Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc tuyến tính và mở rộng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ CÚC PHƢƠNG PHÁP HUNGARI GIẢI BÀI TOÁN GIAO VIỆC TUYẾN TÍNH VÀ MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – 1ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng PHƢƠNG PHÁP HUNGARI VÀ BÀI TOÁN GIAO VIỆC 1.1 Bài toán giao việc 1.2 Phƣơng pháp Hungari 1.3 Ví dụ áp dụng 12 1.4 Bài tốn tìm cực đại 15 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP THU HẸP CHÍNH TẮC 18 2.1 Bài tốn vận tải tuyến tính 18 2.2 Phƣơng pháp thu hẹp tắc 21 2.4 Ví dụ minh họa 27 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – 2ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Bài toán giao việc (Assignment Problem) trƣờng hợp riêng quan trọng tốn qui hoạch tuyến tính có quan hệ gần gũi với tốn vận tải (Transportation Problem) toán ngƣời du lịch (Traveling Salesman Problem) tối ƣu tổ hợp lý thuyết đồ thị Bài tốn giao việc có nhiều ứng dụng thiết thực, đa dạng thực tiễn chủ đề hấp dẫn tối ƣu hóa Hiện có nhiều nghiên cứu đề cập tới toán giao việc nhằm tổng quát mở rộng phạm vi ứng dụng toán Phương pháp Hungari (Hungarian Method) độc đáo hiệu qủa để giải toán giao việc Tên gọi phƣơng pháp để tƣởng nhớ hai nhà tốn học Hungari: Kưnig Egeváry, có cơng đầu tạo sở lý luận cho phƣơng pháp Harold W Kuhn ngƣời phát triển công bố phƣơng pháp năm 1955 (xem [6]) Phƣơng pháp Hungari trở nên quen thuộc, đƣợc dùng rộng rãi mở rộng cho nhiều tốn khác qui hoạch tuyến tính, có tốn vận tải mà thuật tốn "thu hẹp tắc" dạng mở rộng nhƣ Luận văn "Phương pháp Hungari giải tốn giao việc tuyến tính mở rộng" nhằm mục đích tìm hiểu tốn giao việc với hàm mục tiêu tuyến tính ứng dụng toán; Phƣơng pháp Hungari giải toán giao việc tuyến tính phƣơng pháp "thu hẹp tắc" giải toán vận tải (ở dạng ma trận) qui hoạch tuyến tính Luận văn đƣợc trình bày hai chƣơng Chƣơng "Phƣơng pháp Hungari toán giao việc" trình bày nội dung tốn giao việc với hàm mục tiêu tuyến tính số ứng dụng toán, đồng thời đề cập tới số tốn có liên quan: Bài tốn vận tải tốn ngƣời du lich Tiếp đó, luận văn trình bày phƣơng pháp Hungari quen thuộc giải tốn ví dụ minh họa Số hóa Trung tâm Học liệu – 3ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn Chƣơng "Phƣơng pháp thu hẹp tắc" đề cập tới tốn vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính, dạng mở rộng tốn giao việc tuyến tính (khi vế phải nguyên, khác 1) trình bày phƣơng pháp "thu hẹp tắc" Giả sử Hồng Tụy đƣa [3] (có chung ý tƣởng với phƣơng pháp Hungari) để giải tốn.Luận văn nêu ví dụ minh họa cho thuật tốn giải trình bày Phân tích quan hệ phƣơng pháp thu hẹp tắc với phƣơng pháp Hungari số phƣơng pháp giải khác có ý tƣởng Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn có thiếu sót định, kính mong q thầy, bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS - TS Trần Vũ Thiệu, ngƣời tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trƣờng Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Viện