TÀI LIỆU TOÁN Phạm Bá Thanh CM ĐỊNH LÝ PITAGO

Chứng minh định lí Pi-ta-go nhiều cách: Cách ghép hình Một số cách chứng minh định lí Pitago sách Elisha Scott Loomis (Minh họa GSP) Cách 1: Chứng minh E A Coolidge Cách chứng minh xuất sách vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago tác giả Elisha Scott Loomis, xuất lần Hội đồng giáo viên quốc gia mơn tốn học, vào năm 1927 Thật đáng tiếc, sách không xuất nữa, sách có tới 300 cách chứng minh định lý Pitago, đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, tất cách chứng minh tiếng có sách Loomis Cách chứng minh tương tự cách chứng minh Bhaskara phần “Behold!” giới thiệu trước Cách chứng minh đăng tạp trí giáo dục, xuất hàng ngày, tác giả cô E A Coolidge - người mù Dựng hình kiểm tra Vẽ tam giác vng hình vng cạnh (dùng công cụ custom) Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A cách : + Chọn đoạn HA điểm A + Chọn menu Transform > Rotate > degrees =180 Vẽ đường thẳng qua điểm B vuông góc với đoạn AA’, Vẽ điểm giao K đường ( Hình bên minh họa cho bước từ đến 3) Vẽ hình vng A’KLM (Sử dụng công cụ Custom tool giới thiệu 1) Vẽ Đoạn BK, GM, FL Làm ẩn đường BK Tô màu cho mảnh hình vng cạnh huyền Đánh dấu vectơ EJ dịch chuyển đỉnh cạnh hình vng BCDE theo vectơ (để hình vng bên hình vng cạnh b có diện tích diện tích hình vng BCDE ) + Đánh dấu theo thứ tự điểm E, J + Chọn menu Transform > Mark vector + Đánh dấu cạnh đỉnh hình vng BCDE + Chọn vào Menu Transform > Translate Như miền diện tích cạnh b a2 + b2 Sử dụng công cụ Translator để di chuyển các mảnh mảnh hình vng cạnh huyền vào miền có diện tích a2 + b2 cạnh b Chú ý: - Hãy thử thay đổi tam giác bạn, quan sát xem mảnh tương ứng lại có khơng.? - Chú ý rằng, trương hợp dựng cạnh b cần phải giữ cạnh bên dài khơng dựng bị sai - Trường hợp đặc biệt trước việc dựng hình bi sai trương hợp cạnh b dài cạnh a hình vng A’KLM biến - Bạn giải thích xem với cách làm mảnh xếp vừa khít với miền diện tích cạnh b Cách 2: Chứng minh Ann Condit Đây cách chứng minh giới thiệu sách Elisha Scott Loomis Ann Condit nghĩ cách chứng minh vào năm 1938 cô 16 tuổi sinh viên trường trung học miền nam ẤnĐộ Dựng hình kiểm tra Dựng đoạn thẳng AB Vẽ trung điểm D đoạn thẳng Vẽ đường tròn bán kính DA Vẽ đoạn BC AC , với C điểm nằm đường tròn Như vvậy ta dựng tam giác vng ABC vng C Vẽ hình vuông cạnh tam giác vuông ABC Vẽ trung điểm L, M, N cạnh phía ngồi hình vng Vẽ đoạn DL, DM, DL Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, điểm P giao điểm cuat tia DC đoạn FG, sau làm ẩn tia DC đoạn DP Tô màu khác cho diện tích tam giác DCF, DCG, DBK Cách chứng minh đưa mối liên quan diện tích hình tam giác tơ màu với diện tích hình vng cạnh tam giác vng Chọn menu Measure > calculate để tính tỉ lệ diện tích tam giác với hình vng tương ứng 10 Đo diện tích tam giác, di chuyển điểm C quanh nửa đường tròn đường kính AB Ta nhận thấy: tổng diện tích tam giác nhỏ ln diện tích tam giác lớn Và tổng diện tích khơng đổi điểm C chuyển động đường tròn (xem hình bên dưới) Nhận xét: Bạn phát tổng diện tích tam giác nhỏ ln diện tích tam giác lớn hơn( DBK) Nếu bạn chứng minh điều , bạn liên hệ từ diện tích Với diện tích hình vng, bạn chưngd minh định lý Pitago Sau bước gợi ý để giúp bạn chứng minh định lý Các tam giác DCG, DCF, DBK cóchiều dài cạnh : DC BD( cì bán kính đườn tròn Đoạn PF PG theo thứ tự đường cao tam giác DCF DCG 3 Chỉ dt DCG + dt DCF = dt DBK So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích hình vng CFEB, CAHG, BAGK ? Nếu bạn làm yêu cầu bạn chứng minh định lý Pitago Cách 3: Chứng minh Leonardo da Vinci Leonardo da Vinci (1452 – 1519) họa sĩ lớn , kỹ sư, nhà phát minh lớn người Ý thời kỳ phục hưng