ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MƠN TOÁN – THỐNG KÊ BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chƣơng ƢỚC LƢỢNG CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Bài ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ Giảng viên Ths Lê Trƣờng Giang Bài Ước lượng khoảng tham số trung bình tổng thể Cho tổng thể X có tham số trung bình E  X    Một mẫu  X1, X 2, X n  lấy từ tổng thể có trung bình mẫu X Bài tốn: Giả sử trung bình tổng thể  chưa biết, tìm khoảng (1;2) chứa  cho P  1    2    với  độ tin cậy cho trước Ước lượng khoảng trung bình tổng thể Trƣờng hợp 1: Phƣơng sai tổng thể  biết kích thƣớc mẫu n  30 (hoặc kích thƣớc mẫu n  30 X có phân phối chuẩn) Xây dựng khoảng ƣớc lƣợng Theo định lý giới hạn trung tâm, ta có Z X  n Ta tìm z thỏa P   z  Z  z    1 N  0,1 HƢỚNG DẪN XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG Ta có P  z  Z  z     z0  z     0        z   z         0 0  1 2      Đặt   z   z 2 e  x2 Khi ta suy z  z thỏa Vậy từ (1) ta có e  x2  dx    dx   z      z    2      X    P   z   z     P  X  z    X  z    n n 2 2    n   Ước lượng khoảng trung bình tổng thể Trƣờng hợp 1: Phƣơng sai tổng thể  biết kích thƣớc mẫu n  30 (hoặc kích thƣớc mẫu n  30 X có phân phối chuẩn) Khoảng ước lượng  với độ tin cậy  x2 - f(x)= 2π e  γ  X   , X   ;   z n 2  Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) -Z γ o Zγ z 3.2 Khoảng ước lượng phía Khoảng tin cậy tối đa  với độ tin cậy     x  z  n Khoảng tin cậy tối thiểu  với độ tin cậy     x  z  n Ví dụ Giả sử chiều cao bạn nữ sinh viên Trường Đại học Tài Chính –Marketing tuân theo luật phân phối chuẩn với cm Chọn ngẫu nhiên 64 độ lệch chuẩn 55 cm 64 bạn sinh viên nữ, người ta tính chiều cao trung bình 160 cm Với 160 cm độ tin cậy 95%, 95% ước lượng chiều cao trung bình bạn sinh viên nữ UFM Hướng dẫn tra bảng Bảng : Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss)   0.95 x  t2  0  x   exp    dt  2  2 X 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2,1 1.9 00 0.0000 0389 0793 1179 1554 1915 2257 2580 2881 3159 3413 3643 3849 4032 1492 4332 4452 4554 4641 4713 4772 4821 01 0.0040 0438 0832 1217 1591 1950 2291 2611 2910 3186 3438 3665 3869 4049 4207 4345 4463 4564 4649 4719 4778 4826 02 0.0080 0478 0871 1255 1628 1985 2324 2642 2939 3212 3461 3686 3888 4066 4222 4357 4474 4573 4656 4726 4783 4830 z  z0,475  1,96      z    0,475  2 03 0.0120 0517 0910 1293 1664 2019 2357 2673 2967 3238 3485 3708 3907 4082 4236 4370 4484 4582 4664 4732 4788 4834 04 0.0160 0557 0948 1331 1700 2054 2389 2703 2995 3264 3508 3729 3925 4099 4251 4382 4495 4591 4671 4738 4793 4838 05 0.0199 0396 0987 1368 1736 2088 2422 2734 3023 3289 3531 3749 3944 4115 4265 4394 4505 4599 4678 4744 4793 4838 06 06 0.0239 0636 1026 1406 1772 2123 2454 2764 3051 3315 3554 3770 3962 4131 4279 4406 4515 4608 4686 4750 4803 4846 4750 07 0.0279 0675 1064 1443 1808 2157 2486 2794 3078 3340 3577 3790 3980 4147 4292 4418 4525 4616 4693 4756 4808 4850 08 0.0319 0714 1103 1480 1844 2190 2517 2823 3106 3365 3599 3810 3997 4162 4306 4429 4535 4625 4699 4761 4812 4854 09 0.0359 0753 1141 1517 1879 2224 2549 2852 3133 3389 3621 3830 4015 4177 4319 4441 4545 4633 4706 4767 4817 4857 Ví dụ Hƣớng dẫn Bƣớc Bài toán thuộc trường hợp ( n  30 biết  ) Bước 2: Trên mẫu cụ thể ta có x  160 cm ;   cm Bước 3: Độ xác ước lượng    z 0,95  1, 96  1, 225 cm n 64 Bước 4: Khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình  x   ; x     158, 775 cm;161, 225 cm  Ước lượng khoảng trung bình tổng thể Trƣờng hợp 2: Kích thƣớc mẫu n  30, phƣơng sai tổng thể  chƣa biết Khoảng ước lượng  với độ tin cậy   X   , X   ;   z s n 3.2 Khoảng ước lượng phía