Phương pháp SKKN giải toán ứng dụng của tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐIỆN BIÊN TRƢỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Phƣơng Đơn vị cơng tác: Tổ Tốn –Tin Điện Biên, tháng năm 2015 MỤC LỤC S thi t Ph vi tri ụ h ủ vi h i th th hi s g i hi C Nội du g Tì h tr g giải ph p ã bi t Nội du g giải ph p Khả ă g p dụ g ủ giải ph p Hi u lợi h thu ượ p dụ g giải ph p 5 Ph vi ả h hưở g ủ giải ph p 6 Ki ghị ề xuất Nội du g ụ th 7.1 C sở l lu 7.2 V dụ g 7.2.1 Ứ g dụ g t h phâ t h di t h ủ hì h phẳ g 7.2.2 Ứ g dụ g t h phâ t h th t h ủ v t th trò xo y Tài li u th Trang hảo 24 31 PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Phƣơng Giáo viên THPT chuyên Lê Quý Đôn A S c n thi t, mục Qu th ch việc th c sáng i n: t giả g d y thấy vấ th t h ủ v t th trò xo y hư hiều hó hă Do to th t ặ bi t hiều i thứ “sợ” to hư t h t h phâ t h di h ê e y gi o ho ti t h ó hu g ó s phân tích thi u tư th lẫ họ hô g giải ượ hỏ” di t h s h th t h di Rè t ối, rè s il i h ghi TÍCH PHÂN” hằ trì h họ gi dụ g g t tr quan ặ bi t hữ g to ới t h ượ Thê hảo ó t v dụ vào ó tro g s h i h ho ột h hi ó” Cà g hó hă ò y u ỹ ă g “ ọ “PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG giúp ho họ si h 12 bi t t h hì h phẳ g th t h v t trò xo y ượ ỹ ă g t h t h phâ ỹ ă g ọ hi gặp to thị ủ hà t h di g ó dấu gi trị hữ g hó hă , t h hì h phẳ g ũ g hư t h th t h ủ v t g từ ó họ si h ả ề ứ g dụ g ủ t h phâ r tro g hư số từ ó hắ phụ họ si h ã họ lớp thấy ượ t h th ề ày tro g hư h giải quy t ặ bi t t h phâ th trò xoay Giúp họ si h ph t huy tốt i vấ g gi o h S g i to tư thườ g v giúp họ si h họ t p hắ phụ “ hữ g s i l thị” ò h e ho hữ g họ si h ó ỹ ă g t h t h phâ CỦ ượ tr g bị Nên hiều họ si h thườ g ó ả ề ày hì hư “ hi ũ g hư ày họ si h t h hì h phẳ g ũ g hư tốn tính th t h ủ v t h y bị h phải ó hì h vẽ liê qu hảo s t vẽ thị to hơ g gi ề g trì h giải t h 12 họ si h gặp ứ g dụ g ủ t h phâ to th trò xo y Khi họ vấ ột t h ủ hì h phẳ g vấ giải quy t ượ to hì h họ phẳ g hì h họ thứ ề di Đây thứ di t h th t h t s liê h ội t i ủ vấ thấy g thú thi t th ột tài li u th họ tốt hảo tốt ho họ si h ũ g hư gi o viê thô g ô thi luy i họ thi ô t p thi tốt ghi p tru g họ phổ o ẳ g B Ph m vi tri n hai th c hiện: +) Đối tượ g ghiê - Mụ tiêu ứu ội du g hư g trì h â g - Sách giáo khoa s h t p - Các toán tro g hư - Mứ ộ h Ph g trì h huyê bả THPT i số giải t h 12 g trì h thi i họ ủ họ si h trườ g THPT huyê Lê Quý Đô vi ghiê - Chư -C thứ o ứu bả nâng cao toán THPT ề thi i họ o ẳ g - Họ si h trườ g THPT huyê Lê Quý Đô +) Ti hà h th ghi trê lớp 12C8 C Nội dung Tình tr ng giải pháp ã bi t Chủ ề ứ g dụ g ủ t h phâ hư g trì h to giải t h lớp 12 Vi si h hi u rõ ý ghĩ hì h họ ột tro g hữ g i d y họ vấ ủ t h phâ thị hà thứ bả ề ày họ si h giúp họ ặ bi t t h di t h ủ hì h phẳ g giới h bởi hi qu y ột hì h phẳ g qu h trụ hoà h hoặ trụ tu g Đây ũ g ội du g thườ g gặp tro g thô g ề thi sinh ( o ẳ g ả họ si h h số t h th t h ủ v t th trò xo y ượ t o ề thi ị h ỳ ột ề thi tốt ghi p tru g họ phổ i họ Nhìn chung họ vấ ề ày thườ g gặp hữ g hó hă s i l i số họ s u: - N u hơ g ó hì h vẽ thi họ si h thườ g hơ g hì h du g ượ hì h phẳ g (h y v t th trò xo y Do dó họ si h ó ả di t h ủ hì h phẳ g ã họ trướ di … Họ si h hô g t ó ủ ì h hi ghiê - Hì h vẽ i h họ giúp họ si h rè luy ứu vấ dụ g ượ ây (di gi “x l ” h t h so với hi họ gi , th t h i u “tư liê h ũ với hối ới” vố ề ày s h gi o ho tư từ tr ũ g hư s h t p ò qu t “ hư ủ” trừu tượ g Từ ó họ si h hư thấy s g gũi thấy t h th t ủ hì h phẳ g v t trò xo y g họ - Họ si h hư th s g thú ó ả trái l i họ si h ó ả gi gi ột ă g ọ h y thị ó t h hì h phẳ g th t h v t tròn hó ph t huy t h li h ho t s g t o xét dấu ỹ ă g ộ g trừ di ề này, ặ g ề, hó hi u - Họ si h thườ g hỉ hớ ô g thứ t h di xoay hẹ hà g hi họ vấ bi u thứ ỹ ă g “ hi ặ bi t ỹ hỏ” hì h phẳ g t h; ộ g trừ th t h Đây t h, ột hó hă lớ họ si h thườ g gặp phải - Họ si h thườ g găp s i sót tro g vi t h t h phâ ó dấu gi trị t ối Nội dung giải pháp: - Dù g ột h thố g v dụ h h h u từ ó rè luy qu trì h giải to ó phân tích kèm lời giải hi ti t với ho họ si h s v ph t huy t h s g t o giúp họ hì h phẳ g Từ ó họ si h ó ả thú h i h họ tro g họ t p Họ si h h gi dụ g li h ho t tro g ó hì h ả h tr hẹ hà g g gũi th qu t h d g giải h th o to t h ủ hì h phẳ g th t h ủ v t th trò xo y theo yêu g t h di u - Giúp họ h th o ỹ ă g dấu gi trị t ối ột h li h ho t tùy thuộ vào từ g tì h huố g ụ th - Đư r h thố g t p tư hì h vẽ họ si h luy gt ó hì h vẽ è theo hoặ hơ g ó t p từ dễ tới hó Khả áp dụng giải pháp Đề tài ượ tri h i â g o hất lượ g họ t p ủ họ si h lớp 12 tro g qu trì h họ tro g ô thi tốt ghi p ô thi i họ o ẳ g Hiệu quả, lợi ch thu ƣợc áp dụng giải pháp Qu th dụ g ột t p dụ g h h li h ho t hi giải g thú hi họ d g to hó hă hi gặp to thấy to e họ si h ã t ti bi t v ứ g dụ g ủ t h phâ tỏ r ày Họ si h hắ phụ t h di ượ hữ g “s i l t h ủ hì h phẳ g ũ g hư t h th ” t h ủ v t th trò xo y hư ườ g t h tr qu g trì h giải t h 12 Thu ũ g ẩy lợi ho vi tă g h ứ g dụ g ô g gh thô g ti d y họ Ph m vi ảnh hƣởng giải pháp - Đề tài tài li u giả g d y hữu h ho th y ô g giả g d y to lớp 12 - Đề tài tài li u giúp họ si h họ tốt ph từ ó họ si h ó phư g ph p t ghiê ứu ứ g dụ g t h ủ t h phâ huyê ề h Ki n nghị, ề xuất: Đề tài ê â g ượ hâ rộ g tro g o hất lượ g d y họ trườ g THPT tro g tỉ h góp ph To Nội dung cụ th 7.1 Cơ sở l lu n Diện t ch hình phẳng giới h n ƣờng ó có ƣờng y=f(x) Cô g thứ t h di t h ủ hì h phẳ g giới h ườ g  y  f ( x)  y  (truc Ox)   x  a  x  b (a  b) b y y=f(x) a O b x  S   f ( x) dx a Diện t ch hình phẳng giới h n ƣờng ó có hai ƣờng y=f(x) y=g(x) Cô g thứ t h di t h ủ hì h phẳ g giới h ườ g  y  f ( x)  y  g ( x)   x  a  x  b (a  b) b  S   f ( x)  g ( x) dx a y=f(x) y y=g(x) O a b x Th t ch v t th tròn xoay t o hình phẳng giới h n ƣờng ó có ƣờng y=f(x) quay xung quanh trục Ox Hì h phẳ g (H h ườ g ượ giới y  y  f ( x)  y  (truc Ox)   x  a  x  b (a  b) a O Khối trò xo y si h H hi qu y qu h trụ Ox là: b y=f(x) b x VOx     f ( x) dx a 7.2 V n dụng 7.2.1 Ứng dụng t ch phân t nh diện t ch hình phẳng 1) Hình phẳng giới h n ƣờng ó có