TOÁN DETHAMKHAO2018

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KÌ THI THPT QUỐC GIA 2018 Mơn: Tốn ĐỀ THI THAM KHẢO Mã đề thi: 999 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Đề gồm có trang Họ tên: Số báo danh: Câu y Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức A z = −2 + i B z = − 2i C z = + i D z = + 2i M −2 O x Lời giải Theo hình vẽ tọa độ điểm M M (−2; 1) nên M điểm biểu diễn số phức z = −2 + i Chọn đáp án A x−2 Câu lim x→+∞ x + A − B Lời giải − x2 x−2 = = lim lim x→+∞ + x→+∞ x + x Chọn đáp án B C D −3 Câu Cho tập hợp M có 10 phần tử Số tập gồm phần tử M A A810 B A210 C C210 D 102 Lời giải Mỗi tập gồm phần tử tập M có 10 phần tử tổ hợp chập 10 phần tử Do số tập gồm phần tử M C210 Chọn đáp án C Câu Thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B 1 A V = Bh B V = Bh C V = Bh D V = Bh Lời giải Theo lý thuyết (sách giáo khoa Hình học 12 - Cơ - trang 23) ta tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B V = Bh Chọn đáp án A Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Nhóm Tốn LATEX x −∞ −2 + y 0 − +∞ + − y −∞ −1 −∞ Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng đây? B (−∞; −2) A (−2; 0) C (0; 2) D (0; +∞) Lời giải Theo bảng biến thiên ta có hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; 2); hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (−2; 0) (2; +∞) Chọn đáp án A Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức b b A V =π f (x)dx a a b b f (x)dx C V = π2 f (x)dx B V = 2π D V = π2 a f (x)dx a Lời giải Dựa vào cơng thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh trục hồnh b f (x)dx ta có: V = π a Chọn đáp án A Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau: x −∞ +∞ f (x) − + − 0 +∞ f (x) −∞ Hàm số đạt cực đại điểm A x=1 B x = C x = D x = Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đại cực đại điểm x = Chọn đáp án D Câu Với a số thực dương bất kỳ, mệnh đề đúng? Nhóm Toán LATEX A log(3a) = log a B log a3 = log a C log a3 = log a D log(3a) = log a Lời giải Ta có: log a3 = log a Chọn đáp án C Câu Họ nguyên hàm hàm số f (x) = 3x2 + x3 A x3 + C B C 6x + C + x + C Lời giải D x3 + x + C (3x2 + 1)dx = x3 + x + C Ta có: Chọn đáp án D Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; −1; 1) Hình chiếu vng góc A mặt phẳng (Oyz) điểm A M (3; 0; 0) B N (0; −1; 1) C P (0; −1; 0) D Q(0; 0; 1) Lời giải Khi chiếu điểm A (3; −1; 1) lên mặt phẳng (Oyz) tung độ cao độ giữ nguyên, hoành độ Vậy N (0; −1; 1) Chọn đáp án B Câu 11 Đường cong hình bên đồ thị hàm số đây? A y = −x4 + 2x2 + B y = x4 − 2x2 + C y = x3 − 3x2 + D y = −x3 + 3x2 + y x Lời giải Đồ thị hàm số có cực trị nên hàm số hàm trùng phương Mặt khác, đồ thị hàm số hướng xuống nên hệ số a < Chọn đáp án A Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : vectơ phương A u#» = (−1; 2; 1) B u#»2 = (2; 1; 0) x−2 y−1 z = = Đường thẳng d