Định lý Lax-Milgram và ứng dụng

LèI CÁM ƠN Trưóc trình bày n®i dung cna khóa lu¾n, tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS TS Nguyen Năng Tâm ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành khóa lu¾n Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, thay giáo Khoa Tốn trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p Nhân d%p tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình hoc t¾p hồn thành khố luắn H Nđi, ngy 12 thỏng 12 nm 2011 Lờ Thu Phương LèI CAM ĐOAN Dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Năng Tâm lu¾n văn thac sĩ chuyên ngành Tốn giái tích vói đe tài “Đ%nh lý Lax-Milgram úng dung” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân, khơng trùng vói bat cú lu¾n văn khác Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói lòng trân biet ơn M®t so ket tác giá đưa dna nhung thành tnu khoa hoc Hà N®i, ngày 12 tháng 12 năm 2011 Lê Thu Phương Mnc lnc Báng ký hi¾u v Lài má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan 1.2 Không gian Hilbert 14 1.3 Không gian Sobolev 19 Chương Đ%nh lý Lax-Milgram 22 2.1 Bài toán bien phân 22 2.1.1 Bài toán bien phân đoi xúng 23 2.1.2 Bài tốn bien phân khơng đoi xúng .25 2.2 Đ%nh lý Lax-Milgram 26 2.3 Đ%nh lý Lax-Milgram má r®ng 29 2.3.1 Đ%nh lý Lax-Milgram không gian Banach phán xa 29 2.3.2 Đ%nh lý Lax-Milgram không gian Banach .34 Chương M®t so Nng dnng 37 3.1 Úng dnng phương trình vi phân thưàng 37 3.2 Úng dnng phương trình đao hàm riêng 42 iii 3.3 Úng dnng bat thNc bien phân toán toi ưu 52 Ket lu¾n .54 Tài li¾u tham kháo 55 BÁNG KÝ HIfi R đưòng thang thnc Rn khơng gian Euclid n - chieu ∇ toán tú gradient f : X → Y ánh xa tù X vào Y "."V chuan khơng gian V inf f c¾n dưói cna ánh xa f sup f c¾n cna ánh xa f f giá tr% nhó nhat cna ánh xa f max f giá tr% lón nhat cna ánh xa f ker f hat nhân, hach cna ánh xa f cl Ω bao đóng cna t¾p Ω clyeu∗ Ω bao đóng yeu∗ cna t¾p Ω div F divergence, phân tán cna hàm vector F ν vector chí phương ngồi (x∗, x) ∂u ánh cna tốn tú x∗ tai điem x đao hàm riêng cna hàm u theo bien xi ∂xi (x, y) goi tích vơ hưóng cna hai nhân tú x y Q chúng minh hồn thành LèI Mé ĐAU Các tốn bien phân xuat hi¾n tù rat lâu, thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc noi tieng cna the ký XVII – XIX có ánh hưóng rat lón đoi vói sn phát trien cna Giái tích toán hoc Nhưng phái đen the ký XX toán bien phân mói đưoc hình thành vói tư cách mđt lý thuyet toỏn hoc đc lắp, vúi nhieu húng nghiên cúu khác Cho tói ngày nghiên cúu tốn bien phân chn yeu đưoc t¾p trung vào ba van đe chính: - Nghiên cúu đ%nh tính (đieu ki¾n can đn đe có nghi¾m, đ%nh lý đoi ngau, sn ton tai nghi¾m, cau trúc t¾p nghiắm, tớnh on %nh nghiắm, đ nhay nghiắm, ); - Nghiên cúu đ%nh lưong (xây dnng thu¾t tốn tìm nghi¾m thóa mãn tiêu chuan cho trưóc, xác đ%nh t¾p nghi¾m, ); - Úng dung (giái quyet toán ve kinh te, bat thúc bien phân, toán cân bang, phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng, ) M®t nhung van đe quan cna toán bien phân nghiên cúu sn ton tai nhat nghi¾m Đã có rat nhieu cơng trình tốn hoc nghiên cúu ve van đe này, phái ke đen hai nhà toán hoc Peter D Lax Arthur Milgram vói đ%nh lý Lax-Milgram, cho ta m®t đieu ki¾n đe xác đ%nh tốn bien phân có nghi¾m nhat (xem [7], [13], [14]) Tù đ%nh lý Lax-Milgram đ¾t rat nhieu câu hói hưóng mó r®ng khác Trong khơng gian Hilbert tốn bien phân có nghi¾m nhat Li¾u đieu khơng gian Banach? Đã có nhieu nhà khoa hoc quan tâm nghiên cúu ve câu hói chúng minh đưoc tính nhat nghi¾m khơng gian Banach (xem [8], [13], [14]) Khi mó r®ng khơng gian cho đ%nh lý Lax-Milgram tính chat tuyen tính cna ánh xa a(·, ·) (xem 2.2) đưoc giu nguyên E Zeidler đau vi¾c nghiên cúu mó r®ng trưòng hop a(·, ·) phi tuyen (xem muc 2.15 [19]) Ta thay, đ%nh lý Lax-Milgram cho m®t ket rat đep tốn bien phân, phương trình tốn hoc Nh vắy, mđt cõu húi rat tn nhiờn l: Liắu cú ton tai nhung lúp hm n rđng thóa mãn đ%nh lý LaxMilgram hay khơng? Hay có ton tai nhung lóp hàm khơng thóa mãn đieu ki¾n cna đ%nh lý Lax-Milgram van có ket lu¾n the khơng (chính m®t cách mó r®ng đ%nh lý Lax-Milgram theo hưóng làm yeu đieu ki¾n cna tốn tú a(·, ·))? Ngưòi đau tiên theo hưóng B Ricceri (xem [16]), sau J Saint Raymond (xem [15]) Nguyen Đông Yên, Bùi Trong Kim (xem [18]) Ket đat đưoc tù đ%nh lý Lax-Milgram dang mó r®ng có úng dung r®ng rãi nhieu lĩnh vnc toán hoc khác toi ưu hóa, phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng (xem [5], [6], [7], [8], [10]) Đe tài “Đ%nh lý Lax-Milgram úng dung” nham nghiên cúu hưóng mó r®ng đ%nh lý Lax-Milgram tù không gian Hilbert sang không gian Banach úng dung cna đ%nh lý Lax-Milgram phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng, toi ưu hóa Chương M®t so kien thNc chuan b% Chương này, ta trình bày m®t so kien thúc bán ve: không gian đ%nh chuan, không gian Hilbert, phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng se đưoc sú dung phan sau Ngoài ra, phan chúng minh m®t so bat thúc khơng gian Sobolev nham giái quyet tốn ve úng dung cna đ%nh lý Lax-Milgram 1.1 Không gian đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.1 Không gian đ%nh chuan (hay khơng gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính X trưòng R vói m®t ánh xa tù X vào t¾p so thnc R, kí hi¾u "·" đoc chuan, thóa mãn tiên đe sau đây: 1) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = ⇔ x = θ (ký hi¾u phan tú không θ); 2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R) "αx" = |α| "x"; 3) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y" So "x" goi chuan cúa vector x Ta ký hi¾u khơng gian đ%nh chuan (X, "·") Neu X chs trang b% m®t chuan ta có the ký hi¾u X 10 Các tiên đe 1), 2), 3) goi h¾ tiên đe chuan Đ%nh nghĩa 1.2 Dãy điem (xn) không gian đ%nh chuan X goi dãy bán, neu lim m,n→∞ "xn − xm " = Đ%nh nghĩa 