1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG PHÁP 1: Biến đổi dạng * Dạng 1: A = B ⇔A =B , 2 A = B ⇔ A = ±B B ≥ B ≥ ⇔ A = B * Dạng : A = B ⇔ 2 A = B A = −B 2 * Dạng : A > B ⇔ A > B ⇔ (A + B)(A − B) > * Dạng 4: * Dạng 5: B > B > A B ⇔ B ≥ A > B ⇔ B ≥ A > B A < −B ∨ A > B A ≥ A ≥ A < B A < B A < B ⇔ A < B ⇔ Đặc biệt: , A < A < − A < B − A < B PHƯƠNG PHÁP 2: Sử dụng phương pháp chia khoảng CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI PT, BPT, HỆ CHỨA CĂN Phương pháp 1: Biến đổi tương đương: B ≥ A = B 1) A = B ⇔ 2) A = B ⇔ A ≥ (hay B ≥ 0) A = B B < B > A ≥ 3) A < B ⇔ A < B 4) A > B ⇔ B ≥ A ≥ A < B Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển toán ẩn phụ: “Chú ý đặt điều kiện cho ẩn phụ”: Nếu tốn có chứa: 1) f ( x) n f ( x) ta đặt: t = n f ( x) 2) f ( x ) ± g ( x) , thể đặt: t = 3) f ( x ) ± g ( x ) Suy ra: f ( x), g ( x) mà đặt t = f ( x).g ( x) , f(x) + g(x) = số ta có f ( x).g ( x) f ( x) g ( x) = k _hằng số ta f ( x ) ⇒ g ( x) = k t π π 4) a − x ta đặt x = a sin t , t ∈ − ; 2 a π π , t ∈ − ; \ { 0} 5) x − a ta đặt x = sin t 2 π π 6) x + a ta đặt x = a tan t , t ∈ − ; ÷ 2 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển ẩn phụ ẩn x: Ví dụ minh hoạ: Giải phương trình sau: ( x − 1) x2 + = 8x2 + x + Giải: Đặt t = x + ĐK: t ≥ 1⇒ t = x + Khi PT trở thành: ( x − 1) t = ( x + 1) + x − t = x − , Giải tìm x ⇔ 2t − ( x − 1) t + x − = ⇔ t = Phương pháp 4: Đặt ẩn phụ chuyển hệ hai ẩn: 1) Bài tốn có chứa: n a − b f ( x), m c + d f ( x) 2) …………………………………………………………… Ngoài phương pháp trên, để giải PT, BPT chứa hay chứa dấu giá trị tuyệt đối ta sử dụng phương pháp đặc biệt như: Sử dụng tính đơn điệu hàm số, phương pháp đánh giá hai vế, … PHẦN BÀI TẬP: Bài 1: Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: a) 3x + 5 = 12 + x− x− b) a) 1+ 1− x = x − c) x + = − x d) x − = 1− x e) f) x − 3(x2 − 3x + 2) = x = g) − x − i) x x−1 = x−1 x + 1(x2 − x − 2) = x2 − x− x− = x+ + x+ x+ x+ x−1 1− x = j) x − = x + k) x + = x − l) x− x− h) Bài 2: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) (m2 + 2)x − 2m= c) m2(x − 1) + m= x − b) m(x − m+ 3) = m(x − 2) + x(3m− 2) d) (m2 − m)x = 2x + m2 − f) (m+ 1)2 x = (2m+ 5)x + + m Bài 3: Giải biện luận PT sau theo tham số a, b, c: x− a x− b − b= − a (a, b ≠ 0) a b b) (ab + 2)x + a = 2b+ (b + 2a)x a) x + ab x + bc x + b2 + + = 3b (a, b,c ≠ −1) a+ c+1 b+ x − b− c x − c − a x − a − b d) + + = (a, b,c ≠ 0) a b c c) Bài 4: Trong phương trình sau, tìm giá trị tham số để phương trình: i) Có nghiệm ii) Vơ nghiệm iii) Nghiệm với x ∈ R a) (m− 2)x = n − b) (m2 + 2m− 3)x = m− c) (mx + 2)( x + 1) = (mx + m2)x d) (m2 − m)x = 2x + m2 − Bài 5: Giải biện luận phương trình sau: a) x2 + 5x + 3m− 1= 0b) (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x + m− = c) (m− 1)x2 + (2 − m)x − 1= Bài 6: Cho biết nghiệm phương trình Tìm nghiệm lại: Bài 13: (nâng cao) Cho phương trình: a) x2 − mx + m+ 1= 0; x = − b) 2x2 − 3m2x + m= 0; x = c) (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x + m− = 0; x = d) x2 − 2(m− 1)x + m2 − 3m= 0; x = 2x2 + 2xsinα = 2x + cos2 α (α tham số) a) Chứng minh phương trình có nghiệm với α b) Tìm α để tổng bình phương nghiệm phương trình đạt GTLN, GTNN PT CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài 1: Giải phương trình sau: Bài 7: Xác định m để phương trình sau: i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt iii) có hai nghiệm dương phân biệt iv) vơ nghiệm v) có nghiệm vi) có nghiệm dương a) d) x + 5x + 3m− 1= b) 2x + 12x − 15m= (m+ 1)x − 2(m− 1)x + m− = a) d) 2x − = x + b) 4x + = 2x + c) x2 − x + = x2 + 6x + = 2x − e) x2 − 4x − = 4x − 17 4x − 17 = x2 − 4x − 5g) x − − x + 2x + = 2x + h) x − + x + + x − = 14 i) x − + − x = 2x f) Bài 2: Giải phương trình sau: a) 4x + = 4x + b) 2x − = 3− 2x e) (m− 1)x + (2 − m)x − 1= f) mx2 − 2(m+ 3)x + m+ 1= c) x − + 2x + = 3x d) x2 − 2x − = x2 + 2x + h) (m+ 1)x2 + 2(m+ 4)x + m+ 1= e) 2x − + 2x2 − 7x + = f) x + + 7− x = 10 Bài 8: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính: 2; A = x12 + x2 3; B = x13 + x2 C = x14 + x24 ; D= x1 − x2 ; a) x2 − x − = b) 2x2 − 3x − = c) 3x2 + 10x + = Bài 9: Cho phương trình: (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x + m− = (*) Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt b) (*) có nghiệm Tính nghiệm c) Tổng bình phương nghiệm Bài 10: Cho phương trình: x2 − 2(2m+ 1)x + 3+ 4m= (*) a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 b) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m c) Tính theo m, biểu thức A = x13 + x2 d) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm e) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x2, x2 HD: a) c) A = m≥ b) x + x − x x = −1 2 Bài 3: Giải phương trình sau: a) x2 − 2x + x − − 1= b) x2 − 2x − x − + = c) x2 − 2x − x − − = d) x2 + 4x + x + = e) f) x2 + 6x + x + + 10 = 4x2 − 4x − 2x − − 1= Bài 4: Giải biện luận phương trình sau: a) mx − = b) mx − x + = x + c) mx + 2x − = x d) 3x + m = 2x − 2m Bài 5: Tìm giá trị tham số m cho phương trình sau có nghiệm nhất: mx − = x + Bài 6: Giải phương trình sau: a) 2x − = x − 3b) d) x2 + x − 12 = 8− x e) x2 + 2x + = 2− x f) 3x2 − 9x + = x − g) 3x2 − 9x + = x − i) (x − 3) x2 + = x2 − h) 5x + 10 = 8− x c) x − 2x − = x2 − 3x − 10 = x − Bài 7: Giải phương trình sau: a) (2 + 4m)(16m + 4m− 5) x2 − 6x + = x2 − 6x + b) (x − 3)(8− x) + 26 = − x2 + 11x c) (x + 4)(x + 1) − x2 + 5x + = x2 − 2(m− 1)x + m2 − 3m= (*) d) (x + 5)(2 − x) = x2 + 3x a) Tìm m để (*) có nghiệm x = Tính nghiệm lại b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập đối e) x2 + x2 + 11 = 31 f) x2 − 2x + 8− (4 − x)(x + 2) = d) m= 1± e) x − 2(8m2 + 8m− 1)x + (3+ 4m)2 = Bài 11: Cho phương trình: với m c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 + x22 = HD: a) m = 3; m = 4b) (x1 + x2)2 − 2(x1 + x2) − 4x1x2 − = c) m = –1; m = Bài 12: Cho phương trình: x2 − (m2 − 3m)x + m3 = Bài 8: Giải phương trình sau: a) x + 1− x − = b) 3x2 + 5x + − 3x2 + 5x + = c) x2 + − x2 − = 2d) 3x + − x + = a) Tìm m để PT có nghiệm bình phương nghiệm b) Tìm m để PT có nghiệm Tính nghiệm lại e) 1+ HD: a) m = 0; m = 1b) x2 = 1; x2 = − 7; x2 = −5 − g) x + 1− x = f) 5x + − 5x − 13 = x2 + x − + x2 + 8x − = Bài 9: Giải phương trình sau: a) x + + − x = 3+ (x + 3)(6 − x) b) 2x + + x + = 3x + (2x + 3)(x + 1) − 16 c) x − 1+ 3− x − (x − 1)(3− x) = d) 7− x + + x − (7− x)(2 + x) = e) x + 1+ 4− x + (x + 1)(4 − x) = 3x − + x − = 4x − 9+ 3x2 − 5x + 2 g) 1+ x − x2 = x + 1− x f) h) x + 9− x = − x2 + 9x + Bài 10: Giải phương trình sau: a) 2x − + 2x − + 2x + + 2x − = 14 b) x + 5− x + + x + − x + = c) 2x − 2x − − 2x + 3− 2x − + 2x + 8− 2x − = Bài 11: Giải phương trình sau: a) 1+ 10 50 2x + x + = − b) = x − x + (2 − x)(x + 3) 3x + x − x + x − 2x + x2 − 3x + d) + = = −1 x+ x− x+ x2 − 2x2 − 5x + 2x2 + x + 15 f) x + = 4x − e) = (x + 1)2 (2x − 1)2 x−1 x− c) Bài 12: Giải biện luận phương trình sau: mx − m+ mx + m− x− m x− a) = 3b) = c) + =2 x+ x− m x−1 x− m x x x+ m x+ = d) e) = x−1 x− x+ m x+ Bài 13: Giải phương trình sau: a) x4 − 3x2 − = b) x4 − 5x2 + = 0c) x4 + 5x2 + = d) 3x4 + 5x2 − = e) x4 + x2 − 30 = Bài 14: Tìm m để phương trình: i) Vơ nghiệm ii) Có nghiệm iii) Có nghiệm iv) Có nghiệm v) Có nghiệm A – TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM: r r Cho a = (a1; a2 ) vaø b = (b1; b2 ) : a1 = b1 r r 2) a = b ⇔ a2 = b2 r r r 3) a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2) 4) ka = (k.a1 ; k.a2) rr r r r r r rr 5) a = a12 + a22 6) a.b = a b cos(a; b) hoaëc a.b = a1b1 r r r r 1) a = xi + y.j ⇔ a = (x; y) + a2b2 rr r r a.b 6) cos(a, b) = r r = a.b a1b1 + a2b2 a12 + a22 b12 + b22 r r r 7) a phương b ⇔ ∃k ∈ ¡ : b = k.a r r rr 8) a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 = Cho A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC) uuu r 9) AB = (xB – xA ; yB – yA) 10) AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 xA + xB xI = 11) I trung điểm AB y + y = A yB I xA + xB + xC xG = 12) G trọng tâm ∆ABC thì: y = yA + yB + yC G uuu r 13) Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB uuur phương AC PHẦN BÀI TẬP: VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục Bài 1: Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −2 uuu r a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB uuur uuur r c) Tìm tọa độ điểm M cho 2MA + 5MB = d) Tìm tọa độ điểm N cho 2NA + 3NB = −1 Bài 2: Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ −3 3MA − 2MB = b) Tìm tọa độ điểm N cho NA + 3NB = AB a) Tìm tọa độ điểm M cho Bài 3: Trên trục x'Ox cho điểm A(−2), B(4), C(1), D(6) a) x + (1− 2m)x + m − 1= b) x4 − (3m+ 4)x2 + m2 = c) x4 + 8mx2 − 16m= Bài 15: Giải phương trình sau: a) (x − 1)(x − 3)(x + 5)(x + 7) = 297 b) (x + 2)(x − 3)(x + 1)(x + 6) = −36 c) x4 + (x − 1)4 = 97 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG d) (x + 4)4 + (x + 6)4 = e) (x + 3) + (x + 5) = 16 f) 6x4 − 35x3 + 62x2 − 35x + = g) x4 + x3 − 4x2 + x + 1= a) Chứng minh rằng: AC + AD = AB b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh: IC ID = IA c) Gọi J trung điểm CD Chứng minh: AC AD = AB AJ Bài 4: Trên x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB uuur uuur uuur r b) Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB − MC = uuu r uuu r uuur NC c) Tìm tọa độ điểm N cho 2NA − 3NB = Bài 5: Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C, D tuỳ ý 4 a) Chứng minh: AB.CD + AC.DB + DA.BC = b) Gọi I, J, K, L trung điểm đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh đoạn IJ KL có chung trung điểm VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục Bài 1: Viết tọa độ vectơ sau: r r r 1r r r r r r r a = 2i + 3j ; b = i − 5j ; c = 3i ; d = −2 j r r r r