CASIO_BÀI 25_TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 25 TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Cho điểm M  x0 ; y0 ; z0  mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  tính theo công thức d  M ;  P   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng x  xN y  y N z  z N  Cho điểm M  x0 ; y0 ; z0  đường thẳng d : khoảng cách   a b c    MN ; u  từ điểm M đến đường thẳng d tính theo cơng thức d  M ; d    u  Trong u  a; b; c  vecto phương d N  xN ; y N ; z N  điểm thuộc d Khoảng cách đường thẳng chéo x  xM y  y M z  z M  Cho hai đường thẳng chéo d :   a b c x  xM ' y  yM ' z  zM ' khoảng cách đường chéo tính d ':   a' b' c'    MN ud ; ud '  theo công thức d  d ; d '     ud ; ud '     Trong u  a; b; c  vecto phương d M  xM ; yM ; zM  điểm thuộc d  u  a '; b '; c ' vecto phương d M '  xM ' ; yM ' ; zM '  điểm thuộc d ' Lệnh Caso  Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE  Nhập thông số vecto MODE 1  Tính tích vơ hướng vecto : vectoA SHIFT vectoB  Tính tích có hướng hai vecto : vectoA x vectoB  Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP  Lệnh tính độ lớn vecto SHIFT HYP  Lệnh dò nghiệm bất phương trình MODE  Lệnh dò nghiệm phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : 3x  y  z   điểm A 1; 2;3 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  Trang 1/14 A d   5 D d  29 GIẢI Ta nhớ cơng thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  : B d  d  M ;  P    29 C d  Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C Áp dụng cho điểm A 1; 2;3  P  : 3x  y  z   ta sử dụng máy tính để bấm ln : 29 d  M ;  P    29 29 aqc3O1+4O(p2)+2O3+4Rs3d +4d+2d=  Đáp số xác C VD2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Tìm m để khoảng cách từ A 1; 2;3 đến mặt phẳng  P  : x  y  z  m  A m   C m  20 GIẢI D m  45 Thiết lập phương trình khoảng cách : d  A;  P      B m  18 26 1.1  3.2  4.4  m 12  22  32  26 1.1  3.2  4.4  m  26  12  22  32 (việc ta làm đầu) Để tính khoảng cách Casio ta nhập vế trái phương trình vào sử dụng chức SHIFT SOLVE w1aqc1O1+3O2+4O3+Q)Rs1 d+3d+4d$$ps26qr1= Ta thu kết m   Đáp số xác A VD3-[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh năm 2017] x y 1 z  mặt phẳng    P  : x  y  z   M điểm có hồnh độ âm thuộc d cho khoảng cách từ M Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : đến  P  Tọa độ điểm M : A M  2;3;1 B M  1;5; 7  C M  2; 5; 8 D M  1; 3; 5  GIẢI Trang 2/14  Ta biêt điểm M thuộc  d  nên có tọa độ M 1  t; 1  2t; 2  3t   x  t  (biết điều sau chuyển d dạng tham số d :  y  1  2t  z  2  3t  Thiết lập phương trình khoảng cách : t   1  2t    2  3t   d  M ; P    2 2    2  Nghĩ tới ta sử dụng Casio để tính Ta bấm ngắn gọn sau qcQ)+2(p1+2Q))p2(p2+3Q ))+3R3$p2qrp5= Khi t  1  x  1; y  3  Đáp số xác D VD4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  2;1;1; mặt phẳng  P  : x  y  z   Biết mặt phẳng  P  