Ông tiếng nhiều lĩnh vực khác nhau, tác giả họa tiếng nàng Mona Lisa Ông tín nhiệm cách chứng minh định lý Pitago Dựng hình kiểm tra Vẽ tam giác vng hình vng hai cạnh bên (Trong hình bạn khơng phải vẽ hình vng cạnh huyền) Bạn nối hai đỉnh hai hình vng để vẽ tam giác vuông thứ hai với tam giác vuông ABC ban đầu Hãy vẽ đoạn thẳng qua tâm hình này, đoạn thẳng qua C nối hai điỉnh xa hình vng (là đường nét đứt hình bên) Hãy vẽ trung điểm D đoạn Quan sát hình thấy rằng: đoạn thẳng chia hình thành phần đối xứng Chọn tất đoạn thẳng điểm nằm phía đường thẳng này, tạo nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn /hiện phần hình đánh dấu Đặt lại tên cho nút Hide Reflection Kích chuột vào nút Hide Reflection bạn thấy nửa hình ban đầu, phần hình đối xứng với bị ẩn (như hình bên dưới) Đánh dấu điểm D làm điểm tâm quay tồn hình 180 o quanh điểm D Như tạo đa giác có diện tích diện tích đa giác ban dầu Chọn đánh dấu tất đối tượng ( đoạn thẳng điểm) phần hình tạo xoay nửa hình ban đầu tạo1 nút hoạt động Đặt tên cho nút Hide Rotation (xem hình bên dưới) 9 Vẽ đoạn A’B, đoạn B’A Như dễ dàng nhận thấy tứ giác BA’B’A hình vng cạnh c 10 Tơ màu cho diện tích hình tứ giác BA’B’A hai tam giác vng liền kề 11 Đánh dấu đoạn A’B, đoạn B’A, diện tích đa giác ( gồm tam giác vuông hình tứ giác), tạo thêm nút hoạt động Có tên Hide c Squared Nhận xét: Từ bước dựng hìnhnhư trên, hình dung cách chứng minh định lý Leonardo da Vinci: + Cách dựng hình bước – cho đa giác có nửa đối xứng qua dường thẳng Đa giác có diện tích tổng diện tích hình vng cạnh bên a, b tam giác vuông ABC diện tích tam giác vng( có độ dài cạnh bên a, b) + Khi xoay nửa đa giác quanh điểm tâm D đường phân cách 180 o cho ta đa giác có diện tích diện tích đa giác ba đầu. + Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a + b2 + 2ab) – 2ab = a2 + b2 (1) diện tích hình vng c cho ta hình vng BA’B’A (Vì AB song song A’B’ ; A’B AB’ song song ) Tứ giác BA’B’A hình vng có cạnh c+ Việc nối A với B’, B với A’2 (2) Tử (1) (2) ta có c2 = a2 + b2 Có nghĩa định lý Pitago chứng minh 12 Hãy thử kích vào nút Hide, sau lại kích lại vào chúng Như bạn thấy biến đổi bước làm : từ hình gồm tam giác vng hình vng cạnh bên biến đổi thành hình gồm tam giác vng hình vng cạnh huyền chúng ( mà diện tích tồn hình khơng đổi) Đây cách chứng minh định lý daVinci Cách 4: Chứng minh tổng thống James A Garfield khám phá cách chứng minh định lý Pitago vào năm 1876, vài năm trước ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ Một điều thú vị ngành toán học khơng có người trở thành tổng thống Trước Garfield ông Abraham Lincoln, thành viên tổ chức Euclid tác giả sách có sức thuyết phục Ơng vừa luật sư vừa nhà trị Cách chứng minh Garfield minh họa với hình tương dối đơn giản: hình thang Dựng hình kiểm tra Vẽ tam giác vng ABC đặt tên đỉnh hình bên 2 Đánh dấu điểm B làm tâm quay cạnh c điểm A theo B góc 90 o ( sau bước ta hình bên) Nối điểm A A’ sau vẽ đường thẳng qua A’ song song với cạnh b Sử dụng công cụ Ray để kéo dài đoạn CB Và vẽ điểm giao D cỉa tia với đường thẳng qua A’ Làm ẩn tia đường thẳng thay vào đoạn BD DA’ Như ta có tứ giác ACDA’ hình thang vng : + DA’ CA song song( cách dựng bước 3) góc CDA’ vng.+ Góc ACB vng( ABC tam giác vuông ban đầu) Tô màu đa giác theo tam giác vng bên Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn sử dụng kết đo lường để tính tốn diện tích tam giác tổng chúng : + Đo độ dài cạnh cách : length di chuột đến cạnh kích chuột phải + Đo diện tích tam giác : chọn Area kích chuột phải lên tam giác + Tính tổng tam giác : Calculate. chọn menu Measure Sử dụng công thức tính diện tích hình thanhg để tính diện tích hình ACDA’ dựa vào độ dài cạnh.