1.3 Không gian đ%nh chuan X goi không gian Banach, neu moi dãy bán X đeu h®i tn Đ%nh lý 1.1 (Nguyên lý ánh xa co) Cho khơng gian Banach V , m®t ánh xa co T tù V vào nó, nghĩa ton tai m®t hang so, ™ M < thóa mãn "T v1 − T v2 " ™ M "v1 − v2" , ∀v1, v2 ∈ V Khi đó, ton tai nhat điem u thu®c V cho u = T u Đ%nh nghĩa 1.4 Cho hai không gian tuyen tính X Y trưòng so thnc R Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y goi tuyen tính neu ánh xa A thóa mãn đieu ki¾n: 1) (∀x, xr ∈ X)A(x + xr) = Ax + Axr; 2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R)A(αx) = αAx Ta thưòng goi ánh xa tuyen tính tốn tú tuyen tính Khi tốn tú A chs thóa mãn đieu ki¾n 1) tốn tú A goi c®ng tính, tốn tú A chs thóa mãn đieu ki¾n 2) A goi tốn tú thuan nhat Khi Y = R tốn tú tuyen tính A thưòng goi phiem hàm tuyen tính Đ%nh nghĩa 1.5 Cho không gian đ%nh chuan X Y Tốn tú tuyen tính A tù khơng gian X vào khơng gian Y goi b% ch¾n, neu ton tai hang so C > cho 45 hay phương trỡnh ao hm riờng (3.8)-(3.9) cú nghiắm suy rđng nhat Nh¾n xét 3.1 Tương tn, ta có the chúng minh phương trình đao hàm riêng vói đieu ki¾n biên Neumann −div(k∇u) + ru =f Ω ∂u = trờn , cú nghiắm suy rđng nhat trờn H1 , ta chs can thay ∂u = ∂Ω ∂ν vào bieu thúc (3.18) Theo cách chúng minh trên, ta thay Ω ⊂ Rn toán van Bài toán 3.4 Giá sú, Ω ⊂ Rn, f hàm thu®c L2(Ω) Khi đó, phương trình Poisson vói đieu ki¾n biên Dirichlet Ω, −∆u =f (3.22) u = ∂Ω, (3.23) có nghi¾m suy rđng nhat trờn H01 Chỳng minh V = H = {v ∈ H1 v H = {v .¸ Ω ∂Ω (v2(x) + |∇v(x)| )dx < +∞}, ¸ F (v) = fvdx, Ω = 0}, ¸ (−∆u)vdx ¸ n Ω ∂ u =− vdx ∂x2 a(u, v) = Ω i i=1 Theo cơng thúc tích phân tùng phan, ta có ¸ ∂u n v ν ds a(u, v) = − +¸ ¸∂Ω i=1 ∂xi n (3.24) ∂u ∂xi ∂xi Ω i ∂v dx i=1 = ∇u∇vdx Ω Ta de thay, a dang song tuyen tính đoi xúng Theo bat thúc Poincaré, vói moi v ∈ H , ton tai α > cho ¸ ¸ 2 (3.25) v dx ™ α |∇v| dx Ω Ω Suy ra, ¸ a(v, v) = |∇ v| Ω ¸ 2 (v2 +|∇ v| )dx = dx “ "v" H10 α+1 α+1 Ω Hay a búc V Hơn nua, vói ∀u, v ∈ V , ta có  ¸ ¸ 2  a(u, v) ∇u∇vdx ™  ∇ 2udx  ¸ = 2 ∇ 2vdx ™ "u" H0 Ω "v" H0 Ω Ω Suy ra, a b% ch¾n H10 Bây giò, ta chúng minh F liên tuc Th¾t v¾y, theo bat thúc Schwarz, ta có |F (v)| ™ "f"L2 "v"L2 ™ "f"L2 "v"V Theo giá thiet, f ∈ L2(Ω) nên "f"L2 < +∞, hay F b% ch¾n Áp dung đ%nh lý Lax-Milgram ton tai nhat u ∈ V cho a(u, v) = F (v), hay phương trỡnh ao hm riờng (3.22)-(3.23) cú nghiắm suy rđng nhat Nh¾n xét 3.2 Tương tn, ta có the chúng minh phương trình Poisson vói đieu ki¾n biên Neumann: −∆u =f Ω ∂u = ∂Ω, ∂ν có nghiắm suy rđng nhat trờn H1 , vỡ ta chs can thay ∂u = ∂ν ∂Ω vào bieu thúc (3.30) Bây giò, ta xét tốn tong qt Bài tốn 3.5 Cho Ω ⊂ Rn b% ch¾n có biên ∂Ω Cho hàm aij ∈ C1(cl Ω), ™ i, j ™ n, ∈ C1(Ω), ™ i ™ n aij, ai, a0, f ∈ L2(Ω), ™ i, j ™ n, a0 “ 0, a0, b% ch¾n hau khap nơi, ton tai hang so dương α thóa mãn: n ∂ai ™ 0, ∂xi i=1 αn "ξ"aijξiξj “ i,j=1 (3.26) ,"ξ" = (ξ1 + · · · + ξn) 2 (3.27) Khi đó, phương trình Elliptic vói đieu ki¾n biên Dirichlet: n ∂ − i,j=1 n aij ∂u + a ∂x j ∂x i=1 i ∂u i + u =f a0 Ω, (3.28) u = ∂Ω, ∂xi (3.29) có nghi¾m suy rđng nhat trờn H01 Chỳng minh V = H = {v ∈ H v H = {v .