So tay giai toan 12

Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool CẨM NANG GIẢI TỐN 12 V2.0 “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com MỤC LỤC Trường PTLC Vinschool CHỦ ĐỀ TRANG A KHẢO SÁT HÀM SỐ B LUỸ THỪA - MŨ - LÔGARIT 19 C NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 27 D SỐ PHỨC 44 E PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ 49 F NĨN – TRỤ-CẦU 60 G KHỐI ĐA DIỆN 71 H GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 74 I BỔ SUNG MỘT SỐ KIẾN THỨC 84 J TÓM TẮT CƠNG THỨC TỐN THPT 94 “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool A KHẢO SÁT HÀM SỐ Tính đơn điệu 1.1 Lí thuyết a) Định nghĩa: Cho K khoảng, đoạn nửa khoảng Giả sử f(x) hàm số xác định K - Hàm số f(x) gọi đồng biến K " x1 , x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1 ) < f ( x2 ) - Hàm số f(x) gọi nghịch biến K " x1 , x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1 ) > f ( x2 ) b Điều kiện cần Giả sử f có đạo hàm khoảng K - Hàm số f(x) không đổi K Û "x Ỵ K : f '( x ) = - Nếu f đồng biến khoảng K f '( x ) ³ 0, "x Ỵ K - Nếu f nghịch biến khoảng K f '( x ) £ 0, " x Ỵ K c Điều kiện đủ Giả sử f có đạo hàm khoảng K - Nu f (x) 0, "x ẻ I (f¢(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến K - Nếu f¢ (x) £ 0, "x ẻ I (fÂ(x) = ti mt s hữu hạn điểm) f nghịch biến K - Nu fÂ(x) = 0, "x ẻ I thỡ f khụng đổi K Một số vấn đề khác a) Định lí dấu tam thức bậc hai: g( x ) = ax + bx + c (a ¹ 0) + Nếu D < g ( x ) dấu với a + Nếu D = g ( x ) ln dấu với a (trừ x = - b ), 2a ổ b gỗ - ữ = ố 2a ø + Nếu D > g( x ) có hai nghiệm x1 , x2 khoảng hai nghiệm g( x ) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g( x ) dấu với a ìa > ìa < Chú ý: - Nếu y ' = ax + bx + c (a ¹ 0) thì: +) y ' ³ 0, "x Î R Û í +) y ' £ 0, "x Ỵ R Û í D £ ỵ ỵD £ - Nếu D = hay g( x ) = a ( x - a ) g(x) không đổi dấu qua a , dấu g(x) phụ thuộc dấu a - Nếu D > g(x) đổi dấu qua x1 , x2 ( đổi từ+ sang – sang +, đổi từ - sang + sang -) b) So sánh nghiệm x1 , x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0: ìD ³ ï +) x1 £ x2 < Û í P > ïỵS < ìD ³ ï +) < x1 £ x2 Û í P > ïỵS > +) x1 < < x2 Û P < c) So sánh nghiệm x1 , x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số a : ïì( x - a )( x2 - a ) > TH1: x1 < x2 < a : í ïỵ x1 + x2 < 2a ìï( x - a )( x2 - a ) > TH2: a < x1 < x2 : í ïỵ x1 + x2 > 2a TH3: x1 < a < x2 : ( x1 - a )( x2 - a ) < “Nếu không người mà không xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool d) Hàm số bậc hai: y = ax + bx + c (a ¹ 0) a>0 Đồ thị hàm số parabol có đỉnh a0 chứa tập K Để hàm số y = f ( x ) nghịch biến tập K tồn khoảng để f’(x) ê íD £ êỵ “Điều kiện để hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d đồng biến R ê ìa = ; nghịch biến ï ê íb = ê ïc > ëỵ é ìa < ê íD £ êỵ R ê ìa = ” ï ê íb = ê ïc < ëỵ · Hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d đồng biến ( nghịch biến) K khoảng mà f '( x ) ³ ( f '( x ) ³ ) hàm số phải chứa K · Hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d đồng biến (nghịch biến) khoảng