Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ)

Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ) Logarit rời rạc và mật mã công khai (Luận văn thạc sĩ)

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VĂN THỊ THU THỊNH LÔGARIT RỜI RẠC VÀ MẬT MÃ CƠNG KHAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2014 Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VĂN THỊ THU THỊNH LÔGARIT RỜI RẠC VÀ MẬT MÃ CƠNG KHAI Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ MẠNH XUÂN THÁI NGUYÊN – 2014 Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỤC LỤC MỤC LỤC………………………………………… .1 LỜI CẢM ƠN…………………………………………………………… .2 MỞ ĐẦU………………………………………………………………… .3 CHƢƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ………………………………………… 1.1 Khái quát mật mã, mã cơng khai………………………… 1.2 Bài tốn lơgarit rời rạc…………………………………………… 11 CHƢƠNG II ỨNG DỤNG LÔGARIT RỜI RẠC TRONG MỘT SỐ HỆ MÃ CÔNG KHAI……………………………………………………………… 22 2.1 Hệ mã RSA……………………………………………………… 22 2.2 Hệ mã Elgamal…………………………………………………….27 2.3 Sơ đồ chữ kí Elgamal………………………………………………37 2.4 Hệ mã đƣờng cong Eliptic…………………………………………43 KẾT LUẬN………………………………………………………………….56 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 57 Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu tìm hiểu, em hồn thành luận văn thạc sỹ tốn học chun ngành tốn ứng dụng với đề tài: “ Lơgarit rời rạc mật mã công khai” Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Vũ Mạnh Xuân tận tình hƣớng dẫn em suốt trình nghiên cứu thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn quý thầy khoa Tốn – tin trƣờng Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, đồng nghiệp bạn học lớp hƣớng dẫn, truyền đạt kiến thức, tạo điều kiện giúp đỡ cho em suốt thời gian theo học thực luận văn Qua việc nghiên cứu hoàn thành luận văn, em có thêm nhiều kiến thức bổ ích chuyên môn nhƣ phƣơng pháp luận nghiên cứu khoa học Trong khuôn khổ luận văn, chắn chƣa đáp ứng đƣợc đầy đủ vấn đề đặt Vì điều kiện nghiên cứu hạn chế, nên cố gắng nhiều nhƣng luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến, phê bình q báu nhà khoa học, thầy cô bạn đồng nghiệp Một lần em xin chân thành cảm ơn ! Thái Nguyên, tháng 09 năm 2014 Học viên Văn Thị Thu Thịnh Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Bài toán logarit rời rạc Zp đối tƣợng nhiều cơng trình nghiên cứu đƣợc xem tốn khó p đƣợc chọn cẩn thận Bài tốn có nhiều ứng dụng sâu sắc nhiều hƣớng khác toán học, vật lý học,…đặc biệt toán logarit rời rạc sở để xây dựng hệ mã khóa cơng khai Đây dạng tốn chiều: tốn lấy lũy thừa tính tốn hiệu theo thuật tốn bình phƣơng nhân, song tốn ngƣợc tìm số mũ lại khơng dễ nhƣ Đề tài nhằm nghiên cứu tốn logarit rời rạc tìm hiểu ứng dụng vài hệ mã cơng khai: hệ mã RSA, hệ mã Elgamal, chữ kí Elgamal hệ mã đƣờng cong Elliptic Luận văn đƣợc trình bày chƣơng phần mởp đầu kết luận Chƣơng gồm kiến thức sở để nhằm phục vụ cho chƣơng 2, bao gồm kiến thức liên quan về hệ mật mã, hệ mã công khai tốn logarit rời rạc Chƣơng tác giả trình bày kiến thức hệ mã RSA, hệ mã Elgamal, chữ kí điện tử Ellgamal, hệ mã đƣờng cong Elliptic Chƣơng trình bày số ví dụ cụ thể để minh