có −1 C u#»3 = (2; 1; 1) D u#»4 = (−1; 2; 0) Lời giải Véctơ phương d u#»1 = (−1; 2; 1) Chọn đáp án A Câu 13 Tập nghiệm bất phương trình 22x < 2x+6 A (0; 6) Nhóm Toán LATEX B (−∞; 6) C (0; 64) D (6; +∞) Lời giải Ta có 22x < 2x+6 ⇔ 2x < x + ⇔ x < Chọn đáp án B Câu 14 Cho hình nón có diện tích xung quanh 3πa2 bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón √ A 2a B 3a C 2a D 3a Lời giải Diện tích xung quanh hình nón Sxq = πRl ⇒ l = Sxq = 3a πR Chọn đáp án B Câu 15 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M (2; 0; 0), N (0; −1; 0), P (0; 0; 2) Mặt phẳng (M N P ) có phương trình x y z A + + = −1 x y z C + + = 2 Lời giải x y z + + = −1 −1 x y z D + + = −1 B x y z Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn + + = a b c x y z Do (M N P ) : + + = −1 Chọn đáp án D Câu 16 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng? √ x2 − 3x + x2 x A y= B y= C y = x2 − D y= x−1 x +1 x+1 Lời giải x x Ta có lim + = −∞ nên x = −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x→−1 x + x+1 Chọn đáp án D Câu 17 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ + y y +∞ − + +∞ −∞ Số nghiệm phương trình f (x) − = A B C D Lời giải Ta có f (x) − = ⇔ f (x) = (1) Xét hàm số y = Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) y = Nhóm Tốn LATEX Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = cắt đồ thị hàm số y = f (x) điểm phân biệt Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt Chọn đáp án D Câu 18 Giá trị lớn hàm số f (x) = x4 − 4x2 + đoạn [−2; 3] A 50 B C D 122 Lời giải Ta có: f (x) xác định liên tục [−2; 3] f (x) = 4x3 − 8x  x   x   =0 √ f (x) = ⇔ 4x3 − 8x = ⇔ = √ x=− √ √ Ta có: f (−2) = 5; f (− 2) = 1; f (0) = 5; f ( 2) = 1; f (3) = 50 Vậy giá trị lớn hàm số đoạn [−2; 3] 50 Chọn đáp án A Câu 19 Tích phân dx x+3 B log 16 A 225 Lời giải 2 dx Ta có: = ln(x + 3) = ln x+3 C ln D 15 Chọn đáp án C Câu 20 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 4z − 4z + = Giá trị biểu thức |z1 | + |z2 | √ A √ B C D √ Lời giải √ i  z1 = + √  2 √ Ta có: 4z − 4z + = ⇔  ⇒ |z | + |z | =  z2 = − i 2 Chọn đáp án D  Câu 21 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a (tham khảo hình vẽ A bên) Khoảng cách hai đường thẳng BD √ A C √ √ 3a A 3a B a C D 2a D B A D B Nhóm Tốn LATEX C C Lời giải Do BD A C nằm hai mặt phẳng (ABCD) (A B C D ) song song với nên d(A C , BD) = d((ABCD), (A B C D )) Mà ABCD.A B C D hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A B C D )) = AA = a Vậy d(A C , BD) = a Chọn đáp án B Câu 22 Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0, 4%/tháng Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau tháng, người lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu lãi) gần với số tiền đây, khoảng thời gian người khơng rút tiền lãi suất khơng thay đổi? A 102.424.000 đồng B 102.423.000 đồng C 102.016.000 đồng D 102.017.000 