Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Giải toán trên máy tính cầm tay Đềthi chính thức Khối9 THCS - Năm học 2008-2009 Thời gian lm bi: 150 phút - Ngày thi: 17/12/2008. Chú ý: - Đềthi gồm 5 trang - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đềthi này. - Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 10 chữ số. Điểm toàn bài thi Các giám khảo (Họ, tên và chữ ký) Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) Bằng số Bằng chữ GK1 GK2 Bài 1: (5 im) Tớnh giỏ tr ca biu thc: a) 3 3 3 3 3 3 3 3 2001 2002 2004 2005 2006 2007 2008 2009A = + + + + + + + (Kt qu chớnh xỏc). b) 3 3 2 2 3 2 3sin 4 .cot os 2cot 3cos .sin .cot 3 x tgx gy c y B x g x x y tg y g + + = + + ữ bit 2sin 3cos 2,211 5sin 7 cos 1,946 x y x y + = = c) 1 1 2 : 1 1 1 x x x x C x x x x x x + + = + ữ ữ ữ ữ + + , vi 169,78x = . Bài 2: (5 im) Cho a thc 3 2 ( ) 8 18 6g x x x x= + + . a) Tỡm cỏc nghim ca a thc ( )g x . b) Tỡm cỏc h s , ,a b c ca a thc bc ba 3 2 ( )f x x ax bx c= + + + , bit rng khi chia a thc ( )f x cho a thc ( )g x thỡ c a thc d l 2 ( ) 8 4 5r x x x= + + . c) Tớnh chớnh xỏc giỏ tr ca (2008)f . MTCT9 - Trang 1 A = sinx = B cosy = C a) Cỏc nghim ca a thc ( )g x l: x 1 = ; x 2 = ; x 3 = b) Cỏc h s ca a thc ( )f x : a = ; b = ; c = c) (2008)f = Bµi 3: (5 điểm) a/ Tính tổng các ước dương lẻ của số D = 8863701824. b/ Tìm các số aabb sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1aabb a a b b= + + × − − . Nêu quy trình bấm phím để được kết quả. Bµi 4: (5 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho khi lập phương số đó ta được số tự nhiên có 3 chữ số cuối đều là chữ số 7 và 3 chữ số đầu cũng đều là chữ số 7: 3 777 .777n = . Nêu sơ lược cách giải. Bµi 5: (5 điểm) Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất và số tự nhiên M lớn nhất gồm 12 chữ số, biết rằng M và N chia cho các số 1256; 3568 và 4184 đều cho số dư là 973. Nêu sơ lược cách giải. MTCT9 - Trang 2 a/ Tổng các ước dương lẻ của D là: b/ Các số cần tìm là: Quy trình bấm phím: n = Sơ lược cách giải: Sơ lược cách giải: Bµi 6: (4 điểm) Tìm số dư trong phép chia 63 (197334) cho 793 và số dư trong phép chia 2008 (197334) cho 793 Bài 7: (6 điểm) Cho dãy hai số n u và n v có số hạng tổng quát là: ( ) ( ) 5 2 3 5 2 3 4 3 n n n u + − − = và ( ) ( ) 7 2 5 7 2 5 4 5 n n n v + − − = ( n ∈ N và 1n ≥ ) Xét dãy số 2 3 n n n z u v= + ( n ∈ N và 1n ≥ ). a) Tính các giá trị chính xác của 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , ; , , ,u u u u v v v v . b) Lập các công thức truy hồi tính 2n u + theo 1n u + và n u ; tính 2n v + theo 1n v + và n v . c) Từ 2 công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính 2 2 , n n u v + + và 2n z + theo 1 1 , , , n n n n u u v v + + ( 1, 2, 3, .n = ). Ghi lại giá trị chính xác của: 3 5 8 9 10 , , , ,z z z z z MTCT9 - Trang 3 a) 1 2 3 4 ; ; ;u u u u= = = = 1 2 3 4 ; ; ;v v v v= = = = b) Công thức truy hồi tính 2n u + = Công thức truy hồi tính 2n v + = c) 3 5 8 9 10 ; ; ; z z z z z = = = = = Quy trình bấm phím: Số dư trong phép chia 63 (197334) cho 793 là: 1 r = Số dư trong phép chia 2008 (197334) cho 793 là: 2 r = Bài 8: (3 điểm) Trong đợt khảo sát chất lượng đầu năm, điểm của ba lớp 9A, 9B, 9C được cho trong bảng sau: Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 9A 16 