UNG DUNG DINH LI VIET TOAN ON THI VAO LOP 10 HAY

Một số ứng dụng định lý viét việc giải toán -Định lý Viét: Nếu x1, x2 hai nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = (a  0) th×: b  x  x   a  c  x x   a * HÖ quả: (trờng hợp đặc biệt) a) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = (a  0) cã a + b + c = phơng trình có nghiệm là: x1 = c a nghiệm là: x2 = b) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = (a  0) cã a - b + c = phơng trình có nghiệm là: x1 = - c a nghiƯm lµ: x2 =  u  v S  u.v P * NÕu cã hai sè u v thoả mÃn điều kiện: u, v hai nghiệm phơng trình: x2 Sx + P = ®iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè u, v là: S2 4P Sau số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng định lý Viét giải số dạng toán -1- h I ứng dụng định lý viét giải toán tìm điều kiện tham số để toán thoả mÃn yêu cầu đặt Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị m để nghiệm x 1, x2 phơng trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mÃn điều kiện x12 x22 Bài giải: Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm (phân biƯt hc nghiƯm kÐp): m  ; ' ≥ ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + '   m Với m 4, theo định lý Viét, nghiệm x 1; x phơng trình có liên hệ: x1 + x = 2( m  2) ; m x1.x2 = m m Do ®ã: = x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 2(m  3) 4( m  2) 2 m m  m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m  m2 - 10m + 16 =  m = hc m = Giá trị m = không thoả m·n ®iỊu kiƯn  m  VËy víi m = th× x12  x22 = VÝ dụ 2: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m 3) = Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 phân biệt 1 x  x2 tho¶ m·n x  x -2- h Bài giải: Δ ' ( (m 2))2  (m2  2m 3)  0(1)  (2) Ta ph¶i cã:  x1.x2 0  1 x1  x2 (3) x x   (1)  ' = m2 - 4m + - m - 2m + = - 6m + >  m< (2)  m2 + 2m -   (m - 1)(m + 3)   m  1; m-3 (3)  x1  x2 x1  x2   ( x1  x2 )(5  x1 x2 ) 0 x1 x2  Trêng hỵp: x1 + x2 =  x1 = - x2  m = không thoả mÃn điều kiện (1) Trêng hỵp: - x1.x2 =  x1.x2 = Cho ta: m2 + 2m - =  (m - 2)(m + 4) =  m (loại) m (thoảmÃnĐ K) Vậy với m = - phơng trình đà cho có nghiệm x 1, x2 phân biệt thoả mÃn x  x2 1   x1 x Ví dụ 3: Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m lµ tham số) a) Xác định m để nghiệm x 1; x2 phơng trình thoả mÃn x1 + 4x2 = b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài giải: -3- h (1) 2( m  1)   x1  x2  m  (2) m  x1.x2  m a) Ta ph¶i cã:  (3) x  x    m 0    (4)   ' (  ( m  1)  m( m  4) 0 Tõ (1) (3) tính đợc: x2 Thay vào (2) đợc m 5m  ; x1  3m 3m (m  2)(5m  8) m   m 9m 2m2 - 17m + 8=0 Giải phơng trình 2m2 - 17m + = đợc m = 8; m = thoả mÃn điều kiện (4) VËy víi m = hc m = nghiệm phơng trình thoả mÃn x1 + 4x2 = b) Theo hÖ thøc ViÐt: x1 + x = + m x1 + x = - m Thay (*) = x1 + x2 - vào (*) đợc x1x2 = - 2(x1 + x2 - 2) m VËy x1.x2 = - 2(x1 + x2) VÝ dô 4: Với giá trị m hai phơng trình sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung: x2 + 2x + m = (1) x2 + mx + = (2) Bài giải: Gọi x0 nghiệm chung phơng trình ta có x02  x0  m 0 x02  mx0  0 -4- h Trõ theo tõng vÕ hai phơng trình ta đợc (m - 2)x0 = m Nếu m = hai phơng trình x2 + 2x + = v« nghiƯm NÕu m x0 = từ m = - Víi m = - 3: (1) lµ x2 + 2x – = 0; cã nghiÖm x1 = vµ x2 = - Vµ (2) lµ x2 - 3x + = 0; cã nghiÖp x3 = vµ x4 = Râ rµng víi m = - hai phơng trình có nghiệm chung x = Bài tập: Bài 1: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bài 2: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm b) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mÃn: x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức x 1, x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 