Toán hoc - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Tác giả Vũ Thị Cúc Số hóa Trung tâm Học liệu – 4ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn Chƣơng PHƢƠNG PHÁP HUNGARI VÀ BÀI TOÁN GIAO VIỆC Chƣơng đề cập tới toán giao việc, dạng đặc biệt tốn vận tải có nhiều ứng dụng rộng rãi Sau nêu nội dung ý nghĩa tốn, luận văn trình bày phƣơng pháp Hungari quen thuộc giải toán ví dụ minh họa Nội dung chƣơng đƣợc tham khảo từ tài liệu [1], [4] [7] 1.1 BÀI TỐN GIAO VIỆC TUYẾN TÍNH Bài tốn có nội dung nhƣ sau: Có n ngƣời (i = 1, 2, , n) n công việc (j = 1, 2, , n) Để giao cho ngƣời i thực cơng việc j cần chi phí cij ≥ Vấn đề cần giao cho ngƣời làm việc (mỗi ngƣời làm việc, việc ngƣời làm) cho chi phí tổng cộng nhỏ nhất? Mơ hình tốn học cho toán nhƣ sau: n z= n  cij x ij → (1.1) i 1 j1 với điều kiện n  x ij = 1, i = 1, , n (mỗi ngƣời làm việc), (1.2) = 1, j = 1, , n (mỗi việc ngƣời làm), (1.3) xij = hay 1, i = 1, , n, j = 1, , n (biến nhị nguyên) (1.4) j1 n  x ij i 1 Vì có điều kiện (1.2), (1.3) nên điều kiện (1.4) thay xij nguyên ≥ 0, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , n Bài toán (1.1) - (1.4) gọi toán giao việc với ma trận chi phí C = [cij] Số hóa Trung tâm Học liệu – 5ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1 Các số {xij} thỏa mãn (1.2) - (1.4) gọi phương án giao việc, hay ngắn gọn phương án, phƣơng án đạt cực tiểu (1.1) gọi phương án tối ưu hay lời giải toán Giả sử danh sách người việc đƣợc viết theo thứ tự định Khi có cách giao việc đơn giản giao cho ngƣời i thực cơng việc vị trí thứ i danh sách Nếu danh sách công việc đƣợc xếp lại ta giao cho ngƣời i làm việc j danh sách ta có chi phí tổng cộng nhỏ Vấn đề cần xáo trộn danh sách công việc cho chi phí tổng cộng nhỏ Nói cách khác, cần tìm hốn vị  = (i1, i2, , in) n số 1, 2, , n cho tổng số c1i1 + c1i2 + + c1in đạt giá trị nhỏ Số hoán vị n số 1, 2, , n n!, tốn có n! phƣơng án Hàm n! tăng theo hàm giai thừa: 4! = 24, 10! = 3.628.800 100! = 9,3×10157 Tính so sánh n! phƣơng án để chọn phƣơng án tối ƣu thuật tốn khơng có hiệu thực tế, thuật tốn thời gian mũ Mỗi hoán vị n số 1, 2, , n đặt tƣơng ứng với ma trận vuông cấp n : X = [xij], với phần tử 1, xij = có nghĩa ngƣời i đƣợc giao làm việc j Chẳng hạn, hoán vị 3, 1, tƣơng ứng với ma trận 0  X = 1 0 0 0 Để ý hàng, cột ma trận X có vừa số (mọi số lại 0) Cùng với tốn z, ta xét tốn max z với điều kiện (1.2) - (1.4) Khi cij biểu thị hiệu thu đƣợc giao cho ngƣời i thực cơng việc j Bài tốn giao việc gần với hai toán quen thuộc sau Số hóa Trung tâm Học liệu – 6ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn • Bài toán vận tải: Cần vận chuyển loại hàng (xi măng chẳng hạn) từ m nơi cung cấp hàng (gọi trạm phát) tới n nơi tiêu thụ hàng (gọi trạm thu) Cho biết lƣợng hàng có trạm phát i (i = 1, 2, , m) số pi nguyên > 0, lƣợng hàng cần tram thu j (j = 1, 2, , n) số qj nguyên > giá cƣớc vận