Các dạng toán bồi dưỡng HSG

CHUYÊN ĐỀ I: SỐ VÀ CHỮ SỐ A TẠO LẬP SỐ: I Các cách giải Cách 1: Liệt kê Ví dụ 1: Cho chữ số 1; 2; Lập tất số tự nhiên có chữ số? Bài giải: Các số tự nhiên có chữ số viết từ chữ số: 1; 2; là: 111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133 211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233 311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333 Có tất 27 số CÁCH 2: * Trường hợp 1: Trong số lập chữ số khác Cơng thức: + Có n chữ số có n cách chọn hàng cao + Với cách chọn hàng cao có n cách chọn hàng cao thứ nhì + Với cách chọn hàng cao thứ nhì sễ có n cách chọn hàng cao thứ ba + Tương tự ta có n cách chọn hàng cao tiếp theo… + Số lượng cần lập tích cách chọn Ví dụ 1: Cho chữ số 1; 2; Lập tất số tự nhiên có chữ số? Ở tập đề cho ta chữ số 1; 2; Yêu cầu ta lập số có chữ số mà số có chữ số gồm có: hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị Bài giải: Với chữ số: 1; 2; - Hàng trăm có lựa chọn - Hàng chục có lựa chọn - Hàng đơn vị có lựa chọn Số lượng số có chữ số lập là: x x = 27 (số) * Trường hợp 2: Trong số lập chữ số phải khác Cách giải: + Có n chữ số có n cách chọn hàng cao + Với cách chọn hàng cao có n-1 cách chọn hàng cao thứ nhì + Với cách chọn hàng cao thứ nhì có n-2 cách chọn hàng cao thứ ba + Với cách chọn hàng cao thứ ba có n-3 cách chọn hàng cao thứ tư … + Số lượng cần lập tích cách chọn Ví dụ 2: Cho chữ số 1; 2; Lập tất số tự nhiên có chữ số khác nhau? Ở khác với lập số có chữ số khác nên chọn hàng trăm khơng chọn hàng chục hàng đơn vị Bài giải: Với chữ số: 1; 2; - Hàng trăm có lựa chọn - Hàng chục có lựa chọn - Hàng đơn vị có lựa chọn Số lượng số có chữ số lập là: x x = (số) * Trường hợp 3: Trong số cho có chữ số số khơng đứng hàng cao Ví dụ 3: Cho chữ số 0; 1; 2; Lập tất số tự nhiên có chữ số khác nhau? Ở này, số cho trước có chữ số Chữ số khơng đặt hàng cao với số tự nhiên (số có chữ số 023) Bài giải: Với chữ số: 0; 1; 2; - Hàng trăm có lựa chọn (khơng chọn chữ số 0) - Hàng chục có lựa chọn - Hàng đơn vị có lựa chọn Số lượng số có chữ số lập là: x x = 18 (số) CÁCH 3: Sơ đồ hình Ví dụ 1: Cho chữ số 0, 3, Viết tất số có chữ số khác từ chữ số cho II Bài tập vận dụng: Bài toán 1: Cho chữ số 5, 6, Hãy lập tất số có hai chữ số khác từ chữ số Có tất số vậy? Giải: Lần lượt đặt chữ số 5, 6, vào hàng chục ta số sau: 56, 58, 65, 68, 85, 86 Có tất số Bài toán 2: Cho chữ số 2, 4, a Hãy lập số có chữ số từ chữ số b Hãy lập số có chữ số khác từ số Giải: a Các số lập phải thỏa mãn điều kiện: Có chữ số; lập từ chữ số cho; số chữ số lặp lại b Các số lập phải thỏa mãn điều kiện: Có chữ số; lập từ chữ số cho; số chữ số khơng lặp lại Bài tốn 3: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, em viết số: a Có chữ số b Có chữ số khác nhau? Giải: a Có cách chọn chữ số hàng trăm (là năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5) Với cách chọn chữ số hàng trăm có cách chọn chữ số hàng chục Với cách chọn chữ số hàng chục có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy số lượng số có chữ số thỏa mãn toán là: x x = 125 (số) b Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, ta có cách chọn chữ số hàng trăm Với cách chọn chữ số hàng trăm có cách chọn chữ số hàng chục (là bốn chữ số lại) Với cách chọn chữ số hàng chục cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy số lượng số có chữ số thỏa mãn toán là: x x = 60 (số) Đáp số: a, 125 số b, 60 số Bài toán 4: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, em viết số có chữ số khác nhau? Giải: Ta có cách chọn chữ số hàng trăm bốn chữ số khác 0: 1, 2, 3, Sau chọn chữ số hàng trăm ta có cách chọn chữ số hàng chục bốn chữ số lại sau chọn chữ số hàng trăm, hàng chục cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy số lượng số có chữ số thỏa mãn toán là: x x = 48 (số) Đáp số: 48 số Bài 5: Cho chữ số 0, 3, a, Viết tất số có chữ số khác từ chữ số cho b, Tìm số lớn nhất, số nhỏ có chữ số khác viết từ chữ số cho c, Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ có chữ số khác viết từ chữ số cho Giải: Cách 1: Chọn làm chữ số hàng nghìn, ta có số: Nhìn vào sơ đồ ta thấy: Từ chữ số cho ta viết số có số hàng nghìn thoả mãn điều kiện đề Chữ số khơng thể đứng vị trí hàng nghìn Vậy só số thoả mãn điều kiện đề x = 18 (số) Cách 2: Lần lượt chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị sau: - Có cách chọn chữ số hàng nghìn số thoả mãn điều kiện đề (vì số khơng thể đứng vị trí hàng nghìn) - Có cách chọn chữ số hàng trăm (đó chữ số lại khác chữ số hàng nghìn) - Có cách chọn chữ số hàng chục (đó chữ số lại khác chữ số hàng nghìn hàng trăm) - Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (đó chữ số lại khác hàng nghìn, hàng trăm hàng chục) Vậy số viết là: x x x = 18 (số) b, Số lớn có chữ số khác viết từ chữ số cho phải có chữ số hàng nghìn chữ số lớn (Trong chữ số cho) Vậy chữ số hàng nghìn số phải tìm Chữ số hàng trăm phải chữ số lớn chữ số lại Vậy chữ số hàng trăm Chữ số hàng chục chữ số lớn chữ số lại Vậy chữ số hàng chục Số phải tìm 9830 Tương tự phần ta nhận số bé thoả mãn điều kiện đề 3089 c, Số lẻ lớn thoả mãn điều kiện đề phải có chữ số hàng nghìn số lớn chữ số cho Vậy chữ số hàng nghìn số phải tìm Số phải tìm có chữ số hàng nghìn số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải Chữ số hàng trăm phải chữ số lớn hai chữ số lại, nên chữ số hàng trăm phải Vậy số phải tìm 9830 Tương tự số chẵn nhỏ 3098 Bài 6: Viết liên tiếp 15 số lẻ để số tự nhiên Hãy xoá 15 chữ số số tự nhiên vừa nhận mà giữ nguyên thứ tự chữ số lại để được: a, Số lớn b, Số nhỏ Viết số Giải: Viết 15 số lẻ liên tiếp ta số tự nhiên: 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Để sau xoá 15 chữ số ta nhận số lớn chữ số giữ lại kể từ bên trái phải chữ số Vậy trước hết ta xoá chữ số dãy 1, 3, 5, Số lại là: 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Ta phải xố tiếp 15 – = 11 chữ số lại để số lớn Để sau xoá nhận số lớn chữ số thứ hai kể từ bên trái phải chữ số Vậy ta phải xoá tiếp chữ số viết hai chữ số dãy, 11 13 15 17 Số lại là: 992 123 252 729 Ta phải xoá tiếp 11 – = chữ số từ số lại để số lớn Chữ số thứ ba lại kể từ bên trái phải 2, để số lớn sau xoá chữ số ta phải xoá số 12 21 Vậy số lớn phải 923 252 729 b, Lập luận tương tự câu a số phải tìm 111 111 122 ********************************************** BÀI 2: PHÂN TÍCH CẤU TẠO SỐ I NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ a Có mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Khi viết số tự nhiên ta sử dụng mười chữ số Chữ số kể từ bên trái số tự nhiên phải khác b Phân tích cấu tạo số tự nhiên: ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c - Trường hợp, số tự nhiên có chữ số ta có cách phân tích sau: abcd = a000 + b00 + c0 + d = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = a000 + bcd = ab00 + cd = a x 1000 + bcd = ab x 100 + cd - Lưu ý: + Khi giải tập cần lựa chọn cách phân tích phù hợp + Một số phân tích đặc biệt: aaa = a x 111; abab = ab x 101 ; abcabc = abc x 1001 c Quy tắc so sánh hai số tự nhiên: c.1- Trong số tự nhiên, số có chữ số nhiều số lớn c.2- Nếu số có chữ số số có chữ số kể từ trái sang phảilớn lớn d Số tự nhiên có tận 0, 2, 4, 6, số chẵn Số chẵn có tận 0, 2, 4, 6, e Số tự nhiên có tận 1, 3, 5, 7, số lẻ Số lẻ có tận 1, 3, 5, 7, g Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị Hai số (kém) đơn vị hai số tự nhiên liên tiếp h Hai số chẵn liên tiếp (kém) đơn vị Hai số chẵn (kém) đơn vị số chẵn liên tiếp i Hai số lẻ liên tiếp (kém) đơn vị Hai số lẻ (kém) đơn vị số lẻ liên tiếp k Khi phải viết số có nhiều chữ số giống người ta thường viết chữ số đầu sau viết chữ số cuối bên ghi số lượng chữ số giống 10 chữ số - Kí hiệu abc số tự nhiên có chữ số, ab số tự nhiên có chữ số, abcd số tự nhiên có chữ số (trong a ≠ a,b,c,d