng nhau và lớn hơn 0 Hoàn tất chứng minh q
Lời giải 2:
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng c = min{a, b, c} Khi đó ta sẽ chứng minh
a3+ b3+ 3abc ≥ ab(a + b) + 3(a + b)
2c
5(a − b)2c
Thật vậy Bất đẳng thức viết lại
(a − b)2(a + b) ≥ 2(a − b)2c
Bổ đề trên là đúng vì a + b ≥ 2c
Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh
3(a + b)2c
5(a − b)2c
3 ≥ bc(b + c) + ca(c + a)
Hay
c(a2+ b2+ c2− ab − bc − ca) ≥ 0
Bất đẳng thức trên luôn đúng Hoàn tất chứng minh q
[Tìm k suy ra ] Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca 6= 0 Chứng minh rằng
X
cyc
a
b + c ≥ 3(a
2+ b2+ c2) (a + b + c)2 + 1
2. Bài 7
Lời giải:
Nhân (a + b + c) cho 2 và chuẩn hóa a + b + c = 3 ta được
3
2+ X
cyc
a2
b + c ≥ (a2+ b2+ c2)
Trang 7T
THỨC
0.1 BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT CHO ĐI VÀ LẤY LẠI
Hay
X
cyc
a2
b + c + 2(ab + bc + ca) ≥
15
2 .
Ta sẽ chứng minh bổ đề với c = min{a, b, c}
a2
b + c+
b2
c + a + 2ab ≥
(a + b)2
a + b + 2c +
(a + b)2
Hay
(a − b)2(a + b + c)2 (a + c)(b + c)(a + b + 2c) ≥ (a − b)
2
Bổ đề trên là đúng vì
(a + c)(b + c)(a + b + 2c) ≤ (3 + c)
3
4 ≤ 16 < 18
Quay lại bài toán thì ta cần chứng minh
(3 − c)2
3 + c +
(a + b)2
c2
3 − c + 2c(3 − c) ≥
15
2 . Quy đồng mẫu số ta được
3c2(c − 1)2 2(9 − c2) ≥ 0
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng Dấu bằng xảy ra, hoặc là ba biến bằng nhau
và lớn hơn 0, hoặc là 1 biến bằng 0 và 2 biến kia bằng nhau và lớn hơn 0 Hoàn tất chứng minh q
[Vasile Cirtoaje] Cho các số thực a, b, c thỏa a + b + c = 3 Chứng minh rằng
3(a4+ b4+ c4) + 33 ≥ 14(a2+ b2+ c2) Bài 8
Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử c = min{a, b, c} Khi đó ta có bổ đề sau
3(a4+ b4) − 14(a2+ b2) ≥ 3(a + b)
4
8 − 7(a + b)2 Hay
3(a − b)2(7a2+ 10ab + 7b2)
Bất đẳng thức trên luôn đúng vì
3(7a2+ 10ab + 7b2)
3(a − b)2+ 6(a + b)2
Trang 8T
THỨC
Quay lại bài toán ta cần chứng minh
3(3 − c)4
4+ 33 ≥ 14c2+ 7(3 − c)2,
từ đây bằng phương pháp quy đồng, ta được
3(c − 1)2(3c + 1)2
Hoàn tất chứng minh q
[AoPS]Cho các số thực a, b, c thỏa abc = 1 Chứng minh rằng
a2+ b2+ c2+ 6 ≥ 3
2
a + b + c + 1
a +
1
b +
1 c
Bài 9
Dễ thấy rằng chúng ta chỉ cần chứng minh với a, b, c > 0 Không mất tính tổng quát giả sử ab ≥ 1 Khi đó ta có bổ đề sau
a2+ b2 − 3
2
a + b + 1
a +
1 b
≥ 2ab − 3
2
2
√
ab + √2
ab
Hay
(a − b)2 ≥ 3
2
"
(√
a −
√ b)2+ (
√
a −√ b)2 ab
# , bây giờ ta đi trục nghiệm như sau
(a − b)2 ≥ 3
2
(a − b)2 (√
a +√ b)2 + (a − b)
2
ab(√
a +√ b)2
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng vì
3 2
(√
a +√
ab(√
a +√ b)2
≤ 3
2.
1
2 =
3
4 < 1.