14 11 5 4 11 12 4 9B 12 14 16 7 1 12 8 1 9C 14 15 10 5 6 13 5 2 a) Tính điểm trung bình của mỗi lớp. Kết quả làm tròn đến chữ số lẻ thứ hai. b) Nếu gọi X số trung bình cộng của một dấu hiệu X gồm các giá trị 1 2, 3 , , ., k x x x x có các tần số tương ứng là 1 2 3 , , , ., k n n n n , thì số trung bình của các bình phương các độ lệch của mỗi giá trị của dấu hiệu so với X : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 1 2 3 k k x k n x X n x X n x X n x X s n n n n − + − + − +×××+ − = + + +×××+ gọi là phương sai của dấu hiệu X và 2 x x s s= gọi là độ lệch chuẩn của dấu hiệu X. Áp dụng: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của dấu hiệu điểm của mỗi lớp 9A, 9B, 9C. Kết quả làm tròn đến chữ số lẻ thứ hai. Bài 9: (5 điểm) Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải. MTCT9 - Trang 4 Số tháng gửi là: Quy trình bấm phím: a) Điểm trung bình của lớp 9A, 9B, 9C: A X ≈ ; B X ≈ ; C X ≈ b) Phương sai và độ lệch chuẩn của lớp 9A: 2 a s ≈ ; a s ≈ Phương sai và độ lệch chuẩn của lớp 9B: 2 b s ≈ ; b s ≈ Phương sai và độ lệch chuẩn của lớp 9A: 2 c s ≈ ; c s ≈ Bài 10: (7 điểm) Cho 3 đường thẳng 1 2 3 ( ); ( ); ( )d d d lần lượt là đồ thị của các hàm số 2 3 5; 2 3 y x y x= + = − và 2 3y x= − + . Hai đường thẳng 1 ( )d và 2 ( )d cắt nhau tại A; hai đường thẳng 2 ( )d và 3 ( )d cắt nhau tại B; hai đường thẳng 3 ( )d và 1 ( )d cắt nhau tại C. a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C (viết dưới dạng phân số). b) Tính gần đúng hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A của tam giác ABC và tọa độ giao điểm D của tia phân giác trong góc A với cạnh BC. c) Tính gần đúng diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân. (Cho biết công thức tính diện tích tam giác: ( )( )( ) , 4 abc S p p a p b p c S R = − − − = (a, b, c là ba cạnh ; p là nửa chu vi, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác; đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là cm) Hết MTCT9 - Trang 5 a) Tọa độ các điểm A, B, C là: b) Hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A là: a ≈ Tọa độ giao điểm D: c) Diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: S ≈ Sở Giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế lớp 9 thCS năm học 2008 - 2009 Môn : MY TNH CM TAY Đáp án và thang điểm: Bài Cách giải Điểm TP Điểm toàn bài 1 72541712025A = 1,5 5 sin 0,735; cos 0,247x y= = 0.040227236B . 2,0 2833.646608C 1,5 2 1 2 3 1 3 ; 2; 2 4 x x x= = = 1,5 5 Theo gi thit ta cú: 2 ( ) . ( ) 8 4 5f x q g x x x= + + + , suy ra: 1 1 1 1 1 5 5 2 2 4 2 8 (2) (2) 45 4 2 45 8 9 3 25 27 3 3 25 16 4 2 64 4 4 2 f r a b c f r a b c a b c f r = = + = + ữ ữ = = + + = + + = = = ữ ữ Gii h phng trỡnh ta c: 23 33 23 ; ; 4 8 4 a b c= = = Cỏch gii: Nhp biu thc 3 2 23 33 23 4 8 4 X X X+ + + , bm phớm CALC v nhp s 2008 = ta c s hin ra trờn mn hỡnh: 8119577169. n phớm nhp 8119577169 = c 0.25 . Suy ra giỏ tr chớnh xỏc: (2008) 8119577168.75f = . 