chuyển đơn vị hàng từ trạm phát i tới trạm thu j cij ≥ Giả thiết pi, qj thỏa mãn điều kiện cân cung cầu: p1 + p2 + + pm = q1 + q2 + + qn Vấn đề đặt là: cần tìm phƣơng án vận chuyển hàng từ trạm phát tới trạm thu cho trạm phát giao hết lƣợng hàng có, trạm thu nhận đủ lƣợng hàng cần, tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất? Mơ hình tốn học toán đƣợc nêu Mục 2.1, Chƣơng • Bài tốn ngƣời du lịch: Có n thành phố, đánh số từ tới n Xuất phát từ n thành phố (chẳng hạn thành phố 1), khách du lịch muốn tới thăm (n - 1) thành phố lại, thành phố vừa lần, trở thành phố xuất phát Cho biết cij chi phí từ thành phố i tới thành phố j Giả thiết cij > với i ≠ j cii = + ∞ với i (có thể cij ≠ cji) Hãy tìm cho khách du lịch hành trình có tổng chi phí nhỏ nhất? Có số cách diễn đạt tốn học cho tốn này, có mơ hình tƣơng tự (1.1) (1.4) (xem chẳng hạn, [1] tr 250) Trong mơ hình (1.1) - (1.4) trên, ta giả thiết số ngƣời số việc Tuy nhiên, xét trƣờng hợp số ngƣời khác số việc Ví dụ, số ngƣời nhiều số việc, ta thêm vào việc giả với chi phí hay hiệu Một số vấn đề không liên quan tới ngƣời việc giải nhờ mơ hình tốn giao việc Chẳng hạn, cần lắp đặt máy vào vị trí khác cho tốn chi phí, hay cần phân cơng nhà máy sản xuất sản phẩm cho đạt hiệu cao Ta xét vài ví dụ Ví dụ 1.1 Một sở dịch vụ vừa mua loại máy Có vị trí thích hợp cho việc lắp đặt loại máy này, vị trí đặt đƣợc máy Do đặc điểm vị trí tính máy, phí lắp đặt khai thác máy vị trí khác khác Chi phí đƣợc cho Bảng Số hóa Trung tâm Học liệu – 7ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 1.1 Vị trí khơng phù hợp để đặt máy nên ô tƣơng ứng khơng ghi chi phí Cần đặt máy vào vị trí cho chi phí tổng cộng nhỏ nhất? Để diễn đạt toán dƣới dạng toán giao việc, ta thêm vào máy giả (máy 4) cho vị trí thừa Đồng thời, gán cho ứng với máy vị trí chi phí số M lớn, để ngăn khơng cho đặt máy vị trí Kết ta nhận đƣợc Bảng 1.2 Bảng 1.1 Dữ liệu Ví dụ 1.1 Máy Vị trí 17 20 16 15 16 - 14 21 10 12 15 11 Bảng 1.2 Phƣơng án tối ƣu Máy Vị trí 17 16 10 20 M 12 16 14 15 15 21 11 Áp dụng thuật toán giải nêu mục sau, ta nhận đƣợc lời giải: máy đặt vị trí 4, máy đặt vị trí 3, máy đặt vị trí 1, với tổng chi phí 39 Máy giả đƣợc đặt vị trí 2, vị trí dùng để đặt máy thực tƣơng lai Ví dụ 1.2 Một hãng sản xuất định chế tạo loại sản phẩm cách tận dụng lực dƣ thừa nhà máy thuộc hãng Hiệu sản xuất nhà máy đƣợc cho Bảng 1.3 Hãy tìm cách phân cơng cho nhà máy sản xuất sản phẩm (mỗi nhà máy sản xuất loại sản phẩm, loại sản phẩm nhà máy sản xuất) để thu đƣợc hiệu tổng cộng lớn nhất? Lời giải: Nhà máy sản xuất sản phẩm I, nhà máy sản xuất sản phẩm III, nhà máy sản xuất sản phẩm IV, nhà máy sản xuất sản phẩm II Hiệu tổng cộng 30 (xem Bảng 1.3) Số hóa Trung tâm Học liệu – 8ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn Bảng 1.3 Dữ liệu Ví dụ 1.2 Nhà máy I Sản phẩm II III 10 IV Bảng 1.4 Dữ liệu Ví dụ 1.3 Tầu A B C D Cảng 7 Ví dụ 1.3 Ở cảng có tầu A, B, C, D dùng để chở hàng