ƣờng y=f(x) Cô g thứ t h di t h ủ hì h phẳ g giới h ườ g y  y  f ( x)  y  (truc Ox)   x  a  x  b (a  b) y=f(x) a O b b x  S   f ( x) dx a Chú ý: C phải x ị h hì h phẳ g với dụ g ô g thứ di t h Vi y ủ ườ g hư trê b t h t h phâ S   f ( x) dx (1) ó dấu gtt t sử dụ g ới p ột tro g a cách t h s u ây Cách 1: Xét dấu f(x sử dụ g ị h ghĩ  f ( x) f ( x)  f ( x)    f ( x) f ( x)  b b  N u f ( x)  , x a ; b S   f ( x) dx   f ( x)dx a a b b a a  N u f ( x)  , x a ; b S   f ( x) dx    f ( x) dx Từ ó t h t h phâ trê ỗi o f(x hơ g ò dấu gi trị t ối Khi xét dấu f(x t thườ g dù g ị h l “dấu ủ hị thứ b t hất” ị h l “dấu ủ t thứ b h i” Cách 2: D f(x) vào thị ủ hà số y =f(x trê o a ; b suy r dấu ủ y  N u trê o [ ; b] thị hà số y = f(x ằ ph “trê ” trụ hoà h f ( x)  , x a ; b y=f(x ) a O b y  N u trê o [ ; b] thị hà số y = f(x ằ ph “dưới” trụ hồ h O f ( x)  , x a ; b a b x y=f(x ) Cách 3: Chuy N u f(x dấu gi trị t ối r hô g ổi dấu trê [ ; b] t gồi dấu t h phâ b b a a ó S   f ( x) dx   f ( x)dx (*) Vấ ề t i tì hoả g trê ó f(x hơ g ổi dấu T ó h xét s u ây N u phư g trì h f(x = ó ghi phâ bi t x1 , x2 … xk thuộ ( ; b trê ỗi hoả g ( ; x1 ) , (x1 ; x2 … (xk ; b) bi u thứ f(x ó dấu hô g ổi b t h t h phâ S   f ( x) dx t Khi ó ó th t h hư s u a b x1 x2 b a a x1 xk S   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx    f ( x) dx  x1  f ( x)dx  a C x2  b f ( x)dx   x1  f ( x)dx xk b bướ t h S   f ( x) dx a Giải phư g trì h f(x =0 Tì nghiệm thuộc o n t nh t ch phân + Chi o t h t h t h phâ u trê o t h t h phâ ó ghi V dụ g (* th t h phâ bì h thườ g V dụ 1: T h di hi dấu gi trị t ối (gtt t h ủ hì h phẳ g giới h x ngồi tính  y   x  x  (C )  y  ườ g  x   x  ài giải Cách 1: (Xét dấu T ó di dấu gi trị t ối t h S ủ hì h phẳ g trê S    x  x  dx Giải phư g trì h  x  x   vô ghi   x2  x   x 3 x3  S    x  x  dx   ( x  x  2)dx  (  x  x) 0   03  27 33  32  2.3     2.0      ( vdt 3   C h (Dù g thị Di t h S ủ hì h phẳ g y S    x  x  dx Từ thị t ó trê [0 ;3] thị (C ằ trụ hoà h ê  x  x   , x  0;3 3 S    x  x  dx   ( x  x  2)dx  (  x3  x  x) ó di A O B x f x =  -x2+2x -2 -4  03  27 33  32  2.3     2.0  960  3  ( vdt Cách 3: ( dấu gtt r T -2 -1 (C) gồi dấu tích phân) t h S ủ hì h phẳ g trê S    x  x  dx Giải phư g trì h  x  x   vô ghi 3  S    x  x  dx   ( x  x  2)dx  (  o (0;3 3 x  x  x) 0  27  32  2.3    02  2.0       ( vdt 3 3  3 V dụ 2: T h di t h ủ hì h phẳ g giới h ài giải C h (Xét dấu dấu gi trị t ối T ó di  y  x  3x  (C )  y0 ườ g  x   x  2 t h hì h phẳ g S   x3  3x  dx Dấu ủ y  x3  3x  - + + -1 - Ta có x3 -3x2 ≥  x  [ ; ] x3 -3x2 ≤ x [ ; ] 2 Do ó S   x  3x  dx   ( x  3x  2)dx   ( x  3x  2)dx (  x  24  x  x3  x)  (  x3  x)        23  2.2  (   2)  4 4 4  4 1 1    1  4 ( vdt C h (dù g thị Từ thị ủ hà số ã ho trê o từ [0;2] ta có trê [0;1] (C ằ trê trụ hoà h trê [1 ;2] (C ằ trụ hoà h y f x =  x3-3x2 +2 S   x3  3x  dx A   ( x  3x  2)dx   ( x  3x  2)dx 3  -2 -1 B O1 x (C) 1 1    1  4 ( vdt Cách 3: ( dấu gtt r gồi dấu tích phân) S   x3  3x  dx Giải phư  x  1 (0; 2) (t / m) g trì h x3 -3x2 + =0    x   (0; 2) ( Loai) Khi