chữ số)., II CÁC DẠNG TOÁN: Dạng 1: Sử dụng cấu tạo thập phân số: Loại 1: Viết thêm hay nhiều chữ số vào bên phải, bên trái xen số tự nhiên a)V iết thêm chữ số vào bên trái số tự nhiên Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết viết thêm số 12 vào bên trái số ta số lớn gấp 26 lần số phải tìm Bài giải Gọi số cần tìm ab (a ≠ 0; a b nhỏ 10) Viết thêm số 12 vào bên trái số đó, ta 12ab 12ab = ab × 26 Theo đề ta có: 1200 + ab = ab × 26 (phân tích 12ab theo cấu tạo số) ab × 26 - ab = 1200 Cách 1: ab × (26 - 1) = 1200 ab × 25 = 1200 ab = 1200 : 25 ab = 48 Thử lại: 1248 : 48 = 26 Cách 2: Ta có sơ đồ sau: ab : 12ab : ? 1200 26 phần Vậy: ab = 1200 : (26 - 1) = 1200 : 25 = 48 Thử lại: 1248 : 26 = 48 Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số,biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta số lớn gấp 13 lần số cho Giải: Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số vào bên trái ta dược số 9ab Theo ta có: 9ab = ab x 13 900 + ab = ab x 13 900 = ab x 13 – ab 900 = ab x (13 – 1) 900 = ab x 12 ab = 900: 12 ab = 75 b) Viết thêm chữ số vào bên phải số tự nhiên Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết viết thêm chữ số vào bên phải số tăng thêm 4106 đơn vị Bài giải Gọi số cần tìm abc (a ≠ 0; a , b c nhỏ 10) Viết thêm chữ số vào bên phải số đó, ta abc Theo đề ta có: abc = abc + 4106 abc × 10 + = abc + 4106 (phân tích abc theo cấu tạo số) abc × 10 - abc = 4106 - abc × (10 - 1) = 4104 abc × = 4104 abc = 4104 : abc = 456 Thử lại: 4562 - 456 = 4106 Cách 2: Khi viết thêm chữ số vào bên phải số tự nhiên số gấp lên 10 lần đơn vị Ta có sơ đồ sau: 4106 Số cần tìm : Số : 10 phần Vậy số cần tìm là: (4106 - 2) : (10 - 1) = 456 Thử lại: 4562 - 456 = 4106 Ví dụ 2: Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số tăng thêm 112 đơn vị Giải: Gọi số phải tìm abc Khi viết thêm chữ số vào bên phải ta dược số abc5 Theo ta có: abc5 = abc + 112 10 x abc + = abc + 112 10 x abc = abc + 112 – 10 x abc = abc + 107 10 x abc – abc = 107 ( 10 – ) x abc = 107 x abc = 107 abc = 123 c) Viết thêm chữ số vào số tự nhiên Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết chữ số xen chữ số hàng chục hàng đơn vị số ta số lớn gấp 10 lần số cho, viết thêm chữ số vào bên trái số vừa nhận dược số lại tăng lên lần Giải: Gọi số cần tìm ab (a ≠ 0; a b nhỏ 10) Viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị số đó, ta a0b Theo đề ta có: ab × 10 = a0b Vì ab × 10 có tận nên b = Vậy số cầntìm có dạng a00 Viết thêm chữ số vào bên trái a00 ta 1a 00 Theo đề ta lại có: 1a 00 = × a 00 1000 + a × 100 = × a × 100 1000 + a × 100 = a × 300 a × 300 - a × 100 = 1000 a × (300 - 100) = 1000 a × 200 = 1000 a = 1000 : 200 a =5 Vậy số cần tìm 50 Thử lại: 500 : 10 = 50 Loại 2: Xoá bớt chữ số số tự nhiên Bài 1: Cho số có chữ số Nếu ta xoá chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 4455 đơn vị Tìm số Giải: Gọi số cần tìm abcd (a ≠ 0; a , b, c d nhỏ 10) Xóa chữ số hàng chục hàng đơn vị số đó, ta ab 10 Dạng 3: Thành lập số tính tổng Bài 1: Cho chữ số 2, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Hỏi: a, Lập số b, Mỗi chữ số đứng hàng lần? c, Tính tổng số Giải: a, Ta lập số sau 235 325 523 253 352 532 b, Mỗi chữ số đứng hàng lần c, Tổng số là: (2 + + 5) x x 100 + (2 + + 5) x x 10 + (2 + + 5) x = 10 x x (100 + 10 + 1) = 10 x x 111 = 2220 Bài 4: Cho chữ số 1, 2, 3, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số đẫ cho Tính tổng số Giải: Chọn chữ số hàng nghìn ta lập số sau: 1234 1324 1423 1243 1342 1432 Ta thấy chữ số đứng hàng lần Vậy tổng số lập được: (1 + + + 4) x 1000 x + (1 + + + 4) x 100 x + (1 + + + 4) x 10 x + (1 + + + 4) x x = 10 x x (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 x 1111 = 66660 Bài 5: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng Giải: Chọn chữ số hàng chục nghìn ta lập 24 số Tương tự nên ta lập 24 x = 120 (số) Tổng là: (1 + + + + 5) x 10000 x 24 + (1 + + + + 5) x 1000 x 24 + (1 + + + + + 5) x 100 x 24 + (1 + + + + 5) x 10 x 24 + (1 + + + + 5) x x x 24 = (1 + + + + 5) x 24 x 11111 21 = 15 x 24 x 11111 = 3999960 Bài 6: Cho chữ số 3, 3, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho mà chữ số viết lần Tính tổng số Giải: Ta lập số 334, 343, 433 Tổng số: (3 + + 4) x 100 x + (3 + + 4) x 10 + (3 + + 4) x = 10 x (10 + 10 + 1) = 10 x 111 = 1110 Bài 7: Cho chữ số: 2, 2, 5, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng Giải: - Chọn chữ số hàng nghìn ta lập số: 1225 1522 1252 - Chọn chữ số hàng nghìn ta lập số - Chọn chữ số hàng nghìn ta lập số 2152 2251 2512 2125 2215 2521 Vậy ta lập 12 số Tổng là: (1 + + + 5) x 1000 x + (1 + + + 5) x 100 x + (1+ + + 5) x x = (1 + + + 5) x x 1111 = 10 x x 1111 = 33330 Bài 8: Cho chữ số 0, 3, Hãy lập tất cảc số có chữ số cho số có đủ chữ số cho Tính tổng số vừa lập Giải: Ta lập số 307 703 370 730 Tổng (3 + 7) x 100 x + (3 + 7) x 10 + (3 + 7) x = 10 x 100 x + 10 x 10 + 10 x = 20 x 100 + 100 + 10 = 2110 22 * BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Cho chữ số: 0, 2, 3, Hãy lập tất số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng Bài 2: Cho chữ số: 1, 3, 3, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng Bài 3: Cho chữ số: 0, 1, 3, 2, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng Bài 4: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, a, Có thể viết đượcbao nhiêu số có chữ số khác từ chữ số cho? Trong số viết có số chẵn? b, Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ có chữ số khác viết từ chữ số cho Bài 5: Có thể viết số có chữ số khác nhau, biết rằng: a, Các chữ số chúng số lẻ? b, Các chữ số chúng số chẵn? Bài 6: a, Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số viết tữ chữ số khác b, Tìm số tự nhiên lớn có chữ số viết từ chữ số khác Bài 7: Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 15 để số tự nhiên Hãy xoá 10 chữ số vừa nhận mà giữ nguyên thứ tự chữ số lại để được: a, Số lớn nhất; b, Số nhỏ nhất; Viết số Bài 8: Viết liên tiếp 10 số chẵn khác để số tự nhiên Hãy xoá 10 chữ số số vừa nhận mà giữ nguyên thứ tự chữ số lại để được: a, Số chẵn lớn nhất; b, Số lẻ nhỏ ************************************************ BÀI 3: Số chẵn, số lẻ, toán xét chữ số tận số * KIẾN THỨC CẦN NHỚ: - Chữ số tận tổng chữ số tận tổng chữ số hàng đơn vị số hạng tổng - Chữ số tận tích chữ số tận tích chữ số hàng đơn vị thừa số tích - Tổng + + + + + có chữ số tận - Tích x x x x có chữ số tận - Tích a x a khơng thể có tận 2, 3, * BÀI TẬP VẬN DỤNG: 23 Bài 1: a) Nếu tổng số tự nhiên số lẻ, tích chúng số lẻ khơng? b) Nếu tích số tự nhiên số lẻ, tổng chúng số lẻ không? c) “Tổng” “hiệu” hai số tự nhiên số chẵn, số lẻ không? Giải: a) Tổng hai số tự nhiên số lẻ, tổng gồm số chẵn số lẻ, tích chúng phải số chẵn (Khơng thể số lẻ được) b) Tích hai số tự nhiên số lẻ, tích gồm thừa số số lẻ, tổng chúng phải số chẵn(Không thể số lẻ được) c) Lấy “Tổng” cộng với “hiệu” ta lần số lớn, tức số chẵn Vậy “tổng” “hiệu” phải số chẵn lẻ (Không thể số chẵn, số lẻ được) Bài 2: Không cần làm tính, kiểm tra kết phép tính sau hay sai? a, 1783 + 9789 + 375 + 8001 + 2797 = 22744 b, 1872 + 786 + 3748 + 3718 = 10115 c, 5674 x 163 = 610783 Giải: a, Kết sai tổng số lẻ số lẻ b, Kết sai tổng số chẵn số chẵn c, Kết sai tích 1số chẵn với số số chẵn Bài 3: Tìm số tự nhiên liên tiếp có tích 24 024 Giải: Ta thấy số tự nhiên liên tiếp khơng có thừa số có chữ số tận 0; tích tận chữ số (trái với toán) Do số phải tìm có chữ số tận liên tiếp 1, 2, 3, 6, 7, 8, Ta có: 24 024 > 10 000 = 10 x 10 x 10 x 10 24 024 < 160 000 = 20 x 20 x 20 x 20 Nên tích số là: 11 x 12 x 13 x 14 16 x 17 x 18 x 19 Có : 11 x 12 x 13 x 14 = 24 024 16 x 17 x 18 x 19 = 93 024 Vậy số phải tìm là: 11, 12, 13, 14 Bài 4: Có thể tìm số tự nhiên cho hiệu chúng nhân với 18 1989 không? 24 Giải: Ta thấy số nhân với số chẵn tích số chẵn 18 số chẵn mà 1989 số lẻ Vì khơng thể tìm số tự nhiên mà hiệu chúng nhân với 18 1989 Bài 5: Có số tự nhiên nhân với kết số viết chữ số không? Giải: Gọi số phải tìm A (A > 0) Ta có: A x A = 111 111 Vì + +1 + 1+ 1+ 1+ = chia hết 111 111 chia hết cho Do A chia hết cho 3, mà A chia hết A x A chia hết cho 111 111 khơng chia hết cho Vậy khơng có số Bài 6: a, Số 1990 tích số tự nhiên liên tiếp khơng? Giải: Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho số ln có số chia hết 1990 khơng tích số tự nhiên liên tiếp vì: + + + = 19 khơng chia hết cho Bài 7: Số 1995 tích số tự nhiên liên tiếp khơng? Giải: số tự nhiên liên tiếp có số chẵn mà tích chúng số chẵn mà 1995 số lẻ khơng phải tích số tự nhiên liên tiếp c, Số 1993 có phải tổng số tự nhiên liên tiếp không? Giải: Tổng số tự nhiên liên tiếp lần số số phải chia hết cho Mà 1993 = + + + = 22 Không chia hết cho Nên số 1993 không tổng số tự nhiên liên tiếp Bài 8: Tính x x x x x x 48 x 49 tận chữ số 0? Giải: Trong tích có thừa số chia hết cho là: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 Hay = x 5; 10 = x 5; 15 = ì5; ; 45 = x Mỗi thừa số nhân với số chẵn cho ta số tròn chục mà tích có 10 thừa số nên tích tận 10 chữ số Bài 9: Bạn Tồn tính tổng chẵn phạm vi từ 20 đến 98 2025 Khơng thực tính tổng em cho Tồn tính hay sai 25 Giải: Tổng số chẵn số chẵn, kết toàn tính 2025 số lẻ tồn tính sai Bài 10: Tùng tính tổng số lẻ từ 21 đến 99 2025 Khơng tính tổng em cho biết Tùng tính hay sai? Giải: Từ đến 99 có 50 số lẻ Mà từ đến 19 có 10 số lẻ Do Tùng tính tổng số lượng số lẻ là: 50 – 10 = 40 (số) Ta biết tổng số lượng chẵn số lẻ số chẵn mà 2025 số lẻ nên Tùng tính sai Bài 11: Tích sau tận chữ số 0? 20 x 21 x 22 x 23 x x 28 x 29 Giải: Tích có số tròn chục 20 nên tích tận chữ số Ta lại có 25 = x nên thữa số nhân với só chẵn cho tích tận chữ số Vậy tích tận chữ số Bài 12: Tiến làm phép chia 1935: thương 216 khơng dư Khơng thực cho biết Tiến làm hay sai Giải: Vì 1935 số lẻ, thương số lẻ số lẻ Thương Tiến tìm 216 số chẵn nên sai Bài 13: Huệ tính tích: x x x x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 = 999 Khơng tính tích em cho biết Huệ tính hay sai? Giải: Trong tích có thữa số thừa số chẵn nên tích phải tận chữ số Vì Huệ tính sai Bài 14: Tích sau tận chữ số 0: 13 x 14 x 15 x x 22 Giải: Trong tích có thừa số 20 số tròn chục nên tích tận chữ số Thừa số 15 nhân với số chẵn cho chữ số tích Vậy tích có chữ số * BÀI TẬP VỀ NHÀ: 26 Bài 1: Không làm phép tính cho biết kết phép tính sau có tận chữ số nào? a, (1 999 + 378 + 545 + 956) – (315 + 598 + 736 + 89) b, x x x x x x 99 c, x 16 x 116 x 216 x 11 996 d, 31 x 41 x 51 x 61 x 71 x 81 x 91 e, 56 x 66 x 76 x 86 - 51 x 61 x 71 x 81 Bài 2: Tích sau tận chữ số a, x x x x 99 x 100 b, 85 x 86 x 87 x x 94 c, 11 x 12 x 13 x x 62 Bài 3: Khơng làm tính xét xem kết sau hay sai? Giải thích sao? a, 136 x 136 - 41 = 1960 b, ab x ab - 8557 = Bài 4: Có số chia cho 15 dư chia cho 18 dư hay không? Bài 5: Cho số a = 1234567891011121314 viết số tự nhiên liên tiếp Số a có tận chữ số nào? biết số a có 100 chữ số Bài 6: Có thể tìm số tự nhiên A B cho: (A + B) x (A – B) = 2002 BÀI 4: Dạng Tìm hai số biết tổng ( TBC) số chúng có n số hạng I, Ghi nhớ a)Trường hợp 1: Cho hai số lẻ có tổng A Tìm số biết chúng có B số chẵn liên tiếp Hoặc: Cho số chẵn có tổng A Tìm số biết chúng có B số lẻ liên tiếp Hiệu = B x2 ( khoảng cách 2) b) trường hợp 2: cho số có tổng A ( A số lẻ) Tìm hai số biết chúng có B số số lẻ chẵn liên tiếp Hiệu = B x + c) Trường hợp 3: Cho hai số chẵn ( lẻ ) có tổng A Tìm hai số biết chúng có B số chẵn ( lẻ) liên tiếp Hiệu = B x + d) Trường hợp 4: Cho số có tổng A Tìm hai số biết chúng có B số tự nhiên liên tiếp Hiệu = B x + Sau tìm hiệu đưa dang tốn : Tìm hai số biết tổng hiệu của số II số ví dụ 27 Ví dụ 1: Giữa hai số tự nhiên có 2015 số tự nhiên liên tiếp Vậy hiệu