họa Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn dừng mức trình bày hệ thống kiến thức nhƣ tính tốn số ví dụ cụ thể, phần ứng dụng thực tế hạn chế Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn CHƢƠNG I : KIẾN THỨC CƠ SỞ Chƣơng trình bày kiến thức sở khái quát mật mã, khái niệm hệ mật mã, hệ mã công khai, tốn lơgarit rời rạc số thuật tốn lơgarit rời rạc Những kiến thức trình bày chƣơng đƣợc trích dẫn tài liệu sau: Mã hố thơng tin: Cơ sở tốn học ứng dụng - Phạm Huy Điển, Hà Huy Khoái (2003) - NXB Đại Học Quốc Gia, Lý thuyết mật mã an tồn thơng tin - Phan Đình Diệu (2002) - NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Giáo trình an tồn liệu – Khoa công nghệ thông tin - Trịnh Nhật Tiến NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 1.1 KHÁI QUÁT VỀ MẬT MÃ, MÃ CÔNG KHAI 1.1.1 Khái quát mật mã 1.1.1.1 Giới thiệu Mật mã đƣợc ngƣời sử dụng từ lâu đời Các hình thức mật mã sơ khai đƣợc tìm thấy từ khoảng bốn nghìn năm trƣớc văn minh Ai Cập cổ đại Trải qua hàng nghìn năm lịch sử, mật mã đƣợc sử dụng rộng rãi khắp nơi giới từ Đông sang Tây để giữ bí mật cho việc giao lƣu thơng tin nhiều lĩnh vực hoạt động ngƣời quốc gia, đặc biệt lĩnh vực quân sự, trị, ngoại giao Mật mã trƣớc hết loại hoạt động thực tiễn, nội dung để giữ bí mật thơng tin Ví dụ muốn gửi văn từ ngƣời gửi A đến ngƣời nhận B, A phải tạo cho văn mã mật tƣơng ứng thay gửi văn rõ A gửi cho B mã mật, B nhận đƣợc mã mật khôi phục lại văn rõ để hiểu đƣợc thông tin mà A muốn gửi cho Do văn gửi thƣờng đƣợc chuyển qua đƣờng công khai nên ngƣời ngồi “lấy trộm” đƣợc, nhƣng mật mã nên khơng đọc hiểu đƣợc Còn A tạo mã mật B giải mã mật thành rõ để hiểu Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn đƣợc hai ngƣời có thoả thuận chìa khố chung, với khố chung A tạo đƣợc mã mật từ rõ B khôi phục đƣợc rõ từ mã mật Khố chung đƣợc gọi khoá mật mã Để thực đƣợc phép mật mã, ta cần có thuật tốn biến rõ với khoá mật mã thành mã mật thuật toán ngƣợc lại biến mật với khoá mật mã thành rõ Các thuật tốn đƣợc gọi tƣơng ứng thuật tốn lập mã thuật toán giải mã Các thuật toán thƣờng khơng thiết phải giữ bí mật, mà ln cần đƣợc giữ bí mật khố mật mã Trong thực tiễn, có hoạt động ngƣợc lại với hoạt động bảo mật khám phá bí mật từ mã “lấy trộm” đƣợc, hoạt động thƣờng đƣợc gọi mã thám hay phá khoá 1.1.1.2 Các khái niệm sở Mật mã lĩnh vực khoa học chuyên nghiên cứu phƣơng pháp kỹ thuật đảm bảo an toàn bảo mật truyền tin liên lạc với giả thiết tồn lực thù địch, kẻ muốn ăn cắp thông tin để lợi dụng phá hoại Tên gọi tiếng Anh, Cryptology đƣợc dẫn giải nguồn gốc từ tiếng Hy lạp, kryptos nghĩa “che dấu”, logos nghĩa “từ ngữ” Cụ thể hơn, nhà nghiên cứu lĩnh vực quan tâm xây dựng phân tích (để điểm yếu) giao thức mật mã (cryptographic protocols), tức phƣơng thức giao dịch có đảm bảo mục tiêu an tồn cho bên tham gia (với giả thiết môi trƣờng có kẻ đối địch, phá hoại) Ngành Mật mã (cryptology) thƣờng đƣợc quan niệm nhƣ kết hợp lĩnh vực con: Sinh, chế mã mật (cryptography): nghiên cứu kỹ thuật toán học nhằm cung cấp cơng cụ hay dịch vụ đảm bảo an tồn thơng tin Phá giải mã (cryptanalysis): nghiên cứu kỹ thuật tốn học phục vụ phân tích phá mật mã tạo đoạn mã giản