ó 2 1 S   x3  3x  dx   ( x3  3x  2) dx   ( x3  3x  2) dx   ( x3  3x  2)dx   ( x3  3x  2)dx ( x x 5 5  x  x)  (  x  x)      4 4 4 4 Chú ý: Vi hi o t h t h phâ ượ th hi gi o i ó ghi thuộ hoả g lấy t h phâ V dụ 3: Tính di t h ủ hì h phẳ g giới h ài giải C h (Xét dấu dấu gi trị t ối x2 dx x 1 1 Có S   10 ( vdt hi phư ườ g g trì h hồ h ộ x    y  x 1  y  x    x  1  f ( x)  x  3x  x    g ( x)   x  x  x   x  x   Bài giải Dù g phư g ph p dấu gtt r gồi dấu tích phân S   f ( x)  g ( x) dx Hoà h ộ gi o i ủ h i thị trê ghi ủ phư f ( x)  g ( x) g trì h  x3  3x  x    x3  x  x   x3  x  x    x (2 x  1)  (2 x  1)  1   x   0;2 2 x     (2 x  1)( x  1)      x   0;2 x 1   x  1  0;2   S   f ( x)  g ( x) dx   (2 x  1)( x  1)dx   (2 x  1)( x  1)dx  Chú ý: Đối với  y  f ( x)   y  g ( x) x  a  hì h phẳ g ho d g  y  f ( x)   y  g ( x) hoặ ườ g ò l i bằ g trườ g hợp t h di ượ lấy từ bé hất hư h giải phư ủ ườ g t lớ t h ủ hì h phẳ g giới h x  3x   x  x   x2  x     x  18  y  f ( x)  y  g ( x)  t h ủ hì h phẳ g trê ị h Trong hi giải ta tính tích tích phân với hất Bài giải: Cách 1: Dù g phư g ph p dấu gtt r Giải phư g trì h hồ h ộ gi o i tì Suy r di phải x g trì h hồ h ộ gi o i t h hì h phẳ g giới h f ( x)  g ( x) ho hiều ghi V dụ 2: T h di 7 35  7 6 ghi  y  x  3x  bới h i ườ g   y  x 1 gồi dấu tích phân ườ g ò thi u S   x  x  dx 4  3 3 x3   ( x  x  3)dx  (  x  3x)  Cách D vào thị T ó trê o [1;3] thị hà số y=x-1 ằ trê thị hà số y= x2 – x+2 y (C) 3 S   [x   ( x  3x  2)]dx 1  ( x 4  x  x)    3 3 ( vdt x -3 -2 -1 O -1 -2 d -3 Cách : Dù g phư g ph p Xét dấu t -∞ x ∞ x – 4x + + Do ó x – 4x ≤  x  [1 ; 3] thứ x2 - 4x + ta có : - + S   x  x  dx S    ( x  x  3)dx  ( x3 4  x  3x)    3 V dụ 3: Cho hì h phẳ g hì h bê a) Vi t phư g trì h ủ ườ g thẳ g d b) T h di t h ủ hì h phẳ g ó bi t rằ g thị (C ó phư g trì h y = x3 – 3x + y (C) x -3 -2 -1 O -1 d -2 -3 Bài giải a) Phư g trì h ủ ườ g thẳ g d ó d g y = x b Vì ườ g thẳ g d i qu h i i (- 2;0) (0;2) nên ta có : 0  2a  b a    2  2.0  b b  V y ườ g thẳ g d y = x 19 2 b Từ thị t ó hì h phẳ g ượ giới h C h Dù g thị Phư g trì h hồ h ộ gi o i ủ ườ g  y  x3  3x   y  x    x  2  x  thị (C ườ g thẳ g d  x   [  2; 2] x3  3x   x   x3  x   x( x  4)     x  2 Di t h ủ hì h phẳ g trê S   [x  3x   ( x  2)]dx   [x+2-(x3  3x  2)]dx =8 2 Cách 2: Đư dấu gtt r gồi dấu tích phân S x  3x   ( x  2) dx  2 S  x dx 2 x3  x dx   x3  x dx  2 0 S x  (x 2  x)dx   ( x  x)dx     ( vdt V dụ 4: Cho hà số y = x3 – 3x ó thị (C T h di t h ủ hình phẳ g giới h thị (C ) ườ g thẳ g x = ti p  ủ thị (C t i i ó hoà h ộ bằ g Bài giải Trướ tiê t vi t phư g trì h ti p t i (2;4 S u óx ị h hì h phẳ g t h di t h Tính tí h phâ sử dụ g phư g ph p dấu gtt r gồi dấu tích phân + y = x3 – 3x + Khi x = ta có y(2) = – + = y’ = 3x2 - 3; y’(2 = 12 – = Phư g trì h ti p ủ (C t i i (2;4) y= 9(x-2)+4 hay y = 9x -14 Hình phẳ g + Giải phư t h di t h ượ giới h y  x – 3x   y  9x  14 ườ g  x   x  g trì h hồ h ộ gi o i  x  4 (loai )  x  (t / m) x3 – 3x + = 9x - 14   Di t h ủ hì h phẳ g tì 2 S   x  3x   (9 x  14) dx   x  12 x  16 dx   ( x  