có độ dài l ìa < ï í D > ï x1 - x2 = l ỵ ìa > ï ( íD > ) ï x1 - x2 = l ợ ax + b (c 0, ad - bc ¹ 0) cx + d Điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng xác định ad - bc > b) Hàm số phân thức dạng f ( x ) = · ( ad - bc < 0) · · Điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a ; +¥ ) ìad - bc > ï í d ïa £ - c ỵ ( ad - bc < ) ìad - bc > ï í d ïa ³ - c ỵ ( ad - bc < ) Điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên ( -¥;a ) +) Đối với hàm hợp y = f ( g( x )) , hàm u = g( x ) xác định có đạo hàm ( a; b ) , lấy giá trị khoảng ( c; d ) ; hàm y = f (u ) xác định ( c; d ) có đạo hàm ( c; d ) , lấy giá trị R · ïì g '( x ) > " x Ỵ ( a; b ) ïì g '( x ) < " x Ỵ ( a; b ) Nếu í í hàm số y = f ( g ( x )) đồng biến ïỵ f '(u) > "u Ỵ ( c; d ) ïỵ f '(u) < "u Ỵ ( c; d ) ( a; b ) · ìï g '( x ) < " x Ỵ ( a; b ) ìï g '( x ) < " x Ỵ ( a; b ) Nếu í í hàm số y = f ( g( x )) nghịch biến ïỵ f '(u) > "u ẻ ( c; d ) ùợ f '(u) > "u Ỵ ( c; d ) ( a; b ) · Nếu f(x) g(x) hàm số dương mà đồng biến (nghịch biến) K f(x)+g(x) f(x).g(x) đồng biến K “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 2.1 Lí thuyết 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool a) Định nghĩa: Giả sử hàm số f ( x ) xác định D, x0 Ỵ D - Điểm x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f(x) tồn số thực dương h cho ( x - h; x0 + h ) chứa D f ( x ) > f ( xo ), x Ỵ ( x0 - h; x0 + h ) \ { x0 } Khi đó: + Giá trị f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số + Điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi điểm cực tiểu đồ thị hàm số y=f(x) + Hàm số đạt cực tiểu điểm x0 - Điểm x0 gọi điểm cực đại hàm số f(x) tồn số thực dương h cho ( x - h; x0 + h ) chứa D f ( x ) < f ( xo ), x Ỵ ( x0 - h; x0 + h ) \ { x0 } Khi đó: Giá trị f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số Điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số y=f(x) + Giá trị f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số + Điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số y=f(x) + Hàm số đạt cực đại điểm x0 Chú ý: + x0 thuộc tập xác định hàm số f(x) + Cực đại, cực tiểu gọi chung cực trị b) Định lí: Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đạt cực trị điểm x0 không tồn f '(x ) f '( x0 ) = Điều kiện đủ 1: Giả sử tồn ( a; b ) Ì D x0 , hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm khoảng ( a; x0 ) , ( x0 ; b ) · ìï f '( x ) < "x Ỵ ( a; x0 ) Nếu í x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) ïỵ f '( x ) > "x Î ( x ; b ) · ìï f '( x ) > "x Ỵ ( a; x0 ) x0 điểm cực đại hàm số f(x) Nếu í ïỵ f '( x ) < "x Ỵ ( x0 ; b ) Điều kiện đủ 2: Giả sử tồn ( a; b ) Ì D x0 , hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm cấp (a;b) có đạo hàm cấp hai x0 Khi đó: · ì f '( x0 ) = Nếu í x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) ỵ f ''( x0 ) > · ì f '( x0 ) = Nếu í x0 điểm cực đại hàm số f(x) î f ''( x0 ) < Chú ý: + Nếu f '( x0 ) = chưa x0 cực trị hàm số f(x) “Nếu không người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com + Hàm số đạt cực trị x0 mà f’(x) khơng xác định Trường PTLC Vinschool + Chỉ xét cực trị hàm số f(x) đạo hàm khơng đạo hàm khơng xác định điểm (hàm số khơng có đạo hàm) 2.2 Một số vấn đề khác a) Hàm số đa thức bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) : · ì ìa ¹ ïa = ï ï Hàm số đạt cực đại x0 khi: íD f '(x) > íb < ï f ''( x ) < ï c ỵ = x0 ùợ 2b à ỡ ỡa ùa = ï ï Hàm số đạt cực tiểu x0 khi: íD f '(x) > íb > ï f ''( x ) > ï c ợ = x0 ùợ 2b à ỡa ìa = Hàm số khơng có cực trị Û í í D £ ỵb = ỵ f '(x) · ìa ¹ Hàm số có cực đại, cực tiểu Û í ỵD f '(x) > · · ìa ¹ ï Hàm số có cực đại, cực tiểu x1 , x2 thoả mãn điều kiện K íb2 - 3ac > ï x1, x2 thoả mãn K ỵ Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ¹ ) Với điều kiện b - 3ac > , thực phép chia y cho y’ ta y = y’(x).g(x) + Ax + B Khi đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị y = Ax + B æ 2c b ö bc y '.y '' y '.y '' ( c th: y = ỗ hoc y ) hoc 9ay ữx+dỗ 9a ữ 9a 3y ''' è ø · Tính nhanh: Hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ¹ ) khơng có cực trị b2 - 3ac £ ; có cực đại cực tiểu b2 - 3ac > · Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc AB = 4e + 16e3 a b2 - 3ac 9a Đồ thị hàm số có hai cực trị (cực đại cực tiểu) nằm phía (khác phía) với đường thẳng: + Trục Oy: Cùng phía phương trình f’(x)=0 có hai nghiệm phân biệt dấu (Bên trái Oy: dấu âm, bên phải Oy: Cùng dấu dương) e= · “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool ì y y > + Trục Ox: Cùng nằm phía Ox khi: í CD CT ; Cùng nằm phía Ox khi: î yCD + yCT > ì y y > ; Nằm hai phía cua trục Ox khi: yCD yCT < ; í yCD CT ỵ CD + yCT < + Đường thẳng Ax + By + C = : Nằm phía ( AxCD + ByCD + C )( AxCT + ByCT + C ) > Nằm khác phía: ( AxCD + ByCD + C )( AxCT + ByCT + C ) > b) Hàm số đa thức trùng phương: f ( x ) = ax + bx + c (a ¹ 0) TH1: a = *) Nếu b > Hàm số có cực tiểu *) Nếu b < Hàm số có cực đại *) Nếu b = Hàm số cực trị ( TH2: a ¹ Khi đó: y ' = 4ax + 2bx = x 2ax + b ) *) Nếu a.b0: Hàm số có cực tiểu, cực đại a0: Hàm số có cực tiểu a Dạng 13 : Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C mà trục hồnh chia tam giác ïìab < ABC thành hai phần : í ïỵb = ac “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Dạng 14 : Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C mà điểm cực trị đồ thị ìab < hàm số cách Ox : í îb = 8ac ìab < ï 32a Dạng 15 : Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C mà BC=k.AB í k = ïỵ b - 8a Dạng 16 : Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ỉ2 D ổ2 D x2 + y2 - ỗ + c ữ y + c ỗ - ữ = a.b ïỵS < ìD ³ ï +) < x1 £ x2 Û í P > ïỵS > +) x1 < < x2 Û P < c) So sánh nghiệm... tiếp điểm y0 = f ( x ) Chú ý: Gọi k1 hệ số góc đường thẳng d1 k2 hệ số góc đường thẳng d2 Nếu d1 song song với d2 k1 = k2 Nếu d1 vng góc với d2 k1.k2 = -1 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đường... f có đạo hàm khơng có đạo hàm B2 Tính f ( x1 ) , f ( x2 ) , …, f ( xm ) , f ( a ) , f ( b ) B3 So sánh giá trị tìm bước Số lớn giá trị GTLN f đoạn éë a; b ùû ; số nhỏ giá trị GTNN f đoạn éë a;