I Tóm tắt: Tóm tắt ĐN: ̂ = 𝛼 điểm tương ứng M(𝑥0 ; 𝑦0 ) Lúc Góc 𝑥𝑂𝑀 đó: sin = 𝑦0 , cos = 𝑥0 , tan = x0 y0 với 𝑥0 ≠ 0,cot = với 𝑦0 ≠ y0 x0 −1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≤ 1; −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ≤ Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt: 𝜋 𝜋 Cung đối nhau: VD 𝑣à − cos(−𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 sin(−𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼 tan(−𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼 cot(−𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝛼 𝜋 𝜋 Cung phụ nhau: VD 𝑣à 𝜋 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝜋 𝑠𝑖𝑛 ( − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝜋 𝑡𝑎𝑛 ( − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑡𝛼 𝜋 𝑐𝑜𝑡 ( − 𝛼) = 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝜋 𝜋 5𝜋 Cung bù nhau: VD 𝑣à cos(𝜋 − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼 sin(𝜋 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛼 tan(𝜋 − 𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼 cot(𝜋 − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝛼 𝜋 𝜋 2𝜋 Cung : VD 𝑣à 𝜋 𝑐𝑜𝑠 ( + 𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼 𝜋 𝑠𝑖𝑛 ( + 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝜋 𝑡𝑎𝑛 ( + 𝛼) = −𝑐𝑜𝑡𝛼 𝜋 𝑐𝑜𝑡 ( + 𝛼) = −𝑡𝑎𝑛𝛼 7𝜋 Cung 𝝅: VD 𝑣à cos(𝜋 + 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼 sin(𝜋 + 𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼 tan(𝜋 + 𝛼) = 𝑡𝑎𝑛𝛼 cot(𝜋 + 𝛼) = 𝑐𝑜𝑡𝛼 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Các hệ thức bản: 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 1 Công thức biến đổi tổng thành tích: Cơng thức cộng: cos(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 cos(𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝑏 = −2𝑠𝑖𝑛 tan(𝑎 + 𝑏) = tan(𝑎 − 𝑏) = 𝑡𝑎𝑛𝑎 + 𝑡𝑎𝑛𝑏 − 𝑡𝑎𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑏 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑐𝑜𝑠 2 𝑠𝑖𝑛𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑠𝑖𝑛 2 𝑡𝑎𝑛𝑎 + 𝑡𝑎𝑛𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏) 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑡𝑎𝑛𝑎 − 𝑡𝑎𝑛𝑏 = sin(𝑎 − 𝑏) 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑡𝑎𝑛𝑎 − 𝑡𝑎𝑛𝑏 + 𝑡𝑎𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑏 4.Cơng thức biến đổi tích thành tổng: 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 = [𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏)] 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝑏 = 2𝑠𝑖𝑛 sin(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 sin(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑐𝑜𝑠 2 [𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏) − 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏)] Cơng thức góc nhân đơi: 𝑐𝑜𝑠2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑎 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑎 − = − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑎 𝑠𝑖𝑛2𝑎 = 2𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 = [𝑠𝑖𝑛(𝑎 + 𝑏) + 𝑠𝑖𝑛(𝑎 − 𝑏)] 𝑡𝑎𝑛2𝑎 = 6.Công thức hạ bậc: 𝑐𝑜𝑠 𝑎 = + 𝑐𝑜𝑠2𝑎 𝑡𝑎𝑛2 𝑎 = 2𝑡𝑎𝑛𝑎 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑎 Công thức góc nhân ba: ; 𝑠𝑖𝑛2 𝑎 = − 𝑐𝑜𝑠2𝑎 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎 𝑐𝑜𝑠3𝑎 = 4𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 3𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑛3𝑎 = 3𝑠𝑖𝑛𝑎 − 4𝑠𝑖𝑛3 𝑎 8.Các trường hợp đặc biệt: 𝑠𝑖𝑛𝑥 = ⇔ 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ⟺ 𝑥 = 𝑘2𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = − + 𝑘2𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ⟺ 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 = ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋 II Bài tập: Bài 1: Chứng minh rằng: a) 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 a) 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝜋 + 𝑘𝜋 b) (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 =1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 Bài giải − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = = = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 b) (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 Bài 2: Tìm giá trị lượng giác lại góc 𝑥 biết: = a) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = < 𝑥 < 𝜋 b) 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 < a) Bài giải a) Ta có 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = Vì < 𝑥 < 𝜋 b) Ta có : 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 = ⟹ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Vì 𝑐𝑜𝑠𝑥 < nên 𝑐𝑜𝑠𝑥 = nên 𝑐𝑜𝑠𝑥 > + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 2√2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 = = 𝑐𝑜𝑠𝑥 2√2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 = = 2√2 𝑠𝑖𝑛𝑥 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = III √5 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = √5 Bài tập rèn luyện: Bài 1: Chứng minh rằng: a) (sin𝑥 - cos𝑥)2 = - 2sin𝑥cos𝑥 b) tan x cot x sin2x c) sin4𝑥 – cos4𝑥 = 2sin2𝑥 – d) 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 Bài 2: Tìm giá trị lượng giác lại góc 𝑥 biết: a) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = − , 𝜋 < 𝑥 < b) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = , 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 3𝜋 2 c) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 < d) 𝑡𝑎𝑛𝑥 = −2 , 𝑐𝑜𝑠𝑥 > Bài 3: 3sin cos sin cos cot tan b) Biết sin𝛼 = Tính giá trị biểu thức: B = cot tan Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào 𝑥 a) Biết tan = √2 Tính giá trị biểu thức: A = a) 𝐴 = sin4 𝑥 − cos4 𝑥 − sin2 𝑥 + 1+𝑐𝑜𝑠2 𝑥 c) 𝐶 = 1−𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑡 𝑥 b) 𝐵 = (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + (𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 𝑐𝑜𝑡𝑥+1 𝑑) 𝐷 = 𝑡𝑎𝑛𝑥−1 + 𝑐𝑜𝑡𝑥−1 ...