đồng Lời giải Áp dụng công thức tính lãi kép số tiền lĩnh T = 100 · (1 + 0, 4%)6 ≈ 102.424.128, (đồng) Chọn đáp án A Câu 23 Một hộp chứa 11 cầu gồm cầu màu xanh cầu màu đỏ Chọn ngẫu nhiên đồng thời từ hộp Xác suất để hai cầu chọn màu A B C D 22 11 11 11 Lời giải Số phần tử không gian mẫu C211 = 55 Số cách chọn màu C25 + C26 = 25 25 Vậy xác suất cần tính = 55 11 Chọn đáp án C Câu 24 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1; 2; 1) B(2; 1; 0) Mặt phẳng qua A vng góc với AB có phương trình A 3x − y − z − = B 3x − y − z + = C x + 3y + z − = D x + 3y + z − = Lời giải # » Mặt phẳng cần tìm qua điểm A(−1; 2; 1) có vectơ pháp tuyến AB = (3; −1; −1) nên có phương trình 3(x + 1) − (y − 2) − (z − 1) = ⇔ 3x − y − z + = Chọn đáp án B Câu 25 Nhóm Tốn LATEX S Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên) Tính tan góc M đường thẳng BM mặt√phẳng (ABCD) √ A B C 3 D A D B C Lời giải Gọi O = AC ∩ BD H trung điểm OD Ta có SO ⊥ (ABCD) M H S SO Suy M H ⊥ (ABCD) ⇒ BH √ (BM, (ABCD)) = M √ √ a SO a A ⇒ MH = = BH = BD = SO = SB − OB = 2 4 √ 3a √ B a MH = 4√ = Vậy tan M BH = BH 3a Chọn đáp án D M O H D C Câu 26 Với n số thỏa mãn C1n + C2n = 55, số hạng khơng chứa x khai Ç ngunådương n triển biểu thức x3 + x A 322560 B 3360 C 80640 D 13440 Lời giải  Ta có C1n + C2n = 55 ⇔ n + n = 10 n(n − 1) = 55 ⇔ n2 + n − 110 = ⇔   ⇔ n = 10 n = −11 10 10 Ä äk 10−k n 10 x + = x3 + = Ck10 x3 = 210−k Ck10 x5k−20 x x x k=0 k=0 Số hạng không chứa x ứng với k ∈ N; ≤ k ≤ 10 thỏa 5k − 20 = Từ ta tìm k = Ç å Ç å Ç å Vậy số hạng không chứa x 210−4 C410 = 13440 Chọn đáp án D Câu 27 Tổng giá trị tất nghiệm phương trình log3 x log9 x log27 x log81 x = 82 80 A B C D 9 Lời giải log3 x log9 x log27 x log81 x = ⇔ log3 x log32 x log33 x log34 x = log3 x = ⇔ 2.3.4 ⇔ log43 x = 16 Nhóm Tốn LATEX  ⇔  log3 x = log3 x = −2  x   =9 ⇔ x= 82 Vậy tổng nghiệm Chọn đáp án A Câu 28 A Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, OD đơi vng góc với OA = OB = OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM AB A 90◦ B 30◦ C 60◦ D 45◦ B O M C Lời giải Đặt OA = OB = OC = a z Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ với O(0; 0; 0), A(0; 0; a), B(0; a; 0), A C(a; 0; 0); a a ã Vì M trung điểm BC nên M ; ;0 2 Å ã a a # » # » Khi đó, OM = ; ; ; AB = (0; a; −a) 2 # »# » |OM AB| # » # » cos(OM ; AB) = | cos(OM ; AB)| = # » # » = |OM |.|AB| ◦ Vậy (OM ; AB) = 60 Å y B O M C x Chọn đáp án C x−3 y−3 z+2 Câu 29 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = ; −1 −2 x−5 y+1 z−2 d2 : = = mặt phẳng (P ) : x + 2y + 3z − = Đường thẳng vuông góc với −3 (P ), cắt d1 d2 có phương trình x−1 y+1 z x−2 y−3 z−1 A = = B = = 3 x−3 y−3 z+2 x−1 y+1 z C = = D = = 3 Lời giải Gọi A, B giao điểm đường thẳng cần tìm với d1 d2 Khi đó, A(−a + 3; −2a + 3; a − 2); B(−3b + 5; 2b − 1; b + 2) # » BA = (−a + 3b − 2; −2a − 2b + 4; a − b − 