Tóm tắt các công thức nguyên hàm , đạo hàm , logarit, hàm mũ và các công thức lượng giác cơ bản Kiến thức cơ bản ở mức bổ trợ kiến thức tối thiểu cho học sinh Tổng hợp logic hỗ trợ học tập tốt. Sử dụng để ôn tập hoặc giảng dạy cho cả học sinh và giáo viên đều được
Trang 1I : ĐẠO HÀM
( ) xα ′ = α xα−1 ∀ x > 0 ( Uα(x ) ) ′ = U ′ α U α −1
( ) ex ′ = ex ∀ x ∈ R ( ) eu ′ = u ′ Eu
( ) ax ′ = ax .ln(a) ∀ 1 ≠ a >0 ; x ∈ R ( ) au ′ = u ′ au.ln(a)
x
ln( ′ = ∀ x > 0 ( ln(u ) ) ′ = u u′
( log xa( ) ) ′ = x.ln(1 a) ∀ 1 ≠ a >0 ; x > 0 ( log ua( ) ) ′ = u . ln( u ′ a )
( tan(x ) ) ′ = cos2x
1
( tan(u ) ) ′ = cosu2u
′
( cot(x ) ) ′ = sin2 x
1
−
( cot(u ) ) ′ = sinu2u
′
−
( )n n n
x n
x
1
1
−
=
u n
u u
1
−
′
=
′
y = sinn u ( x ) ( ) y ′ = n.sinn− 1u ( x ).( sin x u ( ) ) ′
= n sinn− 1u ( x ).u ′ (x ) Cos u(x)
II : Nguyên hàm :
2
c
x dx
+
∫ α αα 11 với α ≠ −1 u du u + c
+
∫ α αα 11 với α ≠ −1
3
x
dx
u
du
ln
k
kx dx
sin( ∫ sin( u ) du = − cos u + c
5
k
kx dx
cos( ∫ cos( u ) du = sin u + c
6
x
dx
tan
u
du
tan cos2
x
dx
cot
u
du
cot sin2
8
c k
e dx
e
kx
9
c a
a dx
a
x
a
a du a
u
Trang 2• DẤU HIỆU ĐỔI BIẾN SỐ :
( a2 + U2( x ) )n U(x) = a tan t t ∈
−
2
; 2
π π
) (
2
2 U x
a − U(x) = a sin t t∈−2 ;2
π π
U(x) = a cos t t ∈[ 0 ; π ]
2
2( x ) a
a
sin t∈−2 ;2
π
π \ {0}
U(x) =
t
a
cos t ∈[ 0 ; π ] \ {π2}
x a
x a
+
∈ 2
;
0 π
• HÀM LƯỢNG GIÁC : I = ∫R(sinx)dx hoặc ∫R(cosx)dx
1. Sin x R là hàm lẻ theo biến sin x ( thay sinx bởi − sinx ta được − R) t = cos x
t = ( a cosx + b )n
3. Cos x R là hàm lẻ theo biến cos x
( thay cosx bởi − cosx ta được − R)
t = sin x
t = ( a sinx + b )n
5. Sin x và cos x R là hàm chẵn theo biến sin x và cos x t = tan xt = cot x
Trang 3LOOGARIT VÀ HÀM MŨ
I : HÀM MŨ − LŨY THỪA
HÀM MŨ : ∀ a , b ∈ R \ { 0} ; n ∈ Z HÀM LŨY THỪA : ∀ a , b ∈ (0 ;+∞); m,n ∈ Z+
an am = am+n n ab = n a n b
( am )n = ( an )m = am.n n
b
a = n n
b
a
( a.b )m = am bm m n a = mn a
a0 = 1 n am = ( )n a m
00không tồn tại Nếu n c = m e thì n ac = m ae
n
m
a
a
a nếu n chẵn
b
= m m
b
a = a n
m
a−1
b
= a b−m Nếu α ∈ N* thì D = R
Nếu α = 0 hoặc α ∈ Z− thì D = R\{0}
Nếu α∉ Z(α là hữu tỉ hoặc vô tỉ) thì D = (0; +∞)
∀ a > 1 thì am > an
m > n
∀ a ∈ ( 0;1 )a thì am > an
m < n
α
=
b
a
log aα = b loga bc = loga b + loga c
1
loga a = loga( b / c ) = logab − logac
0 1
loga = logabα = α logab
α
a
a
log Nếu a > 1 thì loga b > loga c b > c > 0
b
aloga b = Nếu a ∈ (o;1) thì loga b > loga c 0< b < c
a
b b
x
x a
log
log log = loga b logx a = logx b loga b logb a = 1
b
log
α
n
n
Trang 4CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
1 Hai góc hơn kém nhau π :
Cos (π + α) = − cos α sin (π + α) = − sin α tan (π +α) = tan α cot (π + α) = cot α
2 Hai góc hơn kém nhau π2 :
Cos =−
+απ
2 sin α sin =
+απ
2 cos α tan =−
+απ
2 cot α cot =−
+απ
2 tan α
3 Công thức cộng :
Cos (α ±β)=cos α cos β sin α sin β sin(α ±β)= sin α cos β ± sin β cos α
Tan (α ±β) =
β α
β α
tan tan 1
tan tan
±
→ nhớ “ cos cùng loài khác dấu ,sin cùng dấu khác loài , tan tử cùng mẫu trái ”
4 Công thức nhân đôi :
Sin 2α = 2 sin α cos α tan 2α =
α
α
2
tan 1
tan 2
− Cos 2α = cos2α −sin2α = 2cos2α −1 = 1 − 2sin2α
5 Công thức nhân ba :
Sin 3α = 3 sin α −4 sin3α cos 3α = 4 cos3α − 3 cos α
6 Công thức hạ bậc :
Sin2α =
2
2 cos
1− α
cos2α =
2
2 cos
1+ α
sin3α =
4
3 sin sin
3 α − α
cos3α =
4
3 cos cos
3 α + α
tan2α =
α
α 2 cos 1
2 cos 1
+
−
7 Công thức tích → tổng :
Cos α cos β = [cos(α +β)+cos(α −β) ]
2
1
sin α cos β = [sin(α +β)+sin(α −β) ]
2 1
Sin α sin β = − [cos(α +β)−cos(α −β) ]
2 1
8 Công thức tổng → tích :
Cos α + cos β =
2 cos 2 cos
2 α +β α −β
Cos α − cos β =
2 sin 2 sin
2 α +β α −β
− Sin α + sin β =
2 cos 2 sin
2 α+β α−β
Sin α − sin β =
2 sin 2 cos
2 α +β α −β Tan α ± tan β = ( )
β α
β α cos cos sin ±
9 Công thức tính sin α , cos α , tan α theo t = tan α2 :
Sin α = 2
1
2
t
t
+ ; cos α = 2
2
1
1
t
t
+
− ; tan α = 2
1
2
t t
−
Trang 510 Các công thức lượng giác thường dùng :
Sin2 α + cos2 α = 1 1 + tan2 α =
α
2
cos 1
1 + cot2 α =
α
2
sin
1
1 ± sin 2α = (sin α ± cos α)2
Cos α ± sin α = 2 cos
4
π
α = 2 sin
±π α 4 Sin4 α + cos4 α = 1 sin 2α
2
1 2
4
4 cos
3+ α
Sin6 α + cos6 = sin 2α 4 3 1− 2 = 8 4 cos 3 5+ α CÁC CÔNG THỨC TRONG TAM GIÁC Định lí côsin :
a2 = b2+ c2 − 2bc cos A
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
1 Định lí sin :
2 R C c B b A a 2 sin sin sin = = = 3. Công thức độ dài trung tuyến : 4 2 2 2 2 2 b c a ma = + − ;
4 2 2 2 2 2 a c b mb = + − ;
4 2 2 2 2 2 a b c mc = + − 4. Diện tích tam giác : SΔABC = P ( P a ) ( P b ) ( P c ) R abc B ac A bc C ab h a a = = = = = Pr = − − − 4 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 1 5. Tam giác vuông : b2 = a.b′ ; c2 = a.c′ ; h2 = b′.c′
12 12 12 c b h = + ; bc = ah