1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Nội câu Hình học

26 1,2K 10

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 26
Dung lượng 1,1 MB

Nội dung

Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM , H là giao điểm của AK và MN a Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp... Đường phần giác AEB cắt cạnh AB tại F và cắt đường tròn  O tại điểm

Trang 1

LỚP 10 TP.HÀ NỘI

Bài 1: ( Hà Nội 2006 – 2007)

Cho  O đường kính AB2R,C là trung điểm của OA, dây MN vuông góc với OA tại C

Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM , H là giao điểm của AKMN

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

Trang 2

c) Ta chứng minh tam giác BMN đều thật vậy:

Ta có:

.2 32

N

Trang 3

Cho O R tiếp xúc với đường thẳng d tại ;  A Trên d lấy điểm H không trùng với A sao cho

AHR Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d , đường thẳng này cắt đường tròn tại hai

điểm EB ( E nằm giữa BH )

a) Chứng mình ABEEAH và ABH ~EAH

b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB

tại K Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp

Khi đó dễ dàng chứng minh: ABH ~EAH ( g.g )

b) Xét ACE có đường cao EH đồng thời là đường trung tuyến nên ACE cân tại E

Khi đó ACECAEABE

Trang 4

Xét tứ giác AHEK có: AHEAKE    90 90 180

Suy ra AHEK nội tiếp

230

AI AIO OAI

OA OAI

AB R ABH AH

Khi đó H là giao điểm của d và ; 3

2

R A

Cho  O có đường kính AB2R và điểm E bất kì trên đường tròn (E khác A B, ) Đường

phần giác AEB cắt cạnh AB tại F và cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là K

a) Chứng minh rằng: KAF~KEA

b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn thẳng EF với OE , chứng minh rằng đường

tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với  O tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F

c) Chứng minh MN/ /AB , trong đó M N, lần lươt là giao điểm thứ hai của AE BE, với đường

tròn  I

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn

 O , với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MFBK

Hướng dẫn giải:

Trang 5

a) Do EK là phân giác AEB

45

AK KB AEK BEK KAB

I

KF

E

A

Trang 6

c) Ta có: IMIF IME cân tại IIEMIME

Lại do OEOA OAE cân tại OOAEOEA

c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn O R lấy điểm ;  K bất kì ( K khác B C, ) Tiếp tuyến tại

K của đường tròn O R cắt ;  AB AC, theo thứ tự tại P Q, Chứng minh rằng tam giác APQ

chu vi không đổi khi điểm K chuyển động trên cung nhỏ BC

d) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB AC, theo thứ tự tại M N,

Chứng minh rằng: PMQNMN

Hướng dẫn giải:

Trang 7

a) Do AB AC, là các tiếp tuyến ABOACO 90

180

ABO ACO

Tứ giác ABOC nội tiếp

b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: ABAC

Trang 8

BAC BAC POQ AOB AOQ POB AOQ POB

Cho đường tròn  O đường kính AB2R và điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác A B, )

Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B C, ) Tia AC cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt

BE tại F

a) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: DA DEDB DC

c) Chứng minh CFDOCB Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh

IC là tiếp tuyến của  O

d) Biết DFR Chứng minh tg AFB2

Hướng dẫn giải:

Trang 9

Xét tứ giác FCDE có: FCDFED180 tứ giác FCDE nội tiếp

b) Dễ dàng chứng minh: ADC~BDE ( g.g )

c) Theo câu a) tứ giác FCDE nội tiếp nên: CFDCED

OBCCED ( Tứ giác ACEB nội tiếp  O

Lại do OCB cân tại OOCBOBC

IF

E

DC

A

Trang 10

Suy ra: CFDOCB

Xét tứ giác FCDE nội tiếp có: FCDFED 90

 tâm I là trung điểm của FD

Khi đó: IC ID IF   ICF cân tại ICFIICFOCB

90

OCI OCB ICD ICF ICD FCD

Suy ra: ICOCC OIC là tiếp tuyến của  O

d) Chứng minh tương tự câu c) ta có: IE là tiếp tuyến của  O

Cho đường tròn  O đường kính AB2R Gọi d d1, 2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn

tại A B, Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn ( E không trùng A B, )

Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d d1, 2 lần lượt tại M N,

a) Chứng minh tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh ENIEBIMIN 90

c) Chứng minh: AM BNAI BI

d) Gọi F là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm E của  O Hãy tính diện tích tam

giác MIN theo R khi 3 điểm E I F, , thẳng hàng

Hướng dẫn giải:

