Số phức

Chủ đề: Số phức Giáo viên: Lê Văn Tiến – THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Đắklắk Email: levantien20042004@yahoo.com.vn, phone: 0914411178 SỐ PHỨC I. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa số phức và các các khái niệm a) Định nghĩa: Số phức z là biểu thức có dạng z = a + bi (gọi là dạng đại số của số phức) Trong đó: - a, b là các số thực, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo. - i là số thỏa mãn i 2 = - 1. i gọi là đơn vị ảo Tập hợp các số phức kí hiệu: £ b) Hai số phức bằng nhau: ' ' ' ' a a a bi a b i b b =  + = + ⇔  =  c) Số phức đối của số phức z = a + bi là –z = -a – bi, ( , )a b∈ ¡ d) Biểu diễn hình học của số phức: Số phức z = a + bi biểu diễn hình học của nó trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M(a; b) e) Mơ đun của số phức: Số phức z = a + bi biểu diễn bởi điểm M(a; b). Mơ đun của nó là: 2 2 | | | |z OM a b = = + uuuur g) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của số phức z = a+ bi là z a bi= − h) Số phức nghịch đảo của số phức z (z )0 ≠ là: z z z 2 1 1 = − 2. Các phép tốn về số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i a) Phép cộng trừ số phức z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i z - z’ = (a - a’) + (b - b’)i b) Phép nhân số phức z.z’= (aa’ - bb’) + (ab’ + a’b)i c) Phép chia số phức ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' . ' , ' ' ' 0 ' ' ' ' ' '. ' a bi a b i z z z z a b i z a b i a b i z z + − = = = + ≠ + − II. Bài tập áp dụng 1) Với điều kiện nào thì số phức z = a + bi thỏa mãn: a) z z= b) z z= − c) z z= − Đáp số: a) b = 0 b) a = 0 c) a = b = 0 2) Tìm các số thực x và y sao cho số phức z = (2 – 3i)x + (1 + 4i)y là: a) Là số thực b) Là số thuần ảo c) Bằng 0 d) Bằng i Đáp số: a) 3x – 4y = 0 b) 2x + y = 0 c) x = y = 0 d) 1 11 2 11 x y  = −     =   3) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) (1 + i) 2 – (1 – i) 2 c) (2 + i) 3 – (3 – i) 3 d) i i i i − − + − 2 1 3 Đáp số: a) 1 và 1 b) 0 và 4 c) -16 và 37 d) 2 33 − và 2 3122 −− 4) Tìm các số thực x và y sao cho: a) (1 – i)x + (4 + 2i)y = 1 + 3i b) (3 – 2i)x + (5 – 7 i)y = 1 – 3i c) (1 –3 i)(2x + yi) = 1 + i d) 3 2 1 x yi i i + = + − 52 x y a O M(a; b) b Chủ đề: Số phức Giáo viên: Lê Văn Tiến – THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Đắklắk Email: levantien20042004@yahoo.com.vn, phone: 0914411178 Đáp số: a) 8 11 7 11 x y  =     =   b) 5 3 2 3 x y  = −     =   c) 1 10 2 5 x y  = −     =   d) 5 1 x y =   =  5) Tính 1 2 z z biết rằng: a) z 1 = 1 + 2i và z 2 = 2 – I b) 1 3z i= − và 2 1 3z i= + Đáp số: a) 1 2 z i z = b) 1 2 z i z = − 6) Tính |z|, biết rằng: a) z = (2 – i)(1 + 2 i)(3 – 4i) b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 i i z i i + − = + − c) 1 3 6 2 5 z i i i = + + d) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 4 2 3 i i i z i − + − = + Đáp số: a) a) 25 b) 1 c) 47 10 d) 45 13 7) Phân tích thành