( dùng để đo chiều cao hình thang vng ?) Hãy vẽ miền đa giác tồn hình xác nhận lại tính tốn bạn đă làm - Trong cách chứng minh từ cách dựng , tính diện tích hình thang ACDA’ theo cách : Cách 1: Tính theo tham số a, b, c (dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình thang tổng diện tích tam giác vng tam giác vng màu đỏ có diện tích tính chất phép quay) ta có : Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1) Cách 2: tính theo tham số a b(dựa vào cơng thức tính diện tích hình thang): Dt = (a+ b) *(a+b)/2 (2) c2 = a2 + b2 điều phải chứng minh.Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2 Cách 5: Chứng minh định lý Pitago Perigal - Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, lại chứng minh lại người đến nguồn gốc cổ xưa Đây cách chứng minh mà ’ khám phá’ nhà toán học Henry Perigal vào năm 1873, cách chứng minh lại biết đến cách chứng minh nhà tốn học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a cách hàng nghìn năm Dựng hình kiểm tra Vẽ hình vng CADE hình vng nhỏ tạo hình vng AGFB Đặt tên cho độ dài cạnh hình vng b, a 2 Vẽ hình vng nhỏ sát hình vng CADE vừa vẽ cho hình vng có chung đỉnh( A) đỉnh thứ hai hình vng nhỏ nằm cạnh DA( đỉnh G) (hình bên minh họa cho bước – 2) 3 Đánh dấu đoạn AB vectơ dịch chuyển điểm C theo vectơ Cách làm sau : > Chọn ( theo thứ tự) điểm A điểm B, sau chọn Mark Vector từ menu Transform Sau chọn chọn điểm C chọn Translate từ menu Transform Vẽ đoạn thẳng EC’ C’F Tô màu cho miền đa giác tam giác ( tam giác ECC’, tam giác C’FB) Nhận xét: Chúng ta bắt đầu dựng hình với hình vng liền kề với nhau, bên hình dựng hai tam giác vuông : + Trong tam giác vng ECC’ ta có cạnh EC cạnh hình vng lớn nên có độ dài b ; cạnh CC’ kết việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB nên CC’ dài đoạn AB có độ dài a + Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB cạnh hình vng nhỏ, nên có độ dài a Cạnh C’B có độ dài b ( Vì đoạn CC’ dài đoạn AB) > Như tam giác vuông ECC’ C’FB tam giác có diện tích (a*b) /2 Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông c 6 Sử dụng công cụ Translator để chuyển dịch tam giác ECC’ từ điểm C đến điểm G , để chuyển tam giác C’BF từ điểm B tới điểm D.(Xem lại tạo công cụ Translator giới thiệu Việc dịch chuyển tam giác khơng làm thay đổi kích thước tam giác đó.) Đánh dấu điểm E làm tâm quay điểm C’ góc 90o để tạo thành hình vng EC’FC’’ Nhận xét: - Vì EC cạnh tam giác vng ECC’ nên hình vng EC’FC’’ có diện tích c góc ECC’ = góc C’’GF( = 90Vì tam giác vng ECC’ di chuyển thành tam giác C’’GF : o ) Cạnh CC’ = cạnh GF( = a) Cạnh CE = cạnh GC’’( =b) Diện tích tam giác ECC’’= diện tích tam giác C’’GB Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC’’ Vậy ta có diện tích tứ giác EC’FC’’ băng tổng diện hai hình vng có cạnh b, a ban đầu Nên diện tích EC’FC’’ = a2 + b2 Đồng thời EC’FC’’ hình vng có độ dài cạnh độ dài cạnh huyền cuả tam giác vng có cạnh bên b, a( dựng hình bước 7) Nên diện tích hình vng EC’FC’’= c2 Hay tam giác vng có c2= a2 + b2 (c cạnh huyền, a,b cạnh bên) Vậy có nghĩa ta chứng minh định lý Pitago  ... Chứng minh định lý Pitago Perigal - Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, lại chứng minh lại người đến nguồn gốc cổ xưa Đây cách chứng minh mà ’ khám phá’ nhà toán học... Với diện tích hình vng, bạn chưngd minh định lý Pitago Sau bước gợi ý để giúp bạn chứng minh định lý Các tam giác DCG, DCF, DBK cóchiều dài cạnh : DC BD( cì bán kính đườn tròn Đoạn PF PG theo thứ... diện tích tồn hình khơng đổi) Đây cách chứng minh định lý daVinci Cách 4: Chứng minh tổng thống James A Garfield khám phá cách chứng minh định lý Pitago vào năm 1876, vài năm trước ông ta trở tổng