Kỳ thi tìm kiếm Tài năng Toán học trẻ (MYTS) giành cho thí sinh từ 10 đến 16 tuổi, được Hội Toán học Việt Nam và Hexagon of Maths Science tổ chức thường niên nhằm tạo sân chơi khuyến khích học sinh yêu mến môn toán học.
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM Vietnam Mathematical Society MYTS Mathematical Young Talent Search TÌM KIẾM TÀI NĂNG TỐN HỌC TRẺ VIỆT NAM HEXAGON of Maths & Science Tìm kiếm tài toán học (MYTS) Hội Toán học Việt Nam tổ chức hàng năm, sau Hexagon khởi sướng từ năm 2015 Sau vòng thi thứ với 30 câu hỏi, thí sinh mời dự vịng thi tự luận TIỂU BAN ĐỀ THI MYTS Ban đề thi Cộng tác Hà Huy Khối Vũ Thế Khơi Ngơ Hồng Long Phạm Văn Thuận Lê Vĩ Michel Bataille Aaron Doman Nguyễn Tiến Dũng Trần Quang Hùng Nguyễn Văn Linh Lê Phúc Lữ Nguyễn Khắc Minh Phạm Huy Tùng Trịnh Huy Vũ Đại học Thăng Long Viện Toán học, Hà Nội Đại học Sư Phạm, Hà Nội Hexagon of Maths & Science Đại học Khoa học Tự nhiên University of Rouen, France University of California, Berkeley, USA Institut de Mathématiques de Toulouse Trường THPT chuyên KHTN Đại học Sư phạm, Hà Nội Tp Hồ Chí Minh Cục Khảo Thí, Bộ Giáo dục & Đào tạo University of Melbourne, Australia Trường THPT chuyên KHTN 4 4 4 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM Tìm Kiếm Tài Tốn học trẻ Việt Nam Tính tổng + + + 16 + 32 + 64 + 128 Hỏi phải tô thêm để diện tích phần tơ màu diện tích hình vẽ? Chín số tự nhiên liên tiếp có tổng 909 Hỏi số nhỏ bao nhiêu? Dũng muốn xếp hình lập phương nhỏ nhau, thành hình lập phương lớn Hiện bạn Dũng xếp khối hình vẽ Bạn Dũng muốn sử dụng hình lập phương nhỏ tốt Theo bạn, bạn Dũng cần thêm hình lập phương nhỏ nữa? Có số tự nhiên nhỏ 529 mà chia số cho có số dư 2? Biết + + + + · · · + 113 = k × k, tính k Có 45 học sinh xếp thành hàng dọc, theo quy tắc sau − có bạn nữ đứng đầu hàng bạn nữ đứng cuối hàng; − sau bạn nữ, trừ bạn đứng cuối hàng, có bạn nam đến bạn nữ khác Hỏi có bạn nữ? Tìm ba chữ số tận tích số 1133557799 × 9977553311 Trong hộp kín có viên bi trắng, viên bi vàng, 10 viên bi xanh, 12 viên bi đen Hỏi cần bốc viên bi từ hộp để chắn số bi bốc có viên màu? 4 4 4 10 Cô giáo bảo bạn điền số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, vào ơ, số Sau cộng số hàng ngang, cộng số hàng dọc, tính tổng hai số thu Bạn Dung reo lên: "Chắc chắn khơng bạn có kết lớn tớ!" Hỏi bạn Dung có kết bao nhiêu? 11 Một tổ thợ mộc có người đóng 75 ghế ngày Hỏi tổ thợ mộc có người đóng ghế ngày, giả thiết suất lao động thợ mộc nhau? 12 Các chữ từ GEOMETRY viết vào bảng cho hai chữ liền kề từ phải nằm hai có chung đỉnh chung cạnh Theo bạn, bảng sau không hợp lệ? G E G O T E E G E O E T M E O M O M G M O R E R R E T E T E M Y T Y Y G Y R R Y Hình Hình Hình Hình Hình 13 Một dãy nhà đánh số lẻ liên tiếp từ đến 29 Người ta cần cắt chữ số kim loại để gắn lên nhà Chi phí để cắt chữ số 30000 đồng Hỏi tổng chi phí cắt chữ kim loại cho dãy nhà bao nhiêu? 