nhằm đánh lừa bên Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn nhận tin Hai lĩnh vực tồn nhƣ hai mặt đối lập, “đấu tranh để phát triển” thể thống ngành khoa học mật mã (cryptology) Tuy nhiên, lĩnh vực thứ hai (cryptanalysis) đƣợc phổ biến quảng đại nên dần dần, cách hiểu chung đánh đồng hai thuật ngữ cryptography cryptology Theo thói quen chung này, hai thuật ngữ dùng thay Thậm chí cryptography thuật ngữ ƣa dùng, phổ biến sách phổ biến khoa học, cryptology xuất phạm vi hẹp nhà nghiên cứu học thuật túy Mặc dù trƣớc hầu nhƣ mật mã ứng dụng phổ biến giới hẹp, nhƣng với phát triển vũ bão công nghệ thông tin đặc biệt phổ biến mạng internet, giao dịch có sử dụng mật mã trở nên phổ biến Chẳng hạn, ví dụ điển hình giao dịch ngân hàng trực tuyến hầu hết đƣợc thực qua mật mã Ngày nay, kiến thức ngành mật mã cần thiết cho quan phủ, khối doanh nghiệp cho cá nhân Một cách khái quát, ta thấy mật mã có ứng dụng nhƣ sau: - Với phủ: bảo vệ truyền tin mật quân ngoại giao, bảo vệ thông tin lĩnh vực tầm cỡ lợi ích quốc gia - Trong hoạt động kinh tế: bảo vệ thông tin nhạy cảm giao dịch nhƣ hồ sơ pháp lý hay y tế, giao dịch tài hay đánh giá tín dụng… - Với cá nhân: bảo vệ thông tin nhạy cảm, riêng tƣ liên lạc với giới qua giao dịch sử dụng máy tính kết nối mạng 1.1.1.3 Khái niệm hệ mật mã Hệ mật mã đƣợc định nghĩa năm (P, C, K, E, D), đó: P tập hữu hạn các rõ C tập hữu hạn mã K tập hữu hạn khố Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn E tập hàm lập mã D tập hàm giải mã Với k  K, có hàm lập mã ek  E, ek : P → C hàm giải mã dk D, dk: C → P cho dk(ek(x)) = x , x  P Hình 1.1: Q trình mã hố giải mã - Một thông báo thƣờng đƣợc tổ chức dƣới dạng rõ - Ngƣời gửi làm nhiệm vụ mã hóa rõ, kết thu đƣợc gọi mã - Bản mã đƣợc gửi đƣờng truyền tới ngƣời nhận, sau nhận đƣợc mã ngƣời nhận giải mã để tìm hiểu nội dung - Dễ dàng thấy đƣợc cơng việc sử dụng định nghĩa hệ mật mã: ek (P) = C dk (C) = P 1.1.1.4 Những yêu cầu hệ mật mã Một hệ mật mã phải cung cấp mức cao độ tin cậy, tính tồn vẹn, khơng từ chối xác thực - Độ tin cậy: cung cấp bí mật cho thơng báo liệu đƣợc lƣu việc che dấu thông tin sử dụng kĩ thuật mã hóa - Tính tồn vẹn: cung cấp bảo đảm với tất bên thông báo lại khơng thay đổi từ tạo đến ngƣời nhận mở - Tính khơng từ chối: cung cấp cách xác nhận tài liệu đến từ họ cố gằng từ chối - Tính xác thực: cung cấp hai dịch vụ: Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 10 + Đầu tiên nhận dạng nguồn gốc thông báo cung cấp vài bảo đảm thật + Thứ hai kiểm tra đặc tính ngƣời thống sau tiếp tục kiểm tra đặc tính họ trƣờng hợp cố gắng kết nối giả dạng ngƣời sử dụng 1.1.2 Khái quát hệ mã công khai 1.1.2.1 Mã đối xứng mã công khai Mã đối xứng đƣợc dùng để hệ mã mà biết khóa lập mã ta tìm đƣợc khóa giải mã cách đễ dàng Đồng thời việc giải mã đòi hỏi thời gian nhƣ việc lập mã Các hệ mã thuộc loại có thời gian lập mã giải mã tƣơng đối nhanh hệ mã đối xứng thƣờng đƣợc sử dụng để mã hóa liệu lớn Nhƣng hệ mã đối xứng yêu cầu phải giữ bí mật hồn tồn khóa lập mã Để giải vấn đề phân phối thoả thuận khoá mật mã khoá đối xứng, năm 1976 Diffie Hellman đƣa khái niệm hệ mật mã khố cơng khai phƣơng pháp trao đổi