SKKN ve giai BPT chua tham so

SKKN ve giai BPT chua tham so tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vự...

I Lý chọn đề tài: Trong chơng trình toán trung học phổ thông, dạng toán tìm giá trị tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm tập D dạng toán phổ biến tơng đối quan trọng Nhng việc giải học sinh lại gặp nhiều khó khăn, kể có lời giải sẵn nhng học sinh không hiểu lại phải đa điều kiện nh Giả sử ta xét toán sau đây: Bài toán 1: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = (m2 +1)x2 + (2m - 1)x – < nghiƯm ®óng víi x thuộc khoảng (-1 ; 1) Bài toán 2: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = -(m2 +2)x2 2mx +1 m > nghiƯm ®óng víi mäi x thc nưa khoảng (2 ; + ) Bài toán 3: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = 2mx2 (1 5m)x +3m +1 > nghiệm với x thuộc khoảng (-2 ; 0) Trên toán có đề hoàn toàn hợp lý Khi giải toán điều kiện đa là: af ( −1) ≤   af (1) ≤ Với toán gặp thờng học sinh bắt tay vào việc giải mà nhận xét để đa kết nhanh xác Nếu để ý ta thấy hệ sè a = -(m +2) < 0, ∀m ∈ R nên giá trị m thỏa mãn điều kiện toán (bài toán vô nghiệm) Khi gặp toán học sinh gặp nhiều khó khăn, không cẩn thận dẫn đến thiếu nghiệm Để giải toán ta phải xét trờng hợp sau: a >  ∆ < TH1: TH2: a > ∆ ≥   a f ( −2) ≥   s ≤ −2  TH3: a > ∆ ≥   a f (0) ≥  s ≥  TH4: a <   a f ( −2) ≤  a f (0) ≤  Nhng ch¾c ch¾n r»ng nhiều học sinh không hiểu đợc ta lại phải xét trờng hợp nh Song có giúp đỡ đồ thị việc giải toán trở nên nhẹ nhàng nhiều xảy tình trạng thiếu nghiệm Thật để tìm đợc giá trị tham số thỏa mãn điều kiện toán (về mặt đồ thị) ta có trờng hợp sau (có thể) xảy vị trí đồ thị hàm số f(x) = 2mx2 – (1 – 5m)x +3m +1 vµ trơc Ox thỏa mãn toán nh sau: a ) ( -2 b ) c) ( -2 ) d ) ( -2 ) e ) ( -2 ) ( -2 ) ) ( ) -2 f) Nhìn vào đồ thị trờng hợp ta dễ dàng suy điều kiện cho trờng hợp toán 3: ứng với a) ta có ®iỊu kiƯn lµ TH1 øng víi b) vµ c) ta có điều kiện chung TH2 ứng với d) e) ta có điều kiện chung TH3 ứng với f) ta có điều kiện TH4 Vì lý mà chọn đề tài: Sử dụng đồ thị để giải số toán tìm giá trị tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm tập D nhằm giúp em học sinh nh thầy cô giáo có nhận xét đắn để đa lời giải cho toán dạng II Thực trạng cũ giải pháp mới: 1.Thực trạng cũ: Khi gặp toán dạng học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn vấn đề đa trờng hợp để từ tìm đợc giá trị tham số thỏa mãn điều kiện toán 2.Giải pháp mới: Khi gặp toán dạng học sinh nên vận dụng đồ thị để đa trờng hợp toán, từ tìm đợc giá trị tham số thỏa mãn điều kiện toán mà lại tránh ®ỵc nhiỊu thiÕu sãt III Néi dung: Trong chóng ta giải dạng toán này, nhng ý tới kết đơn giản mà lại hữu ích sau đây: Nếu hệ sè a > th× Parabol y = ax + bx + c cã bỊ lâm quay lªn trªn Trong hệ trục tọa độ Oxy, ta xét vị trí tơng đối Parabol y = ax + bx + c với trục Ox có khả sau: a ) b ) c) Nếu hệ sè a < th× Parabol y = ax2 + bx + c cã bỊ lâm quay xng díi Trong hệ trục tọa độ Oxy, ta xét vị trí tơng đối Parabol y = ax + bx + c với trục Ox có