On11 dau nam LG

Mọi số thực x ∈ R đều cĩ thể coi như là số đo của một cung trên đường trịn lượng giác... Tìm GTLG sin, côsin, tang của các góc LG có số đo sau... Đơn giản biểu thức:... Chứng minh rằng c

Mọi số thực x ∈ R đều cĩ thể coi như là

số đo của một cung trên đường trịn

lượng giác

Ta viết : sđ = x hay = x

(Nhớ cos nằm – sin đứng)

Trên đường trịn lượng giác, xét cung = x , ta cĩ :

( hoành độ củ a ngọn cung )

( tung độ củ a ngọn cung ) ( T là giao điểm củ a OM

cos x = OC = x

sin x = OS = y

y tanx = AT = x

M M M M

vớ i trục t't )

( U là giao điểm củ a OM vớ i trục u'u )

x cotx = BU =

Từ đĩ ta suy ra :

sin x = sin( x + k2π )

cos x = cos( x + k2π ) sinx = − sin( x + (k2+1)π ) cosx = − cos( x + (k2+1)π )

tanx = tan( x+ kπ ) cotx = cot( x+ kπ )Nhận xét

Nếu cung cĩ số đo là :

thì trên đường trịn lượng giác các điểm ngọn của là n đỉnh của một

n − giác đều nội tiếp trong đường trịn lượng giác đĩ

Ví du : Xác định điểm ngọn của cung cĩ số đo như sau :

4

k2 4

x = π+ π

 Hồ Văn Hoàng

Lần lượt cho k = 0, k = 1, k = 2 , …vào trong biểu thức

4

k2 4

x = π + π ta được các cung có số đo tương ứng là

1 4 4

2 4

π π π π π

= +

=

4

5 2

2 4 4

2 2 4

π π π π π

= +

=

4

7 2

π

π

= +

=

,

π ,

mà điểm ngọn của các cung này là 4 đỉnh M0 , M1

, M2 , M3 của một hình vuông nội tiếp trên đường

tròn lượng giác các điểm ngọn từ M4, M5, ….trở đi

lại trùng với các đỉnh khác của hình vuông

2 x d) = + π kπ

2 x e) = − +

3

k 4 x h) = π + π

4

k 8 x i) = π+ π k) π

2

k l)− +π π

α

π =180

a

( a tính bằng độ, α tính bằng rad)a) 3π

6 ; d)

π3

4 Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo radian a) 450; b) 1500; c) 720; d) 750

5 Tìm GTLG sin, côsin, tang của các góc LG có số đo sau

II GIÁ TRỊ LG CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT.

1.Đơn giản biểu thức α−π÷+ (α π− )

III CÔNG THỨC CỘNG , NHÂN, BIẾN ĐỔI …

1 Đơn giản biểu thức:

 Hồ Văn Hoàng

BÀI TẬP 1.Chứng minh các đẳng thức : a) cos2(a+b) +cos2(a–b) = 1 +cos2a.cos2b b) +  π + +  π − =

2.Biến đổi tổng thành tích a) 1 +sinx +cosx +tanx b) 1 – 4cos2a

c) sina + sinb +sin(a+b) d) 3 – 2sina

3.Rút gọn a) cos2a –sin2(a+π

= 1

6) cosx + cos(2π/3 − x) + cos(2π/3 − x) = 0

7) sin(a + b)sin(a – b) = sin2a –sin2b = cos2b – cos2a

a b = tan(a +b)tan(a – b) 9) cos

3xsinx – sin3xcosx = 1

sin2 2sinsin2 2sin

cos22(1 cos )

15) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x

5 Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.

1) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a 2) B = cos4a – sin4a + 2sin2a3) C = 2(sin6a + cos6a) – 3(sin4a + cos4a) 4) D = cos2a + sin(300 + a)sin(300– a)5) E = sin 4a+4cos2a + cos4a+4 sin2a 6) F = +

 Hồ Văn Hoàng

6 Tính các biểu thức đại số: 1) Tính sin3a – cos3a biết sina – cosa = m

2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A = + −

1 cos 2 cot tan

2 k k Quy ước đặt tương ứng mỗi số thực

x∈D với số thực 1 tan = sin

cos

x x

x gọi là hàm số tang, kí hiệu y= tanx.

