THAM SO m TRONG UNG DUNG VIET

TOÁN - LUYỆN THI CHUYỂN CẤP - ỨNG DỤNG VI-ET thầy Lâm Phong ỨNG DỤNG VI-ET TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC II MỘT ẨN * PHẦN - GIỚI THIỆU VÀ SƠ LƯỢC CÔNG THỨC CHUNG CỦA VI-ET: _ Đối với tốn THCS nói chung đặc biệt tốn ĐẠI SỐ lớp nói riêng, "Ứng dụng Vi-et" đóng vai trò quan trọng giải tốn pt bậc II ẩn Trong chuyên đề kì này, thầy xin giới thiệu đến em ứng dụng Vi-et qua ví dụ giảng tập rèn luyện _ cho PT bậc hai ẩn ax + bx + c = (*) với ∆ = b - 4ac + Dễ dàng có x = x = −b − ∆ − b + ∆ −2b −b (−b − ∆ )(−b + ∆ ) b − ∆ 4ac c + Suy x1 + x2 = x1 x2 = = = = = = 2a 2a a 4a 4a 4a a + Vậy ta đặt: Tổng nghiệm S = x + x = Tích nghiệm P = x x = với a,b,c hệ số PT (*) _ Như ta thấy nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải toán _ Trong Chuyên đề đươc chia làm phần , gồm: + Phần 1: Giới thiệu công thức chung Vi-et + Phần 2: Nhẩm nghiệm nhanh pt Bậc II ẩn + Phần 3: Tìm hai nghiệm biệt Tổng Tích + Phần 4: Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm mà không cần giải PT + Phần 5: Chứng minh biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số m + Phần 6: Tìm m để PT có nghiệm thỏa mãn u cầu tốn + Phần 7: Tìm m để PT có nghiệm Trái dấu- Cùng dấu- Cùng âm- Cùng dương + Phần 8: Tìm m để giá trị biểu thức Lớn - Nhỏ ( Max - Min) + Phần 9: Bài tập rèn luyện * PHẦN -NHẨM NGHIỆM NHANH PT BẬC II MỘT ẨN: + Nếu PT (*) tồn a+ b + c = ⇒ Phương trình có nghiệm + Nếu PT (*) tồn a - b + c = ⇒ Phương trình có nghiệm VD1: a) 4x + 7x + = có - + = ⇒ x = -1 x = b) 6x + 2x - = có + - = ⇒ x = x = c) x - 49 - 50 = có - (-49) - 50 = ⇒ x = -1 x = 50 + Nếu PT (*) có hệ số chưa biết biết trước nghiệm ⇒ tìm nghiệm lại hệ số chưa biết ? VD2: Phương trình x - 2bx + = (*) có nghiệm 2, tìm b nghiệm thứ hai ⇒ GIẢI: Giả sử x = nghiệm PT (*) x nghiệm cần tìm Thế x = vào (*) ta (*) ⇔ - 4b+ = ⇒ b = Mặt khác ta có x.x = = ⇒ x = Vậy b = x = thỏa yêu cầu tốn VD3: Phương trình x + 5x + q = (*) có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai ⇒ GIẢI: Giả sử x = nghiệm PT (*) x nghiệm cần tìm Thế x = vào (*) ta (*) ⇔ 25 + 5.5 + q = ⇒ q = - 50 Mặt khác ta có x.x = = -50 ⇒ x = -10 Vậy q = - 50 x = -10 thỏa yêu cầu toán * PHẦN -TÌM HAI NGHIỆM KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH ⇒ LẬP PT BẬC II Giả sử ta biết S = x + x tổng nghiệm PT (*) Và P = x.x tích nghiệm PT(*) Khi x x nghiệm Phương trình Vi-et: X - SX + P = ( điều kiện S - 4P ≥ ) VD4: tìm số a,b biết S = a + b = - P = a.b = - Đừng giới hạn thách thức mà thách thức giới hạn - Lamphong9x_Vn - trang TOÁN - LUYỆN THI CHUYỂN CẤP - ỨNG DỤNG VI-ET thầy Lâm Phong ⇒ GIẢI : Khi a,b nghiệm phương trình x - Sx + P = ⇔ x + 3x - = Giải pt x = x = - Vậy a = b = - a = - b = * PHẦN -TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM PT MÀ KHƠNG GIẢI CẦN GIẢI NGIỆM PHƯƠNG TRÌNH: Đối vói tốn dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Chú ý: ♥ x + x = ( x + x ) - 2x x = S - 2P ♥ x + x = ( x + x )[ x - x x + x] = S.[ S - 2P - P] =S[S - 3P] = S - 3PS ♥x-x =± =± =± ♥ x - x = (x - x).(x + x) = ± S ♥ x - x = (x - x).(x + x x + x) = ± (S - P) ♥ x.x + x.x = x.x (x + x) = S.(S - 2P) = S - 2PS ♥ + = = ♥ + = = = ♥ + = = ♥ + = = = VD5: cho phương trình: x - 3x + = không giải phương trình tính ⇒ GIẢI: Ta có S = x + x = - = P = x x = = a) + = = = b) x.x + x.x = x.x (x + x) =S - 2PS = - 2.3.1 = c) | x - x | = |± | = = = = d) + = = = = = e) + = = = f) x + x = ( x + x )[ x - x x + x] = S.[ S - 2P - P] =S[S - 3P]= S - 3PS = 18 g) + = = = = - h) x.x + x.x = x.x.