Đang tải... (xem toàn văn)
MAXIMA PHẦN MỀM TOÁN HỌC NGUỒN MỞ CENTEA CENTEA xin giới thiệu với quý Thầy Cô những tính năng cơ bản nhất của phần mềm lập trình tính toán Maxima – một phần mềm mã nguồn mở nhưng rất hiệu quả,đủ sức thay thế các phần mềm thương mại như Maple ,
1/22/2009 MAXIMA PHẦN MỀM TOÁN HỌC NGUỒN MỞ - CENTEA - CENTEA xin giới thiệu với quý Thầy Cô tính phần mềm lập trình tính tốn Maxima – phần mềm mã nguồn mở hiệu quả, ñủ sức thay phần mềm thương mại Maple , Mathematica www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 1/16 1/22/2009 I Giới thiệu chương trình: ðầu tiên q Thầy Cơ cần tải chương trình Maxima phiên 5.17.0 (phiên nhất) dành cho HðH Windows địa chỉ: http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=4933&package_id=4960 Ngồi ra, chương trình có dành cho hệ điều hành nguồn mở Linux với nhiều tính nhằm hỗ trợ việc lập trình tính tốn Với file vừa tải về, Thầy Cơ tiến hành cài đặt bình thường Sau cài xong, Desktop, quý Thầy Cô có shortcut xmaxima wxMaxima Trong đó: - xmaxima dùng ñể cho người dùng viết biểu thức tính tốn câu lệnh (vốn dành cho người ñã thành thạo thích dùng câu lệnh click chuột, tính tương ứng với Maple Classic); - wxMaxima có menu lệnh trực quan giúp cho người làm quen với phần mềm thiết lập biểu thức cần tính tốn thông qua menu mà không cần nhớ câu lệnh Cũng giống Maple Mathematica, phần mềm Maxima cho phép người dùng khai báo tính tốn với tham số chữ Khi kích hoạt wxMaxima, Thầy Cơ cần đợi nháy mắt chương trình khởi ñộng xong giao diện sau: www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 2/16 1/22/2009 Trong đó: lệnh cần tính tốn thiết kế menu lệnh theo chủ ñề, bao gồm: Menu File: Edit Maxima (thiết lập thông số cho Maxima), Equations (tìm nghiệm đa thức, phương trình, hệ phương trình tuyến tính, phương trinh vi phân, ) , Algebra (các toán ma trận như: ma trận nghịch ñảo, ña thức ñặc trưng, giá trị riêng, vecto riêng, ma trận phụ hợp ) Calculus (các tốn tìm giới hạn, đạo hàm, tính tích phân bất định, tích phân xác định, tính gần tích phân, chia đa thức, khai triển Taylor – Maclaurin, khảo sát chuỗi số, tìm tổng chuỗi số, phép biến ñổi Laplace, phép biến ñổi Laplace ngược ) Simplify (khai triển, rút gọn biểu thức), Plot (vẽ ñồ thị 2D, 3D tọa độ vng góc, tọa độ cực, ), Numeric: cơng cụ chuyển ñổi phân số, biểu thức dạng số thực 10 Help Sau khởi động chương trình xong, Thầy Cơ nhấp chuột vào phía khung nhập lệnh nhấn phím Spacebar (dấu cách) để khung nhập lệnh vào Bấy giờ, Thầy Cơ chọn lệnh từ menu tương ứng ñể u cầu chương trình tính tốn Nếu Thầy Cơ nhớ câu lệnh muốn tự nhập dòng lệnh thay chọn nút lệnh menu Thầy Cơ cần kết thúc dòng lệnh dấu ; sau đó, nhấn Ctrl + Enter (hoặc Shift + Enter) ñể chương trình tính tốn www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 3/16 1/22/2009 II Các hàm tốn tử thơng dụng: ðể thuận lợi việc nhập biểu thức cần tính tốn Thầy Cơ cần ý số hàm tốn tử thơng dụng sau: Các số: Câu lệnh %a %e %pi %phi acos(x) infinity (inf) minf Hàm khai báo a e=2.7182 π 1+ arccosx +∞ -∞ số Các hàm số lượng giác, hàm lượng giác ngược: Câu lệnh sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) acos(x) asin(x) atan(x) Hàm sinx cosx tgx cotgx arccosx arcsinx arctgx Các hàm số hyprebol, hàm số mũ, hàm log Câu lệnh cosh(x) sinh(x) tanh(x) a^x exp(x) log(x) %e^x Hàm Cosine sin tangent ax e^x lnx Hyperbol hyperbol hyperbol Các tốn tử thơng dụng: - Tốn tử “!”: Ký hiệu x! maxima ñược ñịnh nghĩa cho hàm ∞ Gamma x ! = Γ( x + 1) = ∫ t x e − t dt , ∀x ∈ R , x ∈ N ta có x! = 1.2.3 x - Tốn tử “!!” (giai thừa bội): nghĩa là: 2m.(2m − 2).