cơng khai để tạo khố bí mật chung mà tính an tồn đƣợc bảo đảm độ khó toán toán học cụ thể (là toán tính “lơgarit rời rạc”) Hệ mật mã khố cơng khai hay đƣợc gọi hệ mật mã phi đối xứng sử dụng cặp khố, khố mã hố gọi khố cơng khai (public key) khố giải mã đƣợc gọi khố bí mật hay khóa riêng (private key) Trong hệ mật này, khoá mã hoá khác với khố giải mã Về mặt tốn học từ khố cơng khai khó tính đƣợc khố riêng Biết đƣợc khố khơng dễ dàng tìm đƣợc khố Khố giải mã đƣợc giữ bí mật khố mã hố đƣợc cơng bố cơng khai Một ngƣời sử dụng khố cơng khai để mã hố tin tức, nhƣng có ngƣời có khố giải mã có khả xem đƣợc rõ Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 45 Bây giả sử d = USCLN(Y1-Y2 ,p –1) Và d | ( p –1) d | (Y1-Y2 ) nên suy d | (M1-M2) Ta định nghĩa: M‟ = (M1-M2 )/d; Y‟ = ( Y1-Y2 ) / d; Khi đồng dƣ thức trở thành: p‟ = ( p-1 ) / d M‟  R Y‟ ( mod p‟ ) Vì USCLN (Y‟,p‟ ) =1, nên ta tính :  = ( Y‟ ) –1 mod p‟ Khi giá trị R xác định theo modulo p R = M‟  mod p‟ Phƣơng trình cho d giá trị R: R = M‟  + i p‟ mod p, với i Trong giá trị d xác định đƣợc giá trị qua việc kiểm tra điều kiện: X  gR ( mod p ) 2.4 HỆ MÃ ĐƢỜNG CONG ELIPTIC 2.4.1 Mở đầu Năm 1976, Diffie Hellman giới thiệu hệ mã hố khố cơng khai mà an tồn dựa độ khó tốn DLP Họ đƣa khái niệm hàm cửa sập chiều (TOF) Năm 1985, Lenstra thành công việc sử dụng đƣờng cong elliptic cho số nguyên Kết mang lại khả áp dụng đƣờng cong elliptic hệ mật mã khố cơng khai Miller Kobliz giới thiệu hệ mật mã elliptic Họ khơng phát minh thuật tốn nhƣng có đóng góp lớn việc áp dụng elliptic cho hệ khố cơng khai Miller đề xuất giao thức trao đổi khoá tựa nhƣ Diffie – Hellman vào năm 1985 (nhanh 20% so với giao thức Diffie - Hellman) Kobliz đƣa thuật toán mã hoá tƣơng tự nhƣ hệ Elgamal Massey – Omura vào năm 1987 Sơ đồ tƣơng tự nhƣ sơ đồ RSA hàm chiều (có cửa sập) dựa đƣờng cong Elliptic đƣợc đƣa năm 1991 Koyama, Maurer, Okamoto Vanstone ( thuật toán tốc độ thực nhanh gấp lần so với RSA) Cùng thời điểm đó, Kaliski chứng minh hàm cửa sập chiều đòi hỏi thời gian hàm mũ để thực Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 46 phép tính nghịch đảo Menezes, Okamoto Vanstone đƣa phƣơng pháp cơng MOV để giải tốn EDLP số trƣờng hợp riêng Ngay sau đó, Miyaji tìm đƣợc điều kiện để tránh khỏi công MOV đề xuất ứng dụng thực tế đƣờng cong elliptic cho sơ đồ chữ ký định danh Smart Card Năm 1993, Demytko đƣa thuật toán tƣơng tự nhƣ RSA cho đƣờng cong Elliptic vành Zn vƣợt qua hạn chế phiên trƣớc, Menezes Vanstone đƣa phƣơng pháp thực thi thiết bị cứng cài thiện tính tốn elliptic trƣờng hữu hạn Những năm 1997, 1998 việc tìm hệ mật mã đƣờng cong Elliptic ngày thu hút nhiều ý số thuật toán đƣợc đƣa thành chuẩn RFC Lý thuyết đƣờng cong eliptic đƣợc xác định trƣờng số hữu hạn có địa ứng dụng lĩnh vực mật mã đáng lƣu ý Lý đƣờng cong eliptic trƣờng hữu hạn cung cấp cho sở xây dựng thuật toán khơng thể dùng thuật tốn vét cạn để thám mã nhóm Abel ca nhóm có cấp không lớn Đƣờng cong eliptic tập hợp điểm có tọa độ (x , y) thỏa mãn phƣơng trình có dạng sau đây: y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 +a4x + a6 Trên trƣờng F biểu diễn phƣơng trình Weiretrass: y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 +a4x + a6 (*) Xét đƣờng cong E trƣờng nguyên tố hữu hạn Fp (p nguyên tố, p>3 ) với công thức biến đổi nhƣ sau: X→X − a2 a1X  a3 , Y→ Y − Khi phƣơng trình Weierstrass có dạng: X3 + aX +b Vậy trƣờng Fp (*) trở thành: Y2 = X3 + aX + b Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 47 Định nghĩa: Giả sử K trƣờng có đặc số khác khác xét đa thức X3 + aX + b(với a, b  K) Khi đƣờng cong elliptic trƣờng K: Y2 = X3 + aX + b (1) tập hợp tất điểm (x, y) với x, y  K cho (1) khơng có nghiệm bội tức 4a3 + 27b2 ≠ mod p với phần tử O - điểm O đƣợc gọi điểm vô hạn Tức đƣờng cong Elliptic tập hợp S: S = { (x, y) : y2 = x3 + ax +b, x, y  K }  {O} Với a, b  K cho trƣớc cho 4a3 + 27b2 ≠ theo mod p Nếu K trƣờng đặc số ta định nghĩa: S = { (x, y) : y-2 + y= x3 + ax +b }  {O} (2)  Nếu K trƣờng đặc số ta định nghĩa: S = { (x, y) : y2 = x3 + ax +bx + c }  {O} (3) * Tính chất đường cong elliptic:  Nếu hai điểm P1 (x1, y1 ) P2 (x2, y2) với x1 ≠ x2 nằm đƣờng đƣờng cong elliptic E, đƣờng thẳng qua hai điểm P P2 cắt điểm P3 ( x3, y3) xác định thơng qua P1 P2 nằm đƣờng cong E  Tiếp tuyến đƣờng cong điểm P(x, y) đƣờng cong E cắt đƣờng cong elliptic E điểm nằm đƣờng E, điểm xác định đƣợc thông qua P Dựa vào tính chất ngƣời ta nghiên cứu phát khả cho kỹ thuật mã hố nói chung chứng thực nói riêng, kỹ thuật mã hoá dựa đƣờng cong elliptic Ngƣời ta hệ mã hoá đƣờng cong elliptic có độ bảo mật cao nhiều so với hệ mã hố cơng khai khác nhƣ RSA, Elgamal Độ bảo mật dựa độ khó phân tích số nguyên thành thừa số Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 48 nguyên tố nhƣ toán logarit rời rạc, độ dài khoá giảm nhiều lần tốc độ thực nhanh nhiều Chính ta áp dụng kỹ thuật mã hoá đƣờng cong elliptic vào nhiều lĩnh vực khác Các kỹ thuật mã hoá phƣơng pháp đƣờng cong elliptic đƣợc sử dụng hiệu việc xây dựng giải pháp bảo mật thông tin cho thẻ thông minh(Smart Card), thiết bị điện tử có khả tính tốn khơng gian nhớ hạn chế 2.4.2 Các phép tốn đƣờng cong Elliptic Giả sử p số nguyên tố >3 Ngƣời ta chứng minh đƣợc phép biến đổi tuyến tính, ta quy phƣơng trình đƣờng cong elliptic dạng Weierstrass nhƣ sau: Y2 = X3 + aX + b Đƣờng cong elliptic Y2 = X3 + aX + b Zp đƣợc định nghĩa tập hợp tất điểm (x, y)  Zp  Zp thoả mãn phƣơng trình: Y2 = X3 + aX + b (mod p) Cùng với phần tử đặc biệt ký hiệu O phần tử trung hồ Tập hợp đƣợc ký hiệu E 2.4.2.1 Phép cộng Giả sử P= (x1, y1) Q (x2, y2) hai điểm E Nếu x1 = x2 y1 = - y2 ta định nghĩa P + Q = O Ngƣợc lại th ì P + Q = (x3, y3)  E x3 =  - x1 – x2 , y3 =  (x1 – x3 ) –y1, Với = (y2 – y1 ) / (x2 – x1), P ≠ Q( x1 = x2 th ì  hệ số góc đƣờng thẳng qua P Q) (*) (3x2 + a) / y1, P = Q (  đạo hàm đƣờng cong P) (**) Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 49 Vậy P ≠ Q tức x1 ≠ x2 y y  x3 =   - x1 – x2  x2  x1  (*)  y  y1   ( x1 – x3) - y1  x2  x1  y3 =  N ếu P =Q  3x  a x3 =   y1   – 2x2  (**)  3x 21  a   ( x1 – x3) - y1 y3 =   y1  R Q P R 2P P P+ Q Hình 2.1: Phép cộng đường cong Elliptic Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 50 Chú ý điểm (x3, y3), (x3, -y3) nằm đƣờng cong E xét mặt hình học, điểm (x1, y1), (x2, y2), (x3, -y3) nằm