cắt mặt cấu  S  theo giao tuyến đường tròn bán kính Viết phương trình mặt cầu  S  2 2 2 2 2 2 A  x     y  1   z  1  B  x     y  1   z  1  10 C  x     y  1   z  1  D  x     y  1   z  1  10  2 Mặt cầu  x  a    y  b    z  c  GIẢI  R có tâm I  a; b; c  Vì mặt cầu  S  có tâm I  2;1;1 nên đáp án C D  Ta hiểu : Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến đường tròn bán kính r  thỏa mãn tính chất R  h  r với h khoảng cách từ tâm I tới mặt phẳng Tính tâm R Casio (aqc2O2+1O1+2O1+2Rs2d+1 d+2d$$)d+1d=  R  10  Đáp số xác D VD5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Trang 3/14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x 1 y  z  Tính   2 khoảng cách từ điểm M  2;1; 1 tới d A   GIẢI  Nhắc lại : Đường thẳng d có vecto phương ud 1; 2; 2  qua điểm B 2 C D    MN ; u    N 1; 2; 2  có khoảng cách từ M đến d tính theo cơng thức : d  M ; d    u   Để tính khoảng cách Casio ta nhập hai vecto MN , ud vào máy tính w8111p(p2)=2p1=p2pp1=w8 211=2=p2=  Wqcq53Oq54)Pqcq54)= Tính d  M ; d   2.357022604   Đáp số xác D VD6-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] x   t  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y   mt mặt cầu  z  2t   S  : x  y  z  x  y  z  13  Có giá trị nguyên m để d cắt  S  hai điểm phân biệt? A B C D  GIẢI Mặt cầu  S  :  x  1   y  3   z    có tâm I 1; 3;  bán kính R   Đường thẳng d qua M  2;1;0  có vecto phương u 1; m; 2  2 Ta hiểu : Đường thẳng d cắt mặt cầu  S  điểm phân biệt khoảng cách từ tâm I (của mặt cầu  S  ) đến đường thẳng d nhỏ bán kính R (của mặt cầu  S  )   2  IM ; u    2m      m     1  1  u 12  m2   2  Trang 4/14    2m   02    2m  12  m   2   1  Để giải toán ta dùng máy tính Casio với tính MODE dò nghiệm bất phương trình : w7as(8p2Q))d+(4pQ))dRs Q)d+5$$p1==p9=10=1= Ta dễ dàng tìm tập nghiệm m 3; 4; 5; 6; 7  Đáp án xác A VD7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] x   t  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y   mt mặt cầu  z  2t   S  : x  y  z  x  y  z  13  Có giá trị nguyên m để d cắt  S  hai điểm phân biệt? A B C D  GIẢI Mặt cầu  S  :  x  1   y  3   z    có tâm I 1; 3;  bán kính R   Đường thẳng d qua M  2;1;0  có vecto phương u 1; m; 2  2 Ta hiểu : Đường thẳng d cắt mặt cầu  S  điểm phân biệt khoảng cách từ tâm I (của mặt cầu  S  ) đến đường thẳng d nhỏ bán kính R (của mặt cầu  S  )   2  IM ; u    2m      m     1  1  u 12  m2   2     2m   02    2m  12  m   2   2 1  Để giải tốn ta dùng máy tính Casio với tính MODE dò nghiệm bất phương trình : w7as(8p2Q))d+(4pQ))dRs Q)d+5$$p1==p9=10=1= Ta dễ dàng tìm tập nghiệm m 3; 4; 5; 6; 7  Đáp án xác làA VD8-[Câu 68 Sách tập hình học nâng cao 12] Trang 5/14  Cho đường thẳng d qua điểm M  0;0;1 , có vecto phương u 1;1;3 mặt phẳng   có phương trình x  y  z   Tính khoảng cách d   A B C D  GIẢI   Ta thấy : u.nP  1.2  1.1   1   d song song trùng với    Khi khoảng cách d   khoảng cách từ điểm M thuộc d đến   Ta bấm : aqc0+0p1+5Rs2d+1d+2d=  Đáp án xác làB VD9-[Câu 92 Sách tập hình học nâng cao 12] x   t  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  :  y  1  2t Gọi  ' giao tuyến mặt z   phẳng :  P  : x  y  z   Q  : x  y  z   Tính khoảng cách ,  ' A 12 15  B 25 21 C 20 21 D 16 15 GIẢI    Đường thẳng  ' có vecto phương u '   nP ; nQ    2; 2;  w8111=p3=1=w8211=1=p1=W q53Oq54= Và  ' qua điểm M '  0; 2;6    Đường thẳng  có vecto phương u 1; 2;0  qua điểm M  3; 1;  Ta hiểu : khoảng cách hai đường thẳng tồn chúng song song chéo    Kiểm tra đồng phẳng đường thẳng tích hỗn tạp MM ' u; u '    Nhập ba vecto MM ', u , u ' vào máy tính Casio w811p3=3=2=w8211=2=0=w 8312=2=4= Trang 6/14     Xét tích hỗn tạp MM ' u; u '  40   ,  ' chéo Tính độ dài hai đường thẳng chéo  ,  ' ta có cơng thức :    MM ' u; u ' 20 d  4.3640    21  u; u '   Wqcp40)Pqcq54Oq55)=  Đáp án xác C VD9-[Câu 25 Sách tập hình học nâng cao 12] x  y 1 z  x 1 y 1 z 1 Cho hai đường thẳng d : d ' : Khoảng cách     2 2 hai đường thẳng d , d ' : A  B C D GIẢI  Đường thẳng d có vecto phương u  1; 2;  qua điểm M  2; 1; 3 Đường thẳng d ' qua điểm M ' 1;1; 1 Dễ thấy hai đường thẳng d , d ' song song với nên khoảng cách từ d ' đến d khoảng cách từ điểm M ' (thuộc d ' ) đến d Gọi khoảng cách cần tìm h ta có    MM '; u    h  1.8856  w811p1=2=2=w8  u 211=2=2=Wqcq53Oq54)Pqc q54)=  Đáp án xác B VD10-[Câu 26 Sách tập hình học nâng cao 12] Trang 7/14 x   t  x   2t '   Cho hai đường thẳng d :  y   t d ' :  y  Mặt phẳng cách hai đường thẳng  z  2t z  t '   d d ' có phương trình : A x  y  z  12  B x  y  z  12  C x  y  z  12  D x  y  z  12  GIẢI   Đường thẳng d có vecto phương u  1; 1;  qua điểm M  2;1;0   Đường thẳng d ' có vecto phương u '   2;0;1 qua điểm M '  2;3;0   Dễ thấy hai đường thẳng d , d ' cheo nên mặt phẳng  P  cách hai đường thẳng mặt phẳng qua trung điểm MM ' song song với đường thẳng Mặt phẳng  P  song song với đường thẳng nên nhận vecto phương đường thẳng cặp vecto phương     nP  u; u '   1; 5; 2  w8111=p1=2=w821p2=0=1=W q53Oq54=  P lại qua trung điểm I  2; 2;0  MM ' nên  P  : x  y  2z  12   Đáp án xác D Bài 1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình phương trình mặt cầu có tâm I 1; 2; 1 tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  y  2z   ? 2 2 2 A  x  1   y     z  1  2 B  x  1   y     z  1  2 C  x  1   y     z  1  D  x  1   y     z  1  Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] x  1 t  Tìm điểm M đường thẳng d :  y   t cho AM  với A  0; 2; 2  :  z  2t  1;1;  1;1;   1;3; 4  A  B  C  D.Khơng có M thỏa  2;1; 1  1;3; 4   2;1; 1 Bài 3-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần năm 2017] Cho  P  : x  y  z  m  A 1;1;3 Tìm m để d  A;  P     m  2 m   m  2  m  3 A  B  C  D  m   m  9  m  10  m  12 Bài 4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Trang 8/14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A  