khả sau: a ) b ) c) *Chó ý: Trong c¸c hình vẽ toán trục nằm ngang trục Ox Parabol đồ thị hàm số bậc hai Để tìm giá trị tham sè m cho tam thøc bËc hai f(x,m) > (hay f(x,m) < 0) tập D đó, có nghĩa ta phải tìm giá trị tham số m đồ thị hàm số f(x,m) nằm phía (hay nằm phía dới) trục hoành (trục Ox) với x thuộc tập D Dựa vào nhận xét việc giải toán nh nêu phần I tơng đối đơn giản Ta lần lợt xét số toán sau đây: Bài toán 4: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = x2 + 2(2m+1)x + 4m2 – > nghiƯm ®óng víi mäi x thuéc kho¶ng (0 ; 1) ChØ dÉn: NÕu gặp toán mà không cẩn thận việc giải thờng dễ nhầm lẫn dẫn đến thiếu nghiệm Nhng dựa vào đồ thị, ta có nhận xét sau: Để tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán, ta phải tìm giá trị tham số m cho đồ thị hàm số f(x) = x2+2(2m+1)x +4m2 nằm phía trục hoành (trơc Ox) víi mäi x thc kho¶ng (0 ; 1) Vì hệ số a = > nên ta có trờng hợp xảy sau đây: a ) ( b ) ) ( c) ) ( ) e ) d ) ( ) ( ) Víi trờng hợp a) tơng ứng điều kiện là: a >  ∆ < Víi trêng hỵp b) c) tơng ứng điều kiện là: a > ∆ ≥   af (1) ≥ s Với trờng hợp d) e) tơng ứng điều kiện là: a > ∆ ≥   af (0) ≥  s ≤  Tõ ®ã ta cã lêi giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m thỏa mãn trêng hỵp sau: TH1: a >  ∆ < ⇔ 1 >  2  4(2m + 1) − 4(4m − 3) < ⇔ m < -1 TH2: a > ∆ ≥   a f (1) ≥  s ≥1  TH3: a > ∆ ≥   a f (0) ≥  s ≤  ⇔ ⇔ 1 >  m ≥ −1   8m ≥  −(2m + 1) ≥ 1 >  m ≥ −1  ⇔   4m − ≥  −(2m + 1) ≤ ⇔ -1≤ m ≤   m ≥ −1  3  ∨m≥ m ≤ − 2    m ≥ − ⇔ m≥ Kết hợp kết trờng hợp ta đợc m R thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 5: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = x2 m(m-2)x + 2m2 – ≤ nghiƯm ®óng víi x thuộc đoạn [1 ; 2] Chỉ dẫn: Với toán biết minh họa đồ thị có trờng hợp sau có thĨ x¶y ra: a ) [ ] b ) [ c) ] [ ] Với trờng hợp a) tơng ứng điều kiện là: a >   af (1) =  af (2) < Với trờng hợp b) tơng ứng điều kiện là: a > af (1) ≤  af (2) ≤  Với trờng hợp c) tơng ứng điều kiện là: a >   af (1) <  af (2) = Kết hợp điều kiện ta đợc điều kiện chung là: a >   af (1) ≤  af (2) Do ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m thỏa mãn điều kiện sau: a >   a f (1) ≤  a f (2) ≤  Gi¶i hƯ ta tìm đợc kết toán Bài toán 6: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = -2x2 +(m-3)x +m-3 < nghiệm với x thuộc đoạn [-1; 0] Chỉ dẫn: Đây bất phơng trình bậc hai có hệ số a < 0, nên giải ta nên để ý đồ thị f(x) có khả sau xảy thỏa mãn điều kiện -1 -1 toán: -1 0 [ ] [ a ) ] [ b ) -1 [ c) ] d ) ] -1 [ ] e ) Với trờng hợp a) tơng ứng ®iỊu kiƯn lµ: a <  ∆ < Với trờng hợp b) c) tơng ứng ®iỊu kiƯn lµ: a < ∆ ≥   af ( −1) >   s < Với trờng hợp d) e) tơng ứng điều kiện là: a <   af (0) >  s >  Tõ nhËn xÐt ®ã ta cã lêi giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m thỏa mãn trêng hỵp sau: TH1: TH2: TH3: a <  ∆ < a < ∆ ≥   af ( −1) >   s < −1  a < ∆ ≥   af (0) >  s > Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán Bài toán7: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = -m2x2 + 2(m+2)x -1 > thỏa mãn với x thuộc