CHUYÊN ĐỀ 3: ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG. MỤC LỤC I.Kiến thức chuẩn bị. 2 1. Đa thức một ẩn. 2 2. Đa thức nhiều ẩn................................................................................4 II.Đa thức đối xứng. 5 1.Định nghĩa đa thức đối xứng. 5 2.Các kiến thức liên quan. 6 III.Ứng dụng của đa thức đối xứng 9 1.Phân tích đa thức thành nhân tử 9 2. Trục căn thức ở mẫu số 11 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng. 13 4. Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai và phương trình quy về phương trình bậc hai. 17 5. Giải hệ phương trình nhiều ẩn. 20 6. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 24 7. Một số ứng dụng đối với các đa thức có chứa tham số. 26 I.Kiến thức chuẩn bị. 1. Đa thức một ẩn. 1.1.Định nghĩa. Cho A là vành giao hoán có đơn vị. Đa thức một ẩn thuộc A biểu diễn dưới dạng: Trong đó: thuộc A gọi là hệ tử. là những số nguyên không âm. gọi là hạng tử (hay còn gọi là đơn thức nếu A là vành số và ) được gọi là bậc của hạng tử thứ i. Ta có thể cho rằng tất cả các hạng tử trong cách viết trên không đồng bậc vì nếu có những hạng tử đồng bậc thì ta nhóm chúng thành một hạng tử. Ta thường viết theo chiều tăng (hoặc giảm) những bậc của các hạng tử. Do đó thuộc A thường biểu diễn dưới dạng: Trong đó A 1.2. Nghiệm của đa thức: Cho đa thức P có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. K A, gọi là nghiệm của đa thức P nếu . 1.3. Phép chia với d: + Định lí: Cho hai đa thức , A là một trường và . Khi đó tồn tại duy nhất những đa thức và thoar mãn điều kiện sau: , trong đó nếu . + Nhận xét: Cho là một đa thức bậc n trên A. Khi đó luôn tồn tại trường để có n nghiệm trong K. 1.4. Công thức Viet: Cho thuộc là một đa thức bất kì và là những nghiệm của đa thức . Khi đó Đồng nhất các hệ tử ta có: Công thức trên gọi là công thức Viet. 1.5. Đa thức đồng dạng + Định nghĩa: Cho thuộc là một đa thức khác không. Ta nói rằng đa thức là đồng dạng theo modun đa thức nếu: . Nếu đồng dạng theo modun thif ta kí hiệu là: . + Tính chất: Trong vành đa thức , cho là một đa thức khác không. Khi đó ta có: 1, Với mọi đa thức 2, Với hai đa thức và bất kì, nếu thì . 3, Với mọi đa thức và , nếu và thì . 4, Với mọi đa thức và , nếu thì . 5, Cho những đa thức bất kì và , nếu thì . 6, Với các đa thức bất kì và , nếu thì . 7, Cho những đa thức bất kì vaf nếu 8, Với hai đa thức bất kì và mọi số tự nhiên t, nếu thì . 9, Với các đa thức , nếu thì 2. Đa thức nhiều ẩn 2.1. Định nghĩa Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn Cho R là vành giao hoán, có đơn vị . Đặt: Trên A xét hai phép toán như sau: Khi đó là vành giao hoán có đơn vị . Với mọi ta có: Đặt Theo quy tắc nhân ta có: Tương tự: …. . Xét ánh xạ r a Ta có f là đơn cấu vành nên đồng nhất mỗi phần tử . Tức là Thế thì với mọi ta có: . Suy ra: Định nghĩa: được gọi là vành đa thức một biến x với hệ số trong R. Kí hiệu: Lặp lại quá trình xây dựng vành đa thức một biến thay R bằng ta có vành đa thức hai biến tức là với với Lặp lại quá trình trên n lần, ta có vành đa thức n biến tức là Mỗi phần tử của là một đa thức n ẩn lấy hệ tử trong R. 2.2. Bậc của đa thức Kí hiệu Khi đó với mọi ta có: Biểu thức được gọi là một đơn thức. Khi đó số được gọi là bậc của đơn thức. Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các đơn thức có . Kí hiệu là . Nếu các hạng tử của có bậc bằng nhau và bằng k thì f được gọi là đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k. ta gọi là dạng tuyến tính ta gọi là dạng toàn phương ta gọi là dạng lập phương. II.Đa thức đối xứng. 1.Định nghĩa đa thức đối xứng. Định nghĩa 1: Trong vành đa thức , đa thức gọi là đa thức đối xứng nếu với mọi hoán vị của các số đều thỏa mãn đẳng thức sau: Nói cách khác một đa thức là đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi vai trò của biến cho nhau trong dạng khai triển của nó. Định nghĩa 2: Những đa thức sau đây gọi là những đa thức đối xứng cơ bản: P là một đa thức n biến bất kì thì là một đa thức đối xứng và mỗi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản. Phương pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản 2.Các kiến thức liên quan. a, Cách sắp xếp đa thức của n ẩn theo thứ tự từ điển Cho hai đơn thức và Ta nói đơn thức cao hơn đơn thức nếu và chỉ nếu tồn tại k sao cho Bằng cách này ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức từ cao đến thấp. Cách sắp xếp như thế gọi là sắp xếp theo thứ tự từ điển. Ta kí hiệu C(f) là hạng tử cao nhất của f. Ta có một số kết quả sau: Hạng tử cao nhất của một tích hai đa thức là tích các hạng tử cao nhất của các nhân tử, tức là Nếu là hạng tử cao nhất của một đa thức đối xứng thì các số mũ của hạng tử cao nhất thỏa mãn bất đẳng thức b, Định lí : Mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản với các hệ tử trong A. Phuơng pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản Cách 1 : Phương pháp hạng tử cao nhất Giả sử cho là một đa thức đối xứng . Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo thứ tự từ điển. Giả sử hạng tử cao nhất của nó là . Bước 1: xét và Nếu thì . Ta đã biểu diễn xong. Nếu thì ta chuyển qua bước 2. Bước 2: là một đa thức đối xứng. Hạng tử cao nhất của nó là suy ra theo cách sắp xếp theo thứ tự từ điển của P. Xét và Nếu thì . Ta đã biểu diễn xong. Nếu thì từ ta có thể tiến hành tương tự như trên . Cuối cùng ta nhận được dãy đẳng thức : Ở đây là những đơn thức của những đa thức đối xứng cơ bản và hạng tử cao nhất của mỗi đa thức , theo cách sắp xếp theo thứ tự từ điển nằm trước hạng tử cao nhất của đa thức Quá trình này không thể tiếp tục mãi, giả sử với một m nào đó ta có . Khi đó