Trang 11

a) Vì d là tiếp tuyến của 1  O tại A nên d1BAMAI  90

Lại có: MNEIMEI  90

Xét tứ giác AMEI ta có: MAIMEI 90

Suy ra tứ giác AMEI nội tiếp

b) Chứng minh tương tự ta có tứ giác: MNEI nội tiếp

Khi đó: ENIEBI

O

Trang 12

Suy ra: MIN  90

c) Ta có: AIMBNI  90 BIN

Suy ra: AMI~BIN ( g.g )

F là điểm chính giữa cung ABEF là phân giác AEBAEIBEI 45

Ta có:  AEIAMI 45  AMI vuông cân tại 2 2

Cho đường tròn O R đường kính ;  AB Bán kính OC vuông góc với AB,M là điểm bất kì

trên cung nhỏ AC , ( M khác A C, ) BMAC H K là hình chiếu của H trên AB

a) Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp

b) Chứng minh ACMACK

c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho AMBE Chứng minh tam giác ECM vuông cân

tại C

d) Gọi d là tiếp tuyến của  O tại A Gọi A là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P C,

nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ABAP MB. R

MA  Chứng minh rằng

PB đi qua trung điểm của HK

Trang 13

I

Pd

E

K

HM

C

A

a) Vì C O đường kính ABACB 90

Lại có: HKABHKB 90

Xét tứ giác BCHK : HKBHCB180

Suy ra tứ giác BCHK nội tiếp

b) Theo câu a) BCHK nội tiếp ACKABM

ABCM nội tiếp  OABMACM

Suy ra: ACMACK

c) Vì C là điểm chính giữa cung AB nên ACAB

Lại có: MACEBC MA; EB

Khi đó ta có: MAC EBC c g c 

Trang 14

Suy ra: CMCE (1)

Mặt khác: MCEECBHCEECB  90 HCEMCAMCE 90 (2)

Từ (1),(2) ta có MCE vuông cân tại C

d) Theo giả thiết: AP MB. R AP R OB

Gọi  IMBd ta có: APM vuông tại M P, AIPMPA

Suy ra P là trung điểm AI

Lại do: AI/ /HKAB

Suy ra BP cũng đi qua trung điểm của HK ( Hệ quả của đinh lí Ta – lét )

Bài 8: ( Hà Nội 2013 – 2014 )

Cho đường tròn  O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến AM AN, với

đường tròn ( M N, là các tiếp điểm ) Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn tại hai điểm

,

B C( ABAC, d không đi qua O )

a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp

b) Chứng minh rẳng: 2

ANAB AC Tính độ dài đoạn BC khi AB4;AN 6

c) Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng NI cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai T

Chứng minh rằng MT/ /AC

d) Hai tiếp tuyến của  O tại B C, cắt nhau tại K Chứng minh rằng K thuộc đường thẳng cố

định khi đường thẳng d thay đổi thỏa mãn đề bài

Hướng dẫn giải:

Trang 15

a) Do AM AN, là tiếp tuyến của  OAMOANO 90

Xét tứ giác AMON : AMOANO180AMON nội tiếp

b) Dễ dàng chứng minh: ABN~ANC ( g.g ) AB AN AB AC AN2

AN AC

c) Vì I là trung điểm của BCOIBCAIO 90

Khi đó tứ giác AION nội tiếp 1

Trang 16

Suy ra: MTNAIN ( mà chúng ở vị trí đồng vị )MT/ /AC

d) Dễ dàng chứng minh K I O, , thẳng hàng ( do cùng nằm trên đường trung trực của BC )

KBlà tiếp tuyến của  OKBO 90

Xét KBO vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Mặt khác ta chứng minh được 5 điểm A M I O N, , , , cùng nằm trên một đường tròn

Suy ra: MNONMO180 MIO (2)

Từ (1),(2) ta có:NMO180 KMONMOKMO180

Suy ra 3 điểm K M N, , thẳng hàng

Do M N, cố định nên K luôn chuyển động trên một đường thẳng cố định

Bài 9: ( Hà Nội 2014 – 2015 )

Cho O R đường kính ;  AB cố định Vẽ đường kính MN của đường O R ( ;  M khác A B, )