4 k , k ∈¢

• Bảng biến thiên :

• Nghịch biến trên khoảng (kπ π, +kπ)

• Hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kìπ

• Các giá trị đặc biệt:

cotx = 0 ⇔ x = π + π

2 k , k ∈¢ cotx = 1 ⇔ x = π + π

4 k , k ∈¢ cotx = –1 ⇔ x = – π + π

• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng

 Hàm số y =f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số

≠0

T sao cho với mọi x D ta có ∈ x T+ ∈D x T, − ∈D và f(x+t) = f(x)

Nếu có số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi

là hàm số tuần hoàn với chu kì T

• Đồ thị của hàm số tuần hoàn lặp lại giống hệt nhau trên các đoạn kế tiếp có độ dài bằng chu kỳ T của nó.

x x

 Hồ Văn Hoàng

II Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác

cos(–x) = cosx; sin(–x) = –sinx; tan(–x) = – tanx; cot(–x)

= –cotx

sin2(–x) = [ ]2

sin(-x) = (–sinx)2 = sin2x

Phương pháp:

Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x D ∈ ⇒ − ∈ ∀ x D x ,

Bước 2 : Tính f(–x) ; so sánh với f(x) Có 3 khả năng

b) y = x3sin 2x là hàm số chẵn

c) y = 3sin x -2 là hàm số không chẵn và không lẻ trên R

Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = –2cosx 2) y = sinx + x3) y = sin2x + 2 4) y = 1

a Vì –1 ≤ sinx ≤ 1 nên –2 ≤ 2sinx ≤ 2 do đó 1≤3 + 2sinx ≤5

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1 ⇔ x = π + π

2 k , k ∈Z

4, đạt được khi cosx = ±1 ⇔ x = k , k π ∈Z Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1

2, đạt được khi cosx = 0 ⇔ x = π + π

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ]a b thì;

[ ] a ;ax ( )= ( ) ; min ( )[ ] a ; = ( )

b b

a) Điều kiện : sinx≠0… D=¡ \{k kπ, ∈¢}

b) Điều kiện : 1 – cosx > 0 hay cosx≠1 D=¡ \ 2 ,{k π k∈¢}

lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị hàm số y=sinx

trên các khoảng này Đồ thị của hàm số y = sinx

BT4/sgk/17 ?–Hàm số y=sin2x lẻ tuần hoàn chu kỳ π

VD Giải các phương trình sau: a sinx = 3

14

f cot(x –750) = –1 *g tan3x = tanx *h tan5x – cotx = 0

23

Vậy nghiệm của Pt cot(x –750) = –1 là: x=300+k1800 k∈¢

g tan3x = tanx Điều kiện

322

h tan5x – cotx = 0 Điều kiện 5 2

π (l

∈ ¢ )Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x =

12

π + l6

2. c sin(3x – 2) = –1.

 Hồ Văn Hoàng

ĐS : a

32

x – π

4) = 0 ⇔ x = π

10 + k

π2

5 hoặc x =

π

2 + k2π.Cách 2 : Pt ⇔ sin3x = cos2x ⇔ sin3x = sin(π

7 ; x =

π4

9 + k

π2

Với k = 1 ta có sinx = π

4 ⇔x = arcsinπ

4 + m2π hoặc x = π– arcsinπ

4 + m2π Với k =–1 ta có sinx= –π

4 ⇔ x = arcsin(–π

4 )+m2π hoặc x=π – arcsin(–π

4)+ m2π6) Giải: a tan(2x + 3) = tanπ

8 ) + cot(2x –

π3

4 ) ⇔ tan(4x + 9π

8 ) = tan(2x +

π5

4 )