3: a) Với giá trị m hai phơng trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó? -5- h x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2) b) Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình (1) nghiệm phơng trình (2) ngợc lại II ứng dụng định lý viét toán lập phơng trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phơng trình bậc hai ẩn số: C¸c vÝ dơ: VÝ dơ 1: Cho x1 = 1 ; x2 = 1 LËp phơng trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2 1 Ta cã: x1 = 1 1  1    ; x2 = 1 = 3 Nªn x1.x2 = x1 + x2 = 1 1 = 1 3 1 + = 1 3 Vậy phơng trình bậc hai có nghiệm: x1; x2 lµ x2 - x+ =0 Hay 2x2 - x + = Ví dụ 2: Cho phơng trình: x2 + 5x - = (1) Không giải phơng trình (1), hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm phơng trình (1) Cách giải: -6- h Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình đà cho theo hệ thức viét, ta cã: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - Gọi y1; y2 nghiệm phơng trình phải lËp, ta cã: y1 + y2 = x14  x24 y1 y2 = x14.x24 Ta cã: x14  x24 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – = 727 x14.x24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = VËy phơng trình cần lập là: y2 - 727y + = Ví dụ 3: Tìm hệ số p q phơng trình: x2 + px + q = cho hai nghiƯm x 1; x2 cđa phơng trình thoả x1 x2 3 x1 x2 35 mÃn hệ: Các giải: §iỊu kiƯn  = p2 - 4q  (*) ta cã: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Tõ ®iỊu kiƯn:   x1  x2  25  x1  x2 5    3 2  x1  x2 35   x1  x2  x1  x1 x2  x 35     x1  x2   4x1x2 25      x1  x2   x1 x2  x1 x 35    p1  q 25   p  q 7 Gi¶i hệ tìm đợc: p = 1; q = - p = - 1; q = Cả hai cặp giá trị thoả mÃn (*) 2) Bài tập: -7- h Bài 1: Lập phơng trình bậc hai cã nghiƯm lµ vµ 3+ 3 Bài 2: Lập phơng trình bậc hai thoả mÃn ®iỊu kiƯn: Cã tÝch hai nghiƯm: x1.x2 = vµ x1 x2 + = x1  x2  k2 k2 Bài 3: Xác định có số m, n phơng trình: x2 + mx + n=0 Sao cho nghiệm phơng trình làm m n Iii ứng dụng định lý viét giải toán chứng minh Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b nghiệm phơng trình: x2 + px + = vµ b, c nghiệm phơng trình x2 + qx + = Chøng minh: (b - a)(b - c) = pq - Hớng dẫn học sinh giải Đây toán chứng minh đẳng thức thông thờng, mà đẳng thức thể liên quan nghiệm phơng trình hệ số phơng trình Vì đòi hỏi phải nắm vững định lý Viét vận dụng định lý Viét vào trình biến ®ỉi vÕ cđa ®¼ng thøc, ®Ĩ suy hai vÕ Cách giải: a,b nghiệm phơng trình: x2 + px + = b,c lµ nghiƯm phơng trình: x2 + qx + = Theo định lý viét ta có: -8- h a b - p  b  c - q vµ    a.b1  b.c2 Do ®ã: (b – a)(b – c) = b2 + ac - (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac +3 – = b2 + ac - (2) Tõ (1) vµ (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (đpcm) Vídụ 2: Cho số a,b,c thoả mÃn ®iỊu kiƯn: a+b+c=-2 (1); a2 + b + c2 = (2) Chứng số a, b, c thuộc đoạn ;0 biểu diễn trục số: Cách giải: Bình phơng hai vế (1) đợc: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Do (2) nªn: ab + bc + ca = (4 - 2): =  bc = - a(b + c) = - a(- - a) = a + 2a + Ta l¹i cã: b + c = - (a + 2), ®ã b, c nghiệm phơng trình: X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = (*) Để (*) có nghiệm ta phải có: = (a+2)2 - 4(a2+2a+1)   a(3a + 4)   - a0 Chøng minh t¬ng tù ta đợc: -9- 4 b 0; -  c  3 h Bµi tËp: Bài 1: Gọi a, b hai nghiệm phơng tr×nh bËc hai: x2 + px + = Gọi c, d hai nghiệm phơng trình: y2 + qy + = Chøng minh hÖ thøc: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bµi 2: Chøng minh r»ng viÕt số x = () 200 dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy iii áp dụng định lý viét giải phơng trình hệ phơng trình Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: 5 x x   x 1  5 x  x  =6 x 1   Híng dÉn: §KX§: {xR  x  - 1} 5 x  u x x Đặt: x   x  x 1   u  ?    u. ? TÝnh: u, v, từ tính x Bài giải: ĐKXĐ: {x R  x  - 1} 5 x   u x x Đặt: x (*)   x  x 1   5 x  5 x   u   x x     x  x           x  x      u.  x . x    x 1   x 1   u, v lµ nghiệm phơng trình: u u. 6 x2 - 5x + =  = 25 – 24 = x1 = -10- 1 =3 h x2 = 5 =2 u = v = u = th× v =  u 3 th× (*) trë thµnh: x2 - 2x + =    NÕu:  ' = – = - < Phơng trình vô nghiệm: u (*) trở thành: x2 - 3x + =    NÕu:  Suy ra: x1 = 1; x2 = Vậy phơng trình cã hai nghiÖm x1 = 1; x2 = VÝ dụ 2: Giải hệ phơng trình: a) x  y 11   xy 31 b)  x  y  yx 7   xy  x2y 12 Bài giải: a) x,y nghiệm phơng tr×nh: x2 - 11x +31 = =(-11)2 - 4.1.31 = 121 124 = Nên phơng trình đà cho có hai nghiệm với m Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m -  x12  x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) -12- h =4m2 - 6m + = (2m DÊu “=” x¶y m = VËy Min(x12 + x22) = 11 11 ) +  4 11 m = 4 VÝ dô 2: Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Cách giải: Để phơng trình ®· cho cã nghiƯm th×: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)   -  m  - (*) Khi ®ã theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x = - m - m  4m  x1 x2 = Do ®ã: A =  m  8m   Ta cã: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) víi ®iỊu kiƯn (*) th×: (m + 1)(m + 7)   m  8m   (m  4) Suy ra: A = =  2 DÊu b»ng x¶y (m + 4)2 = hay m = - Vậy A đạt giá trị lớn là: m = - 4, giá trị thoả mÃn điều kiện (*) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lín nhÊt cđa A=(x4 + 1) (y4 + 1), biÕt x, y  0; x + y = -13- h Cách giải: A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + Ta cã: x + y =  x2 + y2 = 10 - 2xy  x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2  x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2 Đặt : xy = t x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2 Do ®ã A = 100 - 40t + 2t + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 a) Tìm giá trị nhỏ nhất: A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45  45 Min(A) = 45  t = 2, xy = 2; x + y = nên x y nghiệm phơng trình X2 - X + = Tøc lµ x = 10  ; y = 10  2 hc x = 10  2 ; y = 10 2 b) Tìm giá trị lớn nhất: 2  10  5 5  x y  =   0t   Ta cã:  xy    =    2  2     (1) ViÕt A díi d¹ng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101 Do (1) nªn t3  125 125 ; 2t   t3 + 2t - 40  + - 40 < 8 cßn t  nªn A  101 Max(A) = 101 vµ chØ t = tøc lµ x = 0; y = hc x = ; y = Bài tập: Bài 1: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = -14- h Tìm m để x12 x22 có giá trị nhỏ Bài 2: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = Tìm giá trị lớn nhỏ cđa biĨu thøc A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 3: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m lµ tham sè) T×m m cho nghiƯm x 1; x2 cđa phơng trình thoả mÃn 10x1x2 + x12 x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị -15- h ...  x2 + y2 = 10 - 2xy  x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2  x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2 Đặt : xy = t x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2 Do ®ã A = 100 - 40t + 2t + t4 + = t4 + 2t2 40t + 101 a) Tìm giá... 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10( t - 2)2 + 45  45 Min(A) = 45  t = 2, ®ã xy = 2; x + y = nên x y nghiệm phơng trình X2 - X + = Tøc lµ x = 10  ; y = 10  2 hc x = 10  2 ; y = 10 ... không phụ thuộc vào m Bài 3: a) Với giá trị m hai phơng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiƯm chung T×m nghiƯm chung ®ã? -5- h x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2) b) T×m giá trị m để nghiệm