Tiếp tuyến của O R tại ;  B cắt đường thẳng AM AN, lần lượt tại Q P,

a) Chứng minh rằng AMBN là hình chữ nhật

b) Chứng minh 4 điểm M N P Q, , , cùng nằm trên một đường tròn

c) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng

minh rằng F là trung điểm BPME/ /NF

d) Khi đường kính MN quay quanh O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường

kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Trang 17

a) Do M O đường kính AB nên: AMB 90

Tương tự: ANBMAN  90

Suy ra: AMBN là hình chữ nhật

b) Do QB là tiếp tuyến của  OQBAB

Khi đó: ABMAQB   90 MBQ

Mặt khác AMBN là hình chữ nhật ABMANM

Suy ra: ANMMQBtứ giác MNPQ nội tiếp, hay 4 điểm M N P Q, , , thuộc cùng một đường

tròn

FE

Trang 18

c) Xét ABQOE là đường trung bình OE/ /AQ

Xét trong APBO là trung điểm AB, OF/ /AP nên F là trung điểm BP

Ta có E là trung điểm BQMEEQEB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

NFBMEB   NBF   MBE   NBFMBE      

Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía nên: ME/ /NF

d) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác APQ ta có:

Trang 19

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO ( C khác A O, )

Đường thẳng đi qua C vuông góc với ABcắt nửa đường tròn tại K Gọi M là điểm bất kì trên

cung KB( M khác K B, ) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM BM, lần lượt tại H D,

Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N

a) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CACBCH CD

c) Chứng minh 3 điểm A D N, , thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua trung

điểm của đoạn thẳng DH

d) Khi M di động trên cung KB Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định

N

KD

Trang 20

a) Vì M O đường kính ABAMMBAMB 90

Xét tứ giác ACMD : ACDAMB 90

Suy ra tứ giác ACMD nội tiếp

b) Tương tự ta có: BCHM cũng là tứ giá nội tiếp

Do: ANONAOCHBNHE

Suy ra: ENHEHN  ENH cân tại EENEH

Trang 21

Cho đường tròn  O và một điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn

 O ( Blà tiếp điểm ) và đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I( I khác C O, )

Đường thẳng AI cắt đường tròn tại hai điểm D E, ( D nằm giữa A E, ) Gọi H là trung điểm

của đoạn thẳng DE

a) Chứng minh bốn điểm A B O H, , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh AB BD

AEBE

c) Đường thẳng d đi qua E và song song với AO , d cắt BC tại K Chứng minh HK/ /DC

d) Tia CD cắt AO tại P, tia EO cắt BP tại F Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật

Hướng dẫn giải:

Trang 22

a) Vì H là trung điểm của DBOHDB hay OHDB

Lại có AB là tiêó tuyến của  O ABO 90

Xét tứ giác ABOH ABO: AHO180

Suy ra tứ giác ABHO nội tiếp

b) Ta có: ABDAED ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )

Khi đó dễ dàng chứng minh: ABD~AEB ( g.g )

AB BD

AE BE

c) Ta có: HK/ /AOOAHHEK ( 2 góc so le trong )

OAHHBOHEKHBOBHCE nội tiếp

IHK IBE IDC

Trang 23

Lại có: BOPAHB180 AHE180 BKEEKC

Suy ra: PBO~ECKPBO~ECKPBOKCEOEC

Suy ra tứ giác BECF nội tiếp mà B E C, ,  O  F  O

Lại do: BC EF, là các đường kính nên BECF là hình chữ nhật

Bài 12: ( Hà Nội 2017 – 2018 )

Cho đường tròn  O ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M N, lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ

AB và cung nhỏ BC Hai dây AN CM, cắt nhau tại điểm I Dây MN cắt các cạnh AB BC,

lần lượt tại H K,

a) Chứng minh bốn điểm C N K I, , , cùng một đường tròn

b) Chứng minh: NB2 NK NM

c) Chứng minh BHIK là hình thoi

d) Gọi P Q, lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E

trung điểm của đoạn thẳng PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn  O Chứng minh 3 điểm

, ,

D E K thẳng hàng

Hướng dẫn giải:

Trang 24

c) Chứng minh tương tự câu a) ta có: AMHI là tứ giác nội tiếp

Khi đó ta có: AHIAMIAMIABI

J

FE

N

M

CB

A

O

Trang 25

Suy ra: BHIK là hình bình hành (1)

Nhận thấy I là giao điểm 3 đường phân giác của ABCBI là phân giác ABC

Suy ra: BJK vuông tại J hay HKBI (2)

Từ (1), (2) suy ra tứ giác BHIK là hình thoi

Ngày đăng: 01/02/2018, 07:37

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w