14 Sử dụng hình lập phương giống nhau, ơng Thuận xếp khối hình dạng chữ C, hình bên Biết cạnh hình lập phương cm, tính diện tích bề mặt khối hình 15 Các từ BEAUTIFUL viết liên tiếp thành hàng BEAUTIFULBEAUTIFULBEAUTIFULBEAUT cho hàng có 500 chữ Hỏi hai chữ cuối hàng chữ nào? 16 Trong số chia hết cho 15, có sáu chữ số khơng có hai chữ số giống nhau, số lớn nhất? 17 Trong hình bên, hai hình vng nhỏ có diện tích cm2 cm2 vẽ bên hình vng lớn có diện tích 81 cm2 Tính diện tích phần tô màu 4 4 4 4 18 Xuân Lan năm tuổi, em trai tuổi, mẹ năm 33 tuổi Gia đình Xuân Lan du lịch vào dịp tuổi mẹ gấp hai lần tổng số tuổi hai Hỏi năm gia đình Xuân Lan du lịch? 19 Tính + − + + − 11 + 13 + 15 − 17 + 19 + 21 − 23 + · · · + 205 + 207 − 209 20 Hình lập phương có đỉnh 12 cạnh Bạn Dũng viết lên tám đỉnh hình lập phương số 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, cho có nhiều cạnh mà tổng hai số hai đầu mút cạnh số lẻ Hỏi có cạnh vậy? 21 Trong lớp học, có số bạn gái số bạn trai đeo kính Biết số bạn gái đeo kính số bạn trai đeo kính, tính tỉ số số học sinh KHƠNG đeo kính số học sinh lớp? 22 Nối đỉnh hình vng với trung điểm (điểm giữa) cạnh đối diện, hình vẽ Biết diện tích hình vng 200 cm2 , hỏi diện tích phần tơ màu bao nhiêu? 23 Một người xe đạp với vận tốc km/h ô tô với vận tốc 60 km/h khởi hành lúc từ địa điểm A đến địa điểm B Sau 40 phút, xe máy với vận tốc 40 km/h khởi hành từ A để đến B Hỏi quãng đường AB, vào lúc xe máy xe đạp tơ? 24 Có số có bốn chữ số mà tổng chữ số số 4? 5 5 5 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM Tìm Kiếm Tài Tốn học trẻ Việt Nam Tìm số tự nhiên N nhỏ có ba chữ số cho tổng chữ số 13 Trong hộp kín có viên bi trắng, viên bi vàng, 10 viên bi xanh, 12 viên bi đen Hỏi cần bốc viên bi từ hộp để chắn số bi bốc có viên màu? Trong hình vẽ bên, tam giác chia thành tam giác nhỏ Hỏi diện tích phần tơ màu phần diện tích tam giác lớn? Trong số chia hết cho 15, có sáu chữ số khơng có hai chữ số giống nhau, số lớn nhất? Cơ giáo bảo bạn điền số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, vào ô, số Sau cộng số hàng ngang, cộng số hàng dọc, tính tổng hai số thu Bạn Dung reo lên: "Chắc chắn khơng bạn có kết lớn tớ!" Hỏi bạn Dung có kết bao nhiêu? Thầy Thuận cắt mảnh giấy thành đa giác, mà đa giác có hình thằn lằn Sau đó, đa giác ghép khít lại để hình bên Thầy Thuận muốn dùng màu để tơ hình bên cho thằn lằn tô màu hai thằn lằn kề tơ khác màu Theo em, thầy Thuận dùng màu? Biết + + + + · · · + 113 = k × k, tính k Xn Lan năm tuổi, em trai tuổi, mẹ năm 33 tuổi Gia đình Xuân Lan du lịch vào dịp tuổi mẹ gấp hai lần tổng số tuổi hai Hỏi năm gia đình Xuân Lan du lịch? Hình bên có chu vi tạo nên từ bốn nửa đường trịn, có tâm nằm đường thẳng, gồm nửa đường trịn lớn bán kính 14 cm, nửa đường trịn nhỡ bán kính cm, hai nửa đường trịn nhỏ Tính diện tích phần tô màu, coi π = 22/7 5 5 5 10 Trong hình bên, hai hình vng có cạnh 16 cm 12 cm Tính diện tích phần tơ đậm 11 Tìm số tự nhiên N nhỏ có ba chữ số, chia hết cho 77 tất chữ số N số lẻ 12 Một tổ thợ mộc có người đóng 75 ghế ngày Hỏi tổ thợ mộc có người đóng ghế ngày, giả thiết suất lao động thợ mộc nhau? 13 Một dãy nhà đánh số lẻ liên tiếp từ đến 29 Người ta cần cắt chữ số kim loại để gắn lên nhà Chi phí cho việc cắt chữ số 30000 đồng Hỏi tổng chi phí cho việc cắt chữ số kim loại cho dãy nhà bao nhiêu? 