1,5 1,0 1,5 3 a) 6 2 8863701824=2 101 1171ì ì Tng cỏc c l ca D l: ( ) 2 2 1 101 1171 1171 101 1171 1171 139986126+ + + + + = 1,0 1,0 5 b) S cn tỡm l: 3388 Cỏch gii: ( ) 1000 100 10 1100 11 11 100aabb a a b b a b a b= + + + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 11 1 1a a b b a b+ + ì = + . Do ú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 100 11 1 1aabb a a b b a b a b= + + ì + = + Nu 0 10 11a b = = , iu ny khụng xy ra. Tng t, nu 1 100 1 0b a= + = , iu ny khụng xy ra. Quy trỡnh bm mỏy: 100 ALPHA A + ALPHA X 11 ( ALPHA A + 1 ) ( ALPHA X 1 ) ALPHA = 0 1,0 1,0 MTCT9 - Trang 6 SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 1 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X là số lẻ thập phân. SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 2 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X là số lẻ thập phân. SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 3 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X = 8; tiếp tục quy trình cho đến khi A = 9. Ta chỉ tìm được số: 3388. 2,0 1,0 4 Hàng đơn vị chỉ có 3 3 27= có chữ số cuối là 7. Với cac số 3 3a chỉ có 3 53 14877= có 2 chữ số cuối đều là 7. Với các chữ số ( ) 3 53a chỉ có 753 3 có 3 chữ số cuối đều là 7. Ta có: 3 777000 91.xxxx≈ ; 3 7770000 198. .xxxx≈ , 3 5 777 10 426, .;xxx× ≈ 3 36 7 777 10 919, .; 777 10 1980, .xxx xxx× ≈ × ≈ ; 3 8 777 10 4267, .;xxx× ≈ . Như vậy, để các số lập phương của nó có 3 số đuôi là chữ số 7 phải bắt đầu bởi các số: 91; 198; 426; 91x; 198x; 426x; (x = 0, 1, 2, ., 9) Thử các số: 3 3 3 91753 77243 .; 198753 785129 .; 426753 77719455 .= = = Vậy số cần tìm là: n = 426753 và 3 426753 77719455348459777= . 1,5 1,5 2,0 5 5 Gọi x là số khi chia cho các số 1256; 3568 và 4184 đều có số dư là 973. Khi đó, 1256 973 3568 973 4184 973 973 1256 3568 4184 ( , , ) x k l h x k l h k l h = + = + = + ⇔ − = = = ∈ N Do đó, 973x − là bội số chung của 1256; 3568 và 4184. Suy ra: 973 (1256,3568,4184) 292972084x mBCNN m− = = Dùng máy Vinacal Vn-500MS để tìm BCNN của 3 số đó: SHIFT LCM( 1256 , 3568 , 4184 ) SHIFT STO A. Theo giả thiết: 11 11 10 973 999999999999 10 973 999999999999 973 x kA k A A ≤ = + ≤ − − ⇔ ≤ ≤ 341 3413k< ≤ Vậy: 342 973 100196441389N A = + = và 3413 973 999913600797M A= + = 1,0 1,0 1,0 2,0 5 MTCT9 - Trang 7 6 197334 SHIFT STO A SHIFT MOd( ALPHA A , 793 ) = cho kết quả: 670 SHIFT MOd( ALPHA A x 2 , 793 ) = cho kết quả: 62 SHIFT MOd( ALPHA A ^ 3 , 793 ) = cho kết quả: 304 (Lưu ý: A 4 vượt quá 16 chữ số, kết quả không còn chính xác nữa) SHIFT MOd( ALPHA 304 × 62 , 793 ) = cho kết quả: 609. Tức là: 5 609 (mod793)A ≡ SHIFT MOd( ALPHA 606 x 2 , 793 ) = cho kết quả: 550. Tức là: 10 550 (mod793)A ≡ . Tương tự: 30 3 60 2 550 428 (mod793); 428 1 (mod 793)A A≡ ≡ ≡ ≡ . Vậy: 63 3 304 (mod793)A A≡ ≡ . Đáp số: 304 + Ta có: 2008 = 33×60 + 28, nên: ( ) 33 2008 60 20 8 A A A A= × × ( ) 33 60 33 1 1 (mod 793)A ≡ ≡ ; ( ) 2 20 10 2 550 367(mod793)A A= ≡ ≡ ( ) 4 8 2 4 62 367(mod 793)A A≡ ≡ ≡ Suy ra: 2008 2 1 367 672(mod793)A ≡ × ≡ . Đáp số: 672. 2,0 2,0 5 7 1 2 3 4 1, 10, 87; 740.u u u u= = = = 1 2 3 4 1, 14, 167, 1932v v v v= = = = . Công thức truy hồi của u n+2 có dạng: 2 1 2n n n u au bu + + + = + . Ta có hệ phương trình: 3 2 1 4 3 2 10 87 10; 13 87 10 740 u au bu a b a b u au bu a b = + + = ⇔ ⇔ = = − = + + = Do đó: 2 1 10 13 n n n u u u + + = − Tương tự: 2 1 14 29 n n n v v v + + = − Quy trình bấm phím: 1 SHIFT STO A 10 SHIFT STO B 1SHIFT STO C 14 SHIFT STO D 2SHIFT STO X (Biến đếm) ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA E ALPHA = 10 ALPHA B − 13 ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA E ALPHA : ALPHA F ALPHA = 14 ALPHA D − 29 ALPHA C ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA D ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA F ALPHA : ALPHA Y ALPHA = 2 ALPHA E + 3 ALPHA F = = = . (giá trị của E ứng với u n+2 , của F ứng với v n+2 , của Y ứng với z n+2 ). Ghi lại các giá trị như sau: 3 5 8 9 10 675, 79153, =108234392, z 1218810909, z 13788770710 z z z= = = = 1,0 1,0 1,0 1,0 2,0 5 MTCT9 - Trang 8 8 Điểm trung bình của lớp 9A là: 7,12 A X ≈ ; Phương sai: 2 5,58; A s ≈ và độ lệch chuẩn là: 2,36 A s ≈ . Điểm trung bình của lớp 9B là: 7,38 B X ≈ ; Phương sai: 2 4,32; B s ≈ và độ lệch chuẩn là: 2,07 B s ≈ . Điểm trung bình của lớp 9C là: 7,39 C X ≈ ; Phương sai: 2 4,58; C s ≈ và độ lệch chuẩn là: 2,14 C s ≈ . 1,0 1,0 1,0 3 9 Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng gửi với lãi suất 0,9% tháng, thì số tháng gửi tiết kiệm là: a + 6 + x. Khi đó, số tiền gửi cả vốn lẫn lãi là: 6 5000000 1.007 1.0115 1.009 5747478.359 a x × × × = Quy trình bấm phím: 5000000 × 1.007 ^ ALPHA A × 1.0115 ^ 6 × 1.009 ^ ALPHA X − 5747478.359 ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nhập giá trị của A là 1 = Nhập giá trị đầu cho X là 1 = SHIFT SOLVE Cho kết quả X là số không nguyên. Lặp lại quy trình với A nhập vào lần lượt là 2, 3, 4, 5, .đến khi nhận được giá trị nguyên của X = 4 khi A = 5. Vậy số tháng bạn Châu gửi tiết kiệm là: 5 + 6 + 4 = 15 tháng 2,0 2,0 1,0 5 10 a) ( ) 15 3 2 19 3; 4 , ; ; ; 8 4 5 5 A B C − − − − ÷ ÷ b) µ 1 1 2 tan 3 tan 3 A − − = − ÷ Góc giữa tia phân giác At và Ox là: µ 1 1 1 2 1 2 tan tan 3 tan 3 2 2 3 A − − − + = + ÷ ÷ ÷ Suy ra: Hệ số góc của At là: 1 1 1 2 tan tan 3 tan 2 3 a − − = + ÷ ÷ Bấm máy: tan ( 0.5 ( SHIFT tan -1 3 + SHIFT tan -1 ( 2 a b/c 3 ) ) ) SHIFT STO A cho kết quả: 1.309250386a ≈ + Đường thẳng chứa tia phân giác At là đồ thị của hàm số: y ax b= + , At đi qua điểm ( 3; 4)A − − nên 3 4b a= − . + Tọa độ giao điểm D của At và BC là nghiệm của hệ phương 1,5 1,0 7 MTCT9 - Trang 9 trình: 2 3 3 4 x y ax y a + = − = − + . Giải hệ pt bằng cách bấm máy nhưng nhập hệ số a 2 dùng ALPHA A và nhập hệ số c 2 dùng (−) 3 ALPHA A + 4, ta được kết quả: (0,928382105; 1,143235789)D 1,5 c) 2 2 15 3 3 4 8 4 AB = + + − ÷ ÷ Tính và gán cho biến A 2 2 15 2 19 3 8 5 5 4 BC = + + + ÷ ÷ Tính và gán cho biến B 2 2 2 19 3 4 5 5 CA = − + + ÷ ÷ Tính và gán cho biến C ( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C ) ÷ 2 SHIFT STO D (Nửa chu vi p) Diện tích của tam giác ABC: ( ( ALPHA D ( ALPHA D − ( ALPHA A ) ( ALPHA D − ( ALPHA B ) ( ALPHA D ) ) SHIFT STO E Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: 4 abc R S = : ALPHA A ALPHA B ALPHA C ÷ 4 ÷ ALPHA E SHIFT STO F 1,0 1,0 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC: S r p = . Diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: ( ) 2 2 2 2 S R r R r π π π = − = − SHIFT π ( ALPHA E x 2 − ( ALPHA E ÷ ALPHA D ) x 2 = Cho kết quả 2 46,44 ( )S cm≈ 1,0 MTCT9 - Trang 10 . thi t: 11 11 10 97 3 99 999 999 999 9 10 97 3 99 999 999 999 9 97 3 x kA k A A ≤ = + ≤ − − ⇔ ≤ ≤ 341 3413k< ≤ Vậy: 342 97 3 100 196 441389N A = + = và 3413 97 3 99 991 3600 797 M. đầu bởi các số: 91 ; 198 ; 426; 91 x; 198 x; 426x; (x = 0, 1, 2, ., 9) Thử các số: 3 3 3 91 753 77243 .; 198 753 7851 29. ; 426753 777 194 55 .= = = Vậy