hai số là: ( 2015 x + = 2016 ( TH4) Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 2018 chúng có tất 21 số tự nhiên khác Giải Thuộc trường hợp Hiệu = 21 x + 1= 22 Số lớn (2018 + 22) : = 1020 Số bé là: 2018 – 1020 = 998 Ví dụ 3: Trung bình cộng hai số 83 Tìm số bé hai số biết chúng có 15 số lẻ liên tiếp Giải Tổng hai số 83 x = 166 Suy hai số lẻ chẵn TH1: Nếu hai số chẵn ( thuộc trường hợp 1) Hiệu chúng 15 x = 30 Số bé (166 – 30) : = 68 TH2: Nếu hai số lẻ ( thuộc trường hợp 3) Hiệu chúng 15 x + = 32 Số bé : ( 166 – 32) : = 67 Ví dụ 4: Tổng hai số chẵn 200 Tìm hai số biết chúng có 50 số lẻ liên tiếp Giải Hiệu 50 x = 100 ( thuộc trường hợp 1) Số lớn ( 200 + 100 ) : = 150 Số bé 200 – 150 = 50 Ví dụ 5: Giữa hai số tự nhiên có 406 số tự nhiên khác Vậy hiệu chúng bằng: Giải 406 + = 407 ( Thuộc trường hợp 4) Ví dụ 6: Cho hai số có tổng 2017 Tìm hai số biết chúng có 10 số chẵn liên tiếp Giải Thuộc trường hợp Hiệu 10 x = = 21 Số lớn ( 2017 + 21) : = 1019 Số bé là: 1019 – 21 = 998 Bài 10 : tổng số học sinh lớp 4A 4B 59 bạn, tổng số học sinh lớp 4B 4C 63 bạn, tổng số học sinh lớp 4C 4A 64 bạn.Hỏi trung bình lớp có học sinh 28 Giải Tổng số HS lớp ( 59 + 63 + 64 ) : = 93 ( HS) Trung bình lớp có số HS 93 ; = 31 ( HS) Đáp số: 31 HS Bài 11: Một giá sách có ngăn Ngăn thứ có 246 quyển, ngăn thứ hai có 198 quyển, ngăn thứ ba có 234 quyển, ngăn thứ tư có trung bình cộng số sách ngăn 27 Hỏi ngăn thứ tư có bao nhiểu Giải 27q TBC TBC TBC TBC N1 + N2 + N3 Giải Tổng số sách ngăn 246 + 198 + 234 = 678( quyển) Ba lần TBC ngăn là: 678 - 27 = 651 ( quyển) TBC số ngăn là: 651 : = 217 ( quyển) Ngăn thứ tư có số nhãn là: 217 – 27 = 190 ( quyển) Đáp số: 190 Bài 12: Cho ba số có trung bình cộng 49 số thứ hai gấp đôi số thứ nhất, số thứ ba gấp đơi số thứ hai.tìm số thứ ba Giải Tổng số 49 x = 147 Ta có sơ đồ ST1 147 ST2 ST3 Tổng số phần + + = ( phần) Số thứ 147 : = 21 Số thứ hai 21 x = 42 Số thứ ba 42 x = 84 29 Bài 13: Trung bình cộng số 37 Tìm số lớn biết số có số có chữ số, số có chữ số số có chữ số Giải Số lớn hai số phải bé Tổng số 37 x = 111 Số có chữ số bé Số có hai chữ số bé là: 10 Số thứ ba 100 Bài 14: trung bình cộng tuổi ơng, tuổi bố tuổi mai 36 tuổi.trung bình cộng tuổi bố tuổi mai 23 tuổi, ơng mai 54 tuổi tính tuổi Mai Giải Tổng số tuổi ông, bố Mai 36 x = 108 ( tuổi) Tổng số tuổi bố mai 23 x = 46 (tuổi) Tuổi ông là: 108 – 46 = 62( tuổi ) Tuổi mai là: 62 – 54 = ( tuổi) III Bài tập luyện tập Bài tập 1: Xe thứ chở 25 hàng xe thứ hai chở 35 hàng Xe thứ ba chở trung bình cộng xe Hỏi xe thứ chở hàng? Bài tập 2: Xe thứ chở 25 hàng xe thứ hai chở 35 hàng Xe thứ ba chở trung bình cộng xe 10 Hỏi xe thứ chở hàng? Bài tập 3: Xe thứ chở 25 hàng xe thứ hai chở 35 hàng Xe thứ ba chở trung bình cộng xe 10 Hỏi xe thứ chở hàng? Bài tập 4: Xe thứ chở 40 hàng xe thứ hai chở 50 hàng Xe thứ ba chở trung bình cộng xe Hỏi xe thứ chở hàng? Bài tập 5: Xe thứ chở 40 hàng xe thứ hai chở 50 hàng Xe thứ ba chở trung bình cộng xe 10 Hỏi xe thứ chở hàng? Bài tập 6: Xe thứ chở 40 hàng xe thứ hai chở 50 hàng Xe thứ ba chở trung bình cộng xe 10 Hỏi xe thứ chở hàng Bài tập 7: Trung bình cộng n số 80 biết số 100 Nếu bỏ số 100 trung bình cộng số lại 78 tìm n Giải 100 nhiều TBC n số là: 100 – 80 = 20 Do 20 lấy số lại nên TBC số lại 78 Nhỏ TBC ban đầu là: 80 – 78 = Số n 20 : + = 11 30 Bài tập 8: Có ba ; gà, vịt, ngan Hai gà vịt nặng tất kg Hai gà ngan nặng tất kg Hai ngan vịt nặng tất 10 kg Hỏi trung bình nặng kg ? , Giải: Hai gà, hai vịt , hai ngan nặng tất là: + + 10 = 24 (kg) Vậy ba gà, vịt , ngan nặng tất : 12 : = (kg) Bài tập 9: Bạn Tâm kiểm tra số , bạn Tâm tính Nếu thêm ba điểm điểm trung bình điểm , thêm hai điểm điểm trung bình 15/2 thơi Hỏi Tâm kiểm tra Giải: Trường hợp thứ : Số điểm thêm : 10 x = 30 để điểm trung bình số điểm phải bù vào cho kiểm tra : 30 – = (điểm ) Trường hợp thứ hai : Số điểm thêm là: x = 18 (điểm) Để điểm