Quay lại bài toán ta cần chứng minh ( đặt c = x2)
x4+ 6 + 2
x2 ≥ 3 2
x2+ 1
x2 + 2
x + 2x
Rút gọn ta được
(x − 1)2(2x4+ 4x3+ 3x2− 4x + 1)
dể thấy rằng bất đẳng thức trên là đúng do
2x4+ 3
6+ 4x
3+ 2
6+ 3x
2+ 1
6 >
4p4
2/63+ 3p3
4/62+ 2p3/6x > 4x
Hoàn tất chứng minh q
Trang 9T
THỨC
0.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỀ XUẤT
[Lê Khánh Sỹ]Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3.Chứng minh
X
cyc
a2
a + 2 +
64(ab + bc + ca)
81 . [Lê Khánh Sỹ]Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3.Chứng minh
X
cyc
1
a + 4 +
16(ab + bc + ca)
375. [Vasc]Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 3.Chứng minh
8 1
a +
1
b +
1 c
+ 9 ≥ 10(a2+ b2+ c2) (Vasc)
[Võ Quốc Bá Cẩn]Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng khi đó ta luôn có:
a2
a + 2 +
b2
b + 2 +
c2
ab + bc + ca. [Lê Khánh Sỹ]Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 và c = min{a, b, c} thỏa Chứng minh
X
cyc
1
a + 1 +
2(ab + bc + ca)
a − b 12
2
[Lê Khánh Sỹ]Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1 và c = max{a, b, c} Chứng minh
X
cyc
1
a + 48(ab + bc + ca) ≥ 25 +
3(a − b)2
[Lê Khánh Sỹ]Chp các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng
(a + b + c)3
√ 5)ab + bc + ca
a2+ b2+ c2 ≥ 31 + 10√5
Trang 10T
THỨC
SẮC NÉT
Xin đi ngang qua 1 dạng toán nào đó trong cách vài trò là người ra đề, trước hết
là không thể có 1 cái chung nào được cho việc ra đề Đại đa số những người ra đề hay và chặt thì khi đó người ra đề phải cầm trong tay những bổ đề chặt nhất có thể của một số dạng bất đẳng thức nào đó
Ví như từ:
27(a − b)2(b − c)2(c − a)2 = 4(p2− 3q)3− (2p3− 9pq + 27r)2 ≥ 0
Chúng ta thu được
−2(p2− 3q)pp2− 3q ≤ 2p3− 9pq + 27r ≤ 2(p2− 3q)pp2− 3q;
từ đây ta có
−2p3+ 9pq − 2(p2− 3q)pp2− 3q
3+ 9pq + 2(p2− 3q)pp2− 3q
Bây giờ ta xét a, b, c không âm, ta chuẩn hóa a+b+c = 3 và khi đó tồn tại t ∈ [0; 1] sao cho ab + bc + ca = 3 − 3t2 Khi đó ta có
−(t + 1)2(2t − 1) ≤ abc ≤ (t − 1)2(2t + 1)
Hướng tiếp cận tiếp theo vẫn điều kiện như trên
Theo Cauchy-Schwarz, ta có
2(a2+ b2) ≥ (a + b)2;
vì thế ta có
1 − 2t ≤ c ≤ 1 + 2t
Do tính đối xứng nên ta có a, b, c ∈ [1 − 2t; 1 + 2t] vì thế ta có bất đẳng thức
(1 + 2t − a)(1 + 2t − b)(1 + 2t − c) ≥ 0
Hay
(1 + 2t)3− (a + b + c)(1 + 2t)2+ (ab + bc + ca)(1 + 2t) ≥ abc;
và tiếp tục rút gọn ta được
abc ≤ (t − 1)2(2t + 1)
Cách làm tương tự thì
−(t + 1)2(2t − 1) ≤ abc ≤ (t − 1)2(2t + 1) (∗)
Trang 11T
THỨC
0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT
Vậy nên chỉ bằng Cauchy-Schwarz, chúng ta cũng thu về 1 bổ đề rất chặt
cyc
1 a Hiển nhiến điều là ai cũng biết với a, b, c dương và a + b + c = 3 thì 1
a+
1
b +
1
c ≥ 3 Bầy giờ ta sẽ làm chặt nó như sau:
Hướng 1
1
a +
1
b +
1
c ≥ 3 + y(a2 + b2+ c2− ab − bc − ca)
Từ bổ đề (∗) trên ta cần chứng minh
3(1 − t2) (t − 1)2(2t + 1) ≥ 3 + 9t2y
Rút nhân tử t2 ra ta được
3t2[2 − 3(−2t2+ t + 1)y]
(1 − t)(2t + 1) ≥ 0
Để bất đẳng thức đúng, ta cần có
2
−2t2+ t + 1 ≥ 3y ∀t ∈ [(0; 1);
mà
2 2t2+ t + 1
t∈[(0;1)
= 16 9
Vậy nên giá trị tốt nhất củ y = 16
27 với t =
1 4 Nên ta có bài toán sau đây
Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng
X
cyc
cyc
1
a ≥ 9 + 8(a − b)
2+ (b − c)2+ (c − a)2 (a + b + c)2
Bài toán
Theo như trên thì dấu bằng xảy ra là a = b = c và a = b = c/2 hoặc hoán vị Hay chọn a + b + c = 1 ta thu được bài toán quen thuộc sau
X
cyc
1
a + 48(ab + bc + ca) ≥ 25
Hướng 2
Đẩy các biến về biên như sau a, b, c → 1 + 2t
Vì
1
a =
1
1 + 2t +
1
1 + 2t
Trang 12
T
THỨC
Nên ta có cách khai triển sau
X
cyc
1
a =
3
1 + 2t+
1
1 + 2t
X
cyc
1 + 2t − a
1 + 2t+
1
1 + 2t.
