Bài toán định vị với hàm mục tiêu lồi

Bài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồiBài toán định vị với hàm mục tiêu lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM XUÂN HÀ BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VỚI HÀM MỤC TIÊU LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu Lời nói đầu Kiến thức bổ trợ 1.1 1.2 Tập lồi Tập a-phin 1.3 1.4 Định lí tách tập lồi Bao lồi 10 1.5 Hàm lồi cực trị hàm lồi 1.5.1 Cực tiểu hàm lồi (cực đại hàm lõm) 11 14 1.5.2 15 Cực tiểu hàm lồi mạnh Bài toán định vị với hàm mục tiêu lồi 18 2.1 Về toán quy hoạch lồi 2.1.1 Bài toán định nghĩa 18 18 2.1.2 2.1.3 Sự tồn nghiệm tối ưu Điều kiện tối ưu 19 20 2.2 Bài toán định vị với hàm mục tiêu lồi 24 2.3 Thuật toán đạo hàm giải toán định vị với hàm mục tiêu mimax 26 2.3.1 2.3.2 27 32 Kết luận Thuật tốn hội tụ Các khía cạnh kết tính tốn 35 ii Tài liệu tham khảo 36 Bảng ký hiệu R tập số thực Rn xi không gian Euclid n-chiều trường số thực tọa độ thứ i x x, y tích vơ hướng hai vectơ x y x [x, y] chuẩn vectơ x đoạn thẳng đóng nối x y (x, y) A đoạn thẳng mở nối x y bao đóng A coA intA bao lồi A tập hợp điểm A riA V (A) tập hợp điểm tương đối A tập hợp điểm cực biên(đỉnh) A f convP hàm bao đóng hàm f bao lồi P dom f tập hữu dụng f epi f ∂ f (x) đồ thị f vi phân f x ∇ f (x) ∇ f (x, d) đạo hàm f x đạo hàm theo phương d f x Lời nói đầu Một vấn đề quan trọng hình học xác định vị trí điểm, với điều kiện định, cho đạt mục tiêu tốt theo tiêu chuẩn Bài toán định vị đơn giản mà ta gặp chương trình tốn phổ thơng tốn tìm điểm tam giác cho, cho tổng khoảng cách từ điểm đến ba đỉnh tam giác nhỏ Bài toán định vị có nhiều ứng dụng thực tế Ví dụ, cần xây dựng bệnh viện, nhà máy, trạm xăng, bến xe, hay hệ thống giao thông nối điểm quan trọng với câu hỏi đặt vị trí xây dựng tối ưu, thuận tiện cho đảm bảo việc thỏa mãn nhu cầu người sử dụng tốt để đem lại thu hút lợi ích nhiều Ví dụ xây dựng trạm đổ xăng hay bến xe cần tính tốn cho khoảng cách tới khu dân cư đông đúc ngắn nhất, thuận tiện đường nhất, , xây dựng hệ thống giao thơng xây dựng để hệ thống giao thơng có độ dài ngắn nhất, tiết kiệm chi phí xây dựng, thuận tiện cho việc sử dụng sau Một ví dụ quan trọng khác toán định vị, gần nghiên cứu là xây dựng trạm phát bưu viễn thơng để bảo đảm tín hiệu tốt Bài toán định vị thường xuất lĩnh vực thực tế, việc xác định vị trí điểm thuộc miền cho trước cho đạt mục tiêu tốt theo tiêu chuẩn Đây đề tài nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Chính tác giả chọn đề tài: Bài tốn định vị với hàm mục tiêu lồi Bài luận văn nhằm giới thiệu chi tiết toán định vị, sâu vào tốn có hàm mục tiêu lồi Cụ thể trình bày thuật toán coi cải biên thuật toán vi phân để giải toán định vị trường hợp