trung bình 15/2 số diểm phải bù thêm vào cho kiểm tralà : 9x = 18 (điểm ) 18 – 15/2 x = (điểm) Để tăng điểm trung bình tất kiểm tra từ 15/2 lên số điểm phải tăngthêm là: – 15/ = 0,5 (điểm) Số kiểm tra bạn Tâm làm là: : 15/ = (điểm) đáp số : điểm Bài tập 10: Trung bình cộng ba số 50 Tìm số thứ ba biết trung bình cộng hai số đầu Hướng dẫn giải Theo đầu ta có sơ đồ sau : Tổng hai số đầu : | | | Số thứ ba là: | | 150 – Từ học sinh làm - Học sinh nhận xét , giáo viên kết luận sửa sai - Giáo viên rút cách giải chung tập để học sinh vận dụng Bài tập 11: Trung bình cộng ba số 35 Tìm ba số biết số thứ gấp đôi số thứ hai, số thứ hai gấp đôi số thứ ba? gợi ý Tổng ba số : 35 x = 105 Ta có sơ đồ sau : Số thứ : | -| | -| | Số thứ hai : | -| | 105 Số thứ ba : | -| Bài tập 12: Tìm sáu số chẵn liên tiếp biết tổng chúng 90 Bài tập 13: Tìm trung bình cộng tất số có hai chữ số , mà chia hết cho Bài tập 14: Trung bình cộng số tuổi hai anh em tuổi anh tuổi Hỏi anh em tuổi ? Bài tập 15: Lớp A có 40 học sinh , lớp 4B có 36 học sinh Lóp C có số học sinh trunh bình cộng số học sinh ba lớp hai bạn Tính số học sinh lớp B 31 Bài tập 16: Hai lớp 3A 3B có tất 37 h/s Hai lớp 3B 3B có tất 83 h/s Hai lớp 3C vàg 3A có tất 86 h/s Hỏi: trung bình lớp có học sinh ? Số học sinh lớp em ? Bài tập 17: Tuổi trung bình cộng đội bóng đá (11 người) 22 tuổi Nếu khơng kể đội trưởng, tuổi trung bình 10 cầu thủ lại Tính tuổi đội trưởng ? Bài tập 24: Ba lớp 4a;4b;4c; trồng số lớp 4a 4b trồng 41 Số lớp 4b lớp 4c trồng 43 Số 4c 4a trồng 42 Hỏi lớp trồng cây? Bài Giải: Cả lớp trồng số là: (41+42+43 ): =63 Lớp 4c trồng số 6341=22cây Lớp b trồng số là: 43 -22= 21(Cây) Lớp a trồng số là: 42 – 22 = 20 (cây) Bài tập 25: An,Bình ,Chi câu cá Cả ba bạn câu 37 cá Nếu An câu thêm cá Bình câu giảm cá thí số cá ba bạn Hỏi bạn câu cá? Bài toán liên quan đến điều kiện chia hết * BÀI TẬP VẬN DỤNG: a Loại toán viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết Bài 1: Hãy thiết lập số có chữ số khác từ chữ số 0, 4, 5, thoả mãn điều kiện a, Chia hết cho b, Chia hết cho c, Chia hết cho Giải: a, Các số chia hết cho có tận Mặt khác số có chữ số khác nhau, nên số thiết lập 540; 504 32 940; 904 450; 954 950; 594 490 590 b, Ta có số có chữ số chia hết cho viết từ chữ số cho là: 540; 504; 940; 904 c, Số chia hết cho phải có tận Vậy số cần tìm 540; 450; 490 940; 950; 590 Bài 2: Với chữ số 1, 2, 3, 4, ta lập số có chữ số chia hết cho 5? Giải: Một số chia hết cho tận Với số 1, 2, 3, 4, ta viết x x = 64số có chữ số Vậy với số 1, 2, 3, 4, ta viết 64 số có chữ số (Có tận 5) b Loại tốn dùng dấu hiệu chia hết để điền vào chữ số chưa biết Ở dạng này: -Nếu số phải tìm chia hết cho trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận -Dùng phương pháp thử chọn kết hợp với dấu hiệu chia hết lại số phải tìm để xác định chữ số lại Bài 3: Thay x y vào 1996 xy để số chia hết cho 2, 5, Giải: Số phải tìm chia hết cho y phải Số phải tìm chia hết y phải số chẵn Từ suy y = Số phải tìm có dạng 1996 x Số phải tìm chia hết cho (1 +9 + 9+ + x )chia hết cho hay (25 + x) chia hết cho Suy x = Số phải tìm là: 199620 Bài 4: Cho n = a 378 b số tự nhiên có chữ số khác Tìm tất chữ số a b để thay vào ta dược số n chia hết cho Giải: - n chia hết cho 8b phải chia hết cho Vậy b = 0, - n có chữ số khác nên b = - Thay b = n = a3780 + Số a3780 chia hết cho a = 3, + Số n có chữ số khác nên a = Ta số 63 780 930780 thoả mãn điều kiện đề - Thay b = n = a3784 + Số a3784 chia hết cho a = 2, + Số n có chữ số khác nên a = Ta số 23784 53 784 thoả mãn điều kiện đề Các số phải tìm 63 780; 93 780; 23 784; 53 784 c Các tốn vận dụng tính chất chia hết tổng hiệu Các tính chất thường sử dụng loại là: - Nếu số hạng tổng chia hết cho tổng chúng chia hết cho - Nếu SBT ST chia hết cho hiệu chúng chia hết cho - Một số hạng không chia hết cho 2, số hạng lại chia hết cho tổng khơng chia hết cho 33 - Hiệu