(2m − 4) 2, n = 2m n !! = (2k + 1).(2k − 1).(2k − 3) 1, n = 2k + - Toán tử “#”: a # b ñược hiểu a ≠ b - Toán tử “.” : ñược dùng ñể nhân ma trận A, B, nghĩa là: A.B - Toán tử “:” : (toán tử gán) Ta sử dụng câu lệnh ten_bien : gia_tri_gan; ñể gán giá trị cho biến Ví dụ: ñể gán giá trị cho biến a 10 ta cần khai báo là: a:10 Nếu www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 4/16 1/22/2009 gán giá trị ñồng thời nhiều biến ta dùng câu lệnh sau: [a , b, c] : [1, 5, 12] (nghĩa a = , b = 5, c = 12) - Tốn tử “:=” : dùng để khai báo hàm số Ví dụ: f (x,y) := x^2 + y^2 – exp(x*y), nghĩa gán hàm f hàm theo biến x, y xác ñịnh biểu thức: x + y − e xy - Toán tử “and”: phép giao - Toán tử “or” : phép hợp - Tốn tử “abs(x)”: trị tuyệt đối x , x số phúc, tốn tử phép lấy modun số phức x - Toán tử “ceiling(x)”: làm tròn giá trị đến số ngun nhỏ lớn x Ví dụ: ceiling(2.3) ta kết - Toán tử “compare(x,y)”: so sánh giá trị x với y Kết trả phép toán logic : , = , =, # - Ví dụ: compare(1/x,0) kết # ; compare(x,abs(x)) ta ñược kết Toán tử “signum(x)”: signum( x) = 0, x = −1, x < - Toán tử “sqrt(x)” : trả giá trị bậc hai x III Ví dụ minh họa chức Maxima: Chúng ta tìm hiểu chức Maxima thơng qua menu lệnh wxmaxima Menu File: - Open - Save - Save as - Load Package (tải gói mở rộng wxmaxima vào chương trình) - Batch file (chạy file thực thi ñược tạo Maxima) - Export ( xuất file tính tốn định dạng web LaTex) - Print - Exit Menu Edit: - Cut - Copy - Copy as TeX : copy đoạn cơng thức thành đoạn mã LaTex Chức có hiệu nghiệm vẽ đồ thị - Copy as Image : copy ñồ thị dạng file hình để dán vào chương trình khác như: Word, PP, Paint, HTML Editor, - Paste - Select All - Select To Image - Cell www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 6/16 1/22/2009 - Zoom In: phóng to ; Zoom Out: thu nhỏ - Configure: cấu hình thơng số cho chương trình wxmaxima Menu Maxima: - Interrupt (phím tắt: Ctrl + G ): ngắt bỏ q trình thực tính tốn Thường gặp trường hợp biểu thức phức tạp, dẫn ñến treo máy - Restart Maxima: xóa bỏ hết nhớ chương trình biểu thức file thực thi - Clear memory: xóa kết biến lưu nhớ - Show function: thể hàm số ñã khai báo - Show defination: thể biến ñã ñược ñịnh nghĩa (gán) - Show variables: hiển thị biến ñã sử dụng - Delete function: xóa tất hàm khai báo - Delete variable: xóa tất giá trị biến - Toogle time Display: - Change 2d display - Display Tex form: kết tính tốn theo định dạng LaTeX Configure: cấu hình thơng số cho chương trình wxmaxima Menu Equations: Bao gồm lệnh liên quan đến việc giải phương trình, hệ phương trình tuyến tính vi phân, giải gần phương trình - Solve: giải phương trình đa thức, phương trình lượng giác, Tuy nhiên, chức khơng giải phương trình mũ Khi chọn lệnh này, khung hộp thoại sau: www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 7/16 1/22/2009 Dòng equation(s): nhập phương trình cần tìm nghiệm Dòng variable(s): khai báo ẩn số - Ví dụ: với phương trình: sin(2x) = 1, ta có kết sau: - Nghiệm phương trình π Maxima đưa thơng báo chương trình sử dụng phương pháp hàm lượng giác ngược để tìm nghiệm Do có số nghiệm khác khơng thể - Find root: tìm nghiệm gần phương trình khoảng [a; b] cho trước Ví dụ: để tìm nghiệm gần phương trình: x3 + x − = khoảng [0;1] CENTEA làm sau: Chọn Equation, chọn Find root www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 8/16 1/22/2009 - Khi đó, CENTEA thu kết sau: - ðể tìm hết tất nghiệm đa thức, Thầy Cơ dùng câu lệnh sau: allroots(phương trình); Ví dụ: với phương trình x3 + x – = ta có: - Nếu muốn tìm nghiệm thực, q Thầy Cơ dùng câu lệnh: realroots(phương trình) Ví dụ: với phương trình x4 + 