CHƯƠNG 2 bài toán kinh tế

Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ CÁC MƠ HÌNH KINH TẾ 1.1 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất để đạt lợi nhuận tối đa Bài toán Giả sử xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD = D(P) ( P đơn giá) hàm tổng chi phí TC = TC(Q) ( Q sản lượng) Hãy xác định mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Giải toán Với mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, xí nghiệp cần phải bán theo đơn giá P cho QD = Q Do đó, ta có D(P) = Q ⇔ P = D−1 (Q) , mặt khác doanh thu xí nghiệp TR(Q) = P × Q = D−1 (Q) × Q lợi nhuận thu xí nghiệp π(Q) = TR(Q) − TC(Q) = D−1 (Q) × Q − TC(Q) Vậy theo u cầu tốn, ta cần tìm Q cho π đạt giá trị lớn Chú ý để phù hợp với thực tế Q = Q0 ta phải có lợi nhuận, đơn giá tổng chi phí dương Ví dụ Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD = 656 − P hàm tổng chi phí TC(Q) = Q3 − 77Q2 + 1000Q + 40000 Hãy xác định mức sản lượng Q cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Giải Với mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, xí nghiệp cần phải bán theo đơn giá P cho QD = Q Do đó, ta có QD = Q ⇔ 656 − P = Q ⇔ P = 1312 − 2Q , 42 Mặt khác doanh thu xí nghiệp TR(Q) = P × Q = D−1 (Q) × Q = (1312 − 2Q) × Q = −2Q + 1312Q lợi nhuận thu xí nghiệp π(Q) = TR(Q) − TC(Q) = −2Q + 1312Q − (Q3 − 77Q2 + 1000Q + 40000) = −Q3 + 75Q2 + 312Q − 40000 Bây ta tìm Q > cho π đạt giá giạ lớn Ta có π / (Q) = −3Q2 + 150Q2 + 312 Suy ra, π / (Q) = ⇔ −3Q + 150Q + 312 = ⇔ Q = −2 (loaïi) hay Q = 52 Mặt khác, π / / (Q) = −6Q + 150 nên π / / (52) = −162 < Vậy π(Q) đạt cực đại Q = 52 Khi đó, ta có kết phù hợp sau : Lợi nhuận : π = 38416 , Đơn giá : P = 1208 , Tổng chi phí : TC = 24400 Kết luận: Để đạt lợi nhuận cao nhất, xí nghiệp cần sản xuất với mức sản lượng Q = 52 Khi lợi nhuận tương ứng π = 38416 1.2 Bài toán thuế doanh thu Bài tốn Giả sử xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD = D(P) ( P đơn giá) hàm tổng chi phí TC = TC(Q) ( Q sản lượng) Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để thu nhiều thuế từ xí nghiệp Giải tốn Với mức thuế t đơn vị sản phẩm, xí nghiệp định mức sản lượng Q phụ thuộc vào thuế t cho đạt lợi nhuận tối đa Với mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, xí nghiệp cần phải bán theo đơn giá P cho QD = Q Do đó, ta có 43 D(P) = Q ⇔ P = D−1 (Q) , mặt khác doanh thu xí nghiệp TR(Q) = P × Q = D−1 (Q) × Q lợi nhuận thu xí nghiệp π(Q) = TR(Q) − TC(Q) = D−1 (Q) × Q − TC(Q) Trong tiền thuế xí nghiệp phải nộp T(t) = Q × t Vậy theo yêu cầu tốn, ta cần tìm Q = Q(t) cho π(Q) đạt giá trị lớn Khi với tiền thuế mà xí nghiệp phải nộp T(t) = Q(t) × t Ta cần tìm giá trị t > cho T(t) = Q(t) × t đạt cực đại Chú ý để phù hợp với thực tế t > tìm ta phải có mức sản lượng đơn giá, lợi nhuận, tổng chi phí dương Ví dụ Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD = 2000 − P hàm tổng chi phí TC(Q) = Q2 + 1000Q + 50 Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để thu nhiều thuế từ xí nghiệp Giải Với mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, xí nghiệp cần phải bán theo đơn giá P cho QD = Q Do đó, ta có QD = Q ⇔ 2000 − P = Q ⇔ P = 2000 − Q Mặt khác doanh thu xí nghiệp TR(Q) = P × Q = D−1 (Q) × Q = (2000 − Q) × Q = −Q2 + 2000Q Tiền thuế xí nghiệp : T(t) = Q × t , lợi nhuận thu xí nghiệp : π(Q) = TR(Q) − TC(Q) − Qt = −Q2 + 2000Q − (Q2 + 1000Q + 50) − Qt = −2Q + (1000 − t)Q − 50 Bây ta tìm Q > cho π đạt giá giạ lớn Ta có 44 π / (Q) = −4Q + 1000 − t Suy ra, π / (Q) = ⇔ −4Q + (1000 − t) = ⇔ Q = (1000 − t) / Khi tiền thuế xí nghiệp phải nộp : T(t) = Q × t = (1000t − t ) / , ta cần xác định t > cho T(t) đạt cực đại Ta có, T / (t) = (1000 − 2t) / , suy T / (t) = ⇔ 1000 − 2t = ⇔ t = 500 Vì T / / (t) = −2 < nên T(t) đạt giá trị lớn t = 500 Khi đó, ta có kết phù hợp sau : Sản lượng : Q = 125 , Lợi