BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM 2 ĐỒ THỊ CHI TIẾT

Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh BÀI 6: GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C1  hàm số y  g  x  có đồ thị  C2  - Phương trình hồnh độ giao điểm  C1   C2  f  x   g  x  1  y Số giao điểm  C1   C2  số nghiệm phương trình 1 y0  Nghiệm x0 phương trình 1 hồnh độ giao  điểm Để tìm tung độ y0 ta thay vào y  f  x  x x0 O  Điểm M  x0 ; y0  gọi toạ độ giao điểm Chú ý: Nếu hai đồ thị có dạng hữu tỉ có tập xác định D   \   Khi đó, để  C1  cắt C2  n điểm phân biệt  phương trình hồnh độ giao điểm [phương trình 1 ] có n nghiệm phân biệt khác  II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP A Bài tốn khơng chứa tham số Dạng Từ phương trình hồnh độ giao điểm tìm - Hoành độ giao điểm x0 - Tung độ giao điểm y0  f  x0  - Toạ độ giao điểm M  x0 ; y0  Mối quan hệ hoành độ, tung độ, độ dài giao điểm x1  x2  ?; y1  y2  ?; AB   x2  x1    y2  y1  - Số giao điểm (số điểm chung) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm a Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm  C1   C2  f  x   g  x  1 - Giải phương trình 1 tìm x0  y0  M  x0 ; y0  Chú ý: - Để giải phương trình 1 cần nắm kĩ giải phương trình bâc 2, bậc 3, trùng phương, vơ tỷ…, kĩ phân tích đa thức thành nhân tử, lược đồ hooc-ne - Ngoài sử dụng nhanh máy tính cách chức Mod  2; Mod  để giải phương trình bậc hai, bậc ba, trùng phương; Mod để dị nghiệm phương trình nghiệm đẹp; Shift  Calc dị nghiệm phương trình nghiệm xấu b Ví dụ minh hoạ: x4  x  cắt trục hoành điểm? 2 B C Ví dụ Đồ thị hàm số y   A Giải D LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG y  g  x  cho việc thay đơn giản Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng mod 5  x  1 x4  x  0    x   2 x  Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt Chọn đáp án B Nhận xét: Khi hỏi số nghiệm phương trình mà không hỏi nghiệm cụ thể ta nên dùng mod7 bên f  x  đổi dấu lần có nhiêu nghiệm X4 Dùng mod7 nhập f  X     X  ; Start  9; End  9; Step  2 Ví dụ (Sở GD ĐT Quảng Ninh năm 2017) Biết đồ thị hàm số y  x  3x  đường thẳng đường thẳng y  cắt hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  Tính x1  x2 A x1  x2  B x1  x2  C x1  x2  18 D x1  x2  Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng  x  1 x  3x    x  3x      x2  x  x  x     x1  x2  Chọn đáp án B  x    x2   Nhận xét: Ta sử dụng mod7 sau Dùng mod7 nhập f  X   X  X  5; g  X   ; Start  9; End  9; Step  Từ bảng  x1  x2  Ví dụ (Sở GD ĐT Bắc Ninh năm 2017) Gọi A, B giao điểm hai đồ thị hàm số y  y   x Độ dài đoạn thẳng AB A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng  x  1  y   A  1;  x  x3  1 x    x 1  x   y  1  B  2; 1 x  x   Khi AB    Chọn đáp án D Nhận xét: Ta sử dụng mod7 sau LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG x 3 x 1 SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG Từ bảng ta thấy f  x  đổi dấu lần nên có giao điểm Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh X 3 Dùng mod7 nhập f  X   ; g  X    X ; Start  9; End  9; Step  X 1 Từ bảng  A  1;  ; B  2; 1  AB    Chú ý: Với máy 570vn plus có hai hàm f  x  ; g  x  tìm ln tung độ, máy 570vn plus X 3   X tìm hồnh độ X 1 Ví dụ (Trường THPT Chun Nguyễn Đình Chiểu lần năm 2017) Biết đồ thị hàm số x2 y đường thẳng y  x  cắt hai điểm phân biệt có tung độ y1, y2 Khi x 1 y1  y2 A y1  y2  4 B y1  y2  C y1  y2  D y1  y2  2 Giải Hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng nghiệm phương trình x  x2   x2    x   1  0  x 1  x 1  x  Vậy giao điểm M  2;  , M  0; 2   y1  y2  2 Chọn đáp án D Nhận xét: Ta sử dụng mod7 sau X 2 Dùng mod7 nhập f  X   ; g  X   X  ; Start  9; End  9; Step  X  11 Từ bảng  y1  y2  2 Ví dụ (Sở GD ĐT Bắc Giang năm 2017) Đồ thị hai hàm số f  x    x  x g  x    m  1 x3  2mx   m  1 x  2m , (m tham số khác  ) có giao điểm A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số  m  1 x  mx   m  1 x  2m   x  x  x   m  1 x3   2m  1 x  2m    x  1 x  1  x   2m   x  2m   x  1    x   2m   x  2m   * Xét phương trình * ta có  '   m  1  2m  m    * ln có hai nghiệm phân biệt LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG có hàm f  x  ta nhập f  X   Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh  x  m   m  Khi hai nghiệm *  , m    x1 , x2  1  x2  m   m  Suy hai đồ thị có giao điểm Chọn đáp án B Nhận xét: Với dạng tốn tìm giao điểm mà chứa