12 x  16)dx  3 V dụ 5: T h di t h hì h phẳ g giới h h i ườ g thẳ g x = 1, x = e 20 thị hà số y = xl x, y = x ài giải Sử dụ g phư g ph p dấu gtt r gồi dấu tích phân Phư g trì h hoà h ộ gi o i ủ h i thị ã ho x ln x  x  x ln x  x   x(ln x  1)  Vì x > nên x(ln x  1)   ln x    ln x   x  e V y hoà h ộ gi o i ủ h i thị ã ho x = e Di t h S ượ t h theo ô g thứ e S   x ln x  x dx e   ( x ln x  x)dx  e e 1  x ln x   xdx e 1 x e e2  e2 e2  ( vdt       4 2 x V dụ 6: Hì h phẳ g s u ượ giới h thị (C y  3x  ườ g 2 thẳ g y = x Hãy t h di t h ủ hì h phẳ g ó Bài giải T tì ườ g ò thi u bằ g h giải phư g trì h hồ h ộ gi o i S u ó dùng phư g ph p dấu gtt r gồi dấu tích phân Phư g trì h hoà h ộ gi o i ủ h i thị ã ho x  x  x  x 3x   x  x( 3x   1)      4  x  2 3x   16 x  Di t h ủ hì h phẳ g ã ho S  2   2 x 3x  dx x x 3x  dx   3x  dx 4 0 1   x 3x  4dx   x 3x  4dx  ( A  B ) 2 4 Tính A Đặt u = 3x2 + => du = 6xdx Khi x = => u = Khi x = -2 => u =16 16 16 1 u 16 16 56 u    u du    u   ( 16  )   64 9 56 Tư g t t ó B   56 56  56  56 112 28 S      ( vdt 4 9  9.4 9.4 A   V dụ 7: Cho hà 21 số y  x2  x 1 ó thị x 1 (C hì h bê Tì ti xiê  ủ thị hà số ó b) T h di t h ủ hì h phẳ g giới h thị (C ti xiê  ườ g thẳ g x = x = y x O -3 -2 -1 d -1 -2 (C) -3 ài giải : x  x  x( x  1)  1   x a) Ta có y  x 1 x 1 x 1 1 lim ( y  x)  lim ( x   x)  lim ( )0 x  x  x  x 1 x 1 Đồ thị (C ó ti xiê ườ g thẳ g y = x b Đ t h di t h hì h phẳ g t dù g thị Di t h ủ hì h phẳ g tì S 1 y  x dx   ( x   x)dx   dx (do thị (C x 1 x 1 2   (ln x  ) 3 ằ trê ti xiê   ln  ln   ln   ln ( vdt 3) Hình phẳng giới h n nhiều ƣờng cong (từ ƣờng trở lên) V dụ t h di t h hì h phẳ g giới h thị hà số s u  y  f ( x)   y  g ( x)  y  h( x )  Đối với to ày t h di t h hì h phẳ g ã ho t phải sử dụ g phư g ph p thị ướ Vẽ thị ủ hà số ã ho x ị h ph hì h phẳ g t h di t h ướ Tì gi o i thị hi ph hì h phẳ g t h h ph hì h phẳ g hỉ giới h ột hoặ h i ườ g o g T h di t h hì h phẳ g o ượ phâ hi ướ Di t h tì tổ g di t h tì ượ trê V dụ 1: Tì di t h hì h phẳ g S giới h (P y  x  x  ti p ủ (P i qu (2;-2) ài giải T vi t phư g trì h ti p ủ (P i qua A Đườ g thẳ g qu ó d g d y= (x-2)-2 d ti p ủ (P hi C y B O 22 A x   x  x   k ( x  2)     x  x   '   k ( x  2)   ' Giải h tì ượ (x ;k)=(0 ;-2) (x ;k)=(4 ;-6) T tì ượ h i ti p qu d1 : y=-2x ti p xú với (P t i (0 ;2) d2 : y=6x-14 ti p xú với (P t i C(4 ;10) V y hì h phẳ g ó di t h S=S1+S2 S1 hì h phẳ g giới h (P d1, x=0 x=2 S2 hì h phẳ g giới h (P d2, x=2 x=4 S  S1  S2    ( x  x  2)  (2 x  2)  dx    ( x2  x  2)  (6 x  14)  dx  16 ( vdt V dụ 2: t h di (H1): y  Vẽ ủ Di ó S1 S2 Từ t h hi h phẳ g giới h (P1): y  x , (P2): y x2 (H2): y  x x thị hà số tì tọ ộ gi o i thị t ượ t h hì h phẳ g tì S=S1+S2 Trong ượ giới h (P1), (H1), x  2, x  ượ giới h (P2), (H2), x  2, x  ó t t h ượ S=4l 2( vtt y (P2) 3 16 thị hà (H2) 4 O Bài t p tƣơng t : Hì h phẳ g s u ượ giới h (P1) số y = 22 (H1 23 ) x 1 x2 x ườ g thẳ g y = 2, y = -2x – Tí h di t h ủ hì h phẳ g s u: Giới h x  3x  thị (C ): y  ; ườ g thẳ g d i qua h i i x 1 (4;0 (0;- 4); ườ g thẳ g  ti p ủ (C t i i ó hồ h ộ bằ g Gọi (H hì h phẳ g giới h ườ g y = x  trụ hoành, hai ườ g thẳ g x = 0; x = Tính di t h ủ hì h phẳ g (H Hì h phẳ g s u ượ giới h ườ g y = 2x2 - 3x+2, y = 0, x = -1, x = T h di t h ủ hì h phẳ g ó Cho hì h phẳ g s u ượ giới h p r bol (P trụ hoà h i t rằ g (P i qu b i (0;0 ; (2;0 (2;4) a) Vi t phư g trì h ủ p r bol (P b) T h di t h ủ hì h phẳ g ã ho 23 6.Cho hì h phẳ g (H d hư hì h vẽ s u ượ giới h h i ườ g p r bol (P ườ g thẳ g y x -10 -5 -2 -4 -6 i t rằ g p r bol (P i qu gố to ộ O(0;0 i (2;-4 ; ườ g thẳ g d i qu h i i (2;-4 ) (-2;0) a) Vi t phư g trì h ủ ườ g thẳ g d parabol (P) b)T h di t h ủ hì h phẳ g ã ho T h di t h hì h phẳ g s u giới h thị hà số f(x) = x(x +1)(x-2) trụ hồ h T h di t h ủ hì h phẳ g giới h ườ g s u: y  sin x ,y=0, x  ; x 3 T h di t h ủ hì h phẳ g giới h ườ g y = 0; y = x3 -3x2+3x-1 ti p ủ ườ g o g ó t i i ó hồ h ộ x = 10 Tính di t h ủ hì h phẳ g giới p r bol y = x2 - 2x + ti p với p r bol t i i M(3 ; trụ tu g 11 T h di t h ủ hì h phẳ g giới h ườ g s u y  x ln x , y=0, x=1, x=e 12 Cho hì h phẳ g giới h ườ g y = si x trụ hoà h trụ tu g ườ g thẳ g x  13.Cho hì h phẳ g (H giới h T h di  ườ g y=1+sinx, y= 0, x=0, x = t h ủ hì h phẳ g trê 14 Cho hì h phẳ g s u ượ giới h ườ g y   x2 y = ườ g 2x  thẳ g d i qu h i i (-2;0), (0;2) a) Vi t phư g trì h ủ ườ g thẳ g d b)T h di t h ủ hì h phẳ g trê 15 T h di t h ủ hì h phẳ g giới h ườ g y = 0; y=x3-3x2+3x-1 ti p ủ ườ g o g ó t i i ó hoà h ộ x = 16.T h di t h ủ hì h phẳ g giới p r bol y = x2 - 2x + ti p với p r bol t i i M(3 ; trụ tu g 17 Cho hì h phẳ g giới h ườ g s u x y  xe y = trụ tu g ườ g thẳ g x=1 a) T h di t h ủ hì h phẳ g trê 24 b) T h th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g trê qu h trụ Ox 18.Cho hà số y = x3 + 3x2 + a) Khảo s t s bi thiê vẽ thị (C ủ hà số ã ho b) Vi t phư g trì h ti p t i i uố ủ thị (C) T h di t h ủ hì h phẳ g giới h thị hà số trê với ườ g thẳ g y = -x2 + 1 19 Cho hà số y  x  3x  2 Khảo s t s bi thiê vẽ thị (C ủ hà số ã ho b) Vi t phư g trì h ti p d ủ thị (C t i i uố T h di t h hì h phẳ g giới h thị (C trụ tu g ti p d 7.2.2 Ứng dụng t ch phân t nh th t ch v t th tròn xoay 1) V t th tròn xoay t o hi quay hình phẳng giới h n ƣờng sau quanh trục Ox Hì h phẳ g (H h ườ g ượ giới  y  f ( x)  y  (truc Ox)   x  a  x  b (a  b) y Khối trò xo y si h H hi qu y qu h trụ Ox O y=f(x) a b x b VOx     f ( x) dx a Chú ý Đ t h ượ th t h ủ ột hối trò xo y t x ị h xe hối ó si h hì h phẳ g qu y xu g qu h trụ Cũ g giố g hư t h di t h hì h hì h phẳ g ượ x ị h ủ4 ườ g Do hô g xuất hi dấu gi trị t ối ê vi t h t h phâ ũ g giả h t hỉ x ị h t h phâ t h hô g phải hi o t h t h phâ V dụ 1: T h th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g s u qu h trụ Ox: y = x2 , y = , x = , x = Giải Hì h phẳ g ượ giới h ột ườ g o g ủ ườ g ê x5 32 32 VOx    ( x ) dx    x dx   (  )  5 5 0 2 2 ( vtt) V dụ 2: T h th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h ườ g s u qu h trụ Ox 25 hai y = x2 – 2x , y = Bài giải Do hì h phẳ g hư xuất hi ủ bố ò thi u ó h h ủ t h phâ Giải phư g trì h hồ h ộ gi o