2;3;1 B  5; 6; 2  Đường thẳng AB cắt mặt phẳng  Oxz  điểm M Tính tỉ số MA MB MA MA MA MA  3 B C D  2 MB MB MB MB Bài 5-[Câu 67 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng cách từ điểm M  2;3; 1 đến đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng A   : x  y  z    ' : x  y  2z   215 205 215 205 B C D 24 15 24 15 Bài 6-[Câu Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho A 1;1;3 , B  1;3;  , C  1; 2;3 Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng A  ABC  : 3 D 2 Bài 7-[Câu 69b Sách tập hình học nâng cao lớp 12] x 1 y  z  x  y 1 z  Tính khoảng cách cặp đường thẳng d : d ' :     2 4 2 386 127 127 386 A B C D 4 Bài 8-[Câu 69c Sách tập hình học nâng cao lớp 12] x   t x 1 y  z   Tính khoảng cách cặp đường thẳng d : d ' :  y  1  t   z  t  A B C 24 26 D 11 13 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình phương trình A 7 B C mặt cầu có tâm I 1; 2; 1 tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  y  2z   ? 2 2 2 A  x  1   y     z  1  2 B  x  1   y     z  1  2 C  x  1   y     z  1  D  x  1   y     z  1  GIẢI  Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P  d  I ;  P    R aqc1p4+2p8Rs1d+2d+2d= d  I ;  P     R   Đáp số C D Trang 9/14 2  Mà ta lại có tâm mặt cầu I 1; 2; 1   S  :  x  1   y     z  1  Vậy đáp số xác D Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] x  1 t  Tìm điểm M đường thẳng d :  y   t cho AM  với A  0; 2; 2  :  z  2t  1;1;  1;1;  A  B   2;1; 1  1;3; 4   1;3; 4  C  D.Khơng có M thỏa  2;1; 1 GIẢI  Gọi điểm M thuộc d có tọa độ theo t M 1  t;1  t; 2t     Ta có AM   AM   AM   Sử dụng máy tính Casio tìm t (1+Q)p0)d+(1pQ)p2)d+(2Q) +2)dp6qr5=qrp5=  Ta tìm hai giá trị t Với t   M 1;1;0  , với t  2  M  1;3; 4   Đáp án xác B Bài 3-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần năm 2017] Cho  P  : x  y  z  m  A 1;1;3 Tìm m để d  A;  P     m  2 A  m  m  B   m  9  m  2  m  3 C  D  m  10   m  12 GIẢI  Thiết lập phương trình khoảng cách d  A;  P     2.1    m  22  12  12  Đó ta nhẩm, vừa nhẩm vừa điền ln vào máy tính làm sau (để tiết kiệm thời gian) aqc2p1+3pQ)Rs2d+1d+1d Tìm nghiệm ta sử dụng chức CALC xem giá trị m làm vế trái  rp2=  Chỉ có A C Trang 10/14 r4= Giá trị m  không thỏa mãn đáp án A sai  Đáp án xác C Bài 4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A  2;3;1 B  5; 6; 2  Đường thẳng AB cắt mặt phẳng  Oxz  điểm M Tính tỉ số MA MB MA MA  3 D MB MB GIẢI  Mặt phẳng  Oxz  có phương trình y  MA  Để tính tỉ số ta sử dụng công thức tỉ số khoảng cách (đã gặp chun đề hình học khơng MB gian ) MA d  A;  Oxz   Ta có : hai điểm A, B phía hay khác phía so với  Oxz   MB d  B;  Oxz   Ta dùng máy tính Casio tính tỉ số w1aqc0+3+0Rqc0+p6+0= A MA  MB B MA 2 MB C Ta hiểu hai mẫu số hai phép tính khoảng cách nên ta triệt tiêu mà không cần cho vào phép tính Casio  Đáp số xác A Bài 5-[Câu 67 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng cách từ điểm M  2;3; 1 đến đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng   : x  y  z    ' : x  y  2z   A 215 24 B 205 15 C 205 15 D 215 24 GIẢI  d giao tuyến hai mặt phẳng    ' nên thuộc mặt phẳng  vecto  phương u đường thẳng d vng góc với vecto pháp tuyến mặt phẳng     u   n ; n '    8; 4;  w8111=1=p2=w8210=3=2=Wq5 3Oq54= Trang 11/14 5   Gọi điểm N  x; y;0  thuộc đường thẳng d  N  ;  ;0  2     MN ; u  205    Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d : h   3.8265   14 u w8115P2p2=p3P2p3=0pp1=w82 18=p4=2=Wqcq53Oq54)Pqcq5 4)=  Đáp số xác B Bài 6-[Câu Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho A 1;1;3 , B  1;3;  , C  1; 2;3 Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng  ABC  : A B C 3 D 2 GIẢI     Vecto pháp tuyến  ABC  n   AB; AC   1; 2;  w811p2=2=p1=w821p2=1=0=W q53Oq54=   ABC  :1 x  1   y  1   z  3   x  y  3z    Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  h  0 009 12  2  22 3  Đáp số xác B Bài 7-[Câu 69b Sách tập hình học nâng cao lớp 12] x 1 y  z  x  y 1 z  Tính khoảng cách cặp đường thẳng d : d ' :     2 4 2 386 127 127 386 A B C D 4 GIẢI  Đường thẳng d qua điểm M 1; 3;  có vecto phương  2;1; 2  Đường thẳng d ' qua điểm M '  2;1; 1 có vecto phương  4; 2;  Dễ thấy đường thẳng song song với  Khoảng cách cần tìm khoảng cách tứ M ' đến d   M ' M ; u  386     6.5489   u Trang 12/14 w811p3=4=p5=w8212=1=p2=W qcq53Oq54)Pqcq54)=  Đáp số xác D Bài 7-[Câu 69b Sách tập hình học nâng cao lớp 12] x 1 y  z  x  y 1 z  Tính khoảng cách cặp đường thẳng d : d ' :     2 4 2 386 127 127 386 A B C D 4 GIẢI  Đường thẳng d qua điểm M 1; 3;  có vecto phương  2;1; 2  Đường thẳng d ' qua điểm M '  2;1; 1 có vecto phương  4; 2;  Dễ thấy đường thẳng song song với  Khoảng cách cần tìm khoảng cách tứ M ' đến d   M ' M ; u  386     6.5489   u w811p3=4=p5=w8212=1=p2=W qcq53Oq54)Pqcq54)=  Đáp số xác D Bài 8-[Câu 69c Sách tập hình học nâng cao lớp 12] x   t x 1 y  z   Tính khoảng cách cặp đường thẳng d : d ' :  y  1  t   z  t  24 11 GIẢI   Đường thẳng d qua điểm M 1; 2;3 có vecto phương u 1; 2;3  Đường thẳng d ' qua điểm M '  2; 1;0  có vecto phương u '  1;1;1 Dễ thấy đường thẳng chéo  Khoảng cách cần tìm    MM ' u; u ' 26   0.3922    13 u ; u '    w8111=p3=p3=w8211=2=3=w8 31p1=1=1=Wqcq53q57(q54Oq 55))Pqcq54Oq55)= A 7 B C 26 13 D Trang 13/14  Đáp số xác C Trang 14/14 ... trình x  y  z   Tính khoảng cách d   A B C D  GIẢI   Ta thấy : u.nP  1.2  1.1   1   d song song trùng với    Khi khoảng cách d   khoảng cách từ điểm M thuộc d đến... 1;1; 1 Dễ thấy hai đường thẳng d , d ' song song với nên khoảng cách từ d ' đến d khoảng cách từ điểm M ' (thuộc d ' ) đến d Gọi khoảng cách cần tìm h ta có    MM '; u    h  1.8856... x y 1 z  mặt phẳng    P  : x  y  z   M điểm có hồnh độ âm thuộc d cho khoảng cách từ M Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : đến  P  Tọa độ điểm M : A M  2;3;1