Khoảng tin cậy tối đa  với độ tin cậy    x  z  s n Khoảng tin cậy tối thiểu  với độ tin cậy    x  z  s n Ví dụ 2A Trong đợt khảo sát chiều cao (đơn vị m) bạn nữ sinh viên Trường Đại học Tài Chính – Marketing (UFM) Người ta chọn ngẫu nhiên 100 bạn sinh viên nhận kết cho bảng sau: Chiều cao (1,4; 1,5] (1,5;1,6] (1,6;1,7] (1,7;1,8] (1,8;1,9] Số SV 40 15 10 10 25 Hãy ƣớc lƣợng chiều cao trung bình bạn sinh viên UFM với độ tin cậy 95%? Ví dụ 2A Hƣớng dẫn Bƣớc Bài toán thuộc trường hợp ( n  30 chưa biết  ) Bước 2: Trên mẫu cụ thể ta có x  1, 64 m ; s  0,1096 m Bước 3: Độ xác ước lượng s 0,1096   z 0,95  1, 96  0, 0215 m n 100 Bước 4: Khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình  x   ; x     1,6185 m;1,6615 m Ví dụ 2B Theo dõi doanh thu đại lý bán xăng dầu qua số ngày thu kết quả: Doanh thu(triệu đồng) 11 12 13 14 15 Số ngày 10 Ƣớc lƣợng doanh thu trung bình tối thiểu đại lý với độ tin cậy 95%? Ước lượng khoảng trung bình tổng thể Trƣờng hợp 3: n  30,tổng thể X có phân phối chuẩn với  chƣa biết Khoảng ước lượng  với độ tin cậy   X   , X   ;   t1 (n  1) s γ n 1-γ 1-γ -t 1-γ (n-1) o t 1-γ (n-1) t 3.2 Khoảng ước lượng phía Khoảng tin cậy tối đa  với độ tin cậy    x  t1  n  1 s n Khoảng tin cậy tối thiểu  với độ tin cậy    x  t1  n  1 s n Ví dụ Một hãng sản xuất bóng đèn đưa vào thử nghiệm để xác định tuổi thọ trung bình Chọn mẫu 20 bóng đèn loại để thực nghiệm Tuổi thọ 20 bóng đèn cho bảng sau (đơn vị nghìn giờ): Tuổi thọ (5 ;5,5] (5,5 ; 6] (6 ; 6,5] (6,5 ; 7] Số bóng đèn Giả sử tuổi thọ bóng đèn tuân theo luật phân phối chuẩn, ước lượng tuổi thọ trung bình bóng đèn với độ tin cậy 95%? Hướng dẫn tra bảng Bảng Bảng phân vị Student n bậc tự P T  t (n  1)      95%; n   19 t1 (19)  t0,025 (19)   P T  t0,025 (19)  0,025 t0,025 (19)  2,093 n-1  10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.10 0.05 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.719 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 0.025 0,025 0.01 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2,093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.861 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 0.005 0.001 63.675 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 66.619 22.326 10.213 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385 Ví dụ Hƣớng dẫn Bƣớc Thuộc trường hợp ( n  30,  chưa biết X có pp chuẩn) Bƣớc Từ mẫu tính giá trị x  6,05; Bƣớc Độ xác   t1 (n  1) s n s  0,497  2,093 0,497 20  0,233 Bƣớc Khoảng ước lượng cho trung bình với độ tin cậy 95%  x   ; x     5,817;6, 283 Nghìn Các bƣớc tìm khoảng ƣớc lƣợng cho trung bình tổng thể Bước 1: Nhận dạng tốn Bước 2: Tính tốn dựa mẫu x , tính s chưa biết phương sai Bước 3: Tính độ xác  Bước 4: Kết luận khoảng tin cậy cho trung bình x  , x    Bảng tóm tắt kiến thức Trƣờng hợp Bƣớc Bƣớc Bƣớc Biết  n  30 Hoặc Biết  , n  30 X pp chuẩn x   z Chƣa biết 2 n < 30 n  30 X pp chuẩn x, s  n Trƣờng hợp Chƣa biết 2, 2 Bƣớc Trƣờng hợp   z x, s s n x  ; x      t1 ( n  1) s n T.H Điều kiện Bài toán ước lượng n  30 Hai phía Biết   n  30   X N  ;     Tối thiểu (pp) Tối đa (pt) Khoảng ước lượng x  ; x     x   ,    ; x    Giá trị    z n  30 Tối thiểu Tối đa Chưa biết  x  ; x     x   ,    ; x      z   n  30   X N  ;     Tối thiểu Tối đa x  ; x     x   ,    ; x    2 n s  z  n s   z  z n   z  Hai phía n  Hai phía  n s n   t1  n  1   t1  n  1   t1  n  1 s n s n s n Đề bài: Điều tra suất lúa (tấn/ha) diện tích 90 hecta trồng lúa vùng, người ta thu bảng số liệu sau: Năng suất 5,5 5,7 5,8 6,0 6,2 6,4 6,5 Số hecta 17 25 12 13 10 Hãy ước lượng suất lúa trung bình vùng với độ tin cậy 97%? XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!