số chia hết cho số không chia hết cho số khơng chia hết cho (Tính chất tương tự trường hợp chia hết khác) Bài 5: Khơng làm phép tính xét xem tổng hiệu có chia hết cho hay khơng a 459 + 690 236 b 454 - 374 Giải: a 459, 690, 236 số chia hết 459 + 690 + 236 chia hết cho b 454 chia hết cho 374 không chia hết 454 - 374 không chia hết cho Bài 6: Tổng kết năm học 2001- 2002 trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến 195 học sinh xuất sắc Nhà trường dự định thưởng cho học sinh xuất sắc nhiều học sinh tiên tiến em Cơ văn thư tính phải mua 1996 vừa đủ phát thưởng Hỏi văn thư tính hay sai? sao? Giải: Ta thấy số HS tiên tiến số HS xuất sắc số chia hết cho số thưởng cho loại HS phải số chia hết cho Suy tổng số phát thưởng số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho > Vậy cô văn thư tính sai d Các tốn phép chia có dư Ở loại cần lưu ý: - Nếu a: dư chữ số tận a 1, 3, 5, 7, - Nếu a: dư chữ số tận a phải 6; a: dư số tận phải - Nếu a b có số dư chia cho hiệu chúng chia hết cho - Nếu a: b dư b - a + chia hết cho b - Nếu a: b dư a - chia hết cho b Bài 7: Cho a = x459y Hãy thay x, y chữ số thích hợp để chia a cho 2, 5, dư Giải: Ta nhận thấy: - a: dư nên y - Mặt khác a: dư nên y phải Số phải tìm có dạng a= x4591 - x4591 chia cho dư1 nên x + + + + chia cho dư x chia hết cho suy x = Mà x chữ số số nên x = Số phải tìm là: 94591 Bài 8: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho dư 1, cho dư 2, cho dư 3, cho dư 4, cho dư 5, cho dư Giải: Gọi số phải tìm a a + chia hết cho 2, 3, 4, 5, a + có tận chữ số a + khơng số có chữ số Nếu a + có chữ số a + tận chữ số lại chia hết a + = 70 (loại 70 khơng chia hết cho 3) Trường hợp a + có chữ số có dạng xy0 Số xy0 chia hết y phải 0, 2, 4, Số xy0 chia hết xy 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91 98 Số xy0 chia hết cho x + y + chia hết cho Kết hợp điều kiện a + = 420 a = 419 Đáp số: 419 e Vận dụng tính chất chia hết chia dư để giải tốn có lời văn Bài 9: Tổng số HS khối trường tiểu học số có chữ số chữ số hàng trăm Nếu xếp hàng 10 hàng 12 dư 8, mà xếp hàng khơng dư Tính số HS khối cuỉa trường 34 Giải: Theo đề số HS khối có dạng 3ab Các em xếp hàng 10 dư b = Thay vào ta số 3a8 Mặt khác, em xếp hàng 12 dư nên 3a8 - = 3a0 phải chia hết cho 12 suy 3a0 chi hết cho suy a = 0, 3, Ta có số 330; 390 khơng chia hết cho 12 số HS khối 308 368 em số 308 không chia hết cho số HS khối trường 368 em * BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Cho chữ số 0, 1, Hãy lập số có chữ số khác thoả mãn điều kiện a, Chia hết cho b, Chia hết cho 15 Bài 2: Hãy xác định chữ số ab để thay vào số 6a49b ta số chia hết cho: a, 2, b, Bài 3: Không làm phép tính xét xem tổng hiệu đưới có chia hết cho hay khơng a, 236 + 155 + 42 702 b, 92 616 - 48 372 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho 3, 4, dư chia cho khơng dư Bài 5: Một cơng ty có số cơng hưởng mức lương 360 000đ Số khác hưởng mức 495 000đ, số lại hưởng 672 000đ/ tháng Sau phát lương tháng cho cơng nhân kế tốn cộng hết 273 815 000đ Hỏi kế tốn tính hay sai? sao? Bài 6: Lớp 5A xếp hàng 2, hàng 3, hàng số hàng không thừa bạn Nếu lấy tổng hàng xếp 39 hàng Hỏi lớp 5A có bạn 35 ... lại Bài toán 3: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, em viết số: a Có chữ số b Có chữ số khác nhau? Giải: a Có cách chọn chữ số hàng trăm (là năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5) Với cách chọn chữ số hàng trăm có cách chọn... Với cách chọn chữ số hàng chục có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy số lượng số có chữ số thỏa mãn tốn là: x x = 125 (số) b Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, ta có cách chọn chữ số hàng trăm Với cách... số, ab số tự nhiên có chữ số, abcd số tự nhiên có chữ số (trong a ≠ a,b,c,d chữ số)., II CÁC DẠNG TOÁN: Dạng 1: Sử dụng cấu tạo thập phân số: Loại 1: Viết thêm hay nhiều chữ số vào bên phải, bên