Cho tam giác ABC có AB = AC = a, BAC = 1200. Các tiếp tuyến của đường tròn (A; AB) tại B và C cắt nhau tại D. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (A; AB) (M khác B, C). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (A; AB) cắt DB, DC lần lượt tại E, F. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AE, AF với đường thẳng BCa.Chứng minh tứ giác ABEQ nội tiếp được đường tròn và các đường thẳng AM, EQ, FP đồng quy.b.Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC của (A; AB) để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất. Tính giá trị đó theo a.
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
NĂM HỌC: 2013 – 2014 MÔN: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1:
a Giải hệ phương trình:
2 4 2
4
4
2 2
y
x y x
y x
b Giải phương trình (3 x x8)(43 x2 8x)16(x 1)
Câu 2:
a Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn
0 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (
6
3 3
x
z y x
Tính giá trị của biểu thức F (x1)2013 (y 2)2013 (z 3)2013
b Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 42 12 2
y x
Chứng minh rằng x2 4xy6y2 2x6
Câu 3:
Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện
5
5
c
b
b
a
là số hữu tỉ và a2 b2 c2 là số nguyên tố
Câu 4:
Cho tam giác ABC có AB = AC = a, BAC = 1200 Các tiếp tuyến của đường tròn (A; AB) tại B và C cắt nhau tại D Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (A; AB) (M khác B, C) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (A; AB) cắt
DB, DC lần lượt tại E, F Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AE, AF với đường thẳng BC
a Chứng minh tứ giác ABEQ nội tiếp được đường tròn và các đường thẳng AM,
EQ, FP đồng quy
b Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC của (A; AB) để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất Tính giá trị đó theo a
Câu 5:
Từ một đa giác đều 15 đỉnh, ta chọn ra 7 đỉnh bất kỳ Chứng minh rằng có 3 đỉnh trong số các đỉnh đã chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân
Hết
-ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Sơ lược giải:
Câu 1:
a ĐK: y0
2 2
1 2 2
2
1 2 0
2 )
2 ( )
2 ( 2 4
2
4
4
2 2
2
y x
y x
y x
y x y
x y x y
x
y
x
y
x
7 1
4
; 2
7 1 ( ) 7 1
4
; 2
7 1 (
và
b ĐK: x0
PT
) 8 3
)(
1 ( 2 ) 8 ( 3 4 )(
1 ( ) 1 ( 16 ) 8 3
4 )(
8
3
Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của PT
Với 0x1:
Ta có:
9 4
4 0
2 3
0 8 2
0 ) 2 3 )(
8 2
( ) 8 2 6 ) 8
(
3
4
x
x x
x x
x x
x x
x
Vậy nghiệm của PT là: x = 1;
9
4
x
Câu 2:
a Nhận xét: abc0 a3 b3 c3 3abc
Áp dụng ta có:
3
2
1
0 ) 3 )(
2 )(
1 ( 3 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 0 6 3
2
z
y
x
z y x z
y x
z y x z
y
x
Xét 3 trường hợp ta đều tìm được: x = 1; y = 2; z = 3
Vậy F = 0
b Với x; y > 0 ta có:
4 2
4 1
4
2
xy y
x
Do đó:
6 4
4 6 4 3 2 ) 2
1 2
1 ( 2 ) (
2 ) (
2 ) 2 ( 2 6
2 2 2
2 2
2 2
y x x y
x y
x y
x x y
xy
x
Vậy x2 4xy6y2 2x6
Đẳng thức có khi: x = 2; y = 1
Câu 3: Đặt
Trang 3) 1 (
5 ) ( 5
5
2 4 2 2 2
2 2 2
2 2
k k c c ac a c b
a
A
c k a
ac b kc b
kb a kc
b kb a Q
c
b
b
a
Để A nguyên tố thì c2 = 1 hoặc k4 + k2 + 1 = 1
0
;
Nếu k = 0 thì a = 0 (loại)
Suy ra c = 1 = a = b
Khi đó A = 3 là số nguyên tố
Câu 5:
Từ 15 đỉnh của đa giác đều ta tạo ra 3 ngũ giác đều trong đó: Ngũ giác thứ nhất có các đỉnh tô màu đỏ, ngũ giác thứ hai có các đỉnh tô màu xanh, ngũ giác thứ ba có các đỉnh tô màu vàng Ta coi 3 ngũ giác đó là 3 chuồng, 7 điểm ta chọn là 7 con thỏ Như vậy 7 con thỏ nhốt vào 3 cái chuồng thì ắt phải có một chuồng có ít nhất 3 con thỏ(Điriclê) Mà 3 đỉnh bất kỳ của một ngũ giác đều bao giờ cũng tạo thành một tam giác cân Từ đó suy ra (đpcm)
Câu 4: Dễ hơn đề thi chung nên bạn đọc tự giải quyết
(Hình minh họa câu 5)
Lời giải chỉ mang tính tham khảo, mong nhận được sự góp ý…
Phan Đình Ánh – THCS Thach Kim – Lộc Hà – Hà Tĩnh
Điện thoại: 0944 899 066