 Hồ Văn Hoàng

⇔ 4x + 9π

8 = 2x +

π5

c cos(2x + 500) = 1

2 d (1+ 2sinx)(3– cosx)= 0 e tan2x = tan

π5

u cos3x – sin2x = 0 v sin3x + sin5x = 0

Tự luyện 2 Giải a sin(2x –1) = sin(x+3) b sin3x = cos2x

c sin4x + cos5x = 0 d 2sinx + 2 sin2x = 0 e sin22x + cos23x = 1

f sin3x + sin5x = 0 g sin(2x +500) = cos(x +1200) h cos3x – sin4x = 0

Tự luyện 3 Giải: a sin(4x – π

5 ) + cos(

π3

2 – 6x) = 0;

e sin(2x – 4π

3 ) + cos(3x –

π5

7 ) – cot(3x –

π5

14) = 0;

Phương trình bậc nhất ,bậc hai với một giá trị lượng giác (2)

 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Các phương trình dạng at + b = 0 (a ≠0), với t là một trong các hàm số

lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Cách giải:• Chuyển b sang vế phải và chia hai vế cho a ta được pt cơ bản

Vd2 Giải: a 8cos2x +6sinx –3 = 0 b 6sin2x – 5sinx – 4 = 0

a Thay cos2x = 1– sin2x ta được 8 sin2x –6 sinx –5 = 0

Đặt u = sinx, ( |u| ≤ 1) Phương trình ⇔ 8u2 – 6u – 5 = 0

5 (4

1) Giải: a cot2x + ( 3 – 1)cotx – 3 = 0 b 2sin2x – cos2x – 4sinx + 2 = 0;

c 3sin22x + 7cos2x – 3 = 0; d cos2x – 5sinx – 3 = 0;

e cos2x + cosx + 1 = 0; f 6sin23x + cos12x = 14; g 4sin4x + 12cos2x = 7

• Chia hai vế cho a ≠ 0 rồi đặt b tan

a = α , ta được: sinx + tanα.cosx = cos c

sinx.cosα + sinα.cosx = cosc

a α ⇔ sin(x+α) = cos c

a α đặt=sinϕ.Cách 3: Đặt tan

2

x

t = Phương trình trở thành bậc hai với ẩn t

VD1 giải : a) Sinx + 3 cosx =1 b) 3sinx+4cosx =5 c) 3 cos3x+sin3x= 2

3 ) = sin

π4

c) Ta có 22 + (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm.

Bài tập: 1/ 4sinx – 3cosx = 5;ĐS: x = α π π

+ + 2

2 k (với cosα =4

5 và sinα =3

5)2/ 3sin2x + 2cos2x = 3; ĐS: x = π α π− +

4 k ; x =

π + π

4 k 3/ 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x ĐS: Phương trình vô nghiệm

 Hồ Văn Hoàng

•Xét cosx ≠ 0 :Chia 2 vế cho cos2x Pt ⇔ atan2x + btanx + c = d(1+tan2x)

d(sin 2 x+cos 2 x) Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậcta có asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d⇔ a

2

2 cos

= d⇔bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c

VD1 giải: a) 2sin2x+3sinxcosx+cos2x=0 ; b) 2sin2x –5sinx cosx –cos2x = –2a) Nhận thấy cosx =0 không nghiệm đúng phương trình

Pt⇔2tan2x + 3tanx + 1 = 0⇔

1arctan

24

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1

c 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3

e 4sin2x + 3 3 sin2x – 2cos2x = 4 f sin3x + 2sin2x cosx – 3cos3x = 0

4 cos4x + sin4x = 1 sin2x

x k x

Ví dụ :a) Giải phương trình: (2+ 2 )(sinx +cosx) –2sinxcosx =2 2 +1

Đặt : sinx + cosx = t ( t ≤ 2 ) ⇒sinx cosx = 2−1

Đặt : sinx – cosx = t ( t ≤ 2 )⇒sinx cosx = – 2−1

t

t loai ⇔cos( x+π

4) = cos

π3

c.Giải phương trình sau: sin2x – 2 2 (sinx + cosx) – 5 = 0

Một số phương trình lượng giác khác

Bài1 sin2x + sin 2 x = 1

Pt⇔2sinx cosx = cos2x ⇔

1tan2

x x

5: a cosx cos7x = cos3x cos5x

b.sin2x + sin4x = sin6x

π π

l (l∈)

b.Pt ⇔ sin6x – sin2x = sin4x

⇔ 2sin2x cos4x = 2sin2x cos2x

⇔sin2x ( cos4x –cos2x ) = 0 ⇔

3 3

m x

k x k x

l x l x

π

π π

π π

Bài6: sin 2 4x + sin 2 3x = sin 2 2x + sin 2 x

1–cos8x + 1–cos6x = 1–cos4x + 1– cos2x

⇔cos8x + cos6x = cos4x + cos2x ⇔

2cos7x cosx = 2cos3x cosx

⇔cosx (cos7x –cos3x ) =0 ⇔

5 5

k x k

x

k x k

x

π π

π π

⇔sinx +cosx = 0 V (1–sinxcosx–cosx+sinx) = 0

• sinx +cosx = 0 ⇔sin (x+π

x k

Bài8 sinx + sin2x +sin3x = cosx +

cos2x + cos3x *

*⇔ 2sin2xcosx+sin2x = 2cos2xcosx+ cosx

⇔(sin2x – cos2x )(2cosx + 1) =0 ⇔

Bài9 3 +2 sinx sin3x = 3cos3x

pt⇔3( 1 –cos2x ) + 2sinx sin3x = 0 ⇔ 6sin2x + 2sin2x (3 – 4sin2x ) = 0 ⇔2sin2x (6 – 4sin2x ) = 0

⇔sinx=0 Vsin23x =3

2 (loại)⇔ x = kπBài10 sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x = 2*

* ⇔ 1– cos2x +1–cos4x+1– cos6x + 1– cos8x = 4

⇔cos8x + cos6x + cos4x + cos2x = 0

⇔2cos7x cosx + 2cos3x cosx = 0

⇔ cosx (cos7x + cos3x) = 0

⇔cosx cos5x cos2x = 0

⇔cosx = 0 V cos2x = 0 V cos5x = 0

k x

Pt ⇔sin3x = sin3x cosx cosx cos2x ⇔

2

sin3 0 (1)cos cos2 1 0 (2)

x x

Giải : Nhận xét sinx – cosx + 3 ≠0, nên

(*) ⇔ (y – 1)sinx – (y+1)cosx =–(3y+ 1)

ĐK có ng ⇔ (y–1)2 + (y + 1)2 ≥(3y + 1)2

⇔7y2 + 6y – 1 ≤ 0 ⇔ – 1 ≤ y ≤ 1

7 Vậy maxy = 1

Bài 2 : Giải các phương trình

1 sin2x+sin 32 x =cos 22 x+cos 42 x 3 sin2x+sin 22 x−sin 32 x =0

C – Phương trình biến đổi về tích

Bài 3 : Giải phương trình

1 cosx+cos2x+cos3x+cos 4x=0

2 1 sin+ x+cos3x=cosx+sin2x+cos2x

3 2cos3x+cos2x+sinx=0

4 cosx+cos3x+2cos5x=0

5 cos3x+sin3x =sin2x+sinx+cosx

6 sin2x+cos3x+sinx=0

tan

1 cos

x x

x

+

=

+

8 sin3x−cos3x =sinx+cosx

9 cos cos5 8 sin sin3

x− x =

10 sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x

D- Phương trình lượng giác có điều kiện

Bài 4 : Giải các phương trình sau

3/ a) cosx≤ ⇒ +1 1 cosx≤ ⇒2 ymax=3 khi x=k2 ,π k∈¢

1 a/ 3 cosx−sinx= 2, b/ cosx− 3 sinx= −1

c/ 3 sin3x− 3 cos9x= +1 4 sin 33 x, d/ sin4 cos (4 ) 1

e/ cos7x−sin5x= 3(cos5x−sin7 )x , f/ tanx−3cotx=4(sinx+ 3 cos )x

2 a 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , b 2cos2x – 8cosx +5 = 0

c 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x d 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1

e.sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x f 4 2

cos x=cos x