nhuận : π = 31200 , Đơn giá : P = 1875 , Tổng chi phí : TC = 14067 Tiền thuế thu : T = 62500 Khi định mức thuế đơn vị sản phẩm t = 500 1.3 Bài toán thuế nhập Bài toán Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = S(P) QD = D(P) ( P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) P1 < P0 , P0 đơn giá điểm cân (là điểm mà mức cung lượng cầu) thị trường nội địa Một công ty độc quyền nhập loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế nhập t đơn vị sản phẩm để thu từ công ty nhiều thuế (Giả sử khối lượng nhập công ty không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế) Giải toán Gọi t mức thuế nhập đơn vị sản phẩm Mức thuế t phải thoả điều kiện t > t + P1 < P0 Do độc quyền, công ty nhập sản phẩm để bán với đơn giá P thoả t + P1 < P < P0 với số lượng QD − QS = D(P) − S(P) Khi lợi nhuận mà công ty thu : π(P) = (P − P1 − t) [ D(P) − S(P)] 45 Tuy nhiên công ty chọn đơn giá để lợi nhuận đạt cao Do ta cần xác định P cho π(P) đạt giá trị lớn Khi P = P(t) tiền thuế công ty phải nộp : T(t) = t × [ D(P(t)) − S(P(t))] Để thu thuế nhiều từ công ty ta cần xác định giá trị t > cho T(t) đạt cực đại Mức thuế phải thoả t + P1 < P0 để phù hợp với thực tế ta phải có đại lượng tương ứng đơn giá, lượng cung, lượng cầu dương Ví dụ Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = P − 200 QD = 4200 − P (P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) P1 = 1600 Một công ty độc quyền nhập loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế nhập t đơn vị sản phẩm để thu từ công ty nhiều thuế (Giả sử khối lượng nhập công ty không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế) Giải Trước hết ta tìm điểm cân thị trường nội địa Ta có QD = QS ⇔ P − 200 = 4200 − P ⇔ P = 2200 ( P0 = 2200 ) Gọi t mức thuế đơn vị sản phẩm thoả điều kiện : 1600 + t < 2200 (*) Khi Lượng hàng mà công ty nhập : QD − QS = (4200 − P) − (P − 200) = 4400 − 2P Lợi nhuận mà công ty thu : π(P) = (P − P1 − t) QD − QS  = (P − 1600 − t)(4400 − 2P) = −2P + 2(3800 + t)P − 4400(1600 + t) Đơn giá P định cho π(P) đạt cực đại Ta có 46 π / (P) = −4P + 2(3800 + t) , suy π / (P) = ⇔ −4P + 2(3800 + t) = ⇔ P = 1900 + t , π / / (P) = −4 < nên π(P) đạt cực đại P = 1900 + (1 / 2)t Khi tiền thuế mà công ty phải nộp : T(t) = t QD − QS  = t(4400 − 2P) = t(600 − t) Ta cần xác định t > cho T(t) đạt giá trị lớn Ta có T / (t) = 600 − 2t , suy T / (t) = ⇔ 600 − 2t = ⇔ t = 300 Vì T / / (t) = −2 < nên T(t) đạt cực đại t = 300 , với T(t) = 90000 Thoả mãn (*) , ta có số liệu phù hợp sau : Đơn giá : P = 2025 > , Lượng cung : QS = 1850 > , Lượng cầu : QD = 2150 > Kết luận: Để thu nhiều thuế nhập từ công ty, cần định mức thuế đơn vị sản phẩm t = 300 Khi tiền thuế thu T = 90000 1.4 Bài toán thuế xuất Bài toán Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = S(P) QD = D(P) ( P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế trừ chi phí xuất (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) P1 > P0 , P0 đơn giá điểm cân (là điểm mà mức cung lượng cầu) thị trường nội địa Một công ty độc quyền nhập loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế xuất t đơn vị sản phẩm để thu từ công ty nhiều thuế (Giả sử khối lượng xuất công ty không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế) Giải toán Gọi t mức thuế xuất đơn vị sản phẩm Mức thuế t phải thoả điều kiện t > P1 − t > P0 Do độc quyền, công ty mua sản phẩm với đơn giá P thoả P0 < P < P1 − t với số lượng QS − QD = S(P) − D(P) Khi lợi nhuận mà cơng ty thu : 47 π(P) = (P1 − P − t) [S(P) − D(P)] Tuy nhiên công ty chọn đơn giá mua để lợi nhuận đạt cao Do ta cần xác định P cho π(P) đạt giá trị lớn Khi P = P(t) tiền thuế công ty phải nộp : T(t) = t × [S(P(t)) − D(P(t))] Để thu thuế nhiều từ công ty ta cần xác định giá trị t > cho T(t) đạt cực đại Mức thuế phải thoả P1 − t > P0 để phù hợp với thực tế ta phải có đại lượng tương ứng đơn giá, lượng cung, lượng cầu dương Ví dụ Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = P − 200 QD = 4200 − P ( P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế trừ chi phí xuất (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) P1 = 3200 Một công ty độc quyền xuất loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế xuất t đơn vị sản phẩm để thu từ công ty nhiều thuế (Giả sử khối lượng nhập công ty không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế) Giải Trước hết ta tìm điểm cân thị trường nội địa Ta có QD = QS ⇔ P − 200 = 4200 − P ⇔ P = 2200 ( P0 = 2200 ) Gọi t mức thuế đơn vị sản phẩm thoả điều kiện : t > 0; 3200 − t > 2200 (*) Khi Lượng hàng mà công ty xuất : QS − QD = (P − 200) − (4200 − P) = 2P − 4400 Lợi nhuận mà công ty thu : π(P) = (P1 − P − t) QS − QD  = (3200 − P − t)(2P − 4400) = −2P + 2(5400 − t)P − 4400(3200 − t) 48 Đơn giá P định cho π(P) đạt cực đại Ta có π / (P) = −4P + 2(5400 − t) , suy π / (P) = ⇔ −4P + 2(5400 − t) = ⇔ P = 2700 − t , π / / (P) = −4 < nên π(P) đạt cực đại P = 2700 − (1 / 2)t Khi tiền thuế mà cơng ty phải nộp : T(t) = t QS − QD  = t(2P − 4400) = t(1000 − t) Ta cần xác định t > cho T(t) đạt giá trị lớn Ta có T / (t) = 1000 − 2t , suy T / (t) = ⇔ 1000 − 2t = ⇔ t = 500 Vì T / / (t) = −2 < nên T(t) đạt cực đại t = 500 , với T(t) = 250000 Thoả mãn (*) , ta có số liệu phù hợp sau : Đơn giá : P = 2450 > , Lượng cung : QS = 2250 > , Lượng cầu : QD = 1750 > Kết luận: Để thu nhiều thuế nhập từ công ty, cần định mức thuế đơn vị sản phẩm t = 500 Khi tiền thuế thu T = 250000 1.5 Bài toán lập kế hoạch sản xuất điều kiện cạnh tranh hồn hảo Bài tốn Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm Đơn giá hai loại sản phẩm thị trường P1 , P2 hàm tổng chi phí : TC = TC(Q1 , Q2 ) ( Q1 , Q2 sản lượng) Hãy định mức sản lượng Q1 Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Giải toán Điều kiện mức sản lượng Q1 , Q2 Q1 , Q2 > Khi đó, ta có Doanh thu : TR(Q1 , Q2 ) = P1Q1 + P2Q2 Lợi nhuận : π(Q1 , Q2 ) = TR − TC = P1Q1 + P2Q2 − TC(Q1 , Q2 ) 49 Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần xác định mức sản lượng Q1 , Q2 cho π(Q1 , Q2 ) đạt cực đại Lưu ý cần kiểm tra lại đại lượng khác chi phí, lợi nhuận phải dương để phù hợp với thực tế Ví dụ Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm Đơn giá hai loại sản phẩm thị trường P1 = 56 P2 = 40 Hàm tổng chi phí : TC = 2Q12 + 2Q1Q2 + Q22 Hãy định mức sản lượng Q1 Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Giải Điều kiện mức sản lượng Q1 , Q2 Q1 , Q2 > Khi đó, ta có Doanh thu : TR = P1Q1 + P2Q2 = 56Q1 + 40Q2 Lợi nhuận : π = TR − TC = 56Q1 + 40Q2 − 2Q12 − 2Q1Q2 − Q22 Để đạt lợi nhuận cao nhất, ta cần xác định mức sản lượng Q1 , Q2 cho π(Q1 , Q2 ) đạt cực đại Lưu ý toán cực trị hàm hai biến theo Q1 , Q2 Trước hết ta tính đạo hàm riêng cấp cấp hai π(Q1 , Q2 ) , ta có ∂π (Q , Q ) = 56 − 4Q1 − 2Q2 ∂Q1 ∂π (Q , Q ) = 40 − 2Q1 − 2Q2 ∂Q2 ∂ 2π ∂ Q , Q = ( ) 2 ∂Q ∂Q1  ∂π  ∂ ( 56 − 4Q1 − 2Q2 ) = −4  = ∂Q1  ∂Q1  ∂ 2π ( Q1 , Q2 ) = ∂Q∂ ∂Q 2  ∂π  ∂ ( 40 − 2Q1 − 2Q2 ) = −2  =  ∂Q  ∂Q ∂2π ∂  ∂π  ∂ Q1 , Q2 ) = ( 40 − 2Q1 − 2Q2 ) = −2 (  = ∂Q1∂Q2 ∂Q1  ∂Q2  ∂Q1 50 Để khảo sát cực trị ta tìm điểm dừng, cách giải hệ sau :  ∂π  ∂Q (Q1 , Q ) = 56 − 4Q1 − 2Q =  ⇔   ∂π (Q , Q ) = 40 − 2Q − 2Q =  ∂Q2 Q1 =  Q2 = 12 Vậy π có điểm dừng (Q1 , Q ) = (8,12) Xét điểm dừng (Q1 , Q ) = (8,12) , ta có A = −4 < 0; C = −2; B = −2 , ∆ = AC − B2 = > nên π đạt cực đại (Q1 , Q ) = (8,12) Khi Chi phí : TC = 464 , lợi nhuận : π = 464 Kết luận : Để đạt lợi nhuận cao nhất, cần định mức sản lượng hai loại sản phẩm lần lược : Q1 = Q2 = 12 1.6 Bài toán lập kế hoạch sản xuất điều kiện sản xuất độc quyền Bài tốn Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại sản phẩm QD = D1 (P1 , P2 ) QD = D2 (P1 , P2 ) ( P1 , P2 đơn giá) hàm tổng chi phí : TC = TC(Q1 , Q2 ) ( Q1 , Q2 sản lượng) Hãy định mức sản lượng Q1 Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Giải toán Điều kiện mức sản lượng Q1 , Q2 Q1 , Q2 > Do sản xuất độc quyền với mức sản lượng trên, để tiêu thụ hết sản phẩm xí nghiệp bán với đơn giá P1 , P2 cho : Q D = Q1  D (P , P ) = Q1 ⇔ 1  Q D2 = Q2 D2 (P1 , P2 ) = Q2 P = P1 (Q1 , Q2 ) Giải hệ ta  P = P (Q , Q )  2 Khi đó, ta có Doanh thu : 51  a11 a12  X1   x1  a X  x  a 22 2 Đặt X =   ; x =   ; A =  21  ⋮     ⋮       Xn   xn   a n1 a n a1n  a 2n  ma trận hệ số chi phí ⋮   a nn  trực tiếp dạng giá trị Suy ( I − A ) X = x ⇔ X = Cx Trong C = ( I − A ) −1 ( )n×n , gọi ma trận hệ số chi phí tồn dạng giá trị = cij Hệ số cij cho biết: để sản xuất đơn vị giá trị nhu cầu cuối ngành j, ngành i cần phải sản xuất lượng sản phẩm có giá trị cij b) Hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp: b hj = Đặt: y hj Xj ∀ j = 1, n; h = 1, ( )5×n : Được gọi ma trận hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp B = bij b hj : cho biết để có đơn vị giá trị sản phẩm ngành j ngành phải sử dụng trực tiếp b hj đơn vị giá trị đầu vào yếu tố sơ cấp thứ h n Yh = ∑ b hj X j ∀h = 1, j=1 hay: Y = BX  b11 b  21 với B =  b31   b 41 b  51 b12 ⋯ b1n   Y1  Y  b 22 ⋯ b 2n   2 b32 ⋯ b3n  Y =  Y3     b 42 ⋯ b 4n   Y4  Y  b52 ⋯ b5n   5 c) Ma trận hệ số nhu cầu cuối cùng:  V1    Nhu cầu cuối cùng: V =  V2  V   3 xét: d ik = fik Vk ∀ i = 1, n ; k = 1, 2, d ik : Trong đơn vị giá trị tiêu dùng nhu cầu Vk có d ik giá trị ngành i 69 D = ( d ik )n×3 : Ma trận cấu nhu cầu cuối X = AX + DV Hay: (I − A)X = DV Ví dụ 13: Cho bảng cân đối liên ngành ví dụ 12 a) Tìm ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị, ma trận hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp Giải thích ý nghĩa a13 b42? b) Giả sử vào thời kỳ kế hoạch định mức kinh tế, kĩ thuật không đổi Lập bảng cân đối liên ngành năm (t + 1) với xt + = (300; 500; 700) Giải a) Hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị: a11 = x x11 84 x 120 = = 0, 2;a12 = 12 = = 0;a13 = 13 = = 0,15 X1 420 X 650 X 800 a 21 = x 21 42 x 130 x 80 = = 0,1;a 22 = 22 = = 0, 2;a 23 = 33 = = 0,1 X1 420 X 650 X 800 a 31 = x 31 x x 63 65 160 = = 0,15;a 32 = 32 = = 0,1;a 33 = 33 = = 0, X1 420 X 650 X 800 Ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị: A = 0,15   0,  0,1 0, 0,1     0,15 0,1 0,    Hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp : b11 = y y11 42 y 65 40 = = 0,1; b12 = 12 = = 0,1; b13 = 13 = = 0,05 X1 420 X 650 X 800 b 21 = y 21 21 y 65 y 40 = = 0,05; b 22 = 22 = = 0,1;a 23 = 23 = = 0,05 X1 420 X 650 X 800 b 31 = y 31 y y 42 130 160 = = 0,1; b 32 = 32 = = 0, 2; b 33 = 33 = = 0, X1 420 X 650 X 800 b 41 = y 41 42 y 65 y 80 = = 0,1; b 42 = 42 = = 0,1; b 33 = 43 = = 0,1 X 650 X 800 X1 420 b 51 = y 51 84 y y 130 200 = = 0, 2; b52 = 52 = = 0, 2; b 53 = 53 = = 0, 25 X1 420 X 650 X 800 Ma trận hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp: 70  0,1  0, 05  B =  0,1   0,1  0,  0,1 0,05  0,1 0,05  0, 0,   0,1 0,1  0, 0, 25  b) Giá trị tổng sản lượng vào năm (t + 1) là: −0,15  300   579   0,8     −1 X t +1 = (I − A) x t +1 =  −0,1 0,8 −0,1   500  =  833   −0,15 −0,1 0,8  700  1087       x ij (t + 1) = a ij ⋅ X j (t + 1); y hj (t + 1) = b hj ⋅ X j (t + 1) Từ ta suy bảng cân đối liên ngành là: Giá trị TSL Giá trị sản phẩm trao đổi trung gian Giá trị SPCC 579 115,8 163,2 300 833 57,9 166,6 108,5 500 1087 86,85 83,3 216,85 700 Nhập 57,9 83,3 54,35 Lương 28,95 83,3 54,3 Khấu hao 57,9 166,6 217,4 Thuế 57,9 83,3 108,7 Lợi nhuận 115,8 166,6 163,05 2.4.3 Xác định số giá Nếu giá đơn vị sản phẩm ngành j thời điểm t Pj(t) thời điểm (t+1) Pj(t + 1) số giá sản phẩm là: k j (t + 1) = Pj (t + 1) Pj (t) Để đơn giản người ta kí hiệu số giá là: kj 71 Tương tự số giá yếu tố đầu vào sơ cấp kí hiệu là: wi Do nguồn hình thành nguồn phân phối nên ta có: n i =1 h =1 ∑ a ij + ∑ bhj = n Khi đó: ∑k a + ∑ w i =1 i ij h =1 h b hj giá trị năm (t+1) để tạo lượng sản phẩm với đơn vị giá trị năm t Gọi m số sản phẩm ứng với đơn vị giá trị năm t n i =1 h =1 ∑ k i a ij + ∑ w h b hj = P = P / m Pj (t + 1) = = kj 1/ m Pj (t) Khi viết dạng ma trận ta có: K = A T ⋅ K + BT ⋅ w ⇔ (I − A T ) ⋅ K = BT ⋅ w ⇔ K T ⋅ (I − A) = w T ⋅ B ⇔ K T = w T ⋅ B ⋅ (I − A) −1 Công thức cho phép xác định số giá sản phẩm ngành biết số giá yếu tố đầu vào sơ cấp Nếu yếu tố đầu vào sơ cấp thay đổi thay đổi số giá là: ∆K T = ∆w T ⋅ B ⋅ (I − A) −1 Ví dụ 14: Cho bảng cân đối liên ngành ví dụ cho số giá yếu tố đầu vào năm (t + 1) là: w T = (1, 01 1, 05 1, 1,1 1, ) Hãy xác định số giá sản phẩm sản xuất Giải Theo công thức ta có số giá ngành là: K T = w T B (I − A)−1  0,1 0,1 0,05  −1   0,8 − 0,15 0, 05 0,1 0,05     = (1,01 1,05 1, 1,1 1, )  0,1 0,15 0,1   −0,1 0,8 −0,1      0,1 0,1 0,1   −0,15 −0,1 0,8   0, 0,15 0, 25    = (1,137 1,138 1,147 ) 72 BÀI TẬP Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q = 100 L3 , L > giá sản phẩm P = USD , giá thuê lao động PL = USD Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa Hướng dẫn: Đáp số: L = 100000 Cho biết hàm tổng chi phí TC(Q) = Q3 − 130Q + 12Q; Q > Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí bình qn nhỏ Hướng dẫn: Đáp số: Q = 65 Cho biết hàm chi phí TC(Q) = Q3 − 8Q + 57Q + 2; Q > hàm cầu Q = 90 − 2P Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại Hướng dẫn: Đáp số: Q = 4 Cho biết hàm chi phí TC(Q) = 4Q3 + 5Q + 500; Q > hàm cầu Q = 11160 − P Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại Hướng dẫn: Đáp số: Q = 30 Một cơng ty có hàm cầu sản phẩm hàm tổng chi phí là: P = 2750 − 45 Q3 Q TC = − 15Q + 2500Q 30 (trong P giá Q sản lượng) a) Tính sản lượng giá bán để tối đa hóa lợi nhuận? Tính nêu ý nghĩa hệ số co giãn cầu sản phẩm mức giá sản lượng tối ưu? b) Tìm giá bán để tối đa hóa sản lượng bán mà công ty không bị lỗ? Một cơng ty cạnh tranh hồn hảo sản xuất cung ứng cho thị trường hai loại mặt hàng với hàm tổng chi phí kết hợp TC = 2Q12 + 3Q1Q2 + 3Q22 a) Cho biết giá mặt hàng P1=20, P2=30 Hãy xác định mức sản lượng lợi nhuận tối ưu b) Tại thời điểm tối ưu tăng sản lượng mặt hàng loại thêm 5%, tăng sản lượng mặt hàng loại hai thêm 8% chi phí biến động nào? Người ta ước lượng hàm sản xuất ngày doanh nghiệp sau : Q = 80 K L a) Với K = 25, L = 64 Hãy cho biết mức sản xuất ngày doanh nghiệp 73 b) Bằng đạo hàm riêng Q , cho biết doanh nghiệp - Sử dụng thêm đơn vị lao động ngày giữ nguyên mức K = 25 sản lượng thay đổi bao nhiêu? - Sử dụng thêm đơn vị vốn ngày giữ nguyên mức L = 64 sản lượng thay đổi bao nhiêu? c) Nếu giá thuê đơn vị tư K = 12 giá đơn vị lao động L = 2,5 doanh nghiệp sử dụng yếu tố đầu vào mức nêu câu a) doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị K hay L Hướng dẫn: Đáp số: a) Q = 1600 ; b) Tính ∂Q ∂Q ; ; c) ∂L ∂K Cho hàm lợi ích TU = 3xy − 2x − y ; x, y > a) Tại x = 50, y = 60 , x tăng thêm đơn vị y khơng đổi, hỏi lợi ích thay đổi nào? b) Tính MU y x = 50, y = 60 , giải thích ý nghĩa Hướng dẫn: Đáp số: a) MU x = −20 ; b) MU y = 30 Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm Q1 = 1300 − P1 ; Q = 675 − 0,5P2 hàm chi phí kết hợp TC = Q12 + 3Q1Q + Q 22 Hãy cho biết mức sản lượng Q1 ,Q giá bán tương ứng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Hướng dẫn: Đáp số: Q1 = 250, Q = 100 10 Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm sau: π = 160Q1 − 3Q12 − 2Q1Q − 2Q 22 + 120Q − 18 Hãy tìm Q1 ,Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Hướng dẫn: Đáp số: Q1 = 20, Q = 20 11 Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm Q1 = 25 − 0,5P1 ; Q = 30 − P2 Và hàm chi phí kết hợp TC = Q12 + 2Q1Q + Q 22 + 20 Hãy cho biết mức sản lượng Q1 ,Q giá bán tương ứng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 74 Hướng dẫn: Đáp số: Q1 = 7, Q = 12 Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm Q1 = 50 − 0,5P1 ; Q = 76 − P2 Và hàm chi phí kết hợp TC=3Q12 +2Q1Q +2Q 22 +55 Hãy cho biết mức sản lượng Q1 ,Q giá bán tương ứng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Hướng dẫn: Đáp số: Q1 = 8, Q = 10 13 Cho hàm sản xuất hãng Q = 10K 0,3L0,4 , biết giá thuê đơn vị tư K 0,03, giá thuê đơn vị lao động 2, giá sản phẩm Hãy xác định mức sử dụng K, L để hãng thu lợi nhuận tối đa Hướng dẫn: Đáp số: L = 51200, K = 2560000 14 Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp π = 15Q1 + 12Q − 3Q1Q 22 − Q13 Hãy tìm Q1 ,Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Hướng dẫn: Đáp số: Q1 = 1, Q = hay Q1 = 2, Q = 15 Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q = −2K + 3KL − 3L2 + 30K + 20L; K, L > a) Hãy xác định mức sử dụng K, L để doanh nghiệp thu mức sản lượng cực đại b) Biết giá thuê đơn vị tư K 4, giá thuê đơn vị lao động 22, giá sản phẩm Hãy xác định mức sử dụng K, L để hãng thu lợi nhuận tối đa Hướng dẫn: Đáp số: a) K = 16, L = 34 ; b) K = 13, L = 16 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD = 300 − P hàm tổng chi phí TC(Q) = Q3 − 19Q2 + 333Q + 10 Hãy xác định mức sản lượng Q cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Hướng dẫn: Đáp số: Q = 11 75 17 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD = 2640 − P hàm tổng chi phí TC(Q) = Q2 + 1000Q + 100 Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để thu nhiều thuế từ xí nghiệp Hướng dẫn: Đáp số: t = 820 18 Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = P − 200 QD = 1800 − P (P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) P1 = 500 Một công ty độc quyền nhập loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế nhập t đơn vị sản phẩm để thu từ công ty nhiều thuế (Giả sử khối lượng nhập công ty không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế) Hướng dẫn: Đáp số: t = 250 19 Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = P − 20 QD = 400 − P (P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế trừ chi phí xuất (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) P1 = 310 Một công ty độc quyền xuất loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế xuất t đơn vị sàn phẩm để thu từ công ty nhiều thuế (Giả sử khối lượng nhập công ty không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế) Hướng dẫn: Đáp số: t = 50 20 Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm Đơn giá hai loại sản phẩm thị trường P1 = 60 P2 = 75 Hàm tổng chi phí : TC = Q12 + Q1Q2 + Q22 Hãy định mức sản lượng Q1 Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Hướng dẫn: Đáp số: Q1 = 15, Q = 30 21 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại sản phẩm : QD = 40 − 2P1 + P2 QD = 15 + P1 − P2 76 Với hàm tổng chi phí : TC = Q12 + Q1Q2 + Q22 Hãy định mức sản lượng Q1 Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Hướng dẫn: Đáp số: Q1 = 15, Q = 30 22 Một người muốn dùng số tiền 178000000 đồng để mua hai mặt hàng có đơn giá P1 = 400000 đồng P2 = 600000 đồng Hàm hữu dụng hai mặt hàng TU = (x1 + 20)(x2 + 10) ( x1 , x2 số lượng hai mặt hàng) Hãy xác định số lượng cần mua hai loại mặt hàng để hàm hữu dụng đạt giá trị cao Hướng dẫn: Đáp số: x1 = 220, x = 150 23 Cho bảng cân đối liên ngành dạng vật năm t Sản lượng Sản phẩm trung gian SPCC 300 60 24 80 136 240 30 48 40 122 400 90 24 120 166 Lao động 30 36 40 Năm (t+1) a) Hãy xác định hệ số kỹ thuật hệ số sử dụng lao động b) Biết q(t + 1) = (150,140,180 ) hệ số kỹ thuật, lao động không đổi so với năm t Lập bảng cân đối liên ngành năm (t+1) c) Xác định vectơ giá trị sản phẩm sản xuất Biết giá trị gia tăng ngành w T = ( 0,05;0,1;0,15 ) Hướng dẫn: Đáp số:  0, 0,1 0,  a) α =  0,1 0, 0,1  ; β = ( 0,1 0,15 0,1) ,  0,3 0,1 0,3    b) Q(t + 1) = ( I − α(t + 1) ) q(t + 1); q ij = α ijQ j ; q j = β0 jQ j , −1 c) P T = w T ( I − α(t + 1) ) −1 24 Cho bảng cân đối liên ngành dạng vật năm t 77 Sản lượng Sản phẩm trung gian 210 42 36 66 36 22 122 18 22 96 18 66 Năm (t + 1) 220 Lao động SPCC 42 a) Hãy tìm giá trị thiếu bảng b) Hãy xác định ma trận hệ số kỹ thuật vectơ sử dụng lao động năm t c) Nếu biết α31 (t + 1) = α31 (t) hệ số khác khơng đổi q(t + 1) = ( 70,130,100 ) Lập bảng cân đối liên ngành năm (t + 1) Hướng dẫn: Đáp số: a) q1 = 66, Q = 180, α 31 = 84 ,  0, 0, 0,3    b) α =  0, 0,1  ; β = ( 0, 0,1 0,3) ,  0, 0,1 0,1    c) Q(t + 1) = ( I − α(t + 1) ) q(t + 1); q ij = α ijQ j ; q j = β0 jQ j −1 25 Cho ma trận hệ số kỹ thuật năm t ngành dạng vật:  0,1 0,  α(t) =  0, 0,1 0,3   0, 0,3 0,1    vectơ sử dụng lao động năm t : β(t) = ( 0,1;0, 2;0,15 ) a) Tìm ma trận hệ số chi phí tồn năm t Giải thích ý nghĩa kinh tế phần tử cột ma trận b) Biết q(t + 1) = ( 60,50, 70 ) hệ số kỹ thuật, lao động không đổi so với năm t Lập bảng cân đối liên ngành năm (t + 1) c) Hãy xác định vectơ giá trị sản phẩm ngành, biết phần giá trị gia tăng ngành w T = ( 0,05;0,1;0,15 ) Hướng dẫn: Đáp số: 78 a) θ = [ I − α(t)] , −1 b) Q(t + 1) = ( I − α(t + 1) ) q(t + 1); q ij = α ijQ j ; q j = β0 jQ j , −1 c) P T = w T ( I − α(t + 1) ) −1 26 Cho bảng cân đối liên ngành năm t ngành: Ngành Sản phẩm Sản phẩm trung gian SPCC 2500 250 360 400 1490 1800 500 180 400 720 2000 750 360 200 690 Lao động 1000 900 1000 a) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật năm t, giải thích ý nghĩa hệ số α32 b) Nếu năm (t + 1) nhu cầu sản phẩm cuối ngành là: ( 540, 250,300 ) đơn vị tỷ VNĐ Lập bảng cân đối liên ngành cho năm (t + 1) , biết α ( t + 1) = α ( t )  0,1 0, 0,  Hướng dẫn: Đáp số: a) α =  0, 0,1 0,   0,3 0, 0,1    b) Q(t + 1) = ( I − α(t + 1) ) q(t + 1); q ij = α ijQ j ; q j = β0 jQ j −1 27 Cho ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị năm t là:  0, 0,3  A ( t ) =  0,1 0,1 0,1   0, 0, 0,1    a) Tìm ma trận hệ số chi phí tồn năm t b) Biết x(t) = ( 800,1500,700 ) ,tìm sản lượng ngành năm t Hướng dẫn: Đáp số: a) C = [ I − A(t) ] ; b) X(t) = [ I − A(t)] x(t) −1 −1 28 Cho ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị năm t sau: 79  0,3 0, 0,3  A =  0,1 0,3 0,   0,3 0,3 0,    a) Tìm ma trận hệ số chi phí tồn dạng giá trị năm t Giải thích ý nghĩa kinh tế phần tử dòng cột ma trận b) Năm (t + 1) nhu cầu sản phẩm cuối ngành (180,150,100 ) (tỷ VNĐ) Tính giá trị sản lượng ngành, biết hệ số chi phí năm (t + 1) năm t sau Hướng dẫn: Đáp số: a) C = [ I − A(t) ] ; b) X(t + 1) = [ I − A(t + 1)] x(t + 1) −1 −1 29 Cho bảng cân đối liên ngành dạng giá trị năm t Giá trị Tổng sản Giá trị sản phẩm trao đổi trung gian lượng Giá trị sản phẩm cuối 600 120 90 56 450 60 45 112 560 90 22,5 168 Nhập 30 45 84 Lương 60 67,5 28 Khấu hao 60 45 28 Thuế 60 45 28 Lợi nhuận 120 90 56 a) Tìm giá tri thiếu bảng b) Tìm ma trận hệ số chi phí tồn năm t, cho biết ý nghĩa kinh tế phần tử nằm dòng cột c) Tìm ma trận hệ số yếu tố đầu vào sơ cấp năm t, cho biết ý nghĩa kinh tế phần tử nằm dòng cột d) Giả sử hệ số năm ( t+1) không đổi so với năm t, véctơ sản phẩm cuối năm (t+1) x(t+1)=(500100 400) Lập bảng cân đối liên ngành năm (t+1) 30 Cho bảng cân đối liên ngành dạng giá trị năm t 80 Giá trị Tổng sản Giá trị sản phẩm trao đổi trung gian lượng Giá trị sản phẩm cuối 1450 290 450 1990 145 199 150 1500 290 398 150 Nhập 72,5 398 150 Lương 145 298,5 150 Khấu hao 145 99,5 Thuế 72,5 199 150 Lợi nhuận 290 398 225 a)Tìm giá tri thiếu bảng b)Tính ma trận hệ số chi phí tồn năm t, cho biết ý nghĩa kinh tế phần tử nằm dòng cột c) Tính ma trận hệ số yếu tố đầu vào sơ cấp năm t, cho biết ý nghĩa kinh tế phần tử nằm dòng cột d) Giả sử hệ số năm ( t+1) không đổi so với năm t, vec tơ sản phẩm cuối năm (t+1) x(t+1)=(1000 1500 800) Lập bảng cân đối liên ngành năm (t+1) 31 Cho ma trận hệ số chi phí trực tiếp chi phí tồn dạng giá trị năm t:  0, 0,15 0,  A =  0,3 0, 0,3  ;  0,1 0, 0, 25     1.518 0.47 0.741  C =  0.759 1.664 1.085   0.506 0.633 2.152    a) Hãy giải thích ý nghĩa tổng phần tử nằm cột ma trận A b) Cho biết sang năm (t+1) ma trận hệ số kĩ thuật không thay đổi, mục tiêu giá trị sản phẩm dành cho nhu cầu cuối ngành thứ nhất, thứ 2, thứ tăng 15; 10; 12 đơn vị giá trị giá trị sản lượng ngành cần tăng thêm đơn vị giá trị để đáp ứng mục tiêu đó? Hướng dẫn: a) Ý nghĩa số 0.75  1.518 0.47 0.741  15   36.362     b) ∆X = C.∆x =  0.759 1.664 1.085   10  =  41.045   0.506 0.633 2.152  12   39.744       32 Cho bảng cân đối liên ngành năm t sau: 81 Giá trị SP trao đổi trung gian Giá trị SP cuối Giá trị 250 50 35 30 x1 180 x21 25 35 95 150 40 25 30 55 Nhập 10 y12 Tiền lương 30 15 20 Khấu hao y31 10 Thuế 20 10 10 Lợi nhuận 65 50 15 a) Hãy tìm số liệu thiếu bảng tính ma trận hệ số kỹ thuật, giải thích ý nghĩa kinh tế a32 b) Cho x(t+1) = (180, 120, 80), hệ số khác không đổi Hãy lập kế hoạch giá trị sản phẩm trao đổi năm (t+1) Hướng dẫn: x1 = 135, x21 = 25, y31 = 10, y12=10  0, 0,194 0,   1,39 0,387 0, 459    A =  0,1 0,139 0, 23  ;C =  0, 247 1, 287 0, 432   0,16 0,139 0,   0,321 0,301 1, 417      33 Ma trận hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp B, ma trận hệ số chi phí tồn C dạng giá trị năm t:  0,1 0,15 0,15   0,1 0,1 0,   B=  0,1 0,15 0,1     0,15 0,1 0,1   1,302 0, 245 0,33    C =  0,538 1, 406 0,354   0, 264 0,34 1, 226    a) Cho giá trị sản xuất ngành (3.000; 2.800; 4.000) Lập bảng cân đối liên ngành dạng giá trị ngành? b) Giá đơn vị sản phẩm ngành năm t (3; 4; 8) Trong năm (t + 1) theo dự báo số giá yếu tố đầu vào sơ cấp (1,05; 1,1; 1,2; 1,15), tính giá đơn vị sản phẩm ngành năm (t + 1)?  0,15 0,1 0,  Hương dẫn : a) A =  0,3 0, 0,15  ; x = (E − A).X =  0,1 0, 0,1    82  1470   740     2740    b) K T = w T B C = [1,125 1,123 1,118] 34 Ma trận hệ số chi phí trực tiếp A, ma trận hệ số yếu tố đầu vào sơ cấp B dạng giá trị năm t:  0, 0,15 0,1  0,15 0,1 0, 25   0,1 0, 0,1    A =  0, 0, 0,1  ; B =    0,1 0,15 0,1  0,1 0,1 0,15       0,15 0,1 0,1 a) Cho giá trị sản xuất ngành (1500; 2500; 3200) Lập bảng cân đối liên ngành dạng giá trị ngành năm t? b) Giá đơn vị sản phẩm ngành năm t (2; 3; 5) Tìm ma trận hệ số chi phí tồn dạng vật năm t nêu ý nghĩa phần tử nằm dòng cột ma trận đó?  225  q q p p p Hướng dẫn: a) x = (E − A).X =  1380  b) α ij = ij = ij i j = a ij j   Q j Q j p j p i pi  2320    35 Ma trận hệ số đầu vào yếu tố sơ cấp B, ma trận hệ số chi phí tồn C dạng giá trị năm t:  0, 0,1 0,1   0, 25 0, 0,15   B=  0,05 0, 0,15     0, 0,1 0,1   1,175 0, 292 0, 275    C =  0, 213 1,188 0, 263   0,1 0,167 1,3   a) Biết giá trị sản xuất ngành (5.000; 3.000; 6.500) Lập bảng cân đối liên ngành dạng giá trị năm t? b) Trong năm (t + 1) yếu tố kĩ thuật, kinh tế không đổi Biết số giá yếu tố đầu vào sơ cấp ngành dự báo (1,5; 1,2; 1,1; 2) giá đơn vị sản phẩm ngành năm t (3; 4,5; 2) Hãy tính biến động giá năm (t + 1) so với năm t?  0,1 0, 0,15   2925    Hướng dẫn: a) A =  0,15 0,1 0,15  ; x = (E − A).X =  975   0,05 0,1 0,       4650  b) K T = w T B C = [1, 481 1,385 1, 406] 83 ... −3Q 12 − 5Q 22 − 2Q1Q + 360Q1 + 570Q Lợi nhuận : π(Q1 , Q2 ) = TR(Q1 , Q ) − TC(Q1 , Q2 ) = −3Q 12 − 5Q 22 − 2Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2 − (Q 12 + Q1Q + Q 22 ) = −4Q 12 − 6Q 22 − 3Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2 Để... 29 2 26 21 14436 0 0 14436 1 52 126 1 621 27 98 0 0 27 98 113 1730 185 951 7073 0 0 7073 883 3003 611 520 7 33874 0 0 33874 21 974 14837 22 92 4050 122 7 7586 51963 24 358 28 17 6699 33874 85837 Ví dụ 12: ... 10767 14837 85 21 5 313 1698 66 20 77 22 92 95 62 610 26 23 143 674 3440 4050 23 73 398 625 44 160 829 122 7 311 17 656 1450 5934 20 2 6136 7586 1409 1047 616 23 79 18089 24 358 28 17 6699 33874 51963 1434