đƣờng thẳng Ngoài ta định nghĩa thêm: P + O = O + P = P Ví dụ: Xét đƣờng cong elliptic y2 = x3 – 36x Lấy P =(-3, 9), Q = (-2, 8) Hãy tìm P + Q 2P? Với x1 = -3, y1 = 9, x2 = -2 , y2 = Do áp dụng cơng thức(*) ta có: x3 = (8  9) +3 + = 1+ +2 = 23 89  y3 = -9   (-3-6) = -9 + (-1)(-9) =0    3 Vậy P +Q = (6, 0) Bây ta tính 2P áp dụng (**) ta có: x1= -3, y1 = x3 = 25  35 25  35 y3= Vậy 2P = ( , ) 8 2.4.2.2 Phép nhân Phép nhân số nguyên k với điểm P thuộc đƣờng cong elliptic E điểm Q đƣợc xác định cách cộng k lần điểm P dĩ nhiên Q  E: k  P = P + P + P……+ P ( k phép cộng điểm P) Vì G điểm thuộc đƣờng cong elliptic E với số nguyên dƣơng k dễ dàng xác định đƣợc điểm Q = k  G 2.4.3 Đƣờng cong elliptic trƣờng hữu hạn Xét trƣờng hữu hạn Fq q = pr phần tử trƣờng hữu hạn K Giả sử E đƣờng cong elliptic đƣợc định nghĩa Fq Nếu đặc số trƣờng p=2 p=3 E đƣợc cho phƣơng trình (2) (3) Dễ dàng thấy đƣờng cong nhƣ có nhiều 2p+1 điểm Fq, nghĩa điểm vô với 2q cặp (x, y) x, y  Fq thoả mãn (1) (2) (3) (nếu p=2 3), tức với q giá trị x có tồn nhiều giá trị y thoả mãn (1) Nhƣng có nửa phần F*q Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 51 có bậc ngƣời ta kỳ vọng (nếu x3 + ax +b phần tử ngẫu nhiên trƣờng ) có khoảng nửa số điểm Fq Chính xác hơn, giả sử  đặc trƣng tồn phƣơng Fq (lấy  (0) = 0) Ví dụ: Nếu q = p số nguyên tố  (x) =( x ) ký hiệu Legedre p Symbol) Do tất trƣờng hợp số nghiệm y  Fq thoả mãn phƣơng trình y2 = u +  (u) Vì số nghiệm phƣơng trình điểm vơ hạn là: 1+  (1+  (x3 + ax + b)) = q + + xFq  (1+  (x3 + ax + b)) (6) xFq Ta hy vọng  ( x3 + ax + b) +1 -1 Lấy tổng ngẫu nhiên: tung đồng xu q lần Ngƣời ta thấy rằng:  xFq (x3 + ax + b) bị chặn q định lý Hasses đƣợc phát triển nhƣ sau: Định lý: Gọi N số điểm đƣờng cong elliptic đƣợc định nghĩa Fq Khi | N−(q + 1) | ≤ q 2.4.4 Lôgarit rời rạc đƣờng cong Elliptic( Discrete logarithm on Elliptic) Định nghĩa: Nếu E đƣờng cong Elliptic trƣờng Fq B điểm E Khi tốn logarit rời rạc E (theo số B) toán, cho trƣớc điểm P  E, tìm số nguyên x  Z cho xB = P (nếu số x nhƣ tồn tại) Hầu nhƣ tốn tính lơgarit rời rạc đƣờng cong elliptic khó tốn lơgarit rời rạc trƣờng hữu hạn Các kỹ thuật mạnh đƣợc phát triển để sử dụng trƣờng hữu hạn dƣờng nhƣ khơng có giá trị đƣờng cong elliptic Kết đặc biệt trƣờng hợp trƣờng có đặc số Nhƣ đƣợc chứng tỏ Odlzko có số phƣơng Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 52 pháp đặc biệt để giải toán logarit rời rạc G *2r với chúng dễ dàng tính đƣợc lơgarit rời rạc phá vỡ đƣợc hệ mật mã, trừ trƣờng hợp số r đƣợc chọn đủ lớn Dƣờng nhƣ hệ thống tƣơng tự sử dụng đƣờng cong elliptic đƣợc định nghĩa trƣờng F2r đảm bảo an toàn kể trƣờng hợp giá trị r bé 2.4.5 Đếm số điểm đƣờng cong elliptic trƣờng Fq Việc xây dựng hệ mật mã đƣờng cong elliptic bao gồm việc lựa chọn đƣờng cong E thích hợp điểm G E gọi điểm sở Xét trƣờng K Fq Định lý Hasse N số điểm E trƣờng Fq (trƣờng hữu hạn q phần tử) Khi đó: |N – (q +1)| ≤ q Từ định lý Hasse suy #E(Fq) = q +1 – t |t| ≤ q Định nghĩa Bậc điểm G thuộc E số k dƣơng bé cho kG = O; k = #E(Fq) G điểm sở E Ví dụ: Giả sử E đƣờng cong eliptic y2 = x3+x+6 Z11 Trƣớc hết ta xác định điểm E Để làm điều