Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : KHỐI ĐA DIỆN Hồ Văn Hồng KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC PHẲNG Hệ thức lượng tam giác vuông : Cho ABC vng A ta có : a) Định lý Pitago : BC2 = AB2+ AC2 b) BA2 = BH.BC; CA2 = CH.CB; AH2 = BH.HC c) Diện tích S = ½ AB AC = ½ BC AH 1 BC BH BA2 d) = ; M AH AB AC AB 2.AC BC BC e) Trung tuyến AM = ½ BC b c b c b b f) sinB ; cosB ; tanB ; cot B ; a = a a c b sinB cosC Hệ thức lượng tam giác thường: Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA a b c 2R Định lý hàm số Sin: sin A sinB sinC Các cơng thức tính diện tích a/ Diện tích tam giác ABC: 1 AB.BC.CA = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c) ( S = BC.AH = AB.AC.sinA= 2 4R p a b c ) BC AB AC , ABC đều: S b/ Diện tích hình vng : cạnh a S = cạnh x cạnh = a2 ; đường chéo a c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S chéo dài x chéo ngắn d/ Diện tích hình thang : S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành ABCD : S = đáy x chiều cao = SABC f/ Diện tích hình tròn : S R Đặc biệt : ABC vuông A: S TAM GIÁC ĐỀU ABC tâm O có AB = AC = BC = a Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : KHỐI ĐA DIỆN Hồ Văn Hoàng Gọi H trung điểm BC , AH đường trung tuyến đường cao , trung trực , phân giác Ta có AH BC ; AH= a ; OA = 2 AH 3 , S= AH BC KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 Diện tích S= a ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Nếu đường thẳng d không nằm d �(P ) mp(P) song song với đường � � d / / a d // (P) thẳng a nằm mp(P) đường � � thẳng d song song với mp(P) a �(P ) � (P) Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song � a / /(P ) � a �(Q) d // a � � ( P ) � ( Q ) d � � (P ) �(Q) d � (P ) / / a d // a � � ( Q ) / / a � d a (Q) a d (P) d a Q P � a,b �(P ) � a �b I � � a / /(Q),b / /(Q) � a P b I (P) // (Q) Q a � (P ) / /(Q) a // (Q) � a �(P ) � P Q R � (P ) / /(Q) � (R) �(P ) a a // b � � (R) �(Q) b � P Q §3.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: a b Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : KHỐI ĐA DIỆN Hồ Văn Hồng Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a mp(P ) � a c,c �(P ) a c P II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) d a, d b với a, b (P), a b = d // (P) d b a P ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) a (P ),b �mp(P ) ta có b a � b a' a b a' P §2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90 II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với � a mp(P ) � mp(Q) mp(P ) � a �mp(Q) � ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) � (P ) (Q) � (P ) �(Q) d � a (Q) � � a �(P ),a d � ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) � (P ) (Q) � �A �(P ) � a �(P ) � �A �a � a (Q) � Q a P P a Q d P a A Q Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : KHỐI ĐA DIỆN Hồ Văn Hoàng ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba � (P ) �(Q) a � (P ) (R) � a (R) � � (Q) (R) � P Q a R §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a O ( mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH a O H H P Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = OH O a H P Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH O P H Q Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB A a b B §4.GĨC a Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm a' b' b a a' P a P b Q a P b Q Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : KHỐI ĐA DIỆN Hồ Văn Hồng Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) S' Scos góc hai mặt phẳng (P),(P’) S A C B ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h n t� ch � a� y �B : die� với � h : chie� u cao � h B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V= Bh �B : die� n t� ch � a� y với � h : chie� u cao � a c b a a a h B Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : KHỐI ĐA DIỆN Hồ Văn Hoàng TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: S C' A' VSABC SA SB SC VSA'B 'C ' SA' SB' SC ' A B' C B THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: h V B B' BB ' �B, B': die� n t� ch hai � a� y với � h : chie� u cao � A' B' C' A B C Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a2 b2 c , a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp theo a Bài 2: Tự chọn TỐN 12 − Chù đề : KHỐI ĐA DIỆN Hồ Văn Hồng Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AC a SB a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Bài 3: Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB a , AC a , mặt bên SBC tam giác cân S (SB SC 2a) vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SA SB 2avà hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) vng góc với Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với mặt (ABC) Đáy ABC tam giác cân đỉnh A, độ dài đường trung tuyến AM a Mặt bên (SBC) tạo với đáy góc 450 � 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC SBA Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA SB SC a Góc cạnh bên đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài 7: Đáy ABC hình chóp SABC tam giác vng cân (BA=BC) Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy có độ dài a Cạnh bên SB tạo với góc 600 Tính diện tích tồn phần hình chóp Bài 8: Hình chóp S.ABC có cạnh bên nghiêng với đáy góc 600 , độ dài cạnh đáy CB 3,CA 4,AB Tính thể tích V hình chóp Bài 9: Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân, cạnh đáy � Các cạnh bêb nghiêng với đáy góc Tính BC a,BAC thể tích hình chóp Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, � 600 , SA SC a , SB = SD.Tính thể tích khối chóp BAD S.ABCD Tự chọn TOÁN 12 − Chù đề : KHỐI ĐA DIỆN Hồ Văn Hoàng Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, BC = a, SA =SB = SC = a mặt bên SAB hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA � (ABC), ACB 60 , BC a, SA a Gọi M trung điểm SB Chứng minh (SAB) (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B, AB a, BC a Tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên AA’= a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 15: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vng A, AC = a, góc ACB 600 Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ cho Bài 16: Đáy ABC hình lăng trụ ABC.A'B'C' tam giác cạnh a Góc cạnh bên hình lăng trụ mặt đáy 300 Hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Tính thể tích hình lăng trụ Bài 17: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 60 0; tam giác ABC vng � C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a