tham số làm trắc nghiệm ta cho tham số giá trị thoả mãn đề kết không thay đổi, giả sử m  1 g  x   2 x   x2   x  1 Phương trình hồnh độ x  x      Chọn đáp án B x   x  Ví dụ (Sở GD ĐT Thanh Hoá năm 2017) Đồ thị hàm số y   x  3x  x  đồ thị hàm số y  3x  x  có tất điểm chung? D  x3  x  x   3x  x  x    x3  x     B  x  2 Cách 2: Dùng mod7 nhập f  X    X  X  X  1; g  X   X  X  Start  9; End  9; Step  Vậy hai đồ thị có ba điểm chung  B Nhận xét: Cách có ưu điểm nghiệm đẹp ta tìm ln hồnh độ tung độ, nhược điểm nghiệm xấu khó tìm đáp án 2x 1 Ví dụ (Trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ năm 2017) Đồ thị hàm số y  đường thẳng x5 y  x  cắt hai điểm phân biệt A, B Tìm hồnh độ trung điểm I đoạn thẳng AB A xI  B xI  2 C xI  D xI  1 Giải Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng  1  x1   2x 1  x   x2  2x     x5  1   x2   x x I trung điểm AB nên xI   1 Chọn đáp án D Chú ý: Để tính nhanh mà khơng cần tìm nghiệm cụ thể ta áp dụng định lí vi-et sau x x b xI     1 2a LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG A B C Giải Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh Cách 2: Vì nghiệm phương trình nghiệm xấu nên ta sử dụng chức Shift  Calc 2x 1 Shift  Calc  x    A (lưu biến A) x 1 x5  2x 1  Shift  Calc Nhập   x  1 :  x  A    B (lưu biến B) x 1 x    A B Nhập  1 Chọn đáp án D Ví dụ (Trường THPT Việt Yên lần năm 2017) Đường thẳng d : y   x  cắt đồ thị Nhập 2x  hai điểm phân biệt A, B Khi diện tích tam giác OAB là: x2 A B C D Giải 2X 1 Dùng mod7 nhập f  X   ; g  X   X  ; X 2 Start  9; End  9; Step  ta có bảng Từ ta A  3;5  ; B 1;1  S  3  Chọn đáp án B 1 B Bài toán chứa tham số Dạng Tương giao hàm bậc ba đường thẳng Bài toán tổng quát 1: Cho hàm số bậc ba  C  : y  ax3  bx  cx  d  a   đường thẳng  : y  a ' x  b ' Tìm giá trị tham số để đồ thị hai hàm số  C   cắt k điểm a Phương pháp 1: Nhẩm một nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm - Cho hàm số bậc ba  C  : y  ax  bx  cx  d ( a  0) đường thẳng  : y  a ' x  b ' Đồ thị hai hàm số  C   cắt k điểm phương trình hồnh độ giao điểm chúng có k nghiệm phân biệt nghiệm hồnh độ giao điểm - Phương trình hồnh độ giao điểm  C   ax3  bx  cx  d  a ' x  b '  ax  bx   c  a '  x  d  b '  1 - Nếu phương trình 1 có nghiệm x0 giả sử  x  x0 1   x  x0   Ax  Bx  C      g  x   Ax  Bx  C  2 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG C  : y  Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh  Đồ thị  C  cắt đường thẳng  điểm  phương trình 1 có nghiệm  phương trình  g    2 vơ nghiệm có nghiệm kép x0    g     g  x0    Đồ thị  C  cắt đường thẳng  hai điểm  phương trình 1 có nghiệm  phương trình  2 có nghiệm kép khác x0 có hai nghiệm phân biệt có nghiệm    g    g  x0   x0     g   g x      Đồ thị  C  cắt đường thẳng  ba điểm  phương trình 1 có nghiệm  phương trình  2  g  có hai nghiệm phân biệt khác x0    g  x0   Chú ý: - Trong nhiều trường hợp x0 số thực mà tham số m - Có thể thay đường thẳng  trục Ox Khi ta làm tương tự đường thẳng  b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ (Trường THPT Triệu Sơn lần năm 2017) Cho hàm số y  x3  2mx   m   x   Cm  đường thẳng d : y  x  Khi tập giá trị m để đường thẳng d cắt đồ thị  Cm  ba điểm phân biệt là: A  ; 1   2;   C  ; 2    2;   B  ; 2    2; 1   2;   D  ; 1   2;   Giải Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x  mx   m  3 x   x  x   x  mx   m   x     g  x   x  2mx  m    * Để đường thẳng cắt đồ thị ba điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác  g    m       ; 2    2; 1   2;   Chọn đáp án B m  m     '  Ví dụ Cho hàm số y  x  3mx  3m x  m3 có đồ thị  C  đường thẳng d : y  x  3m (m tham số thực) Có giá trị tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt A B Khơng có C Giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d là: D Vô số LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG  Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh 2 x  3mx  3m x  m3  x  3m 1      x  3mx  m  x  m3  3m    x  m  x  2mx  m   x  m  2  x  mx  m   2 Đặt g  x   x  mx  m  Ta có    0, m g  m   3  0, m c Phương pháp 2: Sử dụng đồ thị hàm số bậc vị trí cực trị  Nếu trường hợp phương trình hồnh độ giao điểm khơng dễ dàng việc nhẩm nghiệm hay tốn khơng có điều kiện phức tạp toạ độ giao điểm ta sử dụng đồ thị hàm số bậc ba để giải toán  Giao điểm đồ thị hàm số bậc ba  C  : y  ax3  bx  cx  d (a  0) đường thẳng  : y  a ' x  b ' đưa toán xét giao điểm đồ thị hàm số  C ' : y  ax3  bx   c  a ' x  d  b ' (a  0) với trục hoành Hai đồ thị hai hàm số  C   cắt k điểm đồ thị hàm số  C '  hoành k điểm * Bảng tóm tắt dạng đồ thị hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d  a   a0 a0 y y '  có hai nghiệm phân biệt y    b  3ac  I 0 x I x y '  có nghiệm kép    b  3ac  y '  vô nghiệm y y    b  3ac  I I x * Một số câu hỏi thường gặp số giao điểm hàm bậc ba trục hồnh Phương trình hồnh độ giao điểm ax3  bx  cx  d  *  Đồ thị  C  cắt trục hoành điểm   * có nghiệm LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG x cắt trục SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG Suy phương trình (2) ln có nghiệm phân biệt khác m, phương trình (1) ln có ba nghiệm phân biệt Vậy  C  cắt d ba điểm phân biệt với m Chọn đáp án D Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh  y '   f cực trị h.1a    f cã cùc trÞ     y '   h.1b     y y    C§ CT   yC§ yCT  Đồ thị  C  cắt trục hoành điểm   * có nghiệm  y '  f có cực trị yCĐ yCT    h.2     yC§ yCT  Đồ thị  C  cắt trục hồnh điểm   * có nghiệm   y '   yC§ yCT   f cã cùc trÞ   yC§ yCT   h.3   y y (C) LỚP TOÁN THẦY LONG (C) SIỀU CẤP ĐẸP TRAI  yCÑ A yCT A x0 O (h.1a) x0 x x1 o x2 x (h.1b) y y (C) (C) yCÑ (h.2) yCÑ B A A x0 o B x1 x'0 x0 x x1 x'0 o x2 C x"0 yCÑ x (h.3) (yCT = f(x0) = 0)  Đồ thị  C  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương a0  f x có cực trị yCĐ yCT   h4    xC§   y (0)    a0  f  x  cã cùc trÞ   yC§ yCT   h4    xCT   y (0)   Đồ thị  C  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ âm a0  f x có cực trị yCĐ yCT   h5    xCT   y (0)   a0  f  x  cã cùc trÞ   yC§ yCT   h5   xC§   y(0)   LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh H.4  a   H.5  a   d Ví dụ minh hoạ: a Tại điểm phân biệt b Tại điểm c Tại điểm Giải Nhận xét: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục hoành x3  x   m  1 Ta không nhẩm nghiệm phương trình 1 Xét hàm số y  f  x   x3  x   m  x   y  1  m Ta có y '  3x  ; y '   x      x  1  y   m Do hàm số ln có cực đại, cực tiểu a Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt, ta có ycd yct   y 1 y  1    m  13  m     m  1 m  3   1  m  b Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm, ta có  m  1 ycd yct   y 1 y  1    m  1  m     m  c Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm, ta có  m  1 ycd yct   y 1 y  1     m  1  m     m  1 m  3    m  Vì hàm số ln có cực đại cực tiểu nên khơng xảy trường hợp hàm số đồng biến Nhận xét: Bài toán trường hợp đặc biệt  ta tính tung độ điểm cực trị nên việc tính tốn trở nên đơn giản, trường hợp khơng tính tung độ điểm cực trị ta phải tìm đường thẳng qua điểm cực trị “Xem lại phần toán cực trị” e Phương pháp 3: Phương pháp hàm số - Nếu phương trình hồnh độ giao điểm F  x, m    * biến đổi dạng f  x   g  m  f  x  hàm số có đồ thị  C  g  m  hàm (phụ thuộc tham số m) có đồ thị đường thẳng d song song trục hoành qua  0; g  m    Khi ta giải toán sau: Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TỐN THẦY LONG Ví dụ Tìm m để đồ thị hàm số y  f  x   x3  x   m cắt trục hoành Ox : y  Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh  Bước 2: Dựa vào BBT  Số giao điểm  C  d Đặc biệt: Khi y  f  x  hàm bậc ba có cực đại cực tiểu ta sử dụng kết sau Phương trình F  x, m    * Kết o *  có ba nghiệm phân biệt o o *  có hai nghiệm (1 đơn, kép) o o *  có nghiệm đơn o o *  có hai nghiệm o yCT  g  m   yCD  g  m   yCD   g  m   yCT  g  m   yCD   g  m   yCT yCT  g  m   yCD Chú ý: Với hàm bậc ba xCD  xCT xCD  xCT yCD  yCT Do ta cần tính tung độ f Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 10 Tìm m để đồ thị hàm số  Cm  : y  f  x   x3  x  mx  cắt trục hoành Ox ba điểm phân biệt A m  5 Giải B m  5 C m  5 D m  5 Phương trình hồnh độ giao điểm x3  x  mx     m  Xét hàm số y  g  x   x3  x  x x3  x2   Cm ' Tập xác định: D   \ 0 x 2x3  x  ; g '  x    x3  x     x  1 x  x   x2  x  (vì x  x   vô nghiệm) Bảng biến thiên x   g'    g  g ' x   Để  Cm    cắt trục hồnh ba điểm phân biệt đường thẳng y   m phải cắt  Cm '  ba điểm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên ta có  m   m  5 Chọn đáp án B Ví dụ 11 Tìm m để đồ thị hàm số  Cm  : y  f ( x)   m  1 x3  3mx  3mx  m  cắt trục hoành Ox điểm  m  A  m   B  m   m  C  m   D m4 Giải LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG điểm cực trị so sánh không cần phải lập bảng biến