tới cảng 1, 2, 3, Do khác loại tầu loại hàng nên tổng chi phí xếp, dỡ vận chuyển hàng tầu khác tới cảng khác có khác biệt đáng kể Các chi phí đƣợc cho Bảng 1.4 Vấn đề điều tầu tới cảng (mỗi tầu tới cảng, cảng có tầu tới) cho chi phí tổng cộng chuyến hàng nhỏ nhất? Một số lời giải là: A → 1, B → 4, C → 2, D → 3, với tổng chi phí 19 (xem Bảng 1.4) 1.2 PHƢƠNG PHÁP HUNGARI Bài toán (1.1) - (1.4) trƣờng hợp riêng mơ hình tốn vận tải, số địa điểm sản xuất số địa điểm tiêu thụ, đồng thời khả cung cấp pi yêu cầu tiêu thụ qj Vì nguyên tắc dùng phƣơng pháp giải tốn vận tải (chẳng hạn, thuật toán vị) để giải toán giao việc Tuy nhiên, cấu trúc đặc biệt tốn giao việc nên có thuật tốn giải riêng, hiệu Dƣới trình bày phƣơng pháp đó, với tên gọi phương pháp Hungari Giả sử ta xét toán z Trƣớc hết ta nêu số định lý làm sở lý luận cho phƣơng pháp Hungari Định lý 1.1 Giả sử ma trận chi phí tốn (1.1) - (1.4) khơng âm có n phần tử Hơn n phần tử nằm n hàng khác n cột khác phương án giao cho người i thực cơng Số hóa Trung tâm Học liệu – 9ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn việc tương ứng với số hàng i phương án tối ưu (lời giải) toán (1.1) - (1.4) Chứng minh Theo giả thiết định lý, phƣơng án giao việc có chi phí khơng âm Trong đó, phƣơng án giao việc nêu định lý có chi phí ∎ 0, nên chắn phƣơng án tối ƣu Định lý sau cho thấy ta biến đổi ma trận chi phí tốn mà khơng làm ảnh hƣởng tới lời giải Vì phƣơng pháp giải nêu dƣới thực ý tƣởng biến đổi ma trận chi phí đạt tới ma trận có phần tử hàng cột Định lý 1.2 Cho C = [cij] ma trận chi phí toán giao việc (n người, n việc) X* = [ x ij ] lời giải (phương án tối ưu) toán Giả sử C' ma trận nhận từ C cách thêm số  ≠ (dương hay âm) vào phần tử hàng r C Khi X* lời giải toán giao việc với ma trận chi phí C' Chứng minh Hàm mục tiêu toán giao việc n z' = n  cij x ij = i 1 j1 n = n  cij x ij i 1 j1 n n  cij x ij + i 1 j1 ir n + ×  x rj = j1  c rj   x rj n n j1 n  cij x ij +  i 1 j1 Đẳng thức cuối có đƣợc tổng xij hàng, cột Vì thế, giá trị nhỏ z' đạt đƣợc n z= n  cij x ij i 1 j1 nhỏ Cụ thể là, z' đạt cực tiểu X = X* ∎ Định lý 1.2 ta thêm số vào phần tử cột ma trận chi phí Vậy, chiến thuật ta biến đổi C cách thêm số vào hàng cột ma trận chi phí Số hóa Trung tâm Học liệu –10 ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn ... dạng mở rộng nhƣ Luận văn "Phương pháp Hungari giải toán giao việc tuyến tính mở rộng" nhằm mục đích tìm hiểu toán giao việc với hàm mục tiêu tuyến tính ứng dụng tốn; Phƣơng pháp Hungari giải. .. PHÁP HUNGARI VÀ BÀI TOÁN GIAO VIỆC 1.1 Bài toán giao việc 1.2 Phƣơng pháp Hungari 1.3 Ví dụ áp dụng 12 1.4 Bài tốn tìm cực đại 15 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP THU HẸP CHÍNH TẮC 18 2.1 Bài tốn vận tải tuyến. .. tới toán giao việc nhằm tổng quát mở rộng phạm vi ứng dụng toán Phương pháp Hungari (Hungarian Method) độc đáo hiệu qủa để giải toán giao việc Tên gọi phƣơng pháp để tƣởng nhớ hai nhà tốn học Hungari: