Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 31 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
31
Dung lượng
1,6 MB
Nội dung
Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hồng ƠN TẬP ĐẦUNĂM CÁC CÔNG THỨC TỌA ĐỘ CƠ BẢN r r I Cho a = (a1 ; a2) ; b = (b1 ; b2 ) r r r r a = b a1 = b1 ; a2 = b2 ; a b = (a1 b1 ; a2 b2 ) r r 2 k a = (ka1 ; ka2) Độ dài đoạn thẳng a a1 a2 rr r r r r r r a1.b1 a2.b2 ab r r a b =a1b1+a2b2 = a b cos(a,b) cos(a, b) r r a b a12 a22 b12 b22 r r r r r r a1 a2 a b a1b1+a2b2 = a // b a1b2 – a2b1=0 det( a , b ) = b1 b2 II Cho điểm A( xA ; yA) , B( xB ; yB) , C(xC ; yC) uuu r AB (xB xA; yB yA ) AB (xB xA )2 (yB yA )2 x kxB � x A � uuur uuur �M 1 k M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1) MA k MB � y �y A kyB M 1 k � xA xB y y ; yI A B 2 Trọng tâm G giao điểm đường trung tuyến x x x y y y G trọng tâm ABC: xG A B C ; yG A B C 3 A Trực tâm H giao điểm đường cao uuur uuur H � G �AH BC H trực tâm ABC � �uuur uuur I �BH AC B A' M uuur uuur � � �AA BC A�là chân đường cao kẻ từ A � �uuur uuur , BC cu� ng ph� � ng �BA� I trung điểm AB, ta có : xI Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có R = IA = IB = IC I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC � IA IB IC N C Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng uuu r uuur SABC = ½ BC.AA’= ½ AB.AC.sinA = abc/4R = pr =½ det AB, AC BÀI TẬP 1) Chứng minh điểm A(1;2), B(1;3) 1 Kết quả: K( ; ) r = C(5;0) thẳng hàng 2 2) Chứng minh điểm A(2;1), B(1;3) 11) Tính diện tích ABC biết A(1;2) , C(2;5) đỉnh tam giác B(2;0) C(3;4) Kết quả: (đvdt) 3) Định m để điểm M(9;m+1), N(2;3) 12) Cho A(2;1), B(0;3) C(4;2) Tìm 23 P (5;2) thẳng hàng Kết quả:m= tọa độ trực tâm H chân đường cao AA’ ABC 4) Cho ABC vuông cân A, có B(2;1) 18 48 39 Kết quả: H( ; ) A’( ; ) C(4;3) Tìm tọa độ đỉnh A ABC 7 17 17 Kết quả: A(2;3) A(4;1) 13) Cho A(2;6), B(3;4) C(5;0) Tìm 5) Cho ABC vng cân A, có tọa độ tâm I bán kính đường tròn A(2;1) B(1;2) Tìm tọa độ đỉnh C ngoại tiếp ABC Kết quả: C(5;2) C(1;4) 5 6) Cho hình vng ABCD có A(4;5) Kết : I( ;1) R=IC = C(3;4) Tìm tọa độ đỉnh B D 14) Cho A(1;3) B(3;1) Tìm tọa độ hình vng ABCD, biết xB < xD điểm C (): x2y+3=0 để ABC cân Kết quả: B(1;1) D(0;8) 7) Cho tam giác ABC có A(1;3) đỉnh C Kết : C( ; ) 5 B(4;1) Tìm tọa độ đỉnh C 15) Cho (): x2y+1= Tìm tọa độ �4 �3 Kết quả: C( ) điểm N đối xứng với M(2;1) qua () ; 2 Kết : N(0;3) 8) Trên ( ) cho điểm A(5;2), I, M 16) Cho A(4;2), B(1;0), C(0;4) Tìm tọa B(1;5) cho AI=IM=MB Tìm tọa độ độ đỉnh D tâm M hình bình hành I M Kết quả: I(3;3) M(1;4) ABCD 9) Cho A(2;6), B(3;4) C(5;0) Kết quả: D(5;6) M(2;3) a) Tìm tọa độ D E 17) Cho A(1; 7) , B(– 4;– 3) , C(4; 1) chân phân giác ngồi góc A a) Cm A, B, C đỉnh tam giác b) Viết phương trình đường tròn nội b) Tính góc A diện tích ABC tiếp ABC Kết quả: D(2; ), E(17;6) c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức : uuuu r uuuu r uuuu r � AM 3.BM 2.CM O (x2)2+(y1)2=5 d) Tìm điểm D hình bình hành 10) Cho A(2;3), B( ;0) C(2;0) ABCD tâm K hình bình hành e) Tìm điểm E trục Ox nhìn đoạn AB Tìm tọa độ tâm K bán kính r góc vng đường tròn nội tiếp ABC f) Tìm điểm F Oy cách A C Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hồng h) Tìm trọng tâm G , trực tâm H tâm I Chứng minh : G , H , I thẳng hàng đường tròn ngoại tiếp ABC �1 � �3 � ĐS: G � ; � , H 4;1 , I � ;2 � �3 � �2 � PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1) Phương r trình tổng quát Đường thẳng d qua điểm M(x0 ; y0) có VTPT n (A; B) Phương trình tổng quát: A(x x0 ) B(y y0 ) r r ( có VTCP u (a; b) � VTPT n (b; a) ) r Lưu ý: d // : Ax + By + C = nd (A; B) r d : Ax + By + C = nd ( B; A) 2) Phương trình tham số Đường thẳng d qua điểm M(x0 ; y0) có r �x x0 at VTCP u (a; b) Phương trình tham số là: � ( t tham số ) �y y0 bt r r ( có VTPT n (A; B) � VTCP u (B; A) ) r 3) Hệ số góc : Hệ số góc k (d) có VTCP u =(a;b): k = tan b (ĐK : (d) không Ox) a Phương trình đường thẳng qua M(x0 ;y0) Ngang xiên (có hệ số góc k ): (d) : y – y0 = k(x – x0) Thẳng đứng (// Oy) : x – x0 = 4) Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng (d) cắt Ox A(a; 0), cắt x y Oy B(0; b) có (d) : a b = góc (Ox, d) = KHOẢNG CÁCH: M(x0 ; y0 ), (d):Ax + By + C = d(M , ) = Ax0 By0 C A2 B2 uu r uu r GĨC (với (d1) có vtpt n1 ; (d2) có vtpt n2 ; k1 , k2 hệ số góc d1 , d2 ) uu r uu r n1.n2 uu r uu r k k r uu r * cos( d1�; d2 ) = cos n1, n2 = uu * tg( d1�; d2 ) = 1 k1k2 n1 n2 BÀI TẬP Tất tập cho mặt phẳng(Oxy) 1) Tìm tọa độ VTCP , VTPT điểm đường thẳng có phương trình sau: Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng �x 3 2t �x 5t �x 3 (t �R ) (t �R ) (t �R ) a � b � c � y 1 t y 1 y 2t � � � d 3x + 7y – = f 5x –13 = f x + = 2) Viết PT tham số PT tổng quát : u r r a d1 qua điểm A(1;-2) ; VTCP u (7;4) ; b d2 qua B(3; 0) ; VTPT n ( 2;5) 3) Cho A(4;5), B(6;1) C(1;1) Viết d) Lập phương trình đường cao CH phương trình đường trung tuyến ABC AM, CP, phân giác góc A xác định KQ a) A(7;3), B(3;1), C(1;5) b) tọa độ trọng tâm G ABC xy4=0, S=20 (đvdt) c)4xy8=0 Kết quả: AM: 10x13y+25=0; d)x+y4=0 10) Cho A(5; – 2), B(3; 1) Viết PT tham CP: x+2y3=0 G( ; ) 3 số , PT tổng quát đường thẳng AB 4) Viết phương trình tham số, tổng quát 11) Cho điểm A(–2;1), B(6;–3); C(8; 4) đường thẳng qua A(3;2), B(-1;3) a Viết PT đường thẳng AB Chứng 5) Cho d: 3x+4y+5=0 viết phương trình tỏ A,B,C đỉnh tam giác đường thẳng qua điểm M(1;2) : b Viết PT tổng quát đường cao a) Song song d AA’ , BB’ Suy tọa độ trực tâm H c Viết PT tổng quát đường trung Kết quả: 3x+4y11=0 tuyến AM đường trung trực cạnh BC b) Vng góc d 12) ABC có A(1;1), B(–1;3), C(– 3;–1) Kết quả: 4x3y+2=0 6) Lập phương trình đường thẳng d a Viết PT tổng quát đường thẳng qua M(1;3) chắn trục toạ độ (d) qua C song song AB đoạn thẳng có độ dài b Viết PT tổng quát đường thẳng AC tính diện tích ABC Kết quả: x+y4=0 V xy+2=0 7) Lập phương trình d qua M(4;1) 13) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh chắn trục toạ độ thành tam A(–2;1) phương trình đường thẳng giác vng có diện tích đơn vị CD 3x - 4y + = Viết phương Kết quả: x+2y2=0 V x+8y+4=0 trình tổng quát đường thẳng AB �x 4t 8) Cho đường thẳng d:3x+4y–2=0 Lập 14 Cho đường thẳng (d): � y 3t phương trình vng góc với d tạo � với hai trục tọa độ tam giác có diện a Viết PT đường thẳng (d’) qua tích Kết quả: 4x3y12=0 M(2;1) song song với (d) 9) Cho ABC Biết cạnh BC, b Viết PT () song song với (d) cách CA, AB theo thứ tự có trung điểm N(1;1) khồng M(1;2); N(3;4); P(5;1) c Tìm (d) điểm P cách điểm Q(-3;0) a) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam khoảng giác ABC 15) Cho (d): 2x – y + 10 = b) Lập phương trình cạnh AB tính a Viết PT tổng quát đường thẳng (d’) vuông góc với (d) qua P(2;4) diện tích ABC c) Lập phương trình đường trung trực d b Viết phương trình () (d) cách O cạnh AC khoảng Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng 16) Cho điểm M(-2;1) đường thẳng �x t (d1): � , (d2): y = 3x – 10 y 2t � a.Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng trục tọa độ b.Tính góc đường thẳng c.Tính góc d2 với trục tọađộ x 16 4t � 17) Cho d : � y 6 3t � a Tìm tọa độ điểm M ; N giao điểm (d) với Ox; Oy b Chứng minh đường thẳng (d) song song với ():– 6x + 8y + = Tính khoảng cách (d) () ĐƯỜNG TRỊN Đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 x2 + y2 2ax 2by + c = � he� so� x a � � 2 � có he� so� y �b � 2 tâm I(a,b), R= a2 b2 c Hệ số đứng trước x2, y2 , z2 phải ĐK: a2 + b2 – c ≥ PTTT M(xo;yo) �(C) (xo – a) (x – a) + (yo – b) (y – b) = R2 xo.x + yo.y a(xo+x) b(yo+y) + c = PTTT qua A(xo;yo) (C) PT đthẳng : A(xx0) + B(yy0) =0 ĐKTX: d(I, ) = R , tìm A,B 1) Lập phương trình đường tròn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm I(1;2) tiếp xúc với ():x2y+7=0 Kết quả:(x+1)2+(y2)2= b)(C) có đường kính AB với A(1;1), B(7;5) Kết quả:(x4)2+(y3)2=13 c) (C) qua A(1;2) B(3;0) có tâm I ():x+y+7=0 Kết quả:(x+3)2+(y+4)2=52 d) (C) có tâm I nằm ():x2y3=0, bán kính R=5 qua điểm A(4;3) Kết quả:(x1)2+(y+1)2=25 (x9)2+ (y3)2=25 e) (C) qua A(2;4) ; B(5;5) ; C(6;2) Kết quả:(x2)2+(y1)2=25 f) (C) tiếp xúc với ():2x+y3=0 A(1;1) có tâm I nằm d:x+y+7=0 Kết quả:(x+5)2+(y+2)2=45 Tìm toạ độ tiếp điểm: giải hệ () & (C) PT đường tròn (C) qua A,B,C: Gọi PT đtròn: x2 + y2 2ax 2by + c = A �(C), B �(C), C �(C) tìm a,b,c Cm: đường thẳng cắt đường tròn (C): Tính d(I, ) , d < R cắt (C) g) (C) tiếp xúc với (): 3x4y9=0 có tâm I d:x+y2=0 có bán kính R=2 Kết quả:(x1)2+(y1)2=4 (x 27 13 ) +(y+ ) =4 7 h) (C) tiếp xúc Ox, Oy qua M(4;2) Kết quả:(x10)2+(y10)2=100 (x2)2+(y2)2=4 i) (C) tiếp xúc với Ox, Oy có tâm I nằm ():2xy4=0 Kết quả:(x4)2+(y4)2=16 (x )2+ 16 (y+ ) = j) (C) có tâm I nằm ():4x+3y2=0 tiếp xúc với hai đường thẳng Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng d1:x+y+4=0, d2:7xy+4=0 Kết quả: (x2)2+(y+2)2=8; (x+4)2+(y6)2=18 k) (C) qua gốc tọa độ tiếp xúc với d1:2x+y1=0, d2:2xy+2=0 Kết quả: �2 10 y=0 x l) (C) qua A(2;0) tiếp xúc với hai d1:3x+4y8=0, d2:3x+4y+2=0 57 Kết quả:(x1)2+y2=1 (x ) +(y+ 25 24 ) =1 25 x2+y2+ CHƯƠNG I : PHÉP Tìm tâm I & bán kính R đường tròn : a/ x² + y² - 2x + 4y – 20 = b/ x² + y² - 6x - = c/ 3x² + 3y² - 6x + 9y – 12 = Cho (C):x²+y²+4x+4y–17 = a/ Tìm tâm I & bán kính R b/ Viết pt tiếp tuyến với (C) A(2; 1) c/ Viết pt tiếp tuyến với (C) qua B(2; 6) d/ Viết pt tiếp tuyến với (C) & đường thẳng (d): 4x + 3y + 2003 = e/ Tìm điều kiện để đường thẳng (D): x + (m+1)y – m = tiếp xúc (C) BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG I.Phép biến hình quy tắc đặt tương ứng điểm M mp với điểm xác định M’ mp F(M)=M ’ hay M’=F(M) M’ ảnh điểm M qua phép biến hình F F(H ) = H / Hình H/ ảnh hình H qua phép biến hình F II.Phép tịnh tiến Tv M M ' MM ' v r PTT theo vectơ phép đồng r Biểu thức tọa độ: Trong mp Oxy cho M(x;y), v = (a; b) r Gọi M’(x’; y’) =T v (M) Khi đó: x' x a y' y b Tính chất Phép tịnh tiến : Bảo tồn khoảng cách hai điểm Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho Biến đường thẳng thành đt song song trùng với Biến tam giác thành tam giác Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Ví dụ : r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v (2; 1) , điểm M = (3 ; 2) Tìm tọa độ r r điểm A cho: a) A = T v (M) b) M = T v (A) Giả sử A(x;y) Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng 3 x2 �x �x � �x �� � A(5 ; 1); b) � �� � A(1 ; 3) a) Khi � �y �y �2 y �y r 2.Cho v (2;3) đường thẳng d : x y Viết phương trình đường r thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép tịnh tiến T v r * Lấy M( 1 ; 0) thuộc d Khi T v (M) = M’ = ( 1 ;0 + 3) = ( 3 ; 3) d’ * Phương trình đường thẳng d’ có dạng : x y C ( d // d’) * M’ �d’ nên 3( 3 ) – 5.3 + C = � C = 24 Vậy d’ : x y 24 Cách 2: M(x;y)d 2x y + = (1) r �x x' Gọi M’(x’; y’) = T v (M) ta có biểu thức: �y y' � Thay x y vào (1) ta có: 2(x’3) (y’+4) + = 2x’ y’ = Vậy ảnh đường thẳng d đường thẳng d’: 2x y = Tìm ảnh đường tròn (C): (x1)2 + (y+2)2 = phép tịnh tiến T� u � với u =(2;3) * Từ phương trình (C) suy I(1 ; 2 ), bán kính r = * Tu (I) = I’ = (1 2 ; 2 + 3) = ( 1 ; 1) Theo tính chất phép tịnh tiến (C) (C’) có bán kính r = Do (C’) : (x + 1)2 + (y – 1)2 = Cách 2: M(x; y)(C) (x1)2 + (y+2)2 = (1) �x x' Gọi M’(x’;y’) = Tu [M(x;y)] Ta có biểu thức: � �y y' � � Thay x y vào (1) ta có: (x’ + 1)2+(y’ + 2)2 = (x’ + 1)2 + (y’ 1)2 = Vậy ảnh (C) đường tròn (C’):(x+1)2 + (y1)2 = có tâm I’(1;1), bán kính R = Cho đường thẳng d: x y Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ qua gốc tọa độ viết phương trình d’ uuur * Cho y = � x = suy A(3 ; 0) AO = ( – ; 0) Vậy: d’ : 3x – y = Bài tập sách giáo khoa 1/ CMR A’= Tvr (A) A = Tuuvur (A’) Dựa vào định nghĩa ,tính chất biểu thức toạ độ uuu r Tìm D = Tuuuu r 2/ Cho ABC có trọng tâm G Tìm ảnh tam giác qua TuAG AG (A) D Dùng định nghĩa , tính chất 1, tính chất A uuur uuur uuuu r r uuur uuur uuur G G BB ' CC '; v AG; DA AG B B’ C C’ Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hồng r 3/Trong mp Oxy cho v = (1; 2), A(3; 5), B(1; 1); d: x 2y + = a./ Tìm toạ độ A’ = Tvr (A), B’ = Tvr (B) b/ Tìm toạ độ C cho A = Tvr (C) c/ Tìm phương trình đường thẳng d’= Tvr (d) uuuu r r �x ' x a �x ' a x �� a./ AA ' v � � suy A’(2,7),B’(-2,3) y ' y b � �y ' b y uuu r r �x ' x a �x ' a x �x x ' a �x �� �� �� � C (4,3) b./ CA v � � �y ' y b �y ' b y �y y ' b �y uuuuur r �x ' x a �x x ' a �� c./ M ' �d ' , MM ' v � � Ta có M �d � x ' y ' �y ' y b �y y ' b r pt d’: x 2y + = Câu hỏi tương tự cho v = (1; 2) 4/Cho hai đường thẳng song a // b Chỉ rõ phép tịnh tiến biến a thành b Có phép tịnh tiến ? uur Lấy A a; B b Khi TuAB (a) = b Có vơ số THAM KHẢO r T� m a� nh cu� a M� cu� a� ie� m M(3;-2) qua phe� p t� nh tie� n theo vect�u =(2;1) uuuuur r Theo � � nh ngh� a ta co� : M� =Tur (M ) � MM � u � (x� 3; y� 2) (2;1) �x� �x� 5 �� �� � M� (5; 1) �y� 1 �y� r T� m a� nh ca� c� ie� m ch�ra qua phe� p t� nh tie� n theo vect�u : r r r a) A( 1;1) , u =(3;1) b) B(2;1) , u =( 3;2) c) C(3; 2) , u =( 1;3) KQ: A � (2;3); B� ( 1;3); C� (2;1) T� m a� nh A �� ,B la� n l� � � t cu� a� ie� m A(2;3), B(1;1) qua phe� p t� nh tie� n theo uuur uuuur r vect�u =(3;1) T� nh � o� da� i AB , A �� B uuur uuuur Ta co� : A� =Tur (A) (5;4) , B� =Tur (B) (4;2) , AB =|AB | , A � B� =|A �� B | r r r Cho vect�u1; u2 G� a s� � M1 Tur (M ),M Tur (M1) T� mv � e� M Tvr (M ) uuuuur r uuuuuur r Gia� i Theo � e� : M1 Tur (M ) � MM1 u1 , M Tur (M1) � M1M2 u2 uuuuur r r uuuuur uuuuur uuuuuur r r r r r M Tvr (M ) � MM2 v � v MM2 MM1 M1M2 u1+u2 Va� y : v u1+u2 �� � � ng tha� ng ca� t Ox ta� i A( 1;0) , ca� t Oy ta� i B(0;2) Ha� y vie� t ph� � ng tr� nh r � � � � � ng tha� ng la� a� nh cu� a qua phe� p t� nh tie� n theo vect�u =(2; 1) Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng Gia� i V�: A � Tur ( A) (1; 1) , B� Tur (B) (2;1) Ma� t kha� c : � Tur () � � � i qua A �� ,B � gqua A � (1; 1) �x 1 t � uuuuur Do � o� : � � ptts � :� � gVTCP : A �� B =(1;2) �y 1 2t � �� � � ng tha� ng ca� t Ox ta� i A(1;0) , ca� t Oy ta� i B(0;3) Ha� y vie� t ph� � ng tr� nh r � � � � ng tha� ng � la� a� nh cu� a qua phe� p t� nh tie� n theo vect�u =( 1; 2) Gia� i : V�A � Tur ( A) (0; 2) , B� Tur (B) (1;1) Ma� t kha� c : � Tur () � � � i qua A �� ,B � gqua A � (0; 2) �x t � uuuuur Do � o� : � � ptts � :� � gVTCP : A �� B =( 1;3) �y 2 3t � r T� � ng t� � : a) : x 2y =0 , u =(0 ; 3) � � : x 2y r b) : 3x y =0 , u =( ; 2) � � : 3x y T� m a� nh cu� a� � � � ng tro� n (C) : (x +1)2 (y 2)2 qua Tur =(1; 3) � x� =x +1 � x =x� 1 Gia� i: Bie� u th� � c toa� � o� cu� a phe� p t� nh tie� n Tur la� :� �� y� =y y =y� +3 � � V�: M(x;y) �(C) : (x +1)2 (y 2)2 � x� (y� 1)2 � M ��� (x ;y ) �(C� ) : x2 (y 1)2 Va� y : A� nh cu� a (C) la� (C� ) : x2 (y 1)2 T� m a� nh cu� a� � � � ng tro� n (C) : (x 3)2 (y 2)2 qua phe� p Tur =(2;4) � x� =x � x =x� +2 Gia� i : Bie� u th� � c toa� � o� cu� a phe� p t� nh tie� n Tur la� :� �� y� =y � y =y� 4 � 2 2 V�: M(x;y) �(C) : (x 3) (y 2) � (x� 1) (y� 2) � M ��� (x ;y ) �(C� ) : (x� 1)2 (y� 2)2 Va� y : A� nh la� (C� ) : (x 1)2 (y 2)2 r BT T� � ng t� � : a) (C) : (x 2)2 (y 3)2 1, u =(3;1) � (C� ) : (x 1)2 (y 2)2 r 2 b) (C) : x y 2x 4y 0, u =( 2;3) � (C� ) : x y2 2x 2y 10 Xa� c� � nh toa� � o� ca� c� � nh C va� D cu� a h� nh b� nh ha� nh ABCD bie� t� � nh A( 2;0), � � nh B( 1;0) va� giao � ie� m ca� c� � � � ng che� o la� I(1;2) uur uur uur gGo� i C(x;y) Ta co� : IC (x 1; y 2), AI (3;2), BI (2; 1) gV�I la� trung � ie� m cu� a AC ne� n: uur uur �x �x uur (I ) � IC AI � C =TAI �� � C(4;4) � y � �y gV�I la� trung � ie� m cu� a AC ne� n: Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng uur uur � � �xD �x uur (I ) � ID BI � D =TBI � �D � D(3;4) � �yD �yD Ba� i ta� p t� � ng t� � : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) � C(3;2),D(2; 2) 11 Cho � � � � ng tha� ng song song d va� d� Ha� y ch�ra mo� t phe� p t� nh tie� n bie� n d tha� nh d� Ho� i co� bao nhie� u phe� p t� nh tie� n nh�the� ? Gia� i : Cho� n2� ie� m co� � � nh A �d , A � �d� uuuuur uuu r uuur (M ) � MM � La� y� ie� m tuy� y� M �d G� a s� � : M� =TAB AB uuur uuuur uuur (d) � MA M � B � M� B / / MA � M � �d� � d� =TAB Nha� n xe� t : Co� vo� so� phe� p t� nh tie� n bie� n d tha� nh d� 12 Cho � � � � ng tro� n (I,R) va� (I � ,R� ) Ha� y ch�ra mo� t phe� p t� nh tie� n bie� n (I,R) tha� nh (I � ,R� ) uuuuur uur u u r Gia� i : La� y� ie� m M tuy� y� tre� n (I,R) G� a s� � : M� =TII �(M ) � MM � II � uuu r uuuur � IM I �� M � I �� M IM R � M � �(I � ,R� ) � (I � ,R� ) =TIIuur�[(I,R)] r r 13 Cho � t : 6x +2y 1=0 T� m vect�u �0 � e� =Tur () r r r Gia� i : VTCP cu� a la� a =(2; 6) �e� : =Tur () � u cu� ng ph� � ng a r r Khi � o� : a =(2; 6) 2(1; 3) � cho� n u =(1; 3) 14 Trong he� tru� c toa� � o� Oxy , cho � ie� m A( 5;2) , C( 1;0) r r Bie� t : B =Tur (A) , C =Tvr (B) T� m u va� v� e� co� the� th� � c hie� n phe� p bie� n� o� i A tha� nh C ? uuur r uuur r uuur uuur uuuu r r r Tur Tvr A(-5;2) I��� B I��� C(1;0) AB =u, BC =v � AC = AB+BC =u+v =(4;-2) 15 Trong he� tru� c toa� � o� Oxy , cho � ie� m K(1;2) , M(3; 1), N(2; 3) va� vect� r r u =(2;3) ,v =( 1;2) T� m a� nh cu� a K,M,N qua phe� p t� nh tie� n Tur ro� i Tvr 10 r r Tu+v Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hồng � x y (a1) �� x y (a2 ) 1 25 25 +1 � Va� y co� phe� p� o� i x� � ng qua ca� c tru� c (1) : x y , ( ) : x y T� � � o� suy (a) : | x 5y 7| |5x y 13| Tự luyện Cho I(1;-1) : 3x + 4y +1 =0 Tìm tọa độ I’ = Đ (I) Cho I(3;-2) : 3x - 2y +1 =0 Tìm tọa độ I’ = Đ (I) Cho C):x2 + y2 – 4x + 6y – = 0, : 3x - 2y +1 = Viết ph trình (C’) = Đ ((C)) Cho A(2; 0) : x - y +2 =0 a Tìm điểm đối xứng O qua ; b.Tìm M để đường gấp khúc OMA có độ dài ngắn Hãy tìm đường thẳng d’1 đối xứng với d1 : 2x - y + = 0, d’2 đối xứng với d2: 3x + 4y - = qua đường thẳng có phương trình : : 2x - y + = 6.Viết phương trình đường thẳng d1 qua A(0; 4) d2 qua B(5; 0) cho d1 d2 tạo với góc nhận : 2x -2y + = làm đường phân giác IV PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM uuuu r uuur Định nghĩa : ĐI(M)=M’ � IM ' IM ; I gọi tâm đối xứng Biểu thức toạ độ phép đối xứng trục : Trong mặt phẳng Oxy cho M(x;y), ' � �x x ’ ’ ’ M = ĐO(M)=(x ;y ) : � ' �y y B *O’ A C I C’ ' � �x 2a x *O I(a;b), M’= ĐI(M)=(x’;y’) : � ' �y 2b y B’ Tính chất : u u u u u u r uuuu r ĐI(M)=M’ , ĐI(N)=N’ � M ' N ' MN � M’N’=MN Tương tự tính chất phép tịnh tiến Tâm đối xứng hình : ĐI(H)= H I tâm đối xứng hình H Hình H hình có tâm đối xứng Ví dụ : Trong hệ tọa độ vng góc Oxy Tìm tọa độ M’ ảnh M(2;1) qua phép đối xứng tâm I(3; 1) �x ' 2.3 Gọi M’(x’;y’) = ĐI (M) Ta có: � Vậy M’(4;3) �y ' 2.1 Tìm ảnh đường thẳng d: x + y 1=0 qua phép đối xứng tâm I(3; 1) Cách 1: M(x;y) d x + y 1 = (1) 17 A’ Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng �x 2.3 x ' x ' Gọi M’(x’;y’) = ĐI [M(x;y)] Ta có: � Thay (x;y) vào (1) có �y 2.1 y ' y ' 6x’+2y’1=0x’+y’7=0.M(x’;y’)d’ x + y = Vậy d’: x + y = Cách 2: ĐI (d) = d’//d Vậy d’: x + y + C = với C≠1 Vì I cách d d’ nên: � C 7 | C | | 1| |C+4|=3 � Vậy d’: x + y = C 1 (loai ) 10 10 � Tìm ảnh đường tròn (C): (x 1)2 + (y 1)2 = qua phép đối xứng tâm I(3; 1) Cách 1: M(x;y)(C) (x 1)2 + (y 1)2 = (1).Gọi M’(x’;y’) ảnh M(x;y) qua �x 2.3 x ' x ' phép đối xứng tâm I(3;1) Ta có: � Thay (x;y) vào (1): �y 2.1 y ' y ' (6x’1)2+(2y’1)2=4 (x’5)2+(y’1)2=4 Vậy M(x’;y’) (C’):(x5)2+(y1)2=4 Vậy (C’):(x5)2 + (y1)2 = ảnh (C) qua phép đx tâm I(3;1) Cách 2: Đường tròn (C):(x1)2+(y1)2=4 có tâm I0(1; 1) bán kính R = Qua phép đối xứng tâm I(3;1) đường tròn (C) có ảnh đường tròn (C’) có tâm I0’(5;1) bán kính R’=R=2 Vậy (C’):(x5)2 + (y 1)2 = Bài tập sách giáo khoa 1/ Cho A(-1;3) d:x 2y + = Tìm ảnh A’ & d’ A d qua ĐO Vẽ hình Dùng biểu thức tọa độ có A’(1; 3) Chọn B(0;3/2) C(-3;0) suy B’(0;-3/2) C’(3;0) có d’ B’C’: x – 2y3 =0 tìm điểm B,C thuộc d vẽ d Tìm hai điểm B’ C’ đối xứng B, C qua O Nối B’C’ ta có d’ Tương tự cho A(1; 3) & d: x + 2y = 2/ Tìm hình có tâm đối xứng hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều? (KQ: Hình bình hành lục giác đều) 3/ Tìm hình có vơ số tâm đối xứng? (Đường thẳng & hình gồm đường thẳng song song) THAM KHẢO T� m a� nh cu� a ca� c� ie� m sau qua phe� p� o� i x� � ng ta� mI : 1) A( 2;3) , I(1;2) 2) B(3;1) , I( 1;2) 3) C(2;4) , I(3;1) uur uur Gia� i : a) G� a s� � : A� �I (A) � IA IA � (x� 1; y� 2) (3;1) �x� 1 �� � � y � 1 �x� 4 � A� (4;1) � � y � Kq : 2) B� (5;3); 3)C � (4; 2) T� m a� nh cu� a ca� c� � � � ng tha� ng sau qua phe� p� o� i x� � ng ta� mI : 1) () : x 2y 0, I (2; 1) � ( � ): x 2y 2) () : x 2y 0, I (1;0) � ( � ) : x 2y 1 � 3) () : 3x 2y 0, I (2; 3) � ( ) : 3x 2y 18 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng Gia� i : Co� ca� ch Ca� ch 1: Du� ng bie� u th� � c toa� � o� Ca� ch 2: Xa� c� � nh da� ng � // , ro� i du� ng co� ng th� � c t� nh khoa� ng ca� ch d(; � ) � � Ca� ch 3: La� y ba� t ky� A,B � , ro� i t� m a� nh A �� ,B �� � � �A �� B �x� �x x� 4 x �I 1) Ca� ch 1: Ta co� : M(x;y) I�� � M� �� � � �y 2 y �y 2 y� V�M(x;y) � � x 2y � (4 x� ) 2(2 y� ) � x� 2y� 5 � � M ��� (x ;y ) �� : x 2y I Va� y : () I�� � (� ) : x 2y Ca� ch Go� i � =�( ) � � song song � � : x +2y +m =0 (m �5) I Theo � e� : d(I;) =d(I;� )� |5| � m (loa� i) � | m|� � m � 2 | m| 2 (� ) : x 2y Ca� ch La� yA(-5;0),B( 1; 2) � � A� (9; 2), B� (5;0).KQ : � �A�� B : x 2y 2 2 T� m a� nh cu� a ca� c� � � � ng tro� n sau qua phe� p� o� i x� � ng ta� mI : 1) (C ) : x2 (y 2)2 1, E(2;1) � (C � ): (x 4)2 y2 2) (C) : x2 y2 4x 2y 0, F (1;0) � (C � ) : x2 y2 8x 2y 12 �/ nghia� hay bie� u th� � c toa� � o� 3) (P) : y =2x2 x , ta� m O(0;0) ��������� (P � ) : y = 2x2 x HD :1) Co� ca� ch gia� i: Ca� ch 1: Du� ng bie� u th� � c toa� � o� � E Ca� ch 2: T� m ta� m I I�� �I � , R� R (� a� cho) Cho hai � ie� m A va� B Cho bie� t phe� p bie� n� o� i M tha� nh M � cho AMBM � la� mo� t h� nh b� nh ha� nh uuuu r uuuur � �MA BM � HD : Ne� u AMBM � la� h� nh b� nh ha� nh � �uuur uuuur �MB AM � uuuuur uuur uuuur uuuu r uuuu r � V�MM : MA AM � MA MB (1) uur uur Go� i I la� trung � ie� m cu� a AB Ta co� : IA IB uuuuur uuur uur uuur uur uuuuur uuur T� � (1) � MM � MI IA MI IB � MM � 2MI uuu r uuur � MI IM � � M� �I (M ) Bài tập tự luyện Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng tâm G, biết G trọng tâm ABC Trong hình tam giác đều, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng , hình thang cân hình có tâm đối xứng Trong chữ sau , chữ có tâm đối xứng ? NGUYENHUE Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) đường thẳng d : 2x + y – = 19 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hồng a Tìm ảnh A d qua phép đối xứng tâm O b Tìm ảnh d qua phép đối xứng tâm A Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 1, ; B 3, ; C 3, 2 a Tìm ảnh A, B, C qua phép đối xứng tâm O b Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c Viết phương trình đường tròn ảnh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng tâm A Cho đường tròn O, R , đường thẳng d điểm I Tìm điểm A O, R điểm B d cho I trung điểm đoạn thẳng AB V PHÉP QUAY Định nghĩa: Phép quay tâm I góc quay ( với góc lượng giác khơng đổi ) phép biến hình biến điểm I thành điểm I biến điểm M thành điểm M’ cho IM = IM’ (IM , IM’) = Ký hiệu : Q( I , ) hay Q( I , ) (M ) M’ Lưu ý : - Phép quay tâm I, góc quay 180o phép đối xứng tâm I Chiều dương phép quay chiều dương đường tròn lượng giác Biểu thức tọa độ phép quay Trong hệ tọa độ vng góc Oxy, phép quay tâm O(0;0) góc quay , biến điểm x cos y sin �x� ( x ; y� ) Khi : � M(x;y) thành điểm M �� x sin y cos �y � Đặc biệt: Trong hệ tọa độ vng góc Oxy, phép quay tâm O(0;0) , góc quay 90o biến điểm y �x� ( x ; y� ) Khi : � M(x;y) thành điểm M �� � y � x Trong hệ tọa độ vng góc Oxy, phép quay tâm O(0;0) , góc quay 90o biến điểm y �x� ( x ; y� ) Khi : � M(x;y) thành điểm M �� x �y � Tính chất: Q( I , ) (M)=M’, Q( I , ) (N)=N’ � M’N’=MN Tương tự tính chất phép tịnh tiến Ví dụ : Trong hệ tọa độ vng góc Oxy 1) Cho A(3; 3), B(0; 5), C(1; 1) d: 5x – 3y + 15 = Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác A’B’C’ phương trình đường thẳng d’ theo thứ tự ảnh tam giác ABC đường thẳng d qua Q(O ,90o ) Gọi Q(O ,90o ) phép quay tâm O góc quay 90o B A' d A C' C B' -5 O M d' A’(–3; 3), B’(–5; 0), C’(–1; 1) -2 M' 20 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng d qua B M(–3; 0), Q(O ,90o ) (M) = M’(0; –3) nên d’ B’M’ có phương trình: 3x+5y+15 = �x ' y �x y ' �� Cách : Gọi M(x;y) d Q(O ,90o ) (M) = M’(x’;y’) có tọa độ: � y ' x � �y x ' Thay cặp (x;y) vào (1): 5y’3(x’)+15=0 3x’+5y’+15=0 Vậy M’(x’;y’) d’: 3x + 5y + 15 = hay ảnh d d’: 3x+5y+15=0 2) Tìm ảnh (C) : (x + 1)2 + (y 2)2 = phép quay tâm O góc quay 900 Giải: Đường tròn (C) có tâm I(1;2) bán kính R=3 Trong phép quay tâm O góc quay 900 đường tròn (C) có ảnh đường tròn (C’) có bán kính R’ = R = có tâm I’ ảnh I phép quay tâm O góc quay 900: �x ' yI Tọa độ I’: � I’(2;1) �y ' xI Vậy ảnh (C) phép quay tâm O góc quay 900 (C’): (x 2)2 + (y 1)2 = E A B 3) Cho hình vng ABCD có thứ tự đỉnh theo chiều quay ngược với chiều quay kim đồng hồ, cho biết A(4;5) C(3;4) Tìm tọa độ đỉnh B D O Ta có I ( ; ) 2 tâm hình vng ABCD C Đỉnh B ảnh A phép quay tâm I góc quay =900 nên tọa độ B : � x ( xA xI ) cos ( y A yI ) sin a (4 ) cos 90 (5 ) sin 90 � �B 2 � �y ( x x )sin ( y y ) cos b (4 ) sin 90 (5 ) cos 90 A I A I �B 2 �xB 1 � B(1;1) �yB Đỉnh D ảnh C phép quay tâm I góc quay =900 nên tọa độ D là: � x ( xC xI ) cos ( yC yI ) sin xI (3 ) cos 90 (4 ) sin 90 � �xD �D 2 � � �y ( x x ) sin ( y y ) cos y (3 ) sin 90 (4 ) cos 90 �yD C I C I I �D 2 D Vậy D(1;1) (Có thể tìm D cách sử dụng công thức I trung điểm BD) Cho tam giác ABC có A(1;3) B(4;1) Tìm tọa độ đỉnh C Ta có A(1;3) đỉnh tam giác ABC Vì C ảnh B phép quay tâm A góc �xC ( xB xA ) cos ( yB yA )sin xA quay =±600 nên tọa độ C là: � �yC ( xB xA )sin ( yB yA ) cos y A 21 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hồng � 54 1 0 �xC � x (4 1) cos 60 ( 3)sin 60 �C � 2 Khi =600: � � 0 y (4 1) sin 60 ( 3) cos 60 �C �y 3 C � � 54 23 ) ; 2 0 � �xC (4 1) cos(60 ) ( 1 3) sin(60 ) Khi = 600 : � 0 �yC (4 1) sin(60 ) ( 1 3) cos(60 ) � 54 1 �xC � 2 54 23 � Trong trường hợp ta có C2( ) ; 3 2 �y C � � Bài tập sách giáo khoa Cho hình vng ABCD tâm O a/ Tìm ảnh B qua Q(D, 90o) Gọi E đối xứng B qua A Q(D, 90o) (B) = E b/ Tìm ảnh BC qua Q(O, 90o) Q(O, 90o) (B) = A; Q(O, 90o) (C) = B Q(O, 90o) (BC) = AB Tìm ảnh A(2; 0) & d: x + y = qua Q(O, 90o) Gọi B = Q(O, 90o) (A) B(0; 2) Do A, B d; Q(O, 90o) (A) = B & Q(O, 90o) (B) = B’(2; 0) d’ BB’: x y + = (Câu hỏi tương tự cho A(1;0) d: x + y = THAM KHẢO Trong trường hợp ta có C1( Trong mpOxy cho � � � � ng tha� ng () : 2x y+1=0 T� m a� nh cu� a� � � � ng tha� ng qua : a) Phe� p� o� i x� � ng ta� m I(1; 2) b) Phe� p quay Q(O;90o) �x� �x x� 2 x Gia� i a) Ta co� : M ��� (x ;y ) =�I (M ) th�bie� u th� � c to� a� o� M� �� � 4 y �y 4 y� �y� V�M(x;y) �() : 2x y+1=0 � 2(2 x� ) (4 y� ) � 2x� y� 9 � M ��� (x ;y ) �( � ) : 2x y Q � I Va� y : () I�� � (� ) : 2x y (O;90 ) b) Ca� ch : Go� i M(x;y) I���� M ��� (x ;y ) �a� t (Ox ; OM) = , OM =r , o Ta co� (Ox ; OM � ) = + 90o,OM � r Khi � o� : Q �� � x =rcos x r cos( 90o) r sin y �x y� � ( O;90o) M� I���� M� �� � y =rsin r sin( 90o) rcos x � �y x� �y� 22 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hồng V�M(x;y) �() : 2(y� ) ( x� ) +1 =0 � x� 2y� +1 =0 � M ��� (x ;y ) �( � ) : x 2y Q (O;90 ) Va� y : () I���� (� ) : x 2y o Q ( O;90 ) Ca� ch : La� y : �M(0;1) �( ) I��� � M� (1;0) �(� ) �N( Q (O;90 ) ;0) �() I���� N� (0; o o 1 Q (O;90 ) ) �(� ) �() I���� ( � ) �M �� N : x 2y o Q Ca� ch : �V�( ) I����( � ) � () ( � ) ma� he� so� go� c : k � k� ( O;90o) � gQua M � (1;0) Q � (O;90o) �M(0;1) �() I���� M� (1;0) �(� ) �( � ): � ) : x 2y � ( � ghsg ; k = � � cho A(3;4) Ha� y t� m toa� � o� � ie� mA� la� a� nh cu� a A qua phe� p quay ta� m O go� c 90o HD Go� i B(3;0),C(0;4) la� n l� � � t la� h� nh chie� u cu� a A le� n ca� c tru� c Ox,Oy Phe� p quay ta� m O go� c 90o bie� n h� nh ch� � nha� t OABC tha� nh h� nh ch� � nha� t OC��� AB Khi C’(0; 3), B’(–4; 0) Suy A’(–4; 3) T� m phe� p quay Q bie� n� ie� m A( 1;5) tha� nh � ie� m B(5;1) uuur uuur HD : Ta co� : OA (1;5) va� OB (5;1) � OA OB 26 � � �uuu � B =Q(O ; 90o) (A) r uuu r OAOB � OA OB � Trong ma� t pha� ng toa� � o� Oxy , cho � ie� m M(4;1) T� m N =Q(O ; 90o) (M ) uuuu r uuur HD V�N =Q(O ; 90o) (M ) � (OM;ON ) 90o � OM.ON =0 � 4x+y =0 � y= 4x (1) Do : OM ON � x2 y2 16 17 (2) Gia� i (1); (2) ta co� : N(1; 4) hay N( 1;4) wTh� � la� i : �ie� u kie� n (OM;ON ) 90o ta tha� y N( 1;4) thoa� ma� n a) Cho � ie� m A(0;3) T� m B =Q(O ; 45o) ( A) HD : Phe� p quay Q(O ; 45o) bie� n� ie� m A �Oy tha� nh � ie� m B �� t : y x,ta co� : �xB yB 3 Ma� OB = x2B yB2 � xB � B( ; ) � OA OB � 2 23 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng b) Cho A(4;3) T� m B =Q(O;60o ) ( A) �� �B ( 3 3 ; ) 2 Cho � � � � ng tro� n (C) : (x 3)2 (y 2)2 T� m (C� ) =Q(O ; 90o) (C) HD : T� m a� nh cu� a ta� m I : Q(O ; 90o) (I ) I � (2;3) � (C � ) : (x 2)2 (y 3)2 10 Cho � � � � ng tro� n (C) : (x 2)2 (y 2)2 T� m (C� ) =Q(O ; 45o) (C ) HD: T� m a� nh cu� a ta� m I : Q(O ; 45o) (I ) I � (1 2;1 2) � (C � ) : (x 1 2)2 (y 1 2)2 11 Cho � ie� m A(2;0) va� � � � � ng tha� ng (d) : x +y =0 T� m a� nh cu� a A va� (d) qua phe� p quay Q(O ; 90o) HD : wTa co� : A(2;0) �Ox Go� i B =Q(O ; 90o) ( A) th�B �Oy va� OA =OB wV�toa� � o� A,B thoa� ma� n pt (d) : x +y =0 ne� n A,B �(d) Do B =Q(O ; 90o) ( A) va� t� � ng t� � Q(O ; 90o) ( A) =C( 2;0) ne� n Q(O ; 90o) (d) =BC � (BC) : x y x y 1� 1� x y xC yC 2 12 Cho (d) : x 3y =0 T� m =Q(O ; 90o) (d) Kq ( ) : 3x y 1 13 Cho (d) : 2x y =0 T� m =Q(O ; 60o) (d) HD : d �Ǿ�� Ox =A(1;0) , d Oy =B(0;2) a� nh A� ( ; ), B� ( 3;1) 2 � () : ( 2)x (2 1)y 14 Cho tam gia� c� e� u ABC co� ta� m O va� phe� p quay Q(O;120o) a) Xa� c� � nh a� nh cu� a ca� c� � nh A,B,C b) T� m a� nh cu� a ABC qua phe� p quay Q(O;120o) � BOC � COA � 120o Gia� i a) V�OA =OB =OC va� AOC ne� n Q(O;120o) : AI�� � B, B I�� � C,C I�� �A b) Q(O;120o) : ABC �� � ABC 24 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng 15 [CB-P19] Cho h� nh vuo� ng ABCD ta� mO a) T� m a� nh cu� a� ie� m C qua phe� p quay Q(A ; 90o) b) T� m a� nh cu� a� � � � ng tha� ng BC qua phe� p quay Q(O ; 90o) � 90o ne� HD : a) Go� i E =Q(A ; 90o) (C ) th�AE=AC va� CAE n AEC vuo� ng ca� n� � nh A , co� � � � � ng cao AD Do � o� : D la� trung � ie� m cu� a EC b) Ta co� : Q(O ; 90o) (B) C va� Q(O ; 90o) (C ) D � Q(A ; 90o) (BC) CD 17 Cho h� nh vuo� ng ABCD ta� m O M la� trung � ie� m cu� a AB , N la� trung � ie� m cu� a OA T� m a� nh cu� a AMN qua phe� p quay Q(O;90o) HD : w Q(O;90o) (A) D , Q(O;90o) (M ) M � la� trung � ie� m cu� a AD Q(O;90o) (N ) N� la� trung � ie� m cu� a OD Do � o� : Q(O;90o) (AMN) DM �� N Bài tập tự luyện Cho tam giác ABC Trọng tâm G a Tìm ảnh điểm B qua phép quay tâm A góc quay 900 b Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 900 c Tìm ảnh tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 900 Cho điểm A(2,-2) đường thẳng d có phương trình : 2x + y – = a Tìm ảnh A d qua phép quay tâm O góc quay 900 b Tìm ảnh d qua phép quay tâm A góc quay 900 2 Cho đường tròn (C): x y x y Viết phương trình đường tròn ảnh đường tròn cho qua phép quay tâm O góc quay 900 Cho đường thẳng d điểm A cố định không d, M điểm di động d Vẽ tam giác AMN vuông cân A Hãy tìm tập hợp điểm N Có phép quay biến lục giác ABCDEF thành Mỗi phép quay có phải phép đồng hay không ? VI KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HÌNH BẰNG NHAU Định nghĩa : F(M)=M’ , F(N)=N’ M’N’=MN Tính chất Phép dời hình : +Biến ba điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm +Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng +Biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc +Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình C D Cho hình vng ABCD tâm O Tìm ảnh điểm A, B, O qua phép dời hình có cách thực liên tiếp hai phép Q O,900 phép ĐBD O 25 A B Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng � Q O O � �BD O O � O,900 � � � Q O,900 A B � �BD B B Ta có: � � � �BD C A � � Q B C � O;90 Vậy ảnh O O, A B B A Quan sát hình vẽ cho biết ABC biến thành A '' B '' C '' qua phép dời hình nào? Ta có: Q C,900 ABC A ' B ' C ; Tuuuuur A ' B ' C A '' B '' C '' AA '' B A A’ C A’’ B’ Vậy phép dời hình cần tìm phép biến hình uuuu r thực liên tiếp hai phép Q C,900 TuAA '' C’’ B’’ Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy xác định ảnh OAB qua phép dời hình cách thực liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 60 phép tịnh tiến theo vectơ OE � Tuuur O E OE QO , 600 A B � � uuur B O QO ,600 OAB OBC � TOE B QO , 600 B C � uuur C D TOE � F A E O C D uuur OBC EOD Vậy ảnh OAB qua phép dời hình cho EOD � TOE Cho hình chữ nhật ABCD tâm O Gọi E, F trung điểm AD BC Chứng minh hình thang AEOB hình thang CFOD � �O O O;�O A C � Ta có: � � �O AEOB CFOD �O E F ;�O B D � Vậy có phép dời hình phép đối xứng tâm O biến hình thang AEOB thành hình thang CFOD Vậy hai hình thang VII PHÉP VỊ TỰ: Định nghĩa: Cho điểm I cố định số k không đổi, k uuur uuu r Phép biến hình biến điểm M thành M’ cho IM � kIM gọi phép vị tự tâm I, tỉ uuuu r uuur số k Ký hiệu: V(I ,k) V I ; k ( M ) M ' � IM ' k IM k �0 Phép vị tự biến tâm vị tự thành Khi k = phép vị tự đồng nhất; k = –1 phép vị tự phép đối xứng tâm M ' V I , k M � M V� � M ' �I , � � k� 26 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hồng Biểu thức tọa độ phép vị tự tâm I, tỉ số k Trong hệ tọa độ vng góc Oxy, phép vị tự tâm A I(xo; yo), tỉ số k (k 0), biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) ’ �x� �x ' kx (1 k ) x0 kx Khi : � Đặc biệt tâm O có: � ky �y ' ky (1 k ) y0 �y� A Tính chất: a) Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành M’, N’ uuuuuuu r uuuu r � �M " N ' k MN b) � �M ' N " k MN C ’ C B ’ B M I M ’ O O ’ c) Phép vị tự tỉ số k: Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng Biến đt thành đt // trùng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc Biến đường tròn bk R thành đường tròn có bán kính |k|.R Tâm vị tự hai đường tròn: Với hai đường tròn ln có phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn Tâm phép vị tự nói đgl tâm vị tự đường tròn Cách tìm tâm vị tự đường tròn:( I, R ) ( I’, R’) có trường hợp xảy ra: I trùng I’: Khi phép vị tự tâm I tỉ số R' R' phép vị tự tâm I tỉ số – R R biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I; R’) I khác I’ R �R’ : Lấy M (I; R), qua I’ kẻ đường thẳng // IM cắt (I’; R’) M’ M” Đường thẳng MM’ cắt I I’ O, MM” cắt I I’ O1 Khi phép vị tự tâm O tâm O1 biến (I; R) thành (I’; R’) I khác I’ R = R’: Gọi O1 trung điểm I I’ Khi phép vị tự tâm O1 tỉ số k = –1 biến (I; R) thành (I’; R’) Ví dụ 1) Phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 biến đường tròn (C): (x1)2 + (y+2)2 = thành đường tròn (C’) Tìm phương trình đường tròn (C’) M(x;y) (C) (x1)2 + (y+2)2 = (1) V(O; –2) [M(x;y)] = M’(x’;y’) với: � x' x � � � Thay �y y' � cặp (x; y) vào (1) có : ( x' y' 1)2 + ( +2)2 = 2 (x’+2)2 + (y’4)2 = 20 Vậy M’(x’;y’) (C’): (x+2)2 + (y4)2 = 20 2) Tìm ảnh M(1;2) phép vị tự tâm I(3;2) tỉ số k = 3 �x ' 3(1 3) V(I;–3) [M(1;2)] = M’(x’;y’) có tọa độ: � Vậy M’(9;14) �y ' 2 3(2 2) 14 3) Tìm ảnh d: 2x+4y1=0 phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = 27 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hồng M(x;y) d 2x + 4y 1= (1) Gọi M’(x’;y’) ảnh M(x;y) phép vị tự V(I,2) � x ' x � � ta có: � Thay cặp (x;y) vào (1) có y �y ' � x ' y ' 2( )+4( )1=0x’+2y’+4=0 2 Vậy M’(x’;y’)d’: x+2y+4=0 Kết luận: Trong phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k=2 đường thẳng d biến thành d’: x +2 y + = Bài tập SGK V 1� Ảnh A, B, C qua phép vị tự � �H , � lần luợt trung điểm cạnh HA, HB, HC � 2� R' R' R R Với điểm M, gọi M ' V O , k M , M '' V O , p M ' Khi uuuuu r uuuur uuuuur uuuuu r uuuur OM ' kOM , OM '' pOM ' pkOM � M '' V O , pk M Có tâm vị tự O O’ tương ứng với tỉ số vị tự Vậy thực liên tiếp phép vị tự V O , k V O , p phép vị tự V O , pk T� m a� nh cu� a ca� c� ie� m sau qua phe� p v�t� � ta� m I , t�so� k �0 : a) A(1;2) , I(3; 1) , k =2 b) B(2; 3), I (1; 2),k 3 Kq: B� ( 10;1); c) C(8;3), I(2;1) , k = Kq: C� (5;2) 1 d) P( 3;2),Q(1;1), R(2; 4) , I �O,k = 1/ 3.Kq : P� (1; ),Q� ( ; ),R� ( ; ) 3 3 uuu r uur V(I;2) HD : a) Go� i : A(1;2) I��� � A� (x�� ; y ) � IA� 2IA � (x� 3; y� 1) 2(2;3) � x� 4 �x� 1 �� �� � A� (1;5) 1 5 �y� �y� Cho ba � ie� m A(0;3),B(2; 1),C(1;5) To� n ta� i hay kho� ng to� n ta� i mo� t phe� p v�t� � ta� m A , t�so� k bie� n B tha� nh C ? HD : G� a s� � to� n ta� i mo� t phe� p v�t� � ta� m A , t�so� k uuur uuu r � 1 k(2) V(A;k) bie� n B tha� nh C Khi � o� : B I��� � C � AC kAB � � � k 2 k(4) � 28 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng Va� y : To� n ta� i phe� p v�t� � V (A; ) : B I�� �C Cho ba � ie� m A( 1;2),B(3;1),C(4;3) To� n ta� i hay kho� ng to� n ta� i mo� t phe� p v�t� � ta� m A , t�so� k bie� n B tha� nh C ? HD : G� a s� � to� n ta� i mo� t phe� p v�t� � ta� m A , t�so� k bie� n B tha� nh C uuur uuu r V(A;k) Khi � o� : B I��� � C � AC kAB (1) uuur uuu r uuur � 4k � k 5/ AC �(5;4), �AB ��� (4;1 ) (1) � he� vo� nghie� m AC � 1 k k 1 � � uuu r kAB, k � V (A;k) Va� y : Kho� ng to� n ta� i phe� p v�t� � B I��� �C Cho OMN D� � ng a� nh cu� a M,N qua phe� p v�t� � ta� m O , t�so� k mo� i tr� � � ng h� � p sau : a) k =3 b) k = c) k = uuuur uuuu r uuuur uuur � a) Phe� p v�t� � VO : M I�� � M , N I�� � N� th�ta co� OM � 3OM ,ON � 3ON b) Phe� p v�t� � VO1/2 : M I�� � H , N I�� � K th�HK la� � � � � ng trung b� nh cu� a OMN uuur u u u u r u u u r 3 uuur c) Phe� p v�t� � VO3/4 : M I�� � P , N I�� �Q th� ta co� OP OM ,OQ ON 4 T� m a� nh cu� a ca� c �� � � ng tha� ng d qua phe� p v�t� � ta� m I , t�so� k: a) d : 3x y =0 ,V(O; ) Kq d� : 9x 3y 10 b) d : 2x y =0 ,V(O;3) Kq d� : 2x y 12 c) d : 2x y =0 ,V(I; 2) v� � i I( 1;2) Kq d� : 2x y d) d : x 2y =0 ,V(I;2) v� � i I(2; 1) Kq d� : x 2y (C1) : (x 4)2 y2 ; (C2 ) : ( x 2)2 ( y 3)2 V(I ; 2), I (2;1) HD : w(C1) co� ta� m I1(4;0), R1 , (C2 ) co� ta� m I (2;3), R2 2 V (I ;k) wG� a s� � :(C1) I��� � (C2 ) th�: gR | k | R1 � | k | R2 R1 � k �2 uuur uuu r gI I kI I th� � k = Go� i I(xo; yo ) th�(2 xo;3 yo ) 2(4 xo; yo ) � I (2;1) � k =2 Go� i I(xo; yo ) th�(2 xo;3 yo ) 2(4 xo; yo ) � I (10; 3) Va� y co� phe� p v�t� � bie� n (C1) �� � (C2 ) la� V (I;-2) v� � i I(-2;1) hoa� c V(I;2) v� � i I(-10;-3) Cho � � � � ng tro� n (C1):(x 1)2 ( y 3)2 =1 va� (C2 ) : (x 4)2 (y 3)2 =4 Xa� c� � nh toa� � o� ta� m v�t� � ngoa� i cu� a hai � � � � ng tro� n� o� HD : (C1) co� ta� m I 1(1;3) , bk : R1 ; (C2 ) co� ta� m I (4;3) , bk : R 29 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hoàng uur uur R Go� i I la� ta� m v�t� � ngoa� i cu� a (C1) va� (C2 ) , ta co� : II kII v� � i k = � I (2;3) R1 VIII PHÉP ĐỒNG DẠNG: Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k>0) với điểm M, N ảnh M’, N’ tương ứng ln có M’N’= k.MN -Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số -Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số |k| -Nếu thực liên tiếp hai phép đồng dạng phép đồng dạng -Tính chất: phép đồng dạng tỉ số k: Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng Biến đt thành đt, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc Biến đường tròn bk R thành đường tròn có bán kính R -Hình đồng dạng : Hai hình gọi đồng dạng có phép đồng dạng biến hình thành hình Bài tập áp dụng: Cho ba điểm A(1;1), B(3;2) C(7;5) Thực liên tiếp phép biến hình: Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 phép đối xứng tâm I(1;3) biến A, B, C thành A’, B’, C’ a) Tìm tọa độ A’, B’ C’ b) Chứng minh hai tam giác ABC A’B’C’ đồng dạng �x ' kx a) Trong phép vị tự tâm O tỉ số k điểm M(x;y) có ảnh M’(x’;y’) thỏa hệ thức: � �y ' ky Với k=2 ta tìm ảnh A, B, C A1(2;2), B1(6;4); C1(14;10) �x '' 2a x ' Trong phép đối xứng tâm : ĐI(a;b)[M’(x’;y’)] = M’’(x’’;y’’) thỏa hệ thức: � �y '' 2b y ' nên ta tìm ảnh A1, B1, C1 A’(0;4), B’(4;10); C’(12;4) Vậy qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 phép đối xứng tâm I(1;3) ba điểm A(1;1), B(3;2) C(7;5) có ảnh ba điểm A’(0;4), B’(4;10); C’(12;4) � � � � � � b) Ta có: CA =(6;4), CB =(4;7), AB =(2;3), C ' A ' =(12;8), C ' B ' =(8;14), A ' B ' =(4;6) � � � � � � Vì C ' A ' =2 CA , C ' B ' =2 CB A ' B ' =2 AB nên A’B’C’ đồng dạng ABC theo tỉ số k’=2 Vậy qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2 phép đối xứng tâm I(1;3) ta có phép đồng dạng tỉ số k’=|k|=2 biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ đồng dạng với Bài tập sách giáo khoa 1/ Xác định ảnh ABC qua phép đồng dạng thực liên tiếp V(A,1/2) đối xứngHqua đường D A trung trực cạnh AB 2/ Cho hình chữ nhật I ABCD, AC BD cắt J I Gọi H, K, L J trung B C L K điểm AD, BC, KC IC Chứng minh hai hình thang JLKI IHDC đồng dạng với (Phép đối xứng tâm I biến hình thang IHDC thành hình thang IKBA Phép vị tự tâm C tỉ số ½ biến hình thang IKBA thành hình thangJLKI) (Tương tự gọi H, K, L J trung điểm AD, BC, BK AI Chứng minh hai hình thang JLKI IHAB đồng dạng với nhau) 30 Bài tập Hình học 11 Hồ Văn Hồng 3/ Viết phương trình đường tròn ảnh đường tròn tâm I(1; 1), R = qua phép đồng dạng có từ Q(O,45o) V(O , 2) ( tương tự I(1; 1)) 4/ Cho ABC vuông A, đường cao AH Tìm phép đồng dạng biến HBA thành ABC ( tương tự cho HCA thành ABC) (phép đối xứng qua đường phân giác góc ABC biến HBA thành EBF Phép vị tự tâm C tỉ số k=AC/AH biến EBF thành ABC 31