Nguyên hàm tích phân HD ôn tập và phương pháp giải

TT |} Chuyén dé: NGUYEN HAM - TICH PHAN A MOT SO VAN DE LY THUYET Bảng công thức tích phân Các số tích phân bỏ qua x n+ Jƒx" dx = f dx = In|x| r fe* dx =e* ƒa*dx= -— n+1 (n # —1) Ina [ sinx dx =—cosx cosxdx = sinx [ sec? x dx = tanx 10 11 f csc? x dx = —cotx fsecxtanx dx = secx ƒcscxcotxdx=—cscz ƒsecxdx =ln|secz + tanz| 12 13 14 ƒcscxdx =In|cscx — cotx| ƒtanxdx = In|secx| ƒcotxdx =ln|sinz| 15 16 f sinhx dx = coshx J f coshx dx =sinhx 17 J 18 &— va? = el - e a p + a = = sin’ dx sa 20 a + i: | va "—- f dx Veta II Một số tính chất = Inlz + +” +a? TT |} Định lý bán Giải tích: Nếu ƒ hàm liên tục [a,b] thi: f ° K(ø)dz = F(b) — F(a), # nguyên hàm ƒ tức F’ =f Tính chất: Nếu a>b [ “Tlajz=— ” Red Néu a =6, thi J ˆƑ(ø)dz =0 Ƒ cd = e(b — a), với e số bắt kỳ ƒ[f(s)+ g(e)|dx= [ˆ /@0dz+ [ at): ƒ " of (@)dx =e f " f(a)da, véic 1a hang, s6-Bat ky f[t(2)- g(z)|ảz = Ƒ (7) 5ƒ " fede = J 1+ = f° oleae [ b/ (ỒN Nếu ƒ(z)>0 với a g(x) voi a< z < b, f f@)dr > § Nếu m < ƒ(#)< M với sa øa< z< b, m(b—a) < [ f(z)dz < MỤ — a) f f(a)da b = Ja II Các phương pháp tính tích phân Ap dung trực tiếp bảng nguyên hàm TT |} Phương pháp (đỗi biến) b 1) DANG 1:Tinh I= fflucx)].u Codx cách đặt t = u(x) - oo b Công thức đổi biến số dạng 1: [fluo a u(b) wae = [ƒŒ)dr u(a) Cách thực hiện: Bước l: Đặt t=u(x) > dt =u (x)dx ¬ Bước 2: Đối cận : x=j => x=a_ |t=u(b) |t=u(a) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b u(d) a u(a) 1=[ ƒi@)]#@)dv= [ ƒ0)đ (ti€p tuc tinh tich phân mới) b 2) DANG 2: Tinh I= jfaxx cách đặt x = g(t) ¬ ow a Cơng thức đổi biến số dạng 2: B ` ` 1=[ ƒ(x)ww = [ƒ[ø()]p)# Cách thực hiện: Bước 1: Đặt x=ø()—= dx = ø (0)di Bước 2: Đổi cận : x=b > x=a f= 8B f=a Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta 1=Í f(xww = flo@lo'\Wat a (tiếp tục tính tích phân mới) a Một số phép đổi biến thông dụng: - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa đặt t phần bên dấu ngoặc có luỹ thừa cao - Nếu hàm chứa mẫu số đặt t mẫu số - Nếu hàm số chứa thức đặt t phần bên dấu thức TT |} - Nếu tích phân chứa an % đặt ý = lnz - Nếu tích phân chứa e” đặt £ = e” de đặt t = Vz - Nếu tích phân chứa -^= Ver - Nếu tích phân chứa ie x thi dat t = oy % - Nếu tích phân chứa coszdz đặt ý = sinz - Nếu tích phân chứa sin zd+ đặt ¿ = cosz - Nếu tích phân chứa ` - Nếu tích phân chứa Phương pháp = cos #Ø đặt ¢ = tgr ` — — đặt t = cot gz sin’ x tích phân phần b Cơng thức: fete = uo, -Ƒ udu a Như việc chọn u dv có vai trị định việc áp dụng phương pháp Ta thường sặp ba loại tích phân sau: Loại 1: => u= P (x): Trong dé P (x) đa thức bậc n TT |} Ta phải tính n lần tích phân phần Loại 2: (x).dz = u = In" ƒ(z): Tính n lần tích phân phần Đây hai tích phân mà tính tích phân phải tính ln tích phân J e*" cos Ba.dx a cịn lại Thơng thường ta làm sau: b - Tính fe-sin Øz.dz :Đặt u — e°” Sau tích phân phần ta lại có tích phân b J e°”.cos đz.dz Ta lại áp dụng TPTP với u a - Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ hai tích phân dễ dàng tìm kết Tích phân hàm phân thức hữu tỷ: a) Phan 1: Tích phân hữu tỷ a.Dang: J Ạ de =Atnjax ax +b a +1) +C TT |} dx 2.Dang: | ———————— J ax +bx+ce -Nến A>0: Nếu A >0: ae a(x —2,)(x—2,) -Néu A=0: = : | Ly — £, x—2,)—(x—2,)dx mm _ f—.- bY ø|#——— 2a z -Nếu dx ƒ———- Az—>—=Sdy+m.[—T——— av +ba+e av +ba+e a dx Rp [= — av +ba+c +b ve b ; b) Phan 2: Tich phan hitu ty tong quat A(z) J QO x me Bước I: Nếu bậc A(x) lớn bậc B(x): Chia chia A(x) cho B(x) Ta phai tinh tích phân: P(x) Say b Bước 2: + Nếu Q(x) chi toan nghiém don: Q(x) = (« =— a,) (x = a,) (2 — 4, ) ,tatim A,,A, 4,„ cho : TT |} + Nếu Q(x) gồm nghiệm đơn nghiệm bội: (+) = (z — a) (x — b) (x — ce) , ta tim A,P,C,,C, cho : P(x) Qe) A B C ea Gy a-b t-a Cy + Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn nhân tử bậc hai đơn: Q(z) = (z — a)( + px + a), ta tìm A,B,C cho: PA ,_ Qe) z—a Br+O +z+pz+q + Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn nhân tử bậc hai bội: Q(x) = (z — a)(2 P(r) + pr+ 4) 4A Z phân hàm vô tỷ đơn »tatim A,B,C,,.B,,C, cho : i Barc, (2? bx «a Q(z) Tích a) Bx +C, x +pr+q giản: b Dang: J Re a) R(x, ) & đc XL are f(a) )dx Trong đú R(x, f(x)) ci dang: ) dat x =acos2t,t € |0; “] b) R(x, Va? — 2” ) dit x = al sin£ c) RK ant) ) as, —_ ax+b co +d d) R(x, f(x)) = x= al cost c+ d (ax + b)\|a#” + Øz + + voi (az + Ba +7) =k(ax+b) TT |} Dat t= Jax’ + Øz + +, t= : ax+b e) R(x, Va’ +2” ) dat x= |a|tot,t € Fee f) RG, V2? —@ ) dat x = FL eto COS © Dang: fs ax + b.da; ƒ MU Đổi |az +b = (ax + b)' Var +b b Dang: J ax’ + bx + c.da b + Nếu a>0: Tích phân có dạng J w”-Ea “du - đặt u=atgf Hoặc chứng minh ngược công thức: J w”-Ea” đụ = E wta + om utyu+a b + Nếu a0 J -Nếu A=0: [ de a(z— z,)(= — +, A o: Saw D Be ) = B.tgt du Hoặc chứng minh ngược công thitc: | —————_ J + Với a