(x + x) = 18.S = 18.3 = 54 * PHẦN -CHỨNG MINH BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO THAM SỐ M Với loại toán này, ta làm tương tự PHẦN 4: + Bước 1: gọi nghiệm pt đặt tổng S, tích P theo m + Bước 2: tìm điều kiện m để pt có nghiệm x , x ( a # , ∆ > ) + Bước 3: viết biểu thức A toán theo S,P + Bước 4: S,P vào biểu thức chứa A ta số ( khơng có m ) + Bước 5: kết luận biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào m VD6: Gọi x, x nghiệm phương trình ( m − 1) x − 2mx + m − = CMR: biểu thức A = 3(x + x ) + 2xx - không phụ thuộc vào m ⇒ GIẢI: _ Đề PT có nghiệm m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔ (*)  V' ≥ 5m − ≥  m − (m − 1)(m − 4) ≥ m ≥ Theo hệ thức VI- ÉT ta có : 2m   x1 + x2 = m − thay vào A ta có:   x x = m − m −1  Đừng giới hạn thách thức mà thách thức giới hạn - Lamphong9x_Vn - trang TOÁN - LUYỆN THI CHUYỂN CẤP - ỨNG DỤNG VI-ET A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = thầy Lâm Phong 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m S = x1 + x2 P = x1 x2 ∆ Dấu nghiệm x1 x2 Điều kiện chung * m ∆≥ ∆ ≥ ; P < ± trái dấu P0 ± ± dấu, P>0 ∆ ≥ ∆ ≥ ;P>0;S>0 dương, + + S>0 P>0 − − ∆ ≥ ∆ ≥ ; P > ; S < âm S0 PHẦN -TÌM M ĐỂ PT CÓ NGHIỆM THỎA MÃN YÊU CẦU BÀI TỐN ( THI ) Đối với tốn dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho m để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ > ) Vậy A = với m ≠ m ≥ - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn m) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm VD7: Cho phương trình : mx − ( m − 1) x + ( m − 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 ⇒ GIẢI: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 x2  m ≠ m ≠ m ≠  m ≠ ⇔ ⇔ ⇔   2  m ≥ −1 ∆ ' = ( m − 1) ≥  ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ ∆ ' = ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 6(m − 1)   x1 + x2 = m Theo hệ thức VI- ÉT ta có:  từ giả thiết: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra:  x x = 9(m − 3)  m 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 * PHẦN -TÌM M ĐỂ PT CĨ NGHIỆM TRÁI DẤU- CÙNG DẤU- CÙNG ÂM- CÙNG DƯƠNG Cho phương trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … VD8: Xác định tham số m cho phương trình: 2x - 5x + m + = có nghiệm trái dấu ⇒ GIẢI: Để phương trình có nghiệm trái dấu ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m< -2 Vậy với m< -2 phương trình có nghiệm trái dấu * PHẦN -TÌM M ĐỂ GIÁ TRỊ BIẺU THỨC LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT ( MAX - MIN) ( THI ) _ Tương tự phần trước ta tìm điều kiện đề PT có nghiệm ( a ≠ ∆ > ) _ Theo Vi-ét ta viết tổng tích nghiệm theo S,P Đừng giới hạn thách thức mà thách thức giới hạn - Lamphong9x_Vn - trang TOÁN - LUYỆN THI CHUYỂN CẤP - ỨNG DỤNG VI-ET thầy Lâm Phong _ Viết biểu thức A theo S,P thể S,P vào biểu thức A PT chứa tham số m _ Đến phương trình đưa dạng A = am + bm + c + Với tốn tìm giá trị ta tạo đẳng thức X với hệ số tự C theo kiểu : A=X+C⇒ A ⇔ + Với tốn tìm giá trị max ta tạo đẳng thức X với hệ số tự C theo kiểu : A = -X + C ⇒A ⇔ VD9: Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = 2 Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để : A = x1 + x2 − x1 x2 có giá trị nhỏ ⇒ GIẢI: Để phương trình có hai nghiệm ⇔ a # 0( thỏa a = 1) ∆ > ⇔ (2m - 1) -4.1.(-m) > ⇔ 4m - 4m + + 4m > ⇔ 4m + > với m  x1 + x2 = −(2m − 1) Theo VI-ÉT:  ⇔  x1 x2 = − m 2 Theo đề bài: A = x1 + x2 − x1 x2 = S - 2P - 6P = S - 8P Thế S,P vào biểu thức ta có A = ( 2m - 1) + 8m = 4m - 12m + =(4m - 12m + 9)- = (2m - 3) - ≥ - Suy ra: A = −8 ⇔ m − = hay m = VD10: Cho phương trình : x − 2(m − 4) x + m − = xác định m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn A = x1 + x2 − x1 x2 đạt giá trị lớn ⇒ GIẢI: Để phương trình có hai nghiệm ⇔ a # 0( thỏa a = 1) ∆ > ⇔ 4(m - 4) - 4.1(m - 8) > ⇔ 4m - 32m + 64 - 4m + 32 > ⇔ - 32m > - 96 ⇔ m