đoạn [0 ; 1] Chỉ dẫn: Trong toán ta thÊy r»ng nÕu m ≠ th× hƯ sè a < 0, nên toán có khả nhÊt x¶y nh sau: [ ] Từ ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m thỏa mãn điều kiện: a <   af (0) <  af (1) < Giải hệ ta đợc giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 8: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = mx2 +2(m+1)x + 4m > tháa m·n víi mäi x thuộc khoảng (-2; +) Chỉ dẫn: Đây bất phơng trình mà hệ số a ta cha biết âm hay dơng, gặp toán thờng học sinh lúng túng Nhng dựa vào đồ thị ta có nhận xét trờng hợp có thĨ x¶y nh sau: NÕu hƯ sè a < đồ thị f(x) quay bề lõm xuống dới nên trờng hợp xảy thỏa mãn điều kiện toán Nếu hệ số a > (về đồ thị) ta có trờng hợp (có thể) xảy thỏa mãn điều kiện toán nh sau: a) ( -2 +∞ b) ( -2 +∞ c) ( -2 +∞ a > Víi trêng hợp a) tơng ứng điều kiện là: < Với trờng hợp b) c) tơng ứng điều kiện là: a >   a f (−2) ≥   s Từ nhận xét ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m tháa m·n trêng hỵp sau: a >  ∆ < a > ∆ ≥  TH2: af (−2) ≥   s TH1: Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 9: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = mx2 +4(m-1)x + m – < tháa m·n víi x thuộc khoảng (- ; 1) Chỉ dẫn: Bài toán có dạng giống nh toán 8, gi¶i nã ta còng cã nhËn xÐt nh sau: Vì m nên hệ số a Nếu hệ số a > trờng hợp thỏa mãn điều kiện toán 10 Nếu hệ số a < (về đồ thị) ta có trờng hợp (có thể) xảy thỏa mãn điều kiện toán là: - - ) a ) ) -∞ b ) ) c) Víi trờng hợp a) tơng ứng điều kiện là: a <  ∆ < Víi trêng hỵp b) c) tơng ứng điều kiện là: a > ∆ ≥   af (1) ≥ s Từ nhận xét ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m tháa m·n trêng hỵp sau: TH1: TH2: a <  ∆ < a > ∆ ≥   af (1) ≥ s Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 10: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = x2 -2(m+1)x -2m -2 ≥ tháa m·n víi mäi x thc n÷a khoảng [-1 ; 1) Chỉ dẫn: 11 Vì hệ số a =1 > nên (về đồ thị) ta có trờng hợp sau xảy thỏa mãn điều kiện toán nh sau: a ) [ -1 b ) ) [ -1 ) d ) c) [ -1 ) e ) [ -1 ) [ -1 Với trờng hợp a) tơng ứng ®iỊu kiƯn lµ: ) a >  ∆ < Với trờng hợp b) c) tơng ứng điều kiện là: a >   af (1) >  s >1  Với trờng hợp d) e) tơng ứng ®iỊu kiƯn lµ: a > ∆ ≥   af ( −1) ≥   s ≤ −1  Tõ nhËn xÐt ®ã ta cã lêi giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m thỏa m·n trêng hỵp sau: TH1: a >  ∆ < 12 TH2: TH3: a > ∆ ≥   af (1) >  s >1  a > ∆ ≥   af ( −1) ≥   s Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 11: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = x2 +m(m+1)x +6m - > tháa m·n víi mäi x thuéc tËp [-1 ; 0] ∪ [2 ; 3] ChØ dÉn: Vì hệ số a = > nên (về đồ thị) ta có trờng hợp sau xảy thỏa mãn điều kiện toán: a ) [ ] -1 ] b ) [ [ ] [ ] -1 c) [ ] [ ] -1 d ) [ ] -1 ] [ 13 a >  ∆ < a > ∆ ≥ b) tơng ứng điều kiện là: af (−1) >   s < −1  a > c) tơng ứng điều kiện là: af (3) > s >3   a >  ∆ ≥ d) tơng ứng điều kiện là: af (0) >  af (2) >  s  0 < < Víi trêng hỵp a) tơng ứng điều kiện là: Với trờng hợp Với trờng hợp Với trờng hợp Từ nhận xét ta có lời giải toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m tháa m·n trêng hỵp sau: TH1: a >  ∆ < TH2: a > ∆ ≥   af (−1) >   s < −1  TH3: a > ∆ ≥   af (3) >  s >3  TH4:  a >  ∆ ≥   af (0) >  af (2) >  s  0 < < Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 12: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = (m -1)x2 +2mx + 6m - > tháa m·n víi mäi x thuéc tËp [0 ; 1] ∪ [4 ; 5] Chỉ dẫn: 14 Nếu m > (về đồ thị) ta có trờng hợp sau xảy thỏa mãn điều kiện toán: a ) [ ] b ) [ [ ] [ ] 5 d ) c) ] [ ] [ ] [ ] ] [ a >  ∆ < a > ∆ ≥  b) tơng ứng điều kiện là: af (0) >  s <  a > c) tơng ứng điều kiện lµ: af (5) >  s >5   a >  ∆ ≥  d) tơng ứng điều kiện là: af (1) >  af (4) >   s 1 < < Với trờng hợp a) tơng ứng điều kiện là: Với trờng hợp Với trờng hợp Với trờng hợp Nếu m < (về đồ thị) ta có trờng hợp sau xảy thỏa mãn điều kiện toán: 15 [ ] [ ] e) Víi trêng hỵp tơng ứng điều kiện là: a <   af (0) <  af (5) < Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m thỏa mãn trờng hỵp sau: TH1: a >  ∆ < TH4:  a >  ∆ ≥   af (1) >  af (4) >   s 1 < < TH2: a > ∆ ≥   af (0) >  s <  TH5: TH3: a > ∆ ≥   af (5) >  s >5  a <   af (0) <  af (5) < Kết hợp kết trờng hợp ta tìm đợc giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán IV Kết luận: Việc sử dụng đồ thị hàm số bậc hai để giải toán điều hoàn toàn hợp lí phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Nếu biết nhìn nhận đắn nhận xét đợc nhanh kết số toán mà không cần phải giải nó, giả sử ta có toán sau đây: Bài toán 13: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình 16 f(x) = 3x2+ (2m-1)x m2 +12 < thỏa mãn với x thuộc khoảng (0; +) Bài toán 14: Tìm giá trị tham số m để bất phơng trình f(x) = -(2m2+1)x2+ 2mx +m - > tháa m·n víi mäi x thuộc khoảng (- ; 1) Với hai toán 13; 14 giống nh toán nêu phần I, toán vô nghiệm (nghĩa không tồn giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán) Điều đợc giải thích dựa đồ thị cđa nã nh sau: NÕu hƯ sè a > đồ thị hàm số bậc hai có thĨ cã mét phÇn øng víi x ∈ (x1 ; x2) nằm dới trục Ox mà Do với toán 13 tồn giá trị tham số m thỏa mãn đợc điều kiện toán Nếu hệ số a < đồ thị hàm số bậc hai có mét phÇn øng víi x ∈ (x1 ; x2) n»m trục Ox mà Do với toán 14 tồn giá trị tham số m thỏa mãn đợc điều kiện toán (Với x1 x2 nói trờng hợp nghiệm tam thức bậc hai f(x) = 0) Với việc sử dụng đồ thị hàm số bậc hai đắn, học sinh áp dụng để giải dạng toán nêu toán tơng tự cách hiệu quả./ 17 ... nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m thỏa mãn điều kiện: a <   af (0) <  af (1) < Giải hệ ta đợc giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 8: Tìm giá trị tham số m để... trờng hợp để từ tìm đợc giá trị tham số thỏa mãn điều kiện toán 2.Giải pháp mới: Khi gặp toán dạng học sinh nên vận dụng đồ thị để đa trờng hợp toán, từ tìm đợc giá trị tham số thỏa mãn điều kiện... Ox Parabol đồ thị hàm số bậc hai Để tìm giá trị tham sè m cho tam thøc bËc hai f(x,m) > (hay f(x,m) < 0) tập D đó, có nghĩa ta phải tìm giá trị tham số m đồ thị hàm số f(x,m) nằm phía (hay nằm