số điểm cho trước lớn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức bổ trợ Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, cực trị hàm lồi, toán định vị kiến thức tảng, cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu giải đề tài Chương 2: Bài toán định vị với hàm mục tiêu lồi Chương trình bày cách tổng quan toán định vị với hàm mục tiêu lồi tốn tìm điểm (hay vị trí) miền xác định cho khoảng cách lớn từ điểm (vị trí) tới điểm (vị trí) cho trước nhỏ Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Tác giả luận văn xin cam đoan tính hợp pháp tính đắn luận văn Luận văn tổng hợp kiến thức lý thuyết kết nghiên cứu Bài toán định vị với hàm mục tiêu lồi Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Phạm Xuân Hà Chương Kiến thức bổ trợ Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, cực trị hàm lồi, toán định vị kiến thức tảng, cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu giải đề tài Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [3], [6] [7] 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Một tập C ⊆ R tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm x, y ∈ C, tức là: x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λ x + (1 − λ ) y ∈ C (1.1) Ta nói x tổ hợp lồi điểm x1 , , xk k x = ∑ λ j x j , λ j ≥ 0, ∀ j = z k j=1 k ∑ λ j = j=1 Mệnh đề 1.1.2 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là, C lồi khi: k ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : x = k ∑ λ j = 1, ∀x , , x j=1 k ∈C ⇒ ∑ λ j x j ∈ C j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần qui nạp theo số điểm Với k = 2, từ điều kiện cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k − điểm, ta cần chứng minh mệnh đề với k điểm Giả sử x1 , , xk ∈ C tổ hợp lồi k điểm Tức là: k k j=1 j=1 x = ∑ λ j x j , λ j > 0, ∀ j = k , ∑ λ j = k−1 Đặt ξ = ∑ λ j , < ξ < j=1 k−1 k−1 λ j=1 ξ x = ∑ λ j x j + λk xk = ξ ∑ k−1 λ ∑ j=1 ξ j = λj ξ j=1 j x j + x k λk , > 0, ∀ j = 1, , k − 1, k−1 λ nên theo giả thiết qui nạp, điểm y = ∑ j=1 ξ j ∈ C k Ta có: x = ξ y + λk xk , ξ > 0, λk > ξ + λk = ∑ λi = nên x tập j=1 hợp lồi điểm y 1.2 xk thuộc C Vậy x ∈ C Tập a-phin Định nghĩa 1.2.1 Tập C ⊆ R , gọi tập a-phin, nếu: ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λ x + (1 − λ ) ∀y ∈ C (1.2) Từ định nghĩa cho thấy tập a-phin trường hợp riêng tập lồi Các không gian con, siêu phẳng v.v trường hợp riêng tập a-phin Một ví dụ tập a-phin siêu phẳng định nghĩa dây Định nghĩa 1.2.2 Siêu phẳng không gian Rn tập hợp điểm có dạng: x ∈ Rn aT x = α , a ∈ R véc tơ khác α ∈ R Véc-tơ a thường gọi véc-tơ pháp tuyến siêu phẳng Định nghĩa 1.2.3 Bao a-phin tập X ⊂ Rn tập tất tổ hợp a-phin điểm thuộc Kí hiệu bao a-phin X affX 1.3 Định lí tách tập lồi Định nghĩa 