2x3 + x2 – 2x – = ta có: - Solve linear system: giải hệ phương trình tuyến tính Khi chọn chức này, chương trình u cầu Thầy Cơ khai báo số phương trình hệ tuyến tính (ở CENTEA chọn hệ phương trình) Sau khai báo xong, chương trình hộp thoại, yêu cầu nhập phương trình khai báo biến hình Với hệ phương trình ẩn trên, theo lý thuyết biết hệ phương trình tuyến tính có vơ số nghiệm với ẩn tham số CENTEA ñã thử nghiệm thu ñược kết sau với t tham số: www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 9/16 1/22/2009 - Solve algebraic system: giải hệ phương trình đại số Cũng tương tự trên, Khi chọn chức này, chương trình u cầu Thầy Cơ khai báo số phương trình hệ phương trình khai báo biến hình bên Với hệ phương trình: a2 – b2 = ; ab = 2, CENTEA thu ñược kết sau: - Với hệ phương trình chứa tham số maxima giải trường hợp có nghiệm ðể biện luận trường hợp khác, ta cần phải suy từ kết tính tốn - Ví dụ: - Solve ODE: chức dùng ñể giải phương trình vi phân thường cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số khơng có ñiều kiện ñầu Khi chọn chức hộp thoại yêu cầu phải nhập phương trình cần giải, khai báo tham số hàm số, tham số biến số Hoặc q Thầy Cơ sử dụng cấu trúc lệnh sau: ode2(phuong trinh, tham số biến, tham số hàm) Trong đó, biểu thức lấy đạo hàm ký hiệu sau: ðạo hàm cấp 1: ‘diff(y,x) ðạo hàm cấp n: ‘diff(y,x,n) Ví dụ: với phương trình: y’ – y = (1), CENTEA có câu lệnh kết sau: www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 10/16 1/22/2009 Với phương trình vi phân cấp 2: y” – 2y’ + y = (2), CENTEA có kết là: Hoặc với phương trình vi phân hệ số hàm: y’’-3y’+4y=sin(2x) (3), ta có kết là: - ðể giải phương trình vi phân cấp với điều kiện đầu y(x0) = y0 q Thầy Cơ cần giải phương trình trước ghi nhận kết nghiệm tổng qt phương trình, ví dụ: với phương trình (1), nghiệm biểu thức %o5, Khi đó, q Thầy Cơ dùng chức Initial value Problem (1) (điều kiện đầu phương trình vi phân cấp 1) nhập vào biểu thức sau: Dòng solution nhập %o5 , dòng Point x = nhập giá trị x0 dòng value y = : ta nhập giá trị y0 sử dụng câu lệnh ic1(%o5, x = x0 ; y = y0) Ví dụ: - Với phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số Maxima giải tốn có điều kiện ñầu dạng Cauchy: y(x0) = y0 y’(x0) = y’0 ðể tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu dạng này, Thầy Cô dùng chức Initial Value Problem (2) sau tìm nghiệm tổng qt (tương tự trên) www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 11/16 1/22/2009 - - Trong trường hợp phương trình vi phân cấp có điều kiện biên y(a) = y0 ; y(b) = y1 sau giải tìm nghiệm tổng quát, Thầy cô sử dụng chức Boundary Value Problem - Mục cuối menu Equation ứng dụng Solve ODE by Laplace (Giải phương trình vi phân phép biến ñổi Laplace) Menu Algebra: Bao gồm tốn liên quan đến định thức , ma trận ðể dùng chức menu này, ñầu tiên, quý Thầy Cô cần phải khai báo ma trận cho trước - ðể nhập ma trận, CENTEA dùng lệnh Enter matrix khai báo số dòng, số cột dạng ma trận mục Type: General (người dùng nhập hết tất phần tử), Diagonal (ma trận chéo), symmetric (ma trận tam giác trên), antisymmetric (ma trận tam giác dưới) - Invert Matrix: dùng để tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận cho trước Tuy nhiên, chọn lệnh này, chương trình lấy kết liền trước nên đúng u cầu Thầy Cơ Do đó, CENTEA đề nghị dùng câu lệnh: invert(ma trận nhập); - Ví dụ: xem hình bên - Characteristic Polynomial : dùng để tìm đa thức đặc trưng ma trận Tuy nhiên, giống ma trận nghịch ñảo, Maxima tìm ña thức ñặc trưng cho kết liền trước Do đó, kết trước, khơng phải dạng ma trận chương trình báo lỗi Vì vậy, CENTEA đề nghị q