đó, xét giá trị x  Z11, tính x3+x+6 mod 11 giải phƣơng trình y2  x3+ax+b (mod p) y Với giá trị x cho trƣớc, ta kiểm tra xem liệu z = x3+x+6 mod 11 có phải thặng dƣ bình phƣơng hay khơng cách áp dụng tiêu chuẩn Euler Ta có cơng thức tƣờng minh để tính bậc hai thặng dƣ bình phƣơng theo mơ đun p với số nguyên tố p  (mod 4) Áp dụng công thức ta có bậc hai thặng dƣ bình phƣơng z là: z(11+1)/4 mod 11 = z3 mod 11 Kết phép tính nhƣ sau: Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 53 x X3+x+6 mod 11 Có QR(11)? Khơng Khơng Có 4,7 3 Có 5,6 Khơng Có Khơng Có 2,9 Có 3,8 Khơng 10 Có y 2,9 2,9 Nhƣ E có tất 13 điểm Vì nhóm cấp ngun tố nhóm cyclic nên ta có E đẳng cấu với Z13 điểm (kkhoong phải điểm vơ cực) phần tử sinh nhóm E Giả sử ta lấy phần tử sinh  = (2, 7), ta tính lũy thừa  (chính bội  phép nhóm phép cộng) Để tính 2 = (2, 7) + (2, 7), trƣớc hết ta tính:  = (322+1)(27)-1 mod 11 = 23-1 mod 11 = 24 mod 11 = Sau ta có : x3 = 82-2-2 mod 11 = Và y3 = (8(2-5)-7) mod 11 = Bởi 2 = (5,2) Tiếp theo 3 = 2 +  = (5, 2) + (2, 7), ta lại tính  Ta có:  = (7-2)(2-5)-1 mod 11= 58-1 mod 11 = 57 mod 11 = Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 54 Khi ta có x3 = 22-5-2 mod 11 = Và y3 = 2(5-8) - mod 11 = Bởi 3 = (8,3) Tiếp tục theo cách tƣơng tự ta tính đƣợc bội lại nhƣ sau:  = (2,7) 4 = (10,2) 7 = (7,2) 10 = (8,8) 2 = (5,2) 3 = (8,3) 5 = (3,6) 8 = (3,5) 6 = (7,9) 9 = (10,9) 11 = (5,9) 12 = (2,4) Do  = (2,7) thực phần tử nguyên thủy Một đƣờng cong E xác định Zp (p số ngun tố >3) có khoảng p điểm Chính xác thí số điểm E(kí hiệu E) thỏa mãn bất đẳng thức định lý Hasse Bây giả sử tính đƣợc E Vấn đề ta phải tìm nhóm cyclic E cho tốn logarit khó Bởi ta phải phải biết vài điều cấu trúc nhóm E Định lý: Cho E đƣờng cong elliptic Zp với p số nguyên tố lớn Khi tồn số nguyên n1 n2 cho E đẳng cấu Zn1Zn2 Ngoài n2 | n1 n2 | (p-1) Do tính đƣợc số n1 n2 ta biết E có nhóm cyclic đẳng cấu với Zn1 dùng E để thiết lập hệ mật Elgamal Chú ý n2 = E nhóm cyclic Cũng E số nguyên tố tích số ngun tố khác E nhóm cyclic có số nhóm cyclic Xét ví dụ phép mã Elgamal sử dụng đƣờng cong elliptic Ví dụ: Giả sử  = (2,7) số mũ bí mật ngƣời nhận a = Khi đó: Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 55  = 3 = (8, 3) Phép mã hóa thực nhƣ sau: eK(x,k) = (k(2, 7),x+k(8, 3)) Trong xE  k  12 Còn phép giải mã thực nhƣ sau: dK(y1,y2) = y2-3y1 Giả sử ngƣời gửi muốn mã tin x = (9, 8) (là điểm E) Nếu chọn giá trị ngẫu nhiên k = tính: y1 = 2(2, 7) = (5, 2) Và y2 = (9, 8) + 2(8, 3) = (9, 8) + (7, 9) = (9, 2) Bởi vậy, y = ((5, 2), (9, 2)) Bây ngƣời nhận nhận đƣợc mã y họ giải mã nhƣ sau: x = (9,2) - 3(5,2) = (9,2) - (3,5) = (9,2) + (3,6) = (9, 8) Đây rõ Trên thực tế có số khó khăn áp dụng hệ mật Elgamal đƣờng cong elliptic Hệ thống đƣợc áp dụng Zp có hệ số mở rộng tin 2.Việc áp dụng đƣờng cong Elliptic có thừa số mở rộng khoảng lần Điều co xấp xỉ p rõ, nhƣng mã lại gồm phần tử trƣờng Một trở ngại không gian rõ chứa điểm đƣờng cong E khơng có phƣơng pháp xác định tƣờng minh điểm E Menezes Vanstone tìm phƣơng án hiệu Theo phƣơng án đƣờng cong Elliptic đƣợc dùng để che dấu, rõ mã hợp lệ cặp đƣợc tùy ý phần tử khác khơng trƣờng (khơng đòi hỏi phải điểm E ) Nếu trở lại đƣờng cong y2 = x3 + x + Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 56 Z11 ta thấy hệ mật Menezes Vanstone có 100 rõ hệ ban đầu có 13 rõ Hệ mật đường cong Elliptic Menezes Vanstone Giả sử E đƣờng cong Elliptic Zp ( p số nguyên tố lớn 3) cho E chứa nhóm cyclic H, tốn logarit rời rạc tốn khó giải Giải sử P = Zp*  Zp* , C = E  Zp*  Zp* ,ta định nghĩa: K = { (E,,a,) :  = a  } Trong E Các giá trị ,  đƣợc cơng khai a đƣợc giữ kín.