đề thi HSG

Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 Đề bài ****** (Thời gian làm bài 120 phút - Không kể thời gian giao đề) Bài 1 ( 2 điểm). Cho biểu thức : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 x y x y P x y y x y x x y = + + + + 1.Rút gọn P. 2.Tìm các cặp số (x;y) Z sao cho giá trị của P = 3. Bài 2 (2 điểm). Giải phơng trình: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 6 7 12 9 20 11 30 8x x x x x x x x + + + = + + + + Bài 3 ( 2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: 2 2 1 2 x M x + = + Bài 4 (3 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. 1.Chứng minh CE vuông góc với DF. 2.Chứng minh MAD cân. 3.Tính diện tích MDC theo a. Bài 5 (1 điểm). Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 3 2 . Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 3 4 . Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 Hớng dẫn giải *************** Bài 1. (2 điểm - mỗi câu 1 điểm) MTC : ( ) ( ) ( ) 1 1x y x y+ + 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x y y x y x y x y x y x y xy P x y x y x y x y + + + + + = = + + + + P x y xy= + .Với 1; ; 1x x y y thì giá trị biểu thức đợc xác định. 2. Để P =3 3 1 2x y xy x y xy + = + = ( ) ( ) 1 1 2x y + = Các ớc nguyên của 2 là : 1; 2. Suy ra: 1 1 0 1 2 3 x x y y = = + = = 1 1 2 1 2 1 x x y y = = + = = (loại). 1 2 3 1 1 0 x x y y = = + = = 1 2 1 1 1 2 x x y y = = + = = (loại) Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3. Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định: 2 3 4 5 6 x x x x x Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 6 2 3 7 12 3 4 9 20 4 5 11 30 5 6 x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + = + = Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 Phơng trình đã cho tơng đơng với : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 8x x x x x x x x + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 4 6 5 8x x x x x x x x + + + = 1 1 1 6 2 8x x = ( ) ( ) 4 1 6 2 8x x = ( ) ( ) 2 8 20 0 10 2 0x x x x = + = 10 2 x x = = thoả mãn điều kiện phơng trình. Phơng trình có nghiệm : x = 10; x = -2. Bài 3.(2điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 x x x x x x M x x x x x M x x + + + + + = = + + + = = + + M lớn nhất khi ( ) 2 2 1 2 x x + nhỏ nhất. Vì ( ) 2 1 0x x và ( ) 2 2 0x x+ nên ( ) 2 2 1 2 x x + nhỏ nhất khi ( ) 2 1x = 0. Dấu = xảy ra khi x-1 = 0 1x = . Vậy M max = 1 khi x = 1. Bài 4. . (3iểm) a. à ả 1 1 ( . . )BEC CFD c g c C D= =V V CDFV vuông tại C à ả à à 0 0 1 1 1 1 90 90F D F C CMF + = + = V vuông tại M Hay CE DF. b.Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có : ( . . )AEK BEC g c g BC AK= =V V AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M 1 2 AM KD AD AMD = = V cân tại A c. ( . ) CD CM CMD FCD g g FD FC =:V V Do đó : 2 2 . CMD CMD FCD FCD S CD CD S S S FD FD = = ữ ữ V V V V Mà : 2 1 1 . 2 4 FCD S CF CD CD= = V . Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 Vậy : 2 2 2 1 . 4 CMD CD S CD FD = V . Trong DCFV theo Pitago ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 5 . 2 4 4 DF CD CF CD BC CD CD CD = + = + = + = ữ . Do đó : 2 2 2 2 2 1 1 1 . 5 4 5 5 4 MCD CD S CD CD a CD = = = V Bài 5 (1điểm) Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 0 0 2 4 4 a a a a a + + ữ Tơng tự ta cũng có: 2 1 4 b b+ 2 1 4 c c+ Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc: 2 2 2 3 4 a b c a b c+ + + + + . Vì 3 2 a b c+ + = nên: 2 2 2 3 4 a b c+ + ( Điều phải chứng minh). Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 2 . L u ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình không vẽ hình không chấm điểm. 1 1 1 k e m d c f b a . Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 Đề bài ****** (Thời gian làm bài 120 phút - Không kể thời gian giao đề) Bài 1 ( 2 điểm). Cho biểu. b; c thoả mãn : a + b + c = 3 2 . Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 3 4 . Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 Hớng dẫn giải *************** Bài 1. (2 điểm - mỗi