thiên để rõ yCD yCT Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh Hai nhánh (H) nằm hai bên đường tiệm cận đứng x  1 nên đường thẳng dm cắt hai nhánh (H) phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  1  x2 Đặt t  x   x  t  phương trình (1) trở thành: m  t  1  3m  t  1  2m    mt  mt   (2)  m  Chọn đáp án A Nhận xét: Nếu điều kiện thuộc nhánh trái, nhánh phải, hai thuộc nhánh ta giải sau d TH 1: Thuộc nhánh trái tức x1  x2   c d TH 2: Thuộc nhánh phải tức   x1  x2 c TH 3: Thuộc nhánh, chưa nói rõ nhánh phải xét đồng thời hai trường hợp TH TH sau lấy hợp lại d TH 4: Thuộc hai nhánh khác tức x1    x2 c Ví dụ 32 (Sở GD ĐT Điện Biên năm 2017) Tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt đồ thị (C) x hai điểm phân biệt A B cho hai điểm A, B cách đường thẳng x 1  : 2x  y   hàm số y  A m  B m  5 C m  Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng D m   g  x   x  mx  m  1 x  x  m   x 1  x  Hai đồ thị cắt hai điểm phương trình 1 có hai ngiệm phân biêt khác  m    m  4m    *  g 1   m  m  m   A  x A ; y A   y   xA  m Khi hai giao điểm  với  A  B  xB ; yB   y B   xB  m Hai điểm A, B cách đường thẳng   d  A,    d  B ,    xA  y A  22   xB  y B  22  42  xA  y A     xB  yB   (vì xA  xB )   xA  xB   4m     m   m  (thoả mãn * ) Chọn đáp án D x 1 Xác định m để đường x2 thẳng y  x  m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A, B cho trọng tâm tam giác OAB nằm Ví dụ 33 (Trường THPT Chuyên Bắc Kan năm 2017) Cho hàm số y  đường tròn x  y  y  LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG Bài tốn cho trở thành tìm m để phương trình (2) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1   t2 hay 3m  Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh  m  3   m  3 m  m  1    A B C D  15 15 m  m   m   15  m  Giải x 1  xm x2  x    x  m  x    g  x   x   m   x  m    x   * Xét phương trình hồnh độ giao điểm: Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt (*) có nghiệm phân biệt khác    m  3   2m  1  m  2m  13  0, m   g    3  x  x   m Theo định lí Viét ta có:   x1 x2  2m  Gọi G trọng tâm OAB , I trung điểm AB  x  x x  x  2m   3m 3 m   OG  OI với I  ; ;  I  2        3m 3 m  Khi G  ;  OG  OI   Mà G thuộc đường tròn x  y  y  Thay tọa độ G vào ta được: 15  2 m 3m  3 m   3 m   4 Chọn đáp án B            m  3 Vi dụ 34 (Trường THPT Chu Văn An lần năm 2017) Biết đường thẳng d : y  3x  m cắt đồ 2x  hai điểm phân biệt A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đồ thị (C), với x 1 O  0;  gốc tọa độ Khi giá trị tham số m thuộc tập hợp sau đây? thị  C  : y  A  ; 3 B  3;   C  2;3 D  5; 2  Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng 2x 1  3x  m  g  x   3x   m  1 x  m    x  1 1 x 1 Để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác    m  1  4.3  m  1  m  10m  11   m  1   * m   11 g        Với điều kiện d cắt (C) điểm phân biệt A  xA ; 3 x A  m  ; B  xB ; 3 xB  m  Theo Viet ta có: x A  xB  1 m Gọi G trọng tâm ∆ABC Khi đó: LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG Giả sử A  x1 ; x1  m  ; B  x2 ; x2  m  toạ độ giao điểm Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh x  xB  xO m   xG  A    m 1 m 1  G ;      y  y A  yB  yO  3  x A  xB   2m  m   G 3 Vì điểm G thuộc (C) nên  15  13 m 1 x  1,51 1  m 1   m  15m  25    (thoả mãn * ) m 1  15  13 1  16,51 x   Chọn đáp án B x  C  đường thẳng x 1 d : y   x  m Khi số giá trị m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB (O gốc tọa độ) có bán kính đường trịn ngoại tiếp 2 là: A B C D Giải Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: x  g  x   x  mx  m   x  m    * x 1  x  Để đường thẳng cắt đồ thị hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác     m   ;0    4;    g 1  Gọi x1 , x2 hai nghiệm (*) Suy A  x1 ;  x1  m  , B  x2 ;  x2  m  Ta có OA  x12   m  x1   x12  2mx1  m  m  2m Tương tự: OB  m  2m Mặt khác R  m  OA.OB  m2  4  (thoả mãn) Chọn đáp án B d  O,  d    m  2 2x 1 (C) Số giá trị m để đường thẳng d : y  x  m cắt (C) hai x 1 điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O A B C D Giải Cách Phương trình hồnh độ giao điểm d (C) là: 2x   x  m  g  x   x   m  3 x   m  ( x  không nghiệm) x 1 Để đường thẳng cắt đồ thị hai điểm phân biệt  g  x   có hai nghiệm phân biệt khác Ví dụ 36 Cho hàm số y    m  2m   0, m   g 1  1   g  x   ln có nghiệm nên đường thẳng cắt đồ thị (C) hai điểm A, B Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  