thầy sử dụng câu lệnh: charpoly(biểu thức xác ñịnh ma trận, tên biến giá trị riêng), expand; Ví dụ: charpoly(%o29,x), expand; cho kết là: www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 12/16 1/22/2009 - Determinant: tính định thức ma trận vng - Eigenvalues: tìm giá trị riêng ma trận cho trước - Eigenvector: tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng ma trận cho trước - Adjoint: tìm ma trận phụ hợp ma trận cho trước - Transpose: tìm ma trận chuyển vị ma trận cho trước Menu Caculus: Bao gồm lệnh để giải tốn giải tích giới hạn, đạo hàm, tích phân, chuỗi số, khai triển Taylor, chia đa thức - Integrate: tính tích phân bất định tích phân xác định, tính tích phân phương pháp số Khi Thầy Cô chọn menu này, xuất hộp thoại hình bên Thầy nhập biểu thức tính tích phân vào khung Expression , nhập biến lấy tích phân vào khung Variable Trong trường hợp Thầy cần tính tích phân xác định chọn Definite integration điền cận vào mục From cận vào mục To Các nút Special ñể giúp chọn số ñặc biệt e , π Trong trường hợp tích phân khơng thể tích thơng qua hàm sơ cấp, để tính gần tích phân xác định, Thầy Cơ chọn numeric integration - Với biểu thức sin x ∫ sin x + cos x dx , CENTEA có kết sau: www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 13/16 1/22/2009 - Tuy nhiên, kết phức tạp Nếu ta xét tổng hiệu tích phân sin x cos x ∫ sin x + cos x dx , ∫ sin x + cos x dx có kết nhanh chóng gọn nhiều - Differentiate: tính đạo hàm cấp hàm số Ví dụ: tìm đạo hàm cấp hàm số arctgx Ta có: - Find Limit: tìm giới hạn hàm số với chức tìm giới hạn trái, giới hạn phải giới hạn phía sin x + x − x(1 − x) Ví dụ: tìm giới hạn biểu thức: lim Ta có: x →0 x sin - Một ví dụ khác: lim x→ ( tgx x + − + arcsin + 3arctg x Ta có kết là: sin x3 + x ) www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 14/16 1/22/2009 - Get series: tìm khai triển Taylor ñiểm x = x0 hàm số Sau chọn lệnh trên, khung hộp thoại Quý Thầy Cô việc nhập biểu thức cần khai triển Khai báo biến giá trị x0 bậc cần khai triển hình bên Ở ñây, CENTEA chọn khai triển Maclaurin cho hàm cos(xsinx) ñến bậc Khi ta có kết sau: - Hay cần khai triển hàm số sin(sinx) ñến bậc 13, ta có: ∞ - Calculate sum: tìm tổng chuỗi số dương Ví dụ: tính tổng chuỗi ∑k k =1 ta có: - Laplace transform: tìm phép biến đổi Laplace hàm cho trước - Invert Laplace transform: tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm cho trước - Greatest common divisor: tìm ước số chung lớn biểu thức, ña thức - Devide polynomials: thực phép chia ña thức, kết trả gồm thành phần có dạng sau: [thương , phần dư] www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 15/16 1/22/2009 - Partial Fraction: phân tích phân thức thành phân thức ñơn giản Ví dụ: - Continued fraction: biểu diễn số dạng liên phân số Menu Simlify: - Bao gồm lệnh nhằm phân tích, rút gọn, tối giản, khai triển biểu thức Menu Plots: - Bao gồm lệnh ñể vẽ ñường cong chiều mặt phẳng, mặt cong không gian - Tuy nhiên, ñể vẽ ñường cong tọa ñộ cực, ta phải chuyển ñường cong r= r(p) dạng tham số x = r(p).cos(p) ; y = r(p).sin(p) - Ngồi ra, để vẽ đường cong dạng tổng qt (dạng hàm ẩn), ví dụ phương trình dạng ẩn 2x2 + 3y2 = 4: ta dùng câu lệnh có cấu trúc sau: draw2d(implicit(2*x^2+3*y^2=4, x,-2,2, y,-2,2)) III Lời kết: Như vậy, CENTEA vừa trình bày vấn đề phần mềm Toán học mã nguồn mở Maxima Ngồi tính trên, q Thầy Cơ bạn tìm hiểu thêm tính mở rộng (thơng qua mục Help) chương trình CENTEA hy vọng q đầu năm có ý nghĩa Thầy Cơ bạn u thích mơn Tốn học Thực hiện: Nguyễn Vũ – giaovien.net www.giaovien.net // www.center4teachers.com centea.info@gmail.com Trang 16/16