1.3.1 Nửa khơng gian đóng tập hợp có dạng x aT x ≥ α , a = a ∈ R Tập x aT x > α nửa không gian mở Định nghĩa 1.3.2 Một tập gọi tập lồi đa diện giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Nhận xét 1.3.3 (i) Rn , ∅ tập lồi đa diện (ii) Tập lồi đa diện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau: D := x ∈ Rn a j , x ≤ b j , j = 1, , m , a j ∈ Rn , j = 1, m, b j ∈ R, j = 1, m Hoặc ký hiệu A ma trận có m-hàng véc-tơ a j với j = 1, , m véc-tơ bT = (b1 , , bm ), hệ viết D := {x ∈ Rn |Ax ≤ b} Chú ý rằng, phương trình: a, x = b viết cách tương đương dạng hai bất phương trình: a, x ≤ b −a, x ≤ b nên tập nghiệm hệ hữu hạn phương trình bất phương trình tập lồi đa diện Định nghĩa 1.3.4 Cho hai tập C D khác rỗng (i) Ta nói siêu phẳng aT x = α tách C D aT x ≤ α ≤ aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D (ii) Ta nói siêu phẳng aT x = α tách chặt C D aT x < α < aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D (iii) Ta nói siêu phẳng aT x = α tách mạnh C D sup aT x < α < inf aT y y∈D x∈C Định nghĩa 1.3.5 Một điểm a ∈ C gọi điểm tương đối C điểm C theo tô-pô cảm sinh affC Kí hiệu tập điểm tương đối C riC Vậy riC := {a ∈ C| ∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} , B lân cận mở gốc Hiển nhiên riC := {a ∈ affC| ∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} Như thường lệ, ta kí hiệu C bao đóng C intC tập hợp điểm C Định nghĩa 1.3.6 Cho x0 ∈ C Ta nói aT x = α siêu phẳng tựa C x0 , aT x0 = α, aT x ≥ α ∀x ∈ C Định nghĩa 1.3.7 Cho C = ∅ (không thiết lồi) y véc-tơ bất kỳ, đặt dC (y) := inf x − y x∈C Ta nói dC (y) khoảng cách từ y đến C Nếu tồn π ∈ C cho dC (y) = π − y , ta nói π hình chiếu (vng góc) y C ký hiệu π = PC (y) Mệnh đề 1.3.8 Cho C tập lồi đóng khác rỗng Khi đó: (i) Vơi y ∈ Rn , π ∈ C hai tính chất sau tương đương: 22 Trường hợp 1: Tồn số i cho λi∗ > Khi thay x = x0 vào bất đẳng thức (3) ta m k m k i=1 j=1 i=1 j=1 = ∑ λi∗ gi (x∗ )+ ∑ µ ∗j h j (x∗ ) ≤ ∑ λi∗ gi (x0 )+ ∑ µ ∗j h j (x0 ) < (vô lý) Trường hợp 2: λi∗ = với i tồn j cho µ ∗j > 0, ta có 0= k k j=0 j=0 ∑ µ ∗j h j (x∗) ≤ ∑ µ ∗j h j (x) ∀x ∈ X Do intX = hi hàm a-phin với j nên ta có k ∑ µ ∗j h j (x) > ∀x ∈ X j=0 Theo giả thiết, hàm h j độc lập tuyến tính X, nên µ ∗j = ∀ j Điều mâu thuẫn với giả thiết λi∗ µ ∗j khơng đồng thời Do λ0∗ > chia vế (2) cho λ0∗ > 0, ta sử dụng hàm Lagrange tốn có (P) dạng m k i=1 j=1 L(x, λ , µ) = f (x) + ∑ λi∗ gi (x∗ )+ ∑ µ ∗j h j (x) Sử dụng điều kiện đạo hàm triệt tiêu điều kiện độ lệch bù, với nghiệm chấp nhận x∗ , ta có k m f (x∗ ) = f0 (x∗ ) + ∑ λi∗ gi (x∗ )+ ∑ µ ∗j h j (x∗ ) i=1 m j=1 k ≤ f0 (x) + ∑ λi∗ gi (x)+ ∑ µ ∗j h j (x) ≤ f (x) i=1 j=1 Điều chứng tỏ x∗ nghiệm tối ưu toán (P) Chú ý rằng, X tập mở (hơn X tồn khơng gian) theo