với x1 , x2 nghiệm phương trình g  x   y1  x1  m; y2  x2  m LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG Ví dụ 35 (Trường THPT Triệu Sơn lần năm 2017) Cho hàm số y  Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh Theo định lý viét ta có x1  x2  m  x1 x2   m   Để OAB vng O OA.OB   x1 x2  y1 y2  x1 x2   x1  m  x2  m    xA xB  m  x A  xB   m2   m  2 Chọn đáp án C Cách Áp dụng kết coi cơng thức tính nhanh y  yO x1  m Hệ số góc đường thẳng OA kOA   x2  xO x1 y2  yO x2  m  x2  xO x2 LỚP TOÁN THẦY LONG Để OAB vuông O  kOA kOB  1  x1  m x2  m  1  x1 x2   x1  m  x2  m   x1 x2 Vậy m  2 giá trị cần tìm Chọn đáp án C 2x  Ví dụ 37 Cho hàm số y  có đồ thị (C) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng x2 y  x  m cắt (C) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến (C) hai điểm song song với A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (C) là: 2x   x  m  g  x   x   m   x  2m   ( x  không nghiệm phương trình) x2 Đường thẳng d cắt (C) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến song song với  (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác thoả mãn y’  x1   y’  x2   7  7  x1    x2   2   x1     x2    x1     x2    x1  x2  x1  x2 (loại) (vì x1  x2 )    m  2   2m  3  m2  4m  60  0, m  6m    x1  x2  4  m  2   g    7   Vậy m  2 giá trị cần tìm Chọn đáp án C Nhận xét: Ta xây dựng cơng thức tính nhanh sau Để tiếp tuyến M , N song song f '  x1   f '  x2   ad  bc  cx1  d  2  ad  bc  cx2  d    cx1  d    cx2  d   cx1  d  cx2  d  x1  x2   2d c Áp dụng m  2 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI Hệ số góc đường thẳng OB kOB  Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh Dạng Tương giao hàm trùng phương đường thẳng Bài toán tổng quát 1: Cho hàm số y  ax  bx  c (với a  a, b, c phụ thuộc tham số) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d (hoặc trục Ox ) n điểm a Phương pháp 1: Sử dụng kiến thức lớp 10  Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị trục Ox ax  bx  c  1 (Số giao điểm đồ thị trục Ox nghiệm phương trình 1 ) - Đặt t  x ta phương trình at  bt  c    - Một nghiệm dương   ứng với hai nghiệm 1 - Vậy điều kiện cần đủ để phương trình 1 có nghiệm phương trình   có t  x  ax  bx  c   a     nghiệm không âm tức  g  t   at  bt  c   Một số yêu cầu nghiệm o     1 có nghiệm    có nghiệm dương   P  S  0 2 o o o P   có nghiệm  có nghiệm dương nghiệm     S     1 có nghiệm    có nghiệm dương  P   S   1 có nghiệm    có nghiệm thỏa t1   t2 t1  t2  P       S  S         o 1 vô nghiệm    vơ nghiệm có nghiệm âm     P  S  0 2 Nhận xét: Trong nhiều trường hợp mà ta đốn trước nghiệm nghiệm… việc biện luận số nghiệm trường hợp trở nên đơn giản b Phương pháp đồ thị: Chỉ áp dụng cô lập m sang bên hàm số sang bên  Nếu hàm số tách hàm trùng phương ta có kết a0 a0 o 1 có nghiệm  y CT  f  m   yCĐ o 1 có nghiệm  yCT  f  m   yCĐ o 1 có nghiệm  f  m   yCĐ o 1 có nghiệm  f  m   yCT LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG t  x2  x   t Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh  f  m   yCT  f  m   yCĐ o 1 có nghiệm   o 1 có nghiệm    f  m   yCĐ  f  m   yCT o 1 vô nghiệm  f  m   yCT o 1 vô nghiệm  f  m   yCĐ  Phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương 15    2m    '   11   t1  t2   8   m 2 t t  5  2m  12  Cách Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị y  x  x  đường thẳng y  2m x   y  Ta có y '  x3  16 x     x  2  y  11 11 Để có giao điểm 11  2m     m  Chọn đáp án D 2 Ví dụ 39 (Trường THPT Chuyên Bình lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số  Cm  : y  x  mx  m  cắt trục hoành bốn điểm phân biệt A m  m  B  m  C khơng có m D m  Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x  mx  m   1 Cách Đặt t  x , t  ta phương trình t  mt  m     Phương trình 1 có nghiệm phân biệt phương trình   có hai nghiệm phân biệt dương  m  2    m2   m  1    m   t1  t2  m   m   m  t t  m   m  1   Cách Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  d x  mx  m    x   m  x  1 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG Nếu hàm số tách hàm ta sử dụng phương pháp hàm số, nhiên phương pháp nên áp dụng hàm tách hàm đơn giản b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 38 (Sở GD ĐT Điện Biên năm 2017) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x  x   2m  có nghiệm phân biệt 11 5 11 11 A   m  B m  C m   D   m  2 2 2 Giải Cách