4); # » n# P» = (1; 2; 3) Đường thẳng cần tìm vng góc với (P ) BA phương với #» n Nhóm Tốn LATEX        − a + 3b − = k.1    a     =2 # » Hay tồn số thực k = cho BA = k #» n ⇔  − 2a − 2b + = k.2 ⇔  b =      a − b −    k = k.3 = −1 # » #» Đường thẳng cần tìm đường thẳng qua A(1; −1; 0) nhận u = −BA = (1; 2; 3) làm véc-tơ y+1 z x−1 = = phương; có phương trình Chọn đáp án A Câu 30 Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số y = x3 + mx − đồng 5x biến khoảng (0; +∞)? A B C D Lời giải Hàm số y = x3 + mx − đồng biên khoảng (0; +∞) y ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞) 5x Hay 3x + + m ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞) x Điều tương đương với 3x2 + ≥ −m, ∀x ∈ (0; +∞) x Xét hàm số y = f (x) = 3x + (0; +∞) ta tìm = đạt x = (0;+∞) x Do đó, −m ≤ Hay m ≥ −4 Vậy có giá trị nguyên âm m thỏa yêu cầu toán Chọn đáp án D √ Câu 31 Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y = 3x2 , cung tròn √ có phương trình y = − x2 (với ≤ x ≤ 2) trục hồnh (phần tơ đậm √ hình vẽ) Diện tích của√(H) 4π + 4π − A B 12 √ √6 4π + − − 2π C D y O x Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm √ Khi diện tích (H) S =  3x2 = x=1 √  ≤ x ≤ ⇒ x = − x2 ⇔  x = −1 • S1 = √ 3x dx = x dx = • S2 = √ √ Nhóm Toán LATEX √ − x2 dx √ x3 3· Å − x2 dx Đặt x = sin t − √ 3x dx + √ = · π πã ≤t≤ 2 π π Ç cos2 t dt = (1 + cos 2t) dt − sin2 t.2 cos t dt = Khi S2 = π π » π π √ π 2π − · √ √ √ 2π 4π − Do đó: S = S1 + S2 = + − = · 3 Chọn đáp án B =2 x+ sin 2x å π = √ √ dx √ = a − b − c với a, b, c số nguyên dương Tính (x + 1) x + x x + √ Câu 32 Biết P = a + b + c A P = 24 B P = 12 C P = 18 D P = 46 Lời giải Ta có dx √ = √ (x + 1) x + x x + 2 √ √ √ √ dx = x x + 1( x + + x) √ √ x+1− x dx √ √ x x + Ä √ ä √ 1 √ −√ dx = x − x + x x+1 √ √ √ √ = − − = 32 − 12 − Ç å =    a     = 32     c =2 ⇒  b = 12 ⇒ P = a + b + c = 46 Chọn đáp án D Câu 33 Cho tứ diện ABCD có cạnh Tính diện tích xung quanh Sxq hình trụ có đường tròn đáy đường tròn nội tiếp tam giác BCD chiều cao chiều cao tứ diện ABCD A Sxq √ 16 2π = B Sxq √ = 2π C Sxq √ 16 3π = √ D Sxq = 3π Lời giải Gọi M trung điểm DC G trọng tâm Tam giác BCD √ cạnh √ √ 4 ⇒ BM = = ⇒ BG = Xét ABG vuông G √ √ ⇒ AG = AB − BG2 = · Nửa chu √ vi tam giác BCD p = Có S ⇒r= √ 16 2π ⇒ Sxq = 2πrh = 2πr.AG = · Nhóm Tốn LATEX BCD A BCD D √ = = p.r = 6.r B G M C 10 Chọn đáp án A Câu 34 Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình 16x − 2.12x + (m − 2)9x = có nghiệm dương? A B C D Lời giải Phương trình 16x − 2.12x + (m − 2)9x = ⇔ 42x − 2.4x 3x + (m − 2).32x = Ç åx Ç åx Ç å2x 4 − − = m Đặt t = > ⇒ 3 Phương trình trở thành t2 − 2t − = −m (∗) Để phương trình cho có nghiệm dương phương trình (∗) phải có nghiệm t > Xét hàm y = t2 − 2t − ⇒ y = 2t − 20 ⇒ y = ⇔ t = x y +∞ + +∞ y −3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy −m > −3 ⇒ m < ⇒ m ∈ {1; 2} có giá trị