Moreau-Rockfellar (trong [3]), điều kiện đạo hàm triệt tiêu kéo theo m k j=1 i=1 ∈ ∂ f (x∗ ) + ∑ λ j∗ ∂ g j (x∗ )+ ∑ µi∗ ∇hi (x∗ ) 23 Ví dụ 2.1.7 Áp dụng định lí cho tốn sau: f (x)| g j (x) ≤ 0, (i = 1, 2), x ∈ X , f (x) = x2 , g1 (x) = x2 − x, g2 (x) = −x, X = − 21 , 12 Giải: Ta có miền chấp nhận D = {x ∈ X| gi (x) ≤ (i = 1, 2)} = 0, 12 Giả sử tồn λi∗ ≥ 0(i = 0, 1, 2) không đồng thời cho 1) L(x∗ , λ ∗ ) = L(x, λ ∗ ) 2) λi∗ gi (x∗ ) = 0, i = 1, 3) λ0∗ > Từ Định lí 2.1.5 suy x∗ nghiệm tối ưu toán (P) xét ⇔ f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ (x∗ )2 ≤ x2 , ∀x ∈ D ⇔ x∗ = Ngược lại, x∗ = nghiệm toán (P) từ Định lí 2.1.5, suy tồn λi∗ ≥ 0(i = 0, 1, 2) không đồng thời cho: 1) L(x∗ , λ ∗ ) = L(x, λ ∗ ) 2) λi∗ gi (x∗ ) = 0, i = 1, Ta có L(x∗ , λ ∗ ) = L(x, λ ∗ ) ⇔ L(x, λ ∗ ) ≥ L(x∗ , λ ∗ ), ∀x ∈ X 2 ⇔ λ0∗ f (x) + ∑ λi∗ gi (x) ≥λ0∗ f (x∗ ) + ∑ λi∗ gi (x∗ ) ∀x ∈ X ⇔ i=1 ∗ ∗ λ0 x + λ1 (x2 − x) − λ2∗ x i=1 ≥ ∀x ∈ X Ta có λi∗ gi (x∗ ) = 0, (i = 1, 2) ⇔ λi∗ = 0, (i = 1, 2) ⇔ λi∗ ≥ 0, (i = 1, 2) Do λi∗ ≥ 0, i = 0, 1, không đồng thời nên ta có thể: + Chọn λ1∗ = λ2∗ = Ta có λ0∗ x2 + λ1∗ (x2 − x) − λ2∗ x ≥ ∀x ∈ X ⇔ λ0∗ x2 ≥ ∀x ∈ X ⇔ λ0∗ > ⇒ λ0∗ = 24 + Chọn λ1∗ = λ2∗ = Ta có λ0∗ x2 + λ1∗ (x2 − x) − λ2∗ x ≥ ∀x ∈ X ⇔ (λ0∗ + 1)x2 − 2x ≥ ∀x ∈ X suy không tông λ0∗ Chọn λ1∗ = 0, λ2∗ = Ta có λ0∗ x2 + λ1∗ (x2 − x) − λ2∗ x ≥ ∀x ∈ X ⇔ λ0∗ x2 − x ≥ ∀x ∈ X, suy không tông λ0∗ Chọn λ1∗ = 1, λ2∗ = Ta có λ0∗ x2 + λ1∗ (x2 − x) − λ2∗ x ≥ ∀x ∈ X ⇔ (λ0∗ + 1)x2 − x ≥ ∀x ∈ X, suy không tông λ0∗ Vậy x∗ nghiệm tối ưu toán (P) λ0∗ = 1, λ1∗ = λ2∗ = nhân tử Lagrange tương ứng 2.2 Bài toán định vị với hàm mục tiêu lồi Bài tốn định vị xét chương mô tả sau: Giả sử không gian Rn cho tập C gồm N điểm a1 , a2 , , aN Bài tốn u cầu tìm điểm x∗ tập C cho: f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ C, f ký hiệu hàm khoảng cách (theo nghĩa đó) Khoảng cách lấy theo chuẩn Euclid định nghĩa cách tổng quát phù hợp với yêu cầu cụ thể toán Chẳng hạn: N f (x) = ∑ x − i 25 N f (x) = max ∑ i=1,N x−a i , i nhiều trường hợp người ta thay khoảng cách hàm chi phí phụ thuộc vào điểm cần tìm Một trường hợp riêng xét tổng khoảng cách từ điểm cần tìm đến điểm khác nhỏ Một trường hợp riêng khác khoảng cách xa từ điểm cần tìm đến điểm khác nhỏ Gọi c(x, v) khoảng cách liên quan đến điểm x,v Khi mơ hình tốn học cho tốn tìm vị trí x ∈ D cho tổng chi phí nhỏ Cụ thể, tốn viết dạng toán tối ưu sau: p f (x) := ∑c x, v j : x ∈ D , (2.2) j=1 người ta thay hàm mục tiêu chi phí hàm mục tiêu khác tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể toán Một trường hợp hay sử dụng lấy hàm mục tiêu minmax Tức f1 (x) = max x(c, v j ) : j = 1, , p Ví dụ: Khi c(x, v j ) = x − v j hàm f1 (x) = max x − v j : j = 1, , p , tốn có dạng: { f1 (x) : x ∈ D} (2.3) có nghĩa từ điểm x∗ ∈ D cho khoảng cách xa từ x∗ đến điểm cho gần Hay nói cách khác, tốn (2.3) tốn định vị, dạng: Tìm x∗ ∈ D cho: f1 (x∗ ) f1 (x) ∀x ∈ D 26 2.3 Thuật toán đạo hàm giải toán định vị với hàm mục tiêu mimax Ở phần này, trình bày thuật tốn tốn sau xem cải biên thuật toán đạo hàm xét tài liệu [8] cho toán định vị với hàm mục tiêu minmax Như đề cập phần giới thiệu, để giải tốn, cần tìm điểm x tập lồi D cho trước cho khoảng cách lớn từ x đến điểm tập hữu hạn biết C ngắn Định nghĩa 2.3.1 Khoảng cách cực đại từ điểm x tới tập C nghĩa d(x,C) := maxy∈C x − y Khi tốn tối ưu phải giải là: d(x,C) x∈D Bổ đề 2.3.2 Gọi VC tập đỉnh convC Khi ta có (i) VC ⊆ C (ii) d (x,C) = max x−y y ∈ VC Chứng minh Ta thấy (i) suy từ định nghĩa tập VC Từ (ii), ta có d(x,C) = max x − y y∈C = max y∈conv(C) x−y = max x − y , y∈VC đẳng thức sau giá trị lớn hàm lồi tập lồi đạt điểm cực biên Bổ đề 2.3.3 Đặt v1 , , vm phần tử VC Khi ta có: (i) d(x,C) lồi mạnh với hệ số 2; (ii) ∂ d(.,C)(x) = conv(∪ j∈ j(x) ∂ d j (.,C)(x)), ∂ d j ( ,C)(x) vi phân hàm lồi d j ( ,C) x J(x) = j ∈ J| d(x,C) = d j (x,C) 27 Chứng minh Từ Bổ đề 1.5.2(i) suy d(x,C) = max x − v j j∈J = max d j (x,C) j∈J Theo Bổ đề 1.5.2(i), với j ∈ J hàm d j (x,C) = x − v j lồi mạnh với hệ số Do khẳng định (i) nhận từ (ii) Bổ đề 1.5.2, khẳng định (ii) tn theo d(x,C) Từ khía cạnh tính tốn, việc tính giá trị hàm mục tiêu d(x,C) điểm C tốn số điểm C nhiều May thay, nhờ có Bổ đề 2.3.2(i), để cực tiểu hàm d(x,C), ta cần phải xét đỉnh bao lồi C Ta chứng minh Bổ đề sau để chứng minh hội tụ thuật toán Bổ đề 2.3.4 Giả sử {ξk } dãy số dương thỏa mãn điều kiện ξk+1 ≤ ξk + βk ∀k ∈ N, ∞ βk ≥ ∑ βk < +∞, dãy {ξk } hội tụ k=0 2.3.1 Thuật toán hội tụ Bằng Bổ đề 2.3.2(ii), tốn cần giải có dạng d(x,C) = max x − v , x∈D x∈D v∈VC (P ) Giả sử D tập lồi đóng (khơng thiết phải bị chặn) Do d(x, C) lồi mạnh D, tốn (P’) ln ln có nghiệm tối ưu Thuật tốn sau xem cải biên thuật toán đạo hàm cho tốn tối ưu hóa lồi khơng trơn khơng bị ràng buộc Thuật tốn Khởi tạo Chọn x0 ∈ D, tham số ρ > cố định chọn dãy số dương {βk } thỏa mãn điều kiện ∞ ∞ ∑ βk = +∞, ∑ βk2 < ∞ k=0 k=0 (2.4) 28 Cho k := Bước Tìm vk ∈ C cho vk = argmax xk − v v ∈ VC Bước Lấy gk := vk − xk , tức đạo hàm vk − xk vk Trường hợp (2a): Nếu gk = 0, kết thúc thuật toán, xk nghiệm tối ưu toán (P ) Trường hợp (2b): Nếu gk = 0, tính αk := βk max {ρ, gk } xk+1 := PD xk − αk gk , PD hình chiếu Euclid lên tập D Bước Nếu xk+1 = xk , kết thúc thuật toán,xk nghiệm tối ưu (P’) Ngược lại, cho k := k + quay lại Bước Định lý 2.3.5 (i) Nếu Thuật toán 2.1 kết thúc bước lặp k, xk nghiệm tối ưu cho tốn (P’) (ii) Nếu Thuật tốn 2.1 khơng dừng lại, dãy {xk } hội tụ đến nghiệm x∗ toán (P’) Chứng minh (i) Nếu