¸ = 0}, ∂Ω (v2(x) + |∇v(x)| )dx < +∞}, Ω ¸ F (v) = fvdx, Ω ¸ n ∂ ¸ n ∂u ¸ a(u, v) = Ω ∂u − ∂x i,j=1 j i ∂x vdx + Ω j i ∂x i vdx + a0uvdx Ω a i=1 Theo cơng thúc tích phân tùng phan, ta có ¸ n ¸ a0uvdx, n ¸ ∂v ∂u a(u, v) = dx + vdx + i ∂u a ij a ∂xi ∂xi Ω i,j=1 Ω Ω ∂xj (3.30) i=1 Ta de thay, a dang song tuyen tính (khơng nhat thiet đoi xúng) Vói moi v thu®c H01 , ¸ n n ¸ ∂v a(v, v) = dx + ∂v ∂v a ij ¸ vdx + a0 v dx (3.31) Ω i,j=1 ∂xi ∂xj Ω i=1 ∂xi Ω Theo cơng thúc tích phân tùng phan, ta có n a0v2dx ¸ ∂ai ∂v n ¸ dx + a(v, v) = dx − ∂v a ¸ ij v2 Ω i,j=1 ¸ ∂xi ∂xj ∂xi Ω ¸ “ α |∇v| dx + "a0"L∞ (3.32) Ω i=1 v2dx (3.33) Ω Ω r “ α "v"H1 , (3.34) theo đieu ki¾n (3.26)-(3.27) αr = min{α, ∞ } V¾y ta có, a búc "a0"L V Hơn nua, vói ¸ ∀u, v ∈ V , ta có ∂u ¸ n n ∂v v)" dx +∂u "a(u, aij ™ i a i= i,j=1 ∂xi ∂xj Ω ¸ vdx + a0uvdx ∂x Ω i Ω Theo bat nđang thúc Bunhiacopxki, ta đưoc ‚ ∂u ∂v ‚ n n ∂u aij i,j=1 ™ ∂xi ∂xj n ∂v a, ij , ∂xj i= ∂xi j= j= 1 ‚ ‚ n ‚ n ∂u ∂v n , , i= ij ™ ,a ∂x ∂xj i,j=1 j= i ‚ n ™ , a2 |∇u| |∇v| ij i,j=1 Theo giá thiet, hàm so aij ∈ C1(cl Ω) nên ton tai hang so dương C n a2 ij C i,j=1 cho Theo bat ang thỳc Hăolder, ta đưoc ¸ ¸ ∂u ∂v n dx a i Cdx "∇u"L2 "∇v"L2 ™ i,j=1 j ∂xi ∂xj (3.35) Ω Ω ™ C "∇u"H1 "∇v"H1 0 (3.36) Hơn nua, ta lai áp dung bat thúc Bunhiacopxki (3.37) bat ang thỳc Hăolder (3.38), (3.39) ta cú n ∂u n ¸ ‚ , vdx |∇u|2vdx ∂x ™ i=1 i (3.37) Ω i=1 Ω ‚ n ¸ a2 ™ , |∇u| vdx (3.38) ¸ a2 |∇u| vdx (3.39) i=1 i L Ω‚ n , ™ i=1 ∞ i L Ω ‚ n ™ , ∞ "∇u"L "v" i=1 L∞ ‚ n , "u"H1 a ™ "v" i i=1 bat thúc ¸ a0uvdx ™ "a 0"L Ω ∞ L2 , (3.40) (3.41) H0 L∞ (3.42) "u"L "v"L2 ™ "a0"L "u"H1 "v"H1 ∞ (3.43) Tù bat thúc (3.35)-(3.43) suy ra, a b% ch¾n H10 Bây giò, ta chúng minh F liên tuc Th¾t v¾y, theo bat thúc Schwarz, ta có |F (v)| ™ "f"L2 "v"L2 ™ "f"L2 "v"V Theo giá thiet, f ∈ L2(Ω) nên "f"L2 < +∞, hay F b% ch¾n Áp dung đ%nh lý Lax-Milgram ton tai nhat u ∈ V cho a(u, v) = F (v), hay phương trình đao hm riờng (3.22)-(3.23) cú nghiắm suy rđng nhat Nhắn xét 3.3 Tương tn, ta có the chúng minh phương trỡnh (3.26)(3.28) cú nghiắm suy rđng nhat trờn H1 vói đieu ki¾n biên Neumann Ngồi ra, đieu ki¾n biên hon hop phương trình Elliptic (3.26)(3.28) có nghi¾m nhat H10 Nh¾n xét 3.4 Phương trình đao hàm riêng Elliptic đưoc nghiên cúu nhieu công trình tốn hoc (xem [1], [7]) Trong [7] trang 329 có nêu tốn 3.5 vói ∈ C(cl Ω), ™ i ™ n khơng có giá thiet (3.26), tốn van chưa đưoc giái Trong [1] trang 72 tốn 3.5 vói ∈ L2(Ω), ™ i ™ n n 21 ™ µ1 (3.44) a2i i=1 tốn đưoc giái quyet Trong tốn 3.5, dưói sn hưóng dan cúa thay hưóng dan tơi đưa vào đieu ki¾n (3.26), đieu ki¾n vùa lóng, vùa ch¾t đieu ki¾n (3.44) Ch¾t ó cho ai, ™ i ™ n phái vi Ω, lóng ó cho ai, ™ i ™ n