nguyên m Chọn đáp án B Câu 35 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình » √ m + 3 m + sin x = sin x có nghiệm thực? A B C D Lời giải » √ √ Ta có m + 3 m + sin x = sin x ⇔ m + 3 m + sin x = sin3 x √ 3 Đặt m + sin x = u ⇒  m + sin x = u phương trình trở thành m + 3u = sin x   m + 3v = u3 Đặt sin x = v ta có hệ  ⇒ 3(u − v) + (v − u)(v + uv + u2 ) =  m + 3u = v ⇔ (u − v)(3 + v + uv + u2 ) = Vì + v + uv + u2 > 0, ∀u, v √ Nên phương trình trở thành u = v ⇒ m + sin x = sin x ⇔ m = sin3 x − sin x Đặt t = sin x, (−1 ≤ t ≤ 1) Xét hàm f (t) = t3 − 3t với t ∈ [−1; 1] có f (t) = 3t2 − ≤ 0, ∀t ∈ [−1; 1] ⇒ hàm số nghịch biến [−1; 1] ⇒ −1 = f (1) ≤ f (t) ≤ f (−1) = ⇒ −2 ≤ m ≤ Vậy m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} Chọn đáp án A Câu 36 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = |x3 − 3x + m| đoạn [0; 2] Số phần tử S Nhóm Tốn LATEX 11 A B C D Lời giải Ta có với x thuộc đoạn [0; 2] −2 ≤ x3 − 3x ≤ ⇒ m − ≤ x3 − 3x + m ≤ m + với x thuộc đoạn [0; 2] Suy max y = max {|m − 2| ; |m + 2|} [0;2] • m ≥ max y = m + = ⇔ m = [0;2] • m < max y = − m = ⇔ m = −1 [0;2] Chọn đáp án B ® ´ Câu 37 Cho hàm số f (x) xác định D = R\ thoả mãn f (x) = , f (0) = 2x − f (1) = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) A + ln 15 B + ln 15 C + ln 15 D ln 15 Lời giải 1 ta có f (x) = ln (2x − 1) + Khi x < , ta có f (x) = ln (1 − 2x) + 2 Vậy f (−1) + f (3) = + ln 15 Ta có với x > Chọn đáp án C Câu 38 Cho số thức z = a + bi với (a, b ∈ R) thoả mãn z + + i − |z| (1 + i) = |z| > Tính P = a + b A P = −1 B P = −5 C P = D P = Lời giải    √   a + − a2 + b = a = −1 a = −1; b = 0, ⇒ b = a + ⇒ a2 − 2a − = ⇒   Ta có  ⇒  √  b + − a2 + b = a=3 a = 3; b = √ Do b + = a2 + b2 > nên b > Suy a = b = Vậy a + b = Chọn đáp án D Câu 39 y Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (2 − x) đồng biến khoảng A (1; 3) B (2; +∞) −1 C (−2; 1) D (−∞; −2) O x Lời giải Ta có y = −f (2 − x) Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) suy    − x = −1 f (2 − x) = ⇔   2 − x   =1 2−x=4 Nhóm Tốn LATEX ⇔ x   x   =3 =1 x = −2 12 Bảng biến thiên: x −∞ −2 − y + +∞ − 0 +∞ + +∞ y Từ suy hàm số đồng biến khoảng (−2; 1) ; (3; +∞) Chọn đáp án C −x + có đồ thị (C) điểm A(a; 1) Gọi S tập hợp tất x−1 giá trị thực a để có tiếp tuyến (C) qua A Tổng tất phần tử S Câu 40 Cho hàm số y = A B C D Lời giải Gọi d tiếp tuyến (C) qua điểm A(a; 1) Khi đó, phương trình đường thẳng d có dạng: y = k(x − a) + d tiếp tuyến (C) −x + = k(x − a) + −x + x−1 ⇒ =− (x − a) + ⇒ 2x2 − 6x + a + = (x = 1)  x−1 (x − 1)   =k  − (x − 1)2      Qua A kẻ tiếp tuyến phương trình 2x2 − 6x + a + = (∗) có nghiệm khác Trường hợp 1: Phương trình (∗) có nghiệm x = Thay vào phương trình ta 2−6+a+3 = ⇔ a = Khi đó, phương trình (∗) có nghiệm lại x = (thỏa tốn) Trường hợp 2: Phương trình (∗) có nghiệm kép khác Ta có: ∆ = ⇔ − 2(a + 3) = ⇔ a = 3 Khi