Đặt t  x , t  ta phương trình t  8t   2m  * Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh  x2    x  1 2   x  1 x  1  m  x  1     x  m   x  m  * m  Để  Cm  cắt d bốn điểm phân biệt   * có hai nghiệm phân biệt khác 1   m  Chọn đáp án B Nhận xét: Việc tách tham số m để khảo sát đơn giản hàm khảo sát lại hàm phân thức nên trường hợp ta không nên tách để khảo sát Ví dụ 40 (Trường THPT Quảng Xương lần năm 2017) Tất giá trị m   để đồ thị hàm số y  x  1  m  x  m  khơng cắt trục hồnh là: A m  B m  C m  D m  Đặt t  x  t    t  1  m  t  m   * Đồ thị khơng cắt trục hồnh   * có nghiệm âm vơ nghiệm    m  1  m     3m2 TH1  S  1  m     P  m   TH2    m  1  m    m  Kết hợp hai trường hợp ta m  giá trị cần tìm Chọn đáp án C Bài toán tổng quát 2: Cho hàm số y  ax  bx  c (với a  a , b, c phụ thuộc tham số) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d (hoặc trục Ox ) điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước a Phương pháp: Bước 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục Ox ax  bx  c  1 Đặt t  x , t  Khi ta phương trình at  bt  c    Để đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt  1 có nghiệm phân biệt    có hai nghiệm dương    '   phân biệt thỏa mãn  t1  t2   P   m  D  * S   Nhận xét: Phương trình (2) có hai nghiệm dương (giả sử  t1  t2 ), ứng với giá trị dương t ta giá trị đối x tức x   t Khi phương trình (1) có nghiệm phân biệt nghiệm xếp theo thứ tự  t2   t1  t1  t2 (do tính chất đối xứng hàm chẵn) với t1 , t2 nghiệm phương trình (2) Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới phương trình bất phương trình theo tham số, giải phương trình ta tham số sau đối chiếu với điều kiện (*) kết luận b Ví dụ minh hoạ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG Giải Xét phương trình x  1  m  x  m2   Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh Ví dụ 41 Cho hàm số y  x  m  10 x  có đồ thị  Cm  Số giá trị tham số m để đồ thị   Cm  hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt A Giải B x1 , x2 , x3 , x4 thỏa x1  x2  x3  x4  C D   Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  Ox x  m  10 x   1   Đặt t  x  t   Phương trình 1 trở thành: t  m2  10 t     Để đồ thị  Cm  cắt trục Ox điểm phân biệt    có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn    m  10  36  m  m  16  0, m    t1  t2   P    S  m2  10   Vì hàm số cho hàm số chẵn theo giả thiết     x1  x2  x3  x4   t1  t2   t1  t2  t1 t2  16 (*) b c  m2  10, t1t2   a a Thay vào phương trình (*) ta được: m  10  10  m  Vậy m  giá trị cần tìm Chọn đáp án C Áp dụng Viet t1  t2  Ví dụ 42 [NTL] Cho hàm số y  x   m  1 x  m2  m  1 (với m tham số thực) Giả sử đồ thị 1 cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 Đặt T  x1 x2  x1 x3  x1 x4  x2 x3  x2 x4  x3 x4 Khẳng định sau đúng? A T  B T  C T  Giải Cách Tự luận Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số 1 trục Ox D T  x   m  1 x  m2  m   Đặt t  x , t  , ta phương trình t   m  1 t  m  m     Để đồ thị cắt đường thẳng điểm phân biệt  Phương trình   có nghiệm phân biệt dương thỏa  '  m    mãn t2  t1    P   m  1   m  (*)   S  m  m   0, m Gọi t1 , t2 hai nghiệm dương phân biệt   , x1,2   t1 , x3,4   t2 Nhận thấy nghiệm phân biệt có cặp đối dấu nên x1  x2  x3  x4  Mặt khác  x1  x2  x3  x4    x1 x2  x1 x3  x1 x4  x2 x3  x2 x4  x3 x4   x12  x22  x32  x42    2T   T  (do điểm phân biệt nên không xảy dấu bằng) Chọn đáp án D Cách 2: Chọn hàm đại diện để kiểm tra LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG  Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh Chọn y  x  x  Dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ x1   3; x2  1; x3  1; x4  T  x1 x2  x1 x3  x1 x4  x2 x3  x2 x4  x3 x4        4 Chọn đáp án D Ví dụ 43 Tìm m để đường thẳng y  1 cắt đồ thị y  x   3m   x  3m điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ A m     m  B  m  C m    m  D  m   Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng y  1 Đường thẳng y  1 cắt  Cm  điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 <  0  3m     m    m   m       m  Vậy giá trị cần tìm  Chọn đáp án B m  Ví dụ 44 Cho hàm số y  x   m  1 x  2m  với m tham số Tính tổng giá trị tham số m để đường đồ thị cắt đường thẳng y  bốn điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x14  x24  x34  x44  10 A 2 B C Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng y  D 4  x2  x   m  1 x  2m    x   m  1 x  m      x  m  1 Để đường thẳng cắt đồ thị điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 2 m   m    * m   m  Với điều kiện * ta có nghiệm phương trình x   2; x   m  Ta có x14  x24  x34  x44  10         m    10    m       Kết hợp với điều kiện * ta m  giá trị cần tìm Chọn đáp án B LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG m   m  2  SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG  x  1 x –  3m   x  3m  1  x – 3m   x  3m      x  3m   * Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh Ví dụ 45 Cho hàm số y  x  2mx  m   Cm  Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị  Cm  cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ thoả mãn x1  x2  x3    x4 A B C Giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm x  2mx  m   D (1) Đặt t  x điều kiện t  Phương trình trở thành t  2mt  m   (2) Giả sử phương trinh (2) có nghiệm thỏa mãn  t1  t2 phương trình (1) có nghiệm x1   t2  x2   t1  x3  t1  x4  t2   13 m      m2  m       13  13  S  2 m  m   3  m      2 P  m   m  t    t 1 t1    t2  m    t    t 1  t1  1 t2  1  t1   t2 Ta có t1    t2     t1   t2  t1   t2    Thay m từ định lý Vi-et ta có  m    m   2m   19  m   m   8m  16  m   19  (*) t1t2   t1  t2     t1t2   t1  t2   16  19   3  m    2,1 Kết hợp với (*) ta có   m  giá trị cần tìm Chọn đáp án D  m   Bài toán tổng quát 3: Tìm điều kiện để đồ thị  C  : y  ax  bx  c   a   cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng a Phương pháp: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị  C  trục Ox ax  bx  c  1 Đặt t  x ta phương trình at  bt  c    Phương trình 1 có nghiệm phân biệt    có nghiệm dương phân biệt t1 , t2 (giả sử t1  t2 )      S   m  D  * P   Khi nghiệm 1  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TỐN THẦY LONG Bài tốn trở thành tìm m để phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt thỏa mãn: t1    t2 Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh Vì  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng nên t2  t1  t1   t1  t2  9t1   b  b t1    c  t  t   100ac 1  10 a t1t2  a    b2  a   t1  9t2 t   9b  10 a Ta có bảng điều kiện để phương trình trùng phương ax  bx  c   a   cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng   a  0; b  0; c   b  4ac   100 ac b   b Ví dụ minh hoạ:  a  0; b  0; c   b  ac   100ac b   Ví dụ 46 Cho hàm số y   x   m   x  2m  Cm  Tính tổng giá trị tham số m để đồ thị Cm  cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng A B  13 C 14 D 40 Giải Phương trình hồnh độ giao điểm  x   m   x  2m   1 Đặt t  x , t  ta phương trình t   m   t  2m     Đồ thị  Cm  cắt trục hoành bốn điểm phân biệt  1 có bốn nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 ( x1  x2  x3  x4 )    có hai nghiệm dương phân biệt  t1  t2   '   m    2m     S   m      P  2m      m  1    m    m  2    m  1 m    LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG b c  t1  t2   ; t1t2  Theo định lý vi-et ta có hệ  a a  m đối chiếu với * kết luận t1  9t2 Từ phương pháp giải ta xây dựng cơng thức tính nhanh sau   a  0; b  0; c  b  4ac  b  4ac        b   b  4ac   ab     S     a  0; b  0; c  P   a ac      c  b  4ac   a  Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh t  t   m   (a ) Theo định lí Viet, ta có:  Khi phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt: (b ) t1t2  2m  x1   t2  x2   t1  x3  t1  x4  t2 Ta có x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng  x2  x1  x3  x2  x4  x3   t1  t2  t1  t1  t2  t1  t2  9t1 (c )  m  2 , t2   m   Thế vào (b), ta được: 5 m   m    m    2m   9m  14m  39    13 (thỏa mãn (*)) 5 m  13 Vậy m1  m2   giá trị cần tìm 13 14 Tổng giá trị tham số m1  m2    Chọn đáp án C Nhận xét: Cách giải để ta hiểu chất để thi trắc nghiệm ta giải nhanh sau Áp dụng cơng thức tính nhanh: m      2 m    m   ; m  1  a  0; b  0; c      b  ac    m    m    2m     9m  14m  39    100ac  m   13 b  4 m  2  100  1 2m  3    9     Ví dụ 47 Cho hàm số y   x  x  1 Có giá trị tham số m để đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số 1 điểm phân biệt A, B, C , D cho AB  BC  CD A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số (1)  x  5x   m  x  x   m  Đặt t  x , t  , ta phương trình t  5t   m  (2) Để đồ thị cắt đường thẳng điểm phân biệt  Phương trình (2) có nghiệm phân biệt dương thỏa mãn t2  t1      4m     P   m   4  m   * S         Khi điểm tương ứng có tọa độ A  t2 ; m , B  t1 ; m , C   t1 ; m , D  t2 ; m với t1 , t2 nghiệm phương trình (2) Theo giả thiết AB  BC  CD   t1  t2  t1  t2  t1  t2  9t1 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG Từ (a) (c), ta có t1  để đồ thị hàm số y  x  x  đồ thị hàm số y  15 x   m  10m  10  cắt bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng m  12 m  m  m  12 A  B  C  D  m  m   m  12  m  2 Giải Áp dụng cơng thức tính nhanh ta có  m2  10m  12   a  0; b  0; c     b  ac    100   m  10m  12   9b  100ac  2  9  20   100.1  m  10m  12   m  12  m  10m  24    Chọn đáp án A m  Do phương trình bậc hai có nghiệm xấu nên giải lâu, ta kiểm tra máy tính sau Calc  0;  Nhập m2  10m  12 :100   m  10m  12   m 12; m  Bài toán tổng quát 4: Tìm m để hàm số y  ax  bx  c  a   có đồ thị  C  , cắt trục hồnh điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C  , trục hồnh có diện tích trục hồnh diện tích phần phía trục hồnh a Phương pháp giải:  CĐ; CT Cách Để thoả mãn yêu cầu tốn   yu  b Ta có y '  4ax3  2bx  y ''  12ax  2b   x   6a 5b  36ac 36  b   b   yu  a     b     c  ; yu   5b  36ac   b  ac a a 36 a     LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh  t1  t1  t2   9   Theo định lý viet ta có t1 t2   m  t2     m  m   thỏa mãn * 4 t  9t  2 t t   m 1   Vậy m   giá trị cần tìm Chọn đáp án D Nhận xét: Bài toán thực chất toán điểm lập thành cấp số cộng ta áp dụng cơng thức tính nhanh sau:    4  m   a  0; b  0; c  4  m     m7  9  m   b  4ac    m   100ac 100.1   m  b  25     Ví dụ 48 (Trường THPT Thanh Chương lần năm 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Tốn - Lý - Hóa - Anh Để hàm số có cực đại, cực tiểu  ab  ab   Vậy từ ta có cơng thức tính nhanh sau  36 b  ac Cách Ứng dụng tích phân (Xem ví dụ 48) b Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 49 Cho hàm số y  x   m  1 x  m , có đồ thị  Cm  Có giá trị tham số m  m  1 để đồ thị  Cm  cắt trục điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị Cm  , trục hoành có diện tích trục hồnh diện tích phần phía trục hồnh Đặt t  x  t   ta phương trình t   m  1 t  m    Phương trình 1 có nghiệm phân biệt phương trình   có hai nghiệm phân biệt dương    m  1  m  m    P  m   m  S  m    Khi phương trình   có hai nghiệm phân biệt t  1; t  m nên phương trình 1 có nghiệm x1   m  x2  1  x3   x4  m Nhận xét hàm số y  x   m  1 x  m hàm chẵn (nhận Oy làm trục đối xứng) nên diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  Cm  trục hồnh có phần phía phần phía trục hồnh S H1  S H m   x   m  1 x  m dx   x   m  1 x  m dx 1 m    x   m  1 x  m  dx     x   m  1 x  m  dx m    x   m  1 x  x5  m x3  m  dx      m  1  mx  0  0 m m 1    m   m  (thoả mãn) Chọn đáp án D Chú ý: Trong trường hợp khơng tính nghiệm cụ thể ta làm sau t2   x   m  1 x  t   x5  t x3  m  dx      m  1  mx    0  t   m  1 m 2  t    t5   m  1 t3  m  3 2 Vì t2 nghiệm   nên t22   m  1 t2  m    Từ     ta tìm m  LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI LỚP TOÁN THẦY LONG A B C D Giải Cách Ứng dụng tích phân Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  trục hoành x   m  1 x  m  1 Giáo viên: Nguyễn Thành Long – Đz vbb – Fb: Nguyễn Thành Long (Thầy Long Toán) Alo: 0944750911 - Admin Gr: Chinh phục 8+ Toán - Lý - Hóa - Anh Cách Áp dụng cơng thức tính nhanh Với m   ab    m  1  nên hàm số ln có cực đại cực tiểu Áp dụng công thức m  36 36 2 b  ac   m  1  1.m  5m  26 m      m   lo¹i  5  Vậy m  giá trị cần tìm Chọn đáp án D Ví dụ 50 (Trường THPT Chu Văn An – 2017) Cho hàm số y  x  3x  m , có đồ thị  Cm  , với m tham số thực Giả sử  Cm  cắt trục Ox bốn điểm phân biệt hình vẽ Gọi S1 ; S2 ; S3 diện tích miền gạch chéo hình vẽ Tìm m để S1  S2  S3 LỚP TỐN THẦY LONG C m  5 B m   D m  5 Giải Áp dụng cơng thức tính nhanh Vì ab  hàm số ln có cực đại cực tiểu 36 36 Để S1  S  S  b  ac   m  m   D 5 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TẠI BỈM SƠN – HÀ TRUNG SIỀU CẤP ĐẸP TRAI A m   ... 1 m x1 x2  2 AB   m2   x2  x1  2   y  y1    x2  x1   20 x1 x2    1 m m 8  d  O, AB  AB    2  m4  8m2  48   m  m2   12  (loại)  m  ? ?2 Vậy m  ? ?2 giá trị... m   Giả sử giao điểm A  0;1 , B  x1; x1  1 , C  x2 ; x2  1  x1  x2  Theo định lý Vi-et ta có:   x1 x2  m  Giả thiết x 12  x 22  x 32    x1  x2   x1 x2    2m    m ... xB  m   xB  ? ?2 xA  m   2  m  x A  xB    m2  xA  xB   12  m2 m2   12  m  8m2  48   m2   m  ? ?2 2x 1 (H) Với giá trị m, đường thẳng dm qua điểm A  ? ?2;  x 1 có hệ số