Thuật tốn 2.1 kết thúc bước lặp k, gk = xk = PD (xk − αk gk ) Trong trường hợp đầu tiên,gk = ∈ ∂ d(xk ,C) , theo định nghĩa vi phân, có nghĩa 0, x − xk + d(xk ,C) ≤ d(x,C) ∀x ∈ D Do d(xk ,C) ≤ d(x,C) ∀x ∈ D, (2.5) nghĩa xk cực tiểu hóa hàm d(xk ,C) D Ở trường hợp thứ hai,xk = xk+1 = PD (xk − αk gk ), dùng tính chất phép chiếu 29 metric ta có: (xk − αk gk ) − xk , x − xk ≤ ⇔ −αk gk , x − xk ≤ ⇔ gk , x − xk ≥ (2.6) Do gk ∈ ∂ d xk ,C nên ta có gk , x − xk + d(xk ,C) ≤ d(x,C) Kết hợp với bất đẳng thức (2.6) thu d(xk ,C) ≤ d(x,C) ∀x ∈ D Do xk nghiệm tối ưu toán (P’) (ii) Giờ giả sử Thuật tốn khơng kết thúc Gọi x∗ nghiệm toán (P ) Ta chứng minh khẳng định (ii) qua số Bổ đề sau: Bổ đề 2.3.6 Ta có xk+1 − xk ≤ βk ∀k ∈ N Chứng minh Theo định nghĩa αk , ta có αk g k = β k gk max{ρ, gk } ≤ βk Do xk+1 = PD (xk − αk gk , lại dùng tính chất phép chiếu metric, ta có (xk − αk gk − xk+1 , x − xk+1 ≤ ∀x ∈ D (2.7) Thay x xk ta có xk − xk+1 ≤ αk gk , xk − xk+1 ≤ αk gk xk − xk+1 ≤ βk xk − xk+1 (2.8) có nghĩa xk+1 − xk ≤ βk Bổ đề 2.3.7 Với giá trị k, dãy xk − x∗ hội tụ Chứng minh Dùng định nghĩa chuẩn Euclid, ta viết xk − x∗ = xk+1 − xk 2 − xk − xk+1 , x∗ − xk+1 + xk+1 − x∗ Do xk+1 − x∗ = xk − x∗ − xk+1 − xk + xk − xk+1 , x∗ − xk+1 (2.9) 30 Chú ý từ (2.8) ta có αk gk , xk − xk+1 ≤ βk xk − xk+1 ≤ βk2 , (2.10) theo (2.9) (2.10), ta có xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ − xk+1 − xk + αk gk , x∗ − xk+1 ≤ xk − x∗ + αk gk , x∗ − xk+1 = xk − x∗ + αk gk , x∗ − xk + αk gk , xk − xk+1 ≤ xk − x∗ + 2αk gk , x∗ − xk + 2βk2 (2.11) Từ [gk ∈ ∂ d(xk ,C), ta có gk , x∗ − xk ≤ d(x∗ ,C) − d(xk ,C) (2.12) Cộng (2.12) vào (2.11) để xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + 2αk d(x∗ ,C) − d(xk ,C) + 2βk2 (2.13) Vì x∗ nghiệm tối ưu, d xk ,C ≥ d (x∗ ,C), từ (2.13) ta có xk+1 − x∗ 2 ≤ xk − x∗ + 2βk2 , ∞ từ đây, theo giả thuyết ∑ βk2 < +∞ từ Bổ đề 2.3 ta dãy xk − x∗ k=0 hội tụ Bổ đề 2.3.8 Ta có lim sup d xk ,C − d (x∗ ,C) = (2.14) k→+∞ Chứng minh Từ (2.13), ta viết ≤ 2αk d(xk ,C) − d(x∗ ,C) ≤ xk − x∗ − xk+1 − x∗ + 2βk2 (2.15) 31 Cộng hai vế bất đẳng thức trên, ta m ≤ ∑ αk d xk ,C ≤ k=0 x0 − x∗ − ≤ x0 − x∗ − d (x∗ ,C) xm+1 − x∗ m + ∑ βk2 k=0 , Cho m → ∞ ta có +∞ ∗ k 0 ≤ ∑ αk d(x ,C) − d(x ,C) ≤ x − x ∗ +∞ + ∑ βk2 (2.16) k=0 k=0 +∞ Vì ∑ βk2 < +∞, ta có k=0 +∞ ∑ αk (d(xk ,C)−d(x∗,C)) ≤ +∞, (2.17) k=0 mặt khác, dãy xk bị chặn, nên dãy gk bị chặn Vì vậy, tồn L > cho gk ≤ L < ∞, với k ∈ N Cho L0 := max {ρ, L}, đó, theo định nghĩa αk , ta có αk = βk βk ≥ , k max {ρ, g } L0 (2.18) điều với (2.16) ta +∞ +∞ k ∗ βk d(x ,C) − d(x ,C) ≤ ∑ αk d(xk ,C) − d(x∗ ,C) < +∞ (2.19) ∑ L0 k=0 k=0 +∞ Vì ∑ βk = +∞, ta kết luận k=0 lim sup d(xk ,C) − d(x∗ ,C) = k→+∞ (2.20) Bây dùng Bổ đề vừa chứng minh, ta chứng