có the khơng b% ch¾n, đó, vói đieu ki¾n (3.44) ai, ™ i ™ n phái b% ch¾n Ω Ví dn 3.3 Xét phương trình Tricomi, tìm hàm u = u(x, y), ∀x, y ∈ Ω = {(x, y) ⊂ R2|0 < x < 1, < y < 1} y∂ u ∂x2 + = 0, Ω (3.45) u = 0, ∂Ω (3.46) ∂2 u ∂y2 Bang cách đ¾t ξ= , x, ν = y3 − ta đưa phương trình (3.45)-(3.46) ve dang tac ∂ 2v ∂ξ ∂2 v + ∂ν ∂v + = 0, Ωr 3ν ∂ν v = 0, ∂Ωr (3.47) (3.48) Ta kiem tra thay phương trình (3.47)-(3.48) thố mãn đieu ki¾n cúa tốn 3.5 nên tốn Tricomi có nghi¾m nhat 3.3 Úng dnng bat thNc bien phân toán toi ưu Bài tốn 3.6 Cho (V, "·") khơng gian Banach R, a dang song tuyen tính liên tnc, búc V Khi đó, vói t¾p loi, đóng bat kỳ K m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc f V đeu ton tai nhat m®t phan tú u ∈ K cho a(u, v − u) “ f (v − u), ∀v ∈ K Chúng minh Theo giá thiet muc 2.3.2 a Vb thóa mãn đ%nh lý Stampacchia Vì v¾y, moi t¾p loi, đóng K bat kỳ Vb moi f ∈ V ∗ b đeu ton tai nhat m®t điem u ∈ K cho f (v−u) ™ a(u, v−u), ∀v ∈ K Mà, V Vb cau nên K t¾p loi, đóng V , f phiem hàm tuyen tính liên tuc V Nhắn xột 3.5 Bi toỏn 3.6 chớnh l mú rđng cúa đ%nh lý Stampacchia khơng gian Banach Bài tốn 3.7 Giá sú, điem u nghi¾m cúa tốn bien phân đoi xúng 2.1 u cnc tieu cúa hàm toàn phương Q(v) = a(v, v) − 2F (v), ∀v ∈ V Chúng minh Vói moi v ∈ V , ta có Q(v) − Q(u) = a(v, v) − 2F (v) − (a(u, u) − 2F (u)) = a(v, v) − 2F (v) − a(u, u) + 2F (u) = a(v, v) − a(u, v) − a(u, v) + a(u, u), (vì u ∈ V, a(u, u) = F (u), a(u, v) = F (v)) Suy Q(v) − Q(u) = a(v − u, v) − a(u, v − u) = a(v − u, v − u) “ 0, (tính chat đoi xúng cna a(·, ·)) V¾y Q(v) “ Q(u), ∀v ∈ V Cu the, tốn 3.3 u cnc tieu cna dang tồn phương ¸ ¸ k∇v∇v + rv dx − fvdx, v ∈ H Q(v) Ω = Ω Trong tốn 3.4 u cnc tieu cna dang tồn phương ¸ ¸ Q(v) = (−v∆v) dx − fvdx, v ∈ H Ω Ω Nh¾n xét 3.6 Chương chúng minh m®t vài úng dnng cúa đ%nh lý Lax-Milgram phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng toi ưu hố Đây m®t so lóp phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng có nghi¾m nhat Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày mđt so van e ve tớnh nhat nghiắm cna toán bien phân dna đ%nh lý Lax-Milgram úng dung cna đ%nh lý Lax-Milgram Cu the, lu¾n văn đã: Chúng minh đ%nh lý Lax-Milgram không gian Hilbert Chúng minh dang mó r®ng cna đ%nh lý Lax-Milgram khơng gian Banach Chúng minh tính chat nhat nghiắm cna mđt so phng trỡnh vi phân, phương trình đao hàm riêng, chúng minh dang mó r®ng cna đ%nh lý Stampacchia khơng gian Banach Tác giá chúng minh dang mó r®ng cna đ%nh lý BanachNeˇcas- Babuˇska không gian Banach phán xa mà [13] chí nêu n®i dung đ%nh lý mà khơng chúng minh Trong tốn 3.5 (phương trình đao hàm riêng Elliptic tong quát) tác giá đưa đieu ki¾n (3.26) chúng minh tốn 3.5 có nghi¾m suy r®ng nhat Đe tài ve đ%nh lý Lax-Milgram úng dung đe tài có tính thòi sn đưoc nghiên cúu nhieu nhung năm gan Tác giá lu¾n văn hy vong rang tương lai se có the có nhung đóng góp có