Đối với K = { (E,,a,) :  = a  }, với số ngẫu nhiên bí mật k  Z| H | x = (x1,x2)  Zp* Zp*, ta xác định: eK (x,k) = (y0,y1,y2) y0 = k  (c1,c2) = k  y1 = c1x1 mod p y2 = c2y2 mod p Với mã y = (y0,y1,y2), ta định nghĩa dK (y) = (y1c1-1 mod p, y2c2-1 mod p) a y0 = (c1,c2) Ví dụ: Giả sử  = (5, 2), số mũ bí mật ngƣời nhận Khi  = 3 = (5, 9) Giả sử ngƣời gửi muốn mã hóa rõ sau: x = (x1,x2) = (9, 2) chọn ngẫu nhiên k = Khi họ tính y0 = k = 2(5, 2) = (10,9) k = 2(5, 9) = (10, 2) Nhƣ c1 = 10 c2 = Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 57 Tiếp theo ngƣời gửi tính y1 = c1x1 mod p = 109 mod 11 = Và y2 = c2x2 mod p = 22 mod 11 = Bản mã ngƣời gửi cho ngƣời nhận là: y = (y0,y1,y2) = ((10, 9), 2, 4) Khi ngƣời nhận nhận đƣợc mã họ tính tốn nhƣ sau: (c1,c2) = (a y0) = 3(10,9) = (10,2) Và sau tính: x = (y1c1-1 mod p, y2c2-1 mod p) = ((210-1 mod 11, 42-1 mod 11) = (210 mod 11, 46 mod 11) = (9,2) Đây rõ Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 58 KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc số kết sau: - Nghiên cứu trình bày cách có hệ thống hệ mật mã, hệ mã công khai - Nghiên cứu toán logarit rời rạc, số thuật toán giải toán lgarit rời rạc - Nghiên cứu ứng dụng toán logarit rời rạc hệ mã RSA, hệ mã Elgamal, chữ kí Elgamal hệ mật đƣờng cong Elliptic, trình bày số ví dụ cụ thể để minh họa Do nhiều hạn chế điều kiện làm việc, hồn cảnh gia đình sức khỏe nên kết thu đƣợc trình bày hệ thống kiến thức theo cấu trúc trên, phần ứng dụng chƣa đƣợc phong phú đầy đủ Tuy đề tài hay, cần nhiều sở tốn học có ý nghĩa ứng dụng thực tế cao phát triển đƣợc đầy đủ Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đình Diệu (2002), Lý thuyết mật mã an tồn thơng tin, Nxb Đại Học Quốc Gia, Hà Nội Phạm Huy Điển, Hà Huy Khối (2003), Mã hố thơng tin: Cơ sở tốn học ứng dụng, Nxb Đại Học Quốc Gia, Hà Nội Trịnh Nhật Tiến, Giáo trình an tồn liệu, Khoa công nghệ thông tin, Nxb Đại Học Quốc Gia, Hà Nội Lƣu Hồng Dũng (2014), Chương 5: Lơgarit rời rạc, http://docview.tài liệu.vn/tài liệu/2014, ngày 4/4/2014 Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... mật mã khóa cơng khai bảo mật Một văn đƣợc mã hóa khóa cơng khai ngƣời sử dụng giải mã với khóa bí mật ngƣời Hệ mật mã khố cơng khai dựa vào giả thiết liên quan đến tốn khó nên đa số hệ mật mã. .. đƣợc mã mật từ rõ B khôi phục đƣợc rõ từ mã mật Khố chung đƣợc gọi khoá mật mã Để thực đƣợc phép mật mã, ta cần có thuật tốn biến rõ với khoá mật mã thành mã mật thuật toán ngƣợc lại biến mật. .. KHÁI QUÁT VỀ MẬT MÃ, MÃ CÔNG KHAI 1.1.1 Khái quát mật mã 1.1.1.1 Giới thiệu Mật mã đƣợc ngƣời sử dụng từ lâu đời Các hình thức mật mã sơ khai đƣợc tìm thấy từ khoảng bốn nghìn năm trƣớc văn minh