minh khẳng định (ii) 32 Định lí 2.3.5 Thật vậy, theo định nghĩa lim sup, tồn dãy xk j thuộc dãy xk cho lim j→+∞ d xk j ,C − d (x∗ ,C) = lim sup d xk ,C − d (x∗ ,C) = k→+∞ Vì xk j bị chặn, ta giả sử lim xk j = x j→+∞ Ta có: d(x∗ ,C) − d(x,C) = lim d (x∗ ,C) − d xk j ,C = − lim j→∞ d xk j ,C − d (x∗ ,C) j→∞ = − lim d xk ,C − d (x∗ ,C) j→∞ = Điều cho thấy x nghiệm tối ưu Nhớ x∗ nghiệm cho tốn (P), x∗ = x, Vì dãy xk hội tụ đến x∗ , ta có xk − x∗ hội tụ dãy xk j lim xk j = lim xk j = x∗ k→+∞ j→+∞ Vì vậy, tồn dãy xk phải hội tụ đến x∗ Nhận xét 2.3.9 Như ta thấy, gk = xk+1 = xk , xk nghiệm xác Trong tính tốn, để có nghiệm xấp xỉ, ta dừng thuật tốn gk ≤ ε xk+1 − xk ≤ max 2.3.2 xk , ε, với [ε > cho trước Các khía cạnh kết tính tốn Trong phần xem xét thực nghiệm kết tính tốn mơ hình không gian hai chiều Giả sử số phần tử tập hợp C, người sử dụng lớn (thường xuất mơ hình thực tế) tập hợp D mà muốn xác định vị trí 33 sở tập hợp lồi đa diện cho D = x ∈ R2 Ax ≤ b Với S ma trận mx2 đủ bậc, b vec-tơ thuộc Rn Như trình bày trên, để cực tiểu hàm d(x,C) ta cần biết đỉnh bao lồi C (hình vẽ dưới) Để xác định bao lồi C, có số thuật tốn hiệu khơng gian hai chiều, như: thuật tốn Quickhull (QH) thuật toán Quickhull (NQH) Thuật toán thử nghiệm nhiều tập tạo ngẫu nhiên thử nghiệm với hai tập D1 D2 cho A1 = −1 −10 −3 14 −15 −7 b1 = (103, 11, 17, 142, 155, 133)T Kết tính tốn cơng bố tài liệu [8], cho bảng 34 35 Kết luận Bài toán định vị nhiều nhà tốn học quan tâm, nghiên cứu có lịch sử phát triển lâu dài tính thực tế Luận văn trình bày số vấn đề sau: Các khái niện kết giải túch lồi như: Tập lồi, tập a-fin, hàm lồi, toán qui hoạch lồi Giới thiệu tốn định vị với mục tiêu hàm lồi, tốn tìm vị trí miền xác định cho khoảng cách từ vị trí đến điểm cho trước nhỏ Tiếp đến trình bày thuật toán dựa phương pháp đạo hàm để giải toán định vị Sự hội tụ thuật toán chứng minh chi tiết luận văn 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu (1998), Giáo trình phương pháp tối ưu, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu Nguyễn Hữu Điển (2008), Nhập mơn giải tích lồi, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [3] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (1998), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội [4] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình Các phương pháp tối ưu - Lý thuyết thuật toán, Nhà xuất Bách khoa kĩ thuật [5] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [6] D Bertsekas (2004), Nonlinear Programming, Athena Sicentific [7] Hoang Tuy (2016), Convex Analysís and Global Optimization, Springer [8] Nguyen Kieu Linh, Le Dung Muu (2015), "A convex hull algorithm for solving a location problem" RAIRO - Operations Research 49, pp 589–600