thừa số a) a 2 + 1 b) 2a 2 + 3 c) 4a 4 + 9b 2 d) 3a 2 + 5b 2 Đáp số: a) (a – i)(a + i) b) )32)(32( iaia +− c) (2a – 3bi)(2a + 3bi) d) )33)(53( ibaiba +− 8) Đơn giản biểu thức P = (x – 1 – i)(x – 1 + i)(x + 1 + i)(x + 1 – i) Đáp số: x 4 + 4 9) Hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: a) |z| < 2 b) | 1| 1z − ≤ c) |z – 1 – i| < 1 Đáp số: a) tập hợp là là các điểm nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 2 b) tập hợp là hình tròn tâm I(1; 0) bán kính R = 1 c) tập hợp là là các điểm nằm trong đường tròn tâm I(1; 1) bán kính R = 1 10) Xác định các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) 43 =++ zz b) izz −+− 1 = 2 c) 2|z – i| = izz 2 +− Đáp số: a) x = ½; x = -7/2 b) y = 2 31 ± c) y = 4 2 x 11) Giải phương trình a) |z| - z = 1 + 2i b) |z| + z = 2 + i Đáp số: a) 2 3 a = ; b = - 2 b) 3 ; 1 4 a b= = 12) Cho hai số phức z và z’. Chứng minh rằng: a) |z.z’| = |z|.|z’| b) | | , ' 0 ' | '| z z z z z = ≠ 13) Chứng minh rằng nếu a + bi = (c + di) n thì a 2 + b 2 = (c 2 + d 2 ) n Hướng dẫn: a + bi = (c + di) n ⇒ |a + bi| = |(c + di) n | ⇒ |a + bi| 2 = |(c + di) n | 2 = |(c + di)| 2n ⇒ a 2 + b 2 = (c 2 + d 2 ) n CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 53 Chủ đề: Số phức Giáo viên: Lê Văn Tiến – THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Đắklắk Email: levantien20042004@yahoo.com.vn, phone: 0914411178 I. Tóm tắt lý thuyết 1) Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w = a +bi. Mỗi số phức z = x +yi thỏa mãn: z 2 = w được gọi là một căn bậc hai của số phức w. Cách tìm căn bậc hai của w: Ta có x; y thỏa mãn hệ phương trình 2 2 . , 2 x y a a b xy b  − = ∈  =  ¡Với 2) Phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai: Az 2 + Bz + C = 0, với A, B, C ; A 0∈ ≠£ Ta có 2 4B AC∆ = − a) Nếu 0∆ ≠ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ; 2 2 B B z z A A δ δ − − − + = = δ là một căn bậc hai của ∆ b) Nếu 0 ∆ = thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 2 B z z A − = = II. Bài tập vận dụng Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau : 14) Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a) -1 + 4 i.3 b) 4 + 6 i.5 c) -1 - 2 i.6 d) -5 + 12.i Đáp số: a) ).23( i +± b) ).53( i +± c) ).32( i −± d) ± (2 + 3i) 15) Giải các phương trình sau: a) i i z i i + +− = − + 2 31 1 2 b) 0) 2 1 ](3)2[( =+++− i izizi c) izz 422 −=+ d) 0 2 =− zz e) 0 2 =+ zz g) 0 2 2 =+ zz Đáp số: a) i 25 4 25 22 + b) -1 + i ; 0,5 c) 2 4 3 i+ d) 0; -1; 1 3 1 3 ; 2 2 2 2 i i+ − e) 0; i; -i g) bi ( )b∈ ¡ 16) Giải các phương trình a) 01.3 2 =+− xx b) 02.32.23 2 =+− xx c) x 2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 d) 3i.x 2 – 2x – 4 + I = 0 Đáp số: a) i 2 1 2 3 ± b) )1( 6 6 i ± c) 2 + i ; 1 – 2i d) 3 12102 .2102 3 1 −+ +−− i ; 3 12102 .2102 3 1 ++ −− i DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC I. Tóm tắt lý thuyết 1) Số phức dưới dạng lượng giác a) Acgumen của số