[3 + 6t − (a + b + c)]2 (2t + 1)(a + b + c) − (a2+ b2+ c2)
(1 + 2t)(1 − t) = 3 +
6t2 (1 − t)(2t + 1). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c, hoặc a = 1 + 2t và b = c, hoặc hoán vị q
Chúng ta vẫn thu được bài toán như trên Bầy giờ ta mở rộng với mẫu số như sau
cyc
1
a + 1 X
cyc
1
a + 1 =
3 2(1 + t) +
1 2(1 + t)
X
cyc
1 + 2t − a
a + 1 , =
3
2+
3t2 2(2 − t)(1 + t). Vẫn làm chặt như bài trên, bằng cách
3t2 2(2 − t)(1 + t) ≥ 9t2y
Bỏ qua nghiệm tầm thường ta cần xét
(2 − t)(1 + t) ≥ 4
9.
Dễ thấy rằng
1 (2 − t)(1 + t)
t∈[(0;1]
= 4
9.
Vậy nên giá trị tốt nhất của y = 2
27 với t =
1
2. q Nên ta có bài toán sau đây
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng
1
a + 1 +
1
b + 1 +
1
c + 1 +
2(ab + bc + ca)
6 . Bài toán
Theo như trên thì dấu bằng xảy ra là a = b = c = 1, hoặc a = b = 1
2 và c = 2, hoặc hoán vị
Để kiểm soát được đấu bằng theo ý muốn, chúng ta cùng đi đến bài toán sau
cyc
1
a + m (m ≥ 0) X
cyc
1
a + m =
3
1 + 2t + m +
1
1 + 2t + m
X
cyc
1 + 2t − a
a + m
1 + 2t + m +
1
1 + 2t + m
6t (m + 1 − t)
Trang 13T
THỨC
0.3 CÁCH RA BẤT ĐẲNG THỨC CHẶT VÀ SẮC NÉT
(1 + 2t + m)(m + 1 − t) =
3
1 + m +
6t2 (m + 1)(m + 1 − t)(m + 1 + 2t). Vẫn làm chặt như bài trên, bằng cách
6t2 (m + 1)(m + 1 − t)(m + 1 + 2t) ≥ 9t2y
Bỏ qua nghiệm tầm thường ta cần xét
3
2(m + 1)y ≤ f (t) :=
1 (m + 1 − t)(m + 1 + 2t) ≥ 8
9(m + 1)2
Vậy nên giá trị tốt nhất củ y = 16
27(m + 1)2 vối t = m + 1
Nên ta có bài toán sau đây
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng 1
a + m +
1
b + m +
1
c + m +
48 (3m + 3)3(ab + bc + ca) ≥ 9m
2+ 18m + 25 3(m + 1)3 Bài toán
Hay phát biểu lại là
X
cyc
a2
a + m +
48m2 (3m + 3)3(ab + bc + ca) ≥ 25m
2+ 18m + 9 3(m + 1)3
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c và a = b = 3 − m
4 , hoặc c =
3 + m
2 , hoặc hoán vị.q
Vì thế chúng tôi mới có được bài toán rất đặc biệt sau đây
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 Chứng minh
X
cyc
a2
a + 3 +
ab + bc + ca
2 Bài toán
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c hoặc a = b = 0 và c = 3, hoặc các hoán vị của chúng Xin mời bạn đọc thử sức với bài toán trên
Trang 14T
THỨC
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 và c = min a, b, c Chứng minh rằng khi đó ta có
X
cyc
a2
b + c+ 2(ab + bc + ca) ≥
15
a − b 4
2
Cho các số thực a, b, c thỏa a + b + c = 3 và c = min{a, b, c} Chứng minh rằng
3(a4+ b4+ c4) + 33 ≥ 14(a2+ b2+ c2) + 2(a − b)2
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 và c = max{a, b, c} thỏa Chứng minh
X
cyc
1
a + 1 +
2(ab + bc + ca)
a − b 12
2
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1 và c = max{a, b, c} Chứng minh
X
cyc
1
a + 48(ab + bc + ca) ≥ 25 +
3(a − b)2
Trang 15T
THỨC
0.4 CHẶT HƠN NẾU CÓ THỂ
Viết lại biểu thức P như sau
2P := (x − y + z)a(b + c) + (x + y − z)b(a + c) + (y + z − x)c(a + b)
Trường hợp 1 Nếu như tồn tại 1 số lớn hơn hoặc bằng tổng hai số kia, giả sử
z ≥ x + y
Khi đó ta có
P = xab + ybc + zca ≤ max{za(b + c); zc(b + a)}
≤ z(a + b + c)
2
4
= zk
2
4 Vậy nên max P = zk
2
4 . Trường hợp 2 Bộ x, y, z là ba cạnh của 1 tám giác, có thể giải quyết theo Cauchy-Schwarz
cyc
(x − y + z)
4 k2− (2a − k)2
:= k2.x + y + z
4 X
cyc
(x − y + z)(2a − k)2
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có
X
cyc
(x − y + z)(2a − k)2 ≥ k
2
X
cyc
1
x − y + z
Vậy nên max P = k2.x + y + z
8.
k2 X
cyc
1
x − y + z