ý nghĩa cho hưóng nghiên cúu 54 Tài li¾u tham kháo [1] Nguyen Manh Hùng (2008), Phương trình đao hàm riêng tuyen tính, Nhà xuat bán Đai hoc Sư pham, Hà N®i [2] Nguyen Phu Hy (2005), Giái tích hàm, Nh xuat bỏn Khoa hoc v Ky thuắt, H Nđi [3] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà N®i, Hà N®i [4] Tran Đúc Vân (2005), Lý thuyet phương trình vi phân đao hàm riêng, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà N®i, Hà N®i [5] J P Aubin (1979), Applied Functional Analysis, John Wiley & Sons, New York [6] D Braess (1997), Finite Elements Theory Fast Solvers and Applications in Solid Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, second edition [7] Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (1990), Hilberts spaces with applications, Academic Press, USA 55 56 [8] Dimosthenis Drivaliaris, Nikos Yannakakis (2007), "Generalizations of the Lax-Milgram Theorem", Hindawi Publishing Porporation, (Volume 2007(2007), Article ID 87104, pages doi:10.1155/2007/87104) [9] T L Hayden (1968), "Representation theorems in reflexive Banach spaces", Mathematische Zeitschrift, vol 104(5), 405-406 [10] Johnson, Claes (1987), Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press ISBN 0521345146 [11] Peter D Lax (2002), Function Analysis, John Wiley & Sons, Inc [12] R E Megginson (1998), An Itroduction to Banach space Theory, Springer-Verlag, New York [13] Jeff Ovall (2008), "Lax-Milgram and B-N-B Theorem" [14] S Ramaswamy (1980), "The Lax-Milgram Theorem for Banach Spaces", Proc Japan Acad, (Vol 56(A)), 462–464 [15] J Saint Raymond (1997), "A generalization of Lax-Milgram’ s theorem", Le Matematiche, vol LII(I), 149-157 [16] B Ricceri (1987), "Exitstence theorems for nonlinear problems", Rendiconti dell’Accademia Nazionale delle Scienze, Memorie di Matematica, Vol XI(5), 77–99 57 [17] Vitoriano Ruas, Paolo R Trales (2002), "A global theory on variational approximations of linear problems: some remarkable applica- tions"Mecánica Computacional, Vol.XXI, 1517-1530 [18] Nguyen Đông Yên, Bùi Trong Kim (2001), "Linear operators satisfying the assumptions of some generalized Lax-Milgram theorems", Acta Mathematica VietNamica, vol 26(3), 407-417 [19] E Zeidler (1991), Appiled functional analysis applications to mathematical physics, Springer-Verlag, New York ... .25 2.2 Đ%nh lý Lax-Milgram 26 2.3 Đ%nh lý Lax-Milgram má r®ng 29 2.3.1 Đ%nh lý Lax-Milgram không gian Banach phán xa 29 2.3.2 Đ%nh lý Lax-Milgram không gian Banach .34 Chương... r®ng thóa mãn đ%nh lý LaxMilgram hay khơng? Hay có ton tai nhung lóp hàm khơng thóa mãn đieu ki¾n cna đ%nh lý Lax-Milgram van có ket lu¾n the khơng (chính m®t cách mó r®ng đ%nh lý Lax-Milgram theo... đoi xúng nua hay không? Ta se giái quyet van đe muc 2.2 2.2 Đ%nh lý Lax-Milgram • Đ%nh lý Lax-Milgram cho dang đoi xNng Đ%nh lý 2.2 (xem [5], [13]) Cho không gian Hilbert (V, (·, ·)), a(·, ·)