14 Sử dụng hình lập phương giống nhau, ơng Thuận xếp khối hình dạng chữ C hình vẽ Biết cạnh hình lập phương cm, tính diện tích bề mặt khối hình 15 Các từ BEAUTIFUL viết liên tiếp thành hàng BEAUTIFULBEAUTIFULBEAUTIFULBEAUT cho hàng có 500 chữ Hỏi hai chữ cuối hàng chữ nào? 16 Trong hình bên, hai hình vng nhỏ có diện tích cm2 cm2 vẽ bên hình vng lớn có diện tích 81 cm2 Tính diện tích phần tơ màu 17 Có số tự nhiên nhỏ 251 , chia hết cho không chia hết cho 5? 18 Nối đỉnh hình vng với trung điểm (điểm giữa) cạnh đối diện, hình vẽ Biết diện tích hình vng 200 cm2 , hỏi diện tích phần tơ màu bao nhiêu? 5 5 5 19 Trong hình đây, ABCD hình thang có diện tích 198 cm2 , diện tích hai tứ giác EKHL GM JN 32 cm2 41 cm2 Tính tổng diện tích phần tô màu E A F L K G M N 41 32 D B I H J C 20 Hình lập phương có đỉnh 12 cạnh Bạn Dũng viết lên tám đỉnh hình lập phương số 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, cho có nhiều cạnh mà tổng hai số hai đầu mút cạnh số lẻ Hỏi có cạnh cách viết bạn Dũng? 21 Một người xe đạp với vận tốc km/h ô tô với vận tốc 60 km/h khởi hành lúc từ địa điểm A đến địa điểm B Sau 40 phút, xe máy với vận tốc 40 km/h khởi hành từ A để đến B Hỏi quãng đường AB vào lúc xe máy xe đạp tơ? 22 Hỏi hình bên có tam giác? 23 Trong lớp học, có số bạn gái số bạn trai đeo kính Biết số bạn gái đeo kính số bạn trai đeo kính, tính tỉ số số học sinh KHƠNG đeo kính tổng số học sinh lớp? 24 Có số có bốn chữ số mà tổng chữ số số 4? 6 6 6 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM Tìm Kiếm Tài Tốn học trẻ Việt Nam Trong hình bên, hai hình vng nhỏ có diện tích cm2 cm2 vẽ bên hình vng lớn có diện tích 81 cm2 Tính diện tích phần tơ màu Tìm số tự nhiên nhỏ có ba chữ số cho tổng chữ số 13 Ở vương quốc có loại quái vật là: quái vật béo có đầu tay quái vật gầy có đầu, 10 tay Một ngày nọ, chàng dũng sĩ đến khu rừng để diệt bọn quái vật đếm có 10 16 đầu Hỏi chúng có tổng cộng tay? Tìm số tự nhiên N nhỏ chia hết cho 33 tất chữ số N số lẻ, khơng có hai chữ số giống Hình chữ nhật cắt thành 16 hình thang vng nhau, hình bên Biết đáy nhỏ hình thang dài cm Tính diện tích hình chữ nhật Tìm số tự nhiên N nhỏ có bảy chữ số mà khơng có hai chữ số giống nhau, N chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 7 Thầy Thuận cắt mảnh giấy thành đa giác, mà đa giác có hình thằn lằn Sau đó, đa giác ghép khít lại để hình bên Thầy Thuận muốn dùng số màu để tơ hình bên cho thằn lằn màu hai thằn lằn kề khác màu Theo em, thầy Thuận dùng màu? Có số có bốn chữ số mà tổng chữ số số 4? Số 151 