đó, phương trình (∗) có nghiệm kép x = = ® ´ Suy S = 1; Vậy tổng tất phần tử 2 Chọn đáp án C Câu 41 Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 1; 2) Hỏi có mặt phẳng (P ) qua M cắt trục x Ox, y Oy, z Oz điểm A, B, C cho OA = OB = OC = 0? A B C D Lời giải Nhóm Toán LATEX 13 Giả sử A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) (với a, b, c = 0) x y z Mặt phẳng (P ) : + + = a b c 1 Do điểm M thuộc (P ) nên ta có + + = (∗) a b c Mặt khác OA = OB = OC nên |a| = |b| = |c| • Trường hợp b = a c = a 1 Kết hợp với (∗) ta được: + + = ⇔ a = Suy b = c = a = a a a x y z Mặt phẳng lúc là: (P ) : + + = 4 • Trường hợp b = a c = −a 1 Khi đó: + − = 1, vơ lý a a a • Trường hợp b = −a c = a Trường hợp ta tìm a = = c, b = −2 y z x + = Và (P ) : + −2 • Trường hợp b = −a c = −a Trường hợp ta tìm a = −2, b = c = y z x + + = Và (P ) : −2 2 Vậy có tất ba mặt phẳng thỏa mãn đề Chọn đáp án A Câu 42 Cho dãy số (un ) thỏa mãn log u1 + √ + log u1 − log u10 = log u10 un+1 = 2un với n ≥ Giá trị nhỏ n để un > 5100 A 247 B 248 C 229 D 290 Lời giải Ta có un+1 = 2un ⇒ u10 = 29 u1 » Suy log u1 + + log u1 − log(29 u1 ) = log(29 u1 ) √ hay − 18 log − log u1 = 18 log + log u1 (điều kiệnlog u1 > −18 log 2)  ⇒ (log u1 )2 + (36 log + 1) · log u1 − + 18 log = ⇒  100 Mặt khác để un > n−1 ⇔2 100 u1 > log u1 −4, (nhận) log u1 −7, (loại) ⇔ n > 100 log2 − log u1 · log2 10 + Do n số nguyên nên giá trị nhỏ n 248 Chọn đáp án B Câu 43 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m| có điểm cực trị? A B C D Lời giải Nhóm Toán LATEX 14 Xét f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2  Ta có f (x) = ⇔ 12x3 − 12x2 − 24x = ⇔ x   x   =0 =2 x = −1 x −∞ −1 − y +∞ + +∞ − + +∞ y −5 −32 Hàm số y = |f (x) + m| có cực trị y = f (x) + m cắt trục hoành điểm phân biệt Hay, đồ thị hàm số y = f (x) cắt y = −m điểm phân biệt Điều tương đương với −5 < −m < hay < m < Vậy có giá trị nguyên m để hàm số cho có cực trị Chọn đáp án C Ç å 8 Câu 44 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 2; 1), B − ; ; Đường thẳng qua tâm 3 đường tròn nội tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình y−3 z+1 y−3 z−4 x+1 x+1 = = = = A B −2 −2 x + 13 y − 35 z − 11 x + 92 y − 29 z + 59 C = = D = = −2 −2 Lời giải Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến #» n = (1; −2; 2) nên đường thẳng d cần tìm có VTCP #» u = (1; −2; 2) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp  tam giác OAB BO · xA + OA · xB + AB · xO    x = I    BO + OA + AB    #» #» # » #» BO · yA + OA · yB + AB · yO Khi ta có BO·IA+OA·IB+AB·IO = ⇒  yI = ⇒ I(0; 1; 1) BO + OA + AB      BO · zA + OA · zB + AB · zO    zI = BO + OA + AB x+1 y−3 z+1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm = = −2 Chọn đáp án A Câu 45 Cho hai hình vng ABCD ABEF có cạnh 1, nằm hai mặt phẳng vuông góc với Gọi S điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE Tính thể tích khối da diện ABCDSEF A Lời giải B 11 12 C D Chọn hệ trục tọa độ cho hình vng ABCD mp(Oxy), hình vng ABEF nằm mặt phẳng (Oxz) A trùng gốc tọa độ Khi A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), F (0; 0; 1) suy Nhóm Tốn LATEX 15 E(1; 0; 1) z F S E K A x B D y C    x     =t Phương trình đường thẳng DE :  y = − t     z = t Mặt phẳng (P ) qua B vuông góc Ç DE cắt å DE K có phương trình x − y + z − = 2 ⇒ K = DE ∩ (P ) có tọa độ K = ; ; 3 Ç å ; ; Do S điểm đối xứng B qua DE nên S = 3 • Cách 1: V = VSABCD + VSABEF + VSADF + VSBCE = 1 1 · + · + · · + · · = 3 3 3 3 • Cách 2: Thể tích khối đa diện ABCDSEF VABCDSEF = VSCDF E + VABCDEF 1 1 √ Trong đó: VSCDF E = d (S, (CDF E)) · SCDF E = · √ · = VABCDEF = 3 2 Vậy thể tích cần tìm V = 1 + = Chọn đáp án D Câu 46 Xét số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − − 3i| = √ Tính P = a + b |z + − 3i| + |z − + i| đạt giá trị lớn A P = 10 Lời giải Ta có |z − − 3i| = B P = C P = D P = √ ⇔ (a − 4)2 + (b − 3)2 = ⇔ a2 + b2 = 8a + 6b − 20 Đặt Q = |z + − 3i| + |z − + i| = » (a + 1)2 + (b − 3)2 + » (a − 1)2 + (b + 1)2 Q2 ≤ (1 + 1) [(a + 1)2 + (b − 3)2 + (a − 1)2 + (b + 1)2 ] = [2(a2 + b2 ) − 4b + 12] = 8(4a + 2b − 7) (1) Mặt khác, 4a + 2b − = 4(a − 4) + 2(b − 3) + 15 ≤ Nhóm Tốn LATEX » (42 + 22 ) [(a − 4)2 + (b − 3)2 ] + 15 = 25 (2) 16 Từ (1), (2) ta nhận đượcQ2 ≤ 200    4a + 2a − = 25 Dấu  a − b−3   = Chọn đáp án A   a =6 b =4 ⇔ Vậy P = 10 Câu 47 A Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có AB = √ AA = Gọi M, N, P trung điểm M N cạnh A B , A C BC (tham khảo hình vẽ bên) Côsin tạo hai mặt phẳng (AB C ) mặt phẳng (M N P ) B A B C D C √ 13 √65 13 65√ 17 13 65 √ 18 13 65 A B P C Lời giải A Gọi I, Q trung điểm M N , B C Gọi O = P I ∩ AQ Khi giao tuyến (AB C ) (M N P ) M I N đường thẳng d qua O song song với M N, B C Tam giác AB C cân A nên AQ ⊥ B C ⇒ AQ ⊥ d B Q Tam giác P M N cân P nên P I ⊥ M N ⇒ P I ⊥ d C O Do góc tạo hai mặt phẳng (AB C ) (M N P ) góc AQ P I √ 13, P I = AP Vì tam giác OAP đồng dạng với tam giác OQI =2 IQ √ 2 13 nên OA = AQ = , OP = IP = 3 3 cos((AB C ), (M N P )) √= cos(AQ, P I) = cos AOQ = B OA2 + OP − AP 13 = 2OA.OP 65 Chọn đáp án B Ta có AP = 3, AQ = A P C Câu 48 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1), B(3; −1; 1) C(1; −1; −1) Gọi (S1 ) mặt cầu có tâm A bán kính 2; (S2 ) (S3 ) hai mặt cầu có tâm B, C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu (S1 ), (S2 ), (S3 )? Nhóm Tốn LATEX 17 A B C D Lời giải Gọi phương trình mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu cho Ax + By + Cz + D = (A2 + B + C > 0) Tư giảthiết đề ta có d(A, (P )) = 2, d(B, (P )) = 1, d(C, (P )) = |A + 2B + C + D|     √ √ =2    + B2 + C   A A2 + B + C (1) |A + 2B + C + D| =         |3A − B + C + D| √ Khi ta có hệ phương trình  √ ⇔ = A2 + B + C (2) |3A − B + C + D| = + C2    A + B   √        | − A − B + C + D| | − A − B + C + D| = A2 + B + C (3)   =  √ A + B2 + C  A=0 Từ (1) (2) , ta nhận |3A − B + C + D| = | − A − B + C + D| ⇔   A−B+C +D =0 Với A = 0, ta có:   √   B =  |2B + C + D| = B + C      √     |2B + C + D| = B + C   4B − C − D =   4B − C − D =    ⇔ ⇔ √ √     |2B + C + D| = 2| − B + C + D|   C = ±2 2B   |2B + C + D| = B + C     C  +D =0  C +D =0 Do có ba mặt phẳng thỏa mãn Với A − B + C + D = 0, ta có:    √   |3B| = A2 + B + C  |B| = |3B| = 4A √  ⇔  ⇔ √ √   11|A|  |2A| = A2 + B + C 2 2 |3B| = A + B + C |C| = Do có bốn mặt phẳng thỏa mãn Vậy có bảy mặt phẳng Chọn đáp án B Câu 49 Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C thành hàng ngang Xác suất để 10 học sinh khơng có học sinh lớp đứng cạnh 11 A 630 Lời giải B 126 C 105 D 42 Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 10! Gọi A biến cố "Trong 10 học sinh học sinh trường ngồi cạnh nhau" Xếp học sinh lớp 12C vào vị trí có 5! cách Ứng với cách xếp học sinh lớp 12C có khoảng trống gồm vị trí vị trí hai đầu để xếp học sinh lại Trường hợp 1: Xếp học sinh lớp 12B vào vị trí khơng phải vị trí hai đầu, có A34 cách Với cách xếp lấy học sinh 12A xếp vào vị trí lại, có cách Do đó, học sinh lại Nhóm Tốn LATEX 18 có cách xếp Số cách xếp trường hợp là: 5!A34 2.8 cách Trường hợp 2: Xếp học sinh lớp 12B vào học sinh lại vào hai vị trí đầu, có C13 2.A24 cách Với trường hợp vị trí trống, xếp học sinh 12A có cách Số cách xếp trường hợp là: 5!C13 2.A34 cách Số cách xếp n(A) = 5!C13 2.A24 + 5!C13 2.A34 n(A) 11 Vậy P (A) = = n(Ω) 630 Chọn đáp án A [f (x)]2 dx = Câu 50 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1]v thỏa mãn f (1) = 0, 1 x2 f (x)dx dx = Tích phân f (x) dx 0 7 A B C Lời giải 1 1 1 f (x)dx3 = x3 f (x) − x f (x)dx ⇔ Ta có = 3 3 0 [f (x)] dx = ⇒ Mặt khác Ä x3 f (x)dx = −1 ä [f (x)] + 14x f (x) + 49x6 dx = 0 Ä f (x) + 7x Hay: D ä dx = 0 Suy ra: f (x) = −7x3 Do đó: f (x) = − x4 + C Theo đề f (1) = ⇒ f (x) = (1 − x2 ) Từ ta nhận I = Chọn đáp án A ĐÁP ÁN A B C A A A D C D 10 B 11 A 12 A 13 B 14 B 15 D 16 D 17 D 18 A 19 C 20 D 21 B 22 A 23 C 24 B 25 D 26 D 27 A 28 C 29 A 30 D 31 B 32 D 33 A 34 B 35 A 36 B 37 C 38 D 39 C 40 C 41 A 42 B 43 C 44 A 45 D 46 A 47 B 48 B 49 A 50 A Nhóm Tốn LATEX 19 ... thấy hàm số đại cực đại điểm x = Chọn đáp án D Câu Với a số thực dương bất kỳ, mệnh đề đúng? Nhóm Toán LATEX A log(3a) = log a B log a3 = log a C log a3 = log a D log(3a) = log a Lời giải Ta có:... phương d u#»1 = (−1; 2; 1) Chọn đáp án A Câu 13 Tập nghiệm bất phương trình 22x < 2x+6 A (0; 6) Nhóm Toán LATEX B (−∞; 6) C (0; 64) D (6; +∞) Lời giải Ta có 22x < 2x+6 ⇔ 2x < x + ⇔ x < Chọn đáp án... (0; +∞) ta tìm = đạt x = (0;+∞) x Do đó, −m ≤ Hay m ≥ −4 Vậy có giá trị nguyên âm m thỏa yêu cầu toán Chọn đáp án D √ Câu 31 Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y = 3x2 , cung tròn √ có phương