phức: Cho số phức z khác 0. Gọi M là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Số đo bằng radian của mỗi góc lượng giác (Ox; Oy) được gọi là một acgumen của z. b) Dạng lượng giác của số phức: Với số phức z = a + bi khác 0, ta đều có thể viết dưới dạng ( ) 2 2 cos sinz a b i ϕ ϕ = + + hay ( ) 2 2 cos sin ,z r i r a b ϕ ϕ = + = + . Trong đó ϕ là một acgumen của z và 2 2 2 2 cos sin a a b b a b ϕ ϕ  =  +    =  +  2) Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Cho hai số phức ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + và ( ) ' ' cos ' sin 'z r i ϕ ϕ = + với r và r’ khơng âm Ta có: a) ( ) ( ) . ' ' cos ' sin 'z z rr i ϕ ϕ ϕ ϕ   = + + +   54 Chủ đề: Số phức Giáo viên: Lê Văn Tiến – THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Đắklắk Email: levantien20042004@yahoo.com.vn, phone: 0914411178 b) ( ) ( ) cos ' sin ' , 0. ' ' z r i r z r ϕ ϕ ϕ ϕ   = − + − >   3) Cơng thức Moa-vrơ a) Cơng thức: ( ) ( ) cos sin cos sin n n r i r n i n ϕ ϕ ϕ ϕ   + = +   b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Số phức ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + có căn bậc hai là: cos sin cos sin 2 2 2 2 r i r i ϕ ϕ ϕ π ϕ π + +     + +  ÷  ÷     và c) Căn bậc n của một số phức: Số phức ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + có căn bậc hai là: 2 2 cos sin , , 1 n k k r i k k n n n ϕ π ϕ π + +   + ∈ < −  ÷   ¥ 17) Tìm một acgumen của các số phức sau: a) i.322 +− b) 4 – 4i c) 1 - i.3 d) 4 sin. 4 cos ππ i − e) 8 cos. 8 sin ππ i −− g) )1)(3.1( ii +− Đáp số: a) 3 2 π b) 4 3 π c) 3 π − d) 4 π − e) 8 5 π − g) 12 π − 18) Thực hiện phép tính: a) 3(cos20 o + isin20 o )(cos25 o + isin25 o ) b) ) 4 sin. 4 (cos3). 6 sin. 6 (cos ππππ ii ++ c) )15sin.15(cos3 )45sin.45(cos2 00 00 i i + + d) ) 2 sin. 2 (cos2 ) 3 2 sin. 3 2 (cos2 ππ ππ i i + + Đáp số: a) 2 23 . 2 23 i + b) 3(cos ) 12 5 sin. 12 5 ππ i + c) 6 6 . 2 2 i + d) 4 2 . 4 6 i + 19) Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a) 31 i − b) 1 + i c) )1)(31( ii +− d) i i + − 1 31 e) )3.(.2 ii − g) i22 1 + h) z = ϕϕ cos.sin i + Đáp án: a)       − +       − 3 sin. 3 [cos2 ππ i ] b)       + 4 sin. 4 cos.2 ππ i c) )] 12 sin(.) 12 [cos(22 ππ −+− i d) )] 12 7 sin(.) 12 7 [cos(2 ππ −+− i e) ) 3 sin. 3 (cos4 ππ i + g) )] 4 sin() 4 [cos( 4 2 ππ −+− i h)       −+       − ϕ π ϕ π 2 sin 2 cos i 20) Tính a) (cos12 o + isin12 o ) 5 b) [ 00 30sin30(cos2 i + )] 7 c) 6 )3( i − d) (1 + i) 16 e) 12 2 3 2 1         + i g) 2008 1       + i i h) 21 321 335         − + i i Đáp số : a) 2 3 2 1 i + b) 24.64 i −− c) -2 6 d) 2 8 e) 1 g) 1004 2 h) 2 21 55 . của số phức: Số phức z = a + bi biểu diễn bởi điểm M(a; b). Mơ đun của nó là: 2 2 | | | |z OM a b = = + uuuur g) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của số. hợp của số phức z = a+ bi là z a bi= − h) Số phức nghịch đảo của số phức z (z )0 ≠ là: z z z 2 1 1 = − 2. Các phép tốn về số phức. Cho hai số phức z = a