gọi số đối xứng viết chữ số theo thứ tự ngược lại ta số Hỏi có tất số đối xứng có ba chữ số? 10 Các từ BEAUTIFUL viết liên tiếp thành hàng BEAUTIFULBEAUTIFULBEAUTIFULBEAUT cho hàng có 500 chữ Hỏi hai chữ cuối hàng gì? 6 6 6 11 Tìm số tự nhiên N nhỏ có ba chữ số, chia hết cho 77 tất chữ số N số lẻ 12 Trong hình đây, ABCD hình thang có diện tích 198 cm2 , diện tích hai tứ giác EKHL GM JN 32 cm2 41 cm2 Tính tổng diện tích phần tô màu E A F L K G M N 41 32 D B I H J C 13 Trong số chia hết cho 15, có sáu chữ số khơng có hai chữ số giống nhau, số lớn nhất? 14 Một dãy nhà đánh số lẻ liên tiếp từ đến 29 Người ta cần cắt chữ số kim loại để gắn lên nhà Chi phí chữ số 30000 đồng Hỏi tổng chi phí cắt chữ kim loại cho dãy nhà bao nhiêu? 15 Sử dụng hình lập phương giống nhau, ơng Thuận xếp khối hình dạng chữ C hình vẽ Biết cạnh hình lập phương cm, tính diện tích bề mặt khối hình 16 Các bạn Dân, Chủ, Văn, Minh, Việt đứng xếp hàng chụp ảnh Hỏi có cách xếp năm bạn thành hàng cho bạn Dân đứng cạnh bạn Việt? 17 Nối đỉnh hình vng với trung điểm (điểm giữa) cạnh đối diện, hình vẽ Biết diện tích hình vng 200 cm2 , hỏi diện tích phần tơ màu bao nhiêu? 18 Trong lớp học, có số bạn gái số bạn trai đeo kính Biết số bạn gái đeo kính số bạn trai đeo kính, tính tỉ số số học sinh KHƠNG đeo kính tổng số học sinh lớp? 19 Hỏi hình bên có tam giác? 10 6 6 6 B A 20 Điền số bạn cho thích hợp vào chỗ trống ? 2, 5, 11, 20, 35, 59, 98, 21 Hình lập phương có đỉnh 12 cạnh Bạn Dũng viết lên tám đỉnh hình lập phương số 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, cho có nhiều cạnh mà tổng hai số hai đầu mút cạnh số lẻ Hỏi có cạnh cách viết bạn Dũng? 22 Trong hình bên, ABCDEF hình lục giác (có sáu cạnh nhau, sáu góc nhau) Điểm G nằm cạnh AF cho GF = 25 AF Biết diện tích hình lục giác 60 cm2 , tính diện tích phần tơ đậm G F C D E 23 Một người xe đạp với vận tốc km/h ô tô với vận tốc 60 km/h khởi hành lúc từ địa điểm A đến địa điểm B Sau 40 phút, xe máy với vận tốc 40 km/h khởi hành từ A để đến B Hỏi quãng đường AB vào lúc xe máy xe đạp tơ? 24 Tìm số ngun dương N nhỏ chia hết cho 99 tất chữ số N số chẵn 11 7 7 7 HỘI TỐN HỌC VIỆT NAM Tìm Kiếm Tài Toán học trẻ Việt Nam Đồ thị hàm số y = |x| cắt đường thẳng y = 10 hai điểm (a, b) (c, d), tính giá trị a + b + c + d Tỉ lệ chiều dài, chiều rộng chiều cao bể chứa nước hình hộp chữ nhật : : Tổng diện tích sáu mặt bể 112 m2 Tính thể tích bể A Cho tam giác ABC Phân giác góc ∠ABC ∠ACB cắt D Biết ∠BDC = 114◦ , tính góc ∠CAB ? D 114◦ B C Xét cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn điều kiện ab ba = 72 Hỏi a + b nhận giá lớn bao nhiêu? Hình vẽ truyền động gồm ba bánh Giả sử bánh A có 16 răng, bánh B có 22 răng, bánh C có 10 Bánh A quay với vận tốc 60 vòng phút Hỏi bánh C quay vòng phút? A B C Trong hình bên, ABC tam giác cân đỉnh A, với AB = AC = cm Điểm D nằm tia BC cho AD = cm Biết BC = cm, tính độ dài BD A B Xét cặp số thực x, y thỏa mãn