i ườ g ê t tì ườ g x  x2  2x    x  V y VOx    ( x  x) dx    ( x  x  x )dx 0 x x 16   (  x4  )  15 ( vtt V dụ 3:T h th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g s u qu h trụ Ox y = lnx, y = 0, x = ài giải Hì h phẳ g ũ g hư xuất hi ủ ườ g t giải phư g trì h hồ h ộ gi o i l x=0  x=1 VOx     ln x  dx T h phâ từ g ph l t ượ V  2 (ln 2  2ln  1) ( vtt Bài t p: 1.T h th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g s u qu h trụ Ox y  x  x , y = 0, x = 0, x = 2.T h th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g s u qu h trụ hoà h Ox y  x  3x , y = 0, x = 0, x = 3.T h th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g s u qu h trụ hoà h Ox y  e x , y = 0, x = 0, x = 4.T h th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g s u qu h trụ hoà h Ox y  sin x , y = 0, x = 0, x =  2) V t th tròn xoay t o hi quay hình phẳng giới h ƣờng ó có hai ƣờng y=f(x) y=g(x) quanh trục Ox Hì h phẳ g (H ượ giới h ườ g y=f(x) y  y  f ( x)  y  g ( x)   x  a  x  b (a  b) y=g(x) Khối trò xo y si h H hi qu y quanh trụ Ox b VOx     f ( x)   g ( x) dx a 26 O a b x bởi bởi n V dụ 1: T h th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g s u qu h trụ hoà h Ox y  x  , y = 2x -4 , x = , x = Bài giải: Hì h phẳ g x ị h ủ ườ g v y hi qu y xu g qu h Ox t ượ hối trò xo y ó th t h VOx    x 2   -  x   dx    x  12 x  16 x dx 2 Đ dấu gi trị t ối t giải phư g trình  x   [0; 2] x  12 x  16 x    x   [0; 2]  x   [0; 2] 2 V y VOx    ( x  12 x  16 x) dx  32 15 Cách 2: T ó th dù g thị Gọi V1 th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g y = 2x - y = x = x = qu h trụ Ox y (C) 2 V1    (2 x  4) dx 2    (4 x  16 x  16)dx   ( 32 x3  x  16 x)  3 -3 Gọi V2 th t h ủ v t th trê trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g y = x2 – , y = , x = x = qu h trụ Ox d Th t h ủ v t th trò xo y V  V2  V1  -1 -3 2 -1 -2 256 V2    ( x  4) dx    ( x  x  16)dx  15 0 -2 x O -4 t nh : 256 32 32   15 ( vtt V dụ 2: Gọi (H hì h phẳ g giới h thị hà số y = –x2 trụ hoà h ườ g thẳ g y = x T h th t h v t th trò xo y si h hì h H hi qu y xu g qu h trụ Ox Bài giải Đây hì h phẳ g giới h h i ườ g o g hiê hì h phẳ g hư xuất hi ủ ườ g T tì ườ g ò thi u bằ g h giải phư g trì h 27 x   x2  x     x  2 1 V y VOx    ( x  2)  (4  x ) dx     x  x  x  12 dx 2 2 2  x   [  2;1] g trình  x  x  x  12    x  2  [  2;1]  x  1 [  2;1] Giải phư VOx     x  x  x  12 dx   2  ( x  x  x  12)dx  2 188 ( vtt 15 C h Dù g thị Gọi V1 th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g y = x y = x = -2 , x = qu h trụ Ox V1    ( x  2) dx y 2    ( x  x  4)dx   ( 2 Gọi V2 th t h ủ v t th trê trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h bố ườ g y = 4- x2 , y = , x = x = qu h trụ Ox 2 1 V2    (4  x ) dx    (16  x  x )dx  Th t h ủ v t th trò xo y V  V2  V1  x3  x  x)  9 2 53 188  9  15 15 53 15 d (C) -3 x -2 -1 O -1 -2 t h ( vtt) Bài t p tƣơng t Cho hình phẳ g s u giới h p r bol (P ườ g thẳ g d a) Vi t phư g trì h ủ p r bol (P ủ ườ g thẳ g d b) T h di t h ủ hì h phẳ g ó c)T h th t h ủ v t th trò xo y hi qu y hì h phẳ g trê qu h trụ hoà h 2.T h th t h ủ v t th trò xo y hi qu y hì h phẳ g ho tro g hì h vẽ sau qu h trụ hoà 28 y d (P) -3 x -2 -1 -1 O -2 -3 T h th t h ủ v t th trò xo y si h ườ g s u ây qu h trụ Ox: a) y = 0, y = 2x - x2 b) y = sin2x, y = 0, x = 0, x = Cho hà số y  ỗi hì h phẳ g giới x2  x 1 ó thị (C) x 1 Hì h phẳ g sau giới h thị (C ti xiê  ườ g thẳ g x= 2, x= T h th t h ủ v t th trò xo y hi qu y hì h phẳ g ó quanh trụ hồ h 5.Cho hàm số y = x3 – 3x ó thị (C) a) Khảo s t vẽ thị (C ủ hà số ã ho b) Vi t phư g trì h ti p  ủ thị (C t i i ó hồ h ộ bằ g c)T h di t h ủ hì h phẳ g giới h thị (C ườ g thẳ g x = ti p  d) T h th t h ủ v t th trò xo y hi qu y hì h phẳ g giới h (C trụ hoà h qu h trụ hoà h 3) V t th tròn xoay hi quay hình phẳng giới h n ƣờng sau quanh trục tung Tư gt thị hà u (H hì h phẳ g giới h  x  g ( y)  x  (truc Oy ) số  y  a  y  b(b  a ) y b Qu y hì h phẳ g (H qu h trụ tu g t ượ ột v t th trò xo y Th t h ủ v t th ày ượ t h theo ô g thứ b b VOy    x dy     g ( y ) dy a a V dụ 1: Cho hì h phẳ g giới h ườ g s u: y  ln x , trụ tu g h i ườ g thẳ g y = 0, y = 29 x=g(y) a O x T h th ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g trê qu h trụ tung Bài giải y Ta có y  ln x  x  e Do ó th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h x  ey   x  (truc Oy ) ườ g  y   y  1 1  VOy    e2 y dy   e2 y   (e2  e0 )  (e2  1) ( vtt 2 x  y  trụ V dụ 2: Cho hì h phẳ g (H giới h ườ g o g (C tung, h i ườ g thẳ g x = 2, y = T h th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g trê qu h trụ tung Bài giải Dù g thị Ta có y x  4y   x   4y 2  x  1 y2 Gọi V1 th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h elip (E ) , x=0 , y = y = qu h trụ tung 1 V1    (2  y ) dy  4  (1  y )dy   0 Gọi V2 th t h ủ v t th trò xo y t o hi qu y hì h phẳ g giới h ườ g thẳ g x = x=0 y = y = qu h trụ tung 2 2 V2    dy    4dy  8 0 Th t h ủ v t th t h : 8 16 VOy  V2  V1  8    ( vtt 3 30 ,  y 1 (E) -2 O x Lời Một viê i Cũ g hư v y hư bi t g hư ột to to ứ g dụ g t h phâ t ượ s ủ g hộ ủ hư ài giũ t o hì h ho ó ut hư hi u h t ó ó Với hữ g giải ph p ã r giả hy vọ g rằ g tài li u ày tì gười ọ Dù ã ố gắ g so g ề tài ũ g hó tr h hỏi hữ g thi u sót t e ut t hơ g thấy h y h giải quy t tri t giải quy t to ủ ẹp t giả o g h ượ s góp ý ủ th y họ si h / Tài liệu tham hảo Tài li u gi o ho theo hư g trì h bả â g o s h gi o ho i số giải t h 12 C ề thi C s h th i họ qu từ g ă M g I ter et 31 hảo ủ t giả Trà Phư g Ph Huy Khải 32 ... g dụ g t h phâ t h th t h ủ v t th trò xo y Tài li u th Trang hảo 24 31 PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Phƣơng Giáo viên THPT chuyên Lê Quý Đôn A S c n... ượ Thê hảo ó t v dụ vào ó tro g s h i h ho ột h hi ó” Cà g hó hă ò y u ỹ ă g “ ọ “PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG giúp ho họ si h 12 bi t t h hì h phẳ g th t h v t trò xo y ượ ỹ ă g t h t h phâ... sót tro g vi t h t h phâ ó dấu gi trị t ối Nội dung giải pháp: - Dù g ột h thố g v dụ h h h u từ ó rè luy qu trì h giải to ó phân tích kèm lời giải hi ti t với ho họ si h s v ph t huy t h s g t