điều kiện thức |10x − 3y| 12 x = y C D xy = 600 Tính giá trị biểu 7 7 7 Hạnh cân nhắc mua hai điện thoại từ hai nhà cung cấp viễn thông Hãng thứ bán điện thoại giá 120$ thu phí tháng 30$ cho thời gian gọi định mức mà bạn Hạnh đăng ký Hãng thứ hai bán điện thoại loại giá 40$ thu phí 40$ tháng cho định mức gọi mà Hạnh đăng ký Hỏi sau tháng tổng chi phí mà Hạnh phải trả hai cơng ty nhau? Tìm số tự nhiên N nhỏ có bảy chữ số mà khơng có hai chữ số giống nhau, biết rằngN chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 10 Bốn đường trịn đơn vị, đơi tiếp xúc với Một hình chữ nhật có cạnh tiếp xúc với bốn đường tròn (xem hình vẽ) Biết √ chiều dài hình chữ nhật c + a b, a, b, c số nguyên dương b khơng phải số phương Tính giá trị a + b + c 11 Xét ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện trị lớn biểu thức yz − x x = y = z |x − y| = z /12 Tìm giá 12 Cho k hai đường thẳng song song Lấy điểm phân biệt đường thẳng k điểm đường thẳng Hỏi vẽ tất tam giác mà tam giác có ba đỉnh ba số 16 điểm này? k 13 Tìm hai chữ số tận số A = (1 + + + · · · + 2016 + 2017)2 14 Trong hình bên, ABC tam giác vuông A Lấy hai điểm D, E cạnh AC cho ∠ACB = ∠CBE = ∠ABD = 19◦ Biết , m, n hai số nguyên AE/CD = m n tố Tính 3m + 5n A D c B E b C a 15 Tìm số tự nhiên N nhỏ có ba chữ số, chia hết cho 77 tất chữ số N số lẻ B A 16 Trong hình bên, ABCDEF hình lục giác (có sáu cạnh nhau, sáu góc nhau) Điểm G G nằm cạnh AF cho GF = 52 AF Biết diện tích C F hình lục giác 120 cm2 , tính diện tích phần tơ đậm D 13 E 7 7 7 17 Có chín thẻ, thẻ ghi chữ số từ đến Hỏi có cách chọn bảy thẻ cho tổng số ghi thẻ chia hết cho 3? 18 Sáu người soạn văn bản, làm việc ngày giờ, hoàn thiện thảo sách 16 ngày Hỏi người làm cơng việc hết ngày hoàn thành, biết người làm việc ngày suất họ nhau? 19 Hỏi 100 số tự nhiên liên tiếp có nhiều số nguyên tố? 20 Tính tổng số đo chín góc hình vẽ B G ∠A + ∠B + ∠C + · · · + ∠H + ∠I E D A H I F C 21 Hình lập phương có đỉnh 12 cạnh Bạn Dũng viết lên tám đỉnh hình lập phương số 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, cho có nhiều cạnh mà tổng hai số hai đầu mút cạnh số lẻ Hỏi có cạnh cách viết bạn Dũng? 22 Hỏi có cặp số nguyên dương (x, y) cho x + y = ? 2020 23 Tìm số nguyên dương N nhỏ nhất, chia hết cho 99 tất chữ số N chẵn 24 Hỏi tích × × × · · · × 999 × 1000 có thừa số phân tích thừa số nguyên tố? 14 8 8 8 HỘI TỐN HỌC VIỆT NAM Tìm Kiếm Tài Tốn học trẻ Việt Nam Biết x2 − 3x + = 0, tính giá trị x4 + 1/x4 Tỉ lệ chiều dài, chiều rộng chiều cao bể chứa nước hình hộp chữ nhật : : Tổng diện tích sáu mặt bể 112 m2 Tính thể tích bể Biết Hỏi + + + = 32, + + = 43 bao nhiêu? Các đường cong hình bên đồ thị hàm số y = a/x Biết đồ thị qua điểm K(1/6; 2) điểm (b; c) với b − 48c = 0, nằm bên phải trục tung thuộc đồ thị Tính b + 120c K 1 −4 −3 −2 −1 −1 y = a/x −2 −3 −4 Tìm số tự nhiên N nhỏ có bảy chữ số mà khơng có hai chữ số giống nhau, đồng thời N chia hết cho tổng chữ số chia hết cho A B 104 Hai nửa đường tròn vẽ hình chữ nhật ABCD cắt hai điểm Biết AB = 104 cm BC = 96 cm, hỏi khoảng cách hai giao 96 ? điểm hai nửa đường tròn cm? D Ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện biểu thức yz − x x = Tìm số dư chia số 22017 cho 37 15 y C = z |x − y| = z /12 Tìm giá trị lớn 8 8 8 Vẽ tam giác đều, hình vng ngũ giác chodchúng chung đỉnh, hình vẽ Hai đường thẳng AK, HL vng góc với KL Tính góc đánh dấu đỉnh E I F A J C tam giác 55◦ 21◦ H ngũ giác hình vng E B D ? 39◦ G K L 10 Hình lập phương có đỉnh 12 cạnh Bạn Dũng viết lên tám đỉnh hình lập phương số 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, cho có nhiều cạnh mà tổng hai số hai đầu mút cạnh số lẻ Hỏi có cạnh cách viết bạn Dũng? 11 Hình vẽ truyền động gồm ba bánh Giả sử bánh A có 16 răng, bánh B có 22 răng, bánh C có 10 Bánh A quay với vận tốc 60 vòng phút Hỏi bánh C quay vòng phút? A B C 12 Cho k hai đường thẳng song song Lấy điểm phân biệt đường thẳng k điểm đường thẳng Hỏi vẽ tất tam giác mà tam giác có ba đỉnh ba số 16 điểm này? k 13 Tìm hai chữ số tận bên phải số (1 + + + · · · + 2016 + 2017)2 16 8 14 Cho hình thoi ABCD, hai điểm E, F cạnh AB CD cho CE = CA, , CF = DF Giả sử AF/DE = m n m/n phân số tối giản Tính giá trị 3m + 5n 8 A E B D F C 15 Tìm số tự nhiên N nhỏ số có ba chữ số, chia hết cho 77 tất chữ số N số lẻ B A 16 Trong hình bên, ABCDEF hình lục giác (có sáu cạnh nhau, sáu góc nhau) Điểm G G nằm cạnh AF cho GF = 52 AF Biết diện tích C F hình lục giác 120 cm2 , tính diện tích phần tơ đậm D E 17 Hỏi 100 số tự nhiên liên tiếp có nhiều số nguyên tố? 18 Giả sử n số nguyên, n ≥ Khi chia n2 cho 10 số dư 1, tìm số dư chia n2 cho 20 19 Một đa giác chia thành 18 ngũ giác nhau, hình bên; ngũ giác có tất cạnh Gọi k, số đo hai góc lớn ngũ giác Tính giá trị k + 20 Có chín thẻ, thẻ ghi chữ số từ đến Hỏi có cách chọn bảy thẻ cho tổng số ghi thẻ chia hết cho 3? 21 Từ số nguyên {1, 2, 3, , 99}, ta chọn nhiều số nguyên cho tổng hai số số chọn không chia hết cho 3? 22 Hỏi có cặp số nguyên dương (x, y) cho x + y = ? 2020 23 Tìm số nguyên dương N nhỏ chia hết cho 99 tất chữ số N chẵn 24 Ba số thực a, b, c thỏa mãn đẳng thức a2 + b2 + c2 + 4ab = 128, hỏi giá trị lớn ab + bc + ca bao nhiêu? 17 9 9 9 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM Tìm Kiếm Tài Tốn học trẻ Việt Nam Giải phương trình √ x + 17 + √ x = 17 x2 , với a, b số, b cắt trục hoành điểm (8, 0) (−8, 0), cắt trục tung (0, 8) Hỏi giá trị a + b bao nhiêu? y A Trong hệ trục tọa độ Oxy, đồ thị hàm số y = a − y = a − x2 /b C B −8 x √ √ √ √ Biết ( a + 1/2)2 = ( b − 1/2)2 = 1, tính giá trị b − a Hình vẽ truyền động gồm ba bánh Giả sử bánh A có 16 răng, bánh B có 22 răng, bánh C có 10 Bánh A quay với vận tốc 60 vòng phút Hỏi bánh C quay vòng phút? A B C Cho k hai đường thẳng song song Lấy điểm phân biệt đường thẳng k điểm đường thẳng Hỏi vẽ tất tam giác mà tam giác có ba đỉnh ba số 16 điểm này? k 18 9 Ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện biểu thức yz − x x = y = z |x − y| = z /12 Tìm giá trị lớn A Hai nửa đường trịn vẽ hình chữ nhật ABCD cắt hai điểm Biết AB = 104 cm BC = 96 cm, hỏi khoảng cách hai giao điểm hai nửa đường tròn cm? B 104 96 ? D C Giả sử n số nguyên, n ≥ Khi chia n2 cho 10 số dư 1, tìm số dư chia n2 cho 20 Tìm hai chữ số tận bên phải số (1 + + + · · · + 2016 + 2017)2 B G 10 Tính tổng số đo chín góc hình vẽ E D ∠A + ∠B + ∠C + · · · + ∠H + ∠I A H I F C 11 Hình lập phương có đỉnh 12 cạnh Bạn Dũng viết lên tám đỉnh hình lập phương số 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, cho có nhiều cạnh mà tổng hai số hai đầu mút cạnh số lẻ Hỏi có cạnh cách viết bạn Dũng? 12 Tìm số dư chia số 22017 cho 37 A 13 Cho hình thoi ABCD, hai điểm E, F cạnh AB CD cho CE = CA, CF = DF Giả sử AF/DE = m , n m/n phân số tối giản Tính giá trị 3m + 5n E B D F B 14 Trong hình bên, ABCDEF hình lục giác (có sáu cạnh nhau, sáu góc nhau) Điểm G nằm cạnh AF cho GF = 52 AF Biết diện tích hình lục giác 120 cm2 , tính diện tích phần tô đậm A G F C D 19 C E 9 9 9 15 Hỏi 100 số tự nhiên liên tiếp có nhiều số nguyên tố? 16 Một đa giác chia thành 18 ngũ giác nhau, hình bên; ngũ giác có tất cạnh Gọi k, số đo hai góc lớn ngũ giác Tính giá trị k + 17 Có chín thẻ, thẻ ghi chữ số từ đến Hỏi có cách chọn bảy thẻ cho tổng số ghi thẻ chia hết cho 3? B A 18 Biết ABCD tứ giác ngoại tiếp đường tròn (I, r) với CD = Hai đường tròn (K) (L) có bán kính Cho KL = 3, tính r I L K C D 19 Hỏi có cặp số nguyên dương (x, y) cho x + y = ? 2020 20 Tìm số tự nhiên N nhỏ chia hết cho 99 tất chữ số N chẵn 21 Giả sử p, q hai nghiệm phương trình x2 − x − = 0, tính giá trị biểu thức |p3 + p − 5| + |q + q − 5| 22 Bốn số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 1, giá trị lớn biểu thức a(b2 + c2 + d2 ) m , n m/n phân số tối giản Tính giá trị m + n 23 Với số nguyên dương N , ký hiệu S(N ) tổng chữ số N Tìm số N nhỏ cho S(N ) S(N + 1) chia hết cho 24 Với số nguyên dương N ta tính tích chữ số nó, tổng chữ số cộng hai kết lại Tổng cuối ký hiệu S(N ) Hỏi số nguyên từ đến 100 (kể 100) có số N thỏa mãn S(N ) = N ? 20 10 10 10 10 10 10 HỘI TỐN HỌC VIỆT NAM Tìm Kiếm Tài Tốn học trẻ Việt Nam √ √ Giải phương trình x + 17 + x = 17 √ √ √ √ Biết ( a + 1/2)2 = ( b − 1/2)2 = 1, tính giá trị b − a Các đường cong hình bên đồ thị hàm số y = a/x Biết đồ thị qua điểm K(1/6; 2) điểm (b; c) với b − 48c = 0, nằm bên phải trục tung thuộc đồ thị Tính b + 120c K y = a/x −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 Tìm giá trị lớn hàm số f (x) = sin6 x + cos6 x + sin2 x cos2 x Hình vẽ truyền động gồm ba bánh Giả sử bánh A có 16 răng, bánh B có 22 răng, bánh C có 10 Bánh A quay với vận tốc 60 vòng phút Hỏi bánh C quay vòng phút? A B Ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện biểu thức yz − x x C = y = z |x − y| = z /12 Tìm giá trị lớn Hỏi 100 số tự nhiên liên tiếp có nhiều số nguyên tố? Giả sử n số nguyên, n ≥ Khi chia n2 cho 10 số dư 1, tìm số dư chia n2 cho 20 Hàm số f : R → R không giảm (tức là, với a, b ∈ R, a < b ta có f (a) ≤ f (b)) f (1) = Hỏi có giá trị x thỏa mãn f (1 + x) = − x? 21 10 10 10 10 Cho hai parabol y = x + ax + b y = x2 +bx+a cắt trục tọa độ A, B, C, D E, cắt điểm B nằm trục hồnh, hình vẽ Biết tọa độ điểm A (−8, 0), tính diện tích tứ giác ADCE 10 10 y 10 D B A C x E 11 Tìm số dư chia số 22017 cho 37 A 12 Cho hình thoi ABCD, hai điểm E, F cạnh AB CD cho CE = CA, , CF = DF Giả sử AF/DE = m n m/n phân số tối giản Tính giá trị 3m + 5n E B D F C 13 Hình lập phương có đỉnh 12 cạnh Bạn Dũng viết lên tám đỉnh hình lập phương số 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, cho có nhiều cạnh mà tổng hai số hai đầu mút cạnh số lẻ Hỏi có cạnh cách viết bạn Dũng? 14 Trong hình bên, ABCDEF hình lục giác Điểm G nằm cạnh AF cho GF = 25 AF Biết diện tích hình lục giác 120 cm2 , tính diện tích phần tơ đậm B G F C D 15 Một đa giác chia thành 18 ngũ giác nhau, hình bên; ngũ giác có tất cạnh Gọi k, số đo hai góc lớn ngũ giác Tính giá trị k + 22 A E 4 16 Bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn 4 4 a + b + c + d = a2 + b + c + d Giả sử giá trị NHỎ biểu thức (a + b)(c + d) + ab + cd T Tính giá trị 100 + 8T 17 Có chín thẻ, thẻ ghi chữ số từ đến Hỏi có cách chọn bảy thẻ cho tổng số ghi thẻ chia hết cho 3? 18 Hỏi có cặp số nguyên dương (x, y) cho x + y = ? 2020 19 Biết tháng năm 2012 có ngày thứ Tư Hỏi năm mà tháng có ngày thứ Tư? Tháng 13 14 15 20 21 22 27 28 29 Tháng 16 23 10 17 24 11 18 25 12 19 26 12 13 14 15 19 20 21 22 26 27 28 29 16 23 30 10 17 24 31 11 18 25 20 Tìm số tự nhiên N nhỏ chia hết cho 99 tất chữ số N số chẵn 21 Ba số thực a, b, c thỏa mãn đẳng thức a2 + b2 + c2 + 4ab = 128, hỏi giá trị lớn ab + bc + ca bao nhiêu? 22 Với số nguyên dương N , ký hiệu S(N ) tổng chữ số N Hỏi số N nhỏ có S(N ) S(N + 1) chia hết cho số nào? 23 Với số nguyên dương N ta tính tích chữ số nó, tổng chữ số cộng hai kết lại Tổng cuối ký hiệu S(N ) Hỏi số nguyên từ đến 100 (kể 100) có số N thỏa mãn S(N ) = N ? 24 Một câu lạc có khơng q 497 người chia thành 11 nhóm nhỏ rời nhau, đánh số từ đến 11 cho người nhóm thứ i quen với j người nhóm thứ j với i = j i, j ∈ {1, 2, 3, , 11} Hỏi câu lạc có nhiều người? 23 ... tốn học (MYTS) Hội Tốn học Việt Nam tổ chức hàng năm, sau Hexagon khởi sướng từ năm 2015 Sau vòng thi thứ với 30 câu hỏi, thí sinh mời dự vịng thi tự luận TIỂU BAN ĐỀ THI MYTS Ban đề thi Cộng... nhau, ơng Thuận xếp khối hình dạng chữ C hình vẽ Biết cạnh hình lập phương cm, tính diện tích bề mặt khối hình 16 Các bạn Dân, Chủ, Văn, Minh, Việt đứng xếp hàng chụp ảnh Hỏi có cách xếp năm bạn... Sử dụng hình lập phương giống nhau, ơng Thuận xếp khối hình dạng chữ C hình vẽ Biết cạnh hình lập phương cm, tính diện tích bề mặt khối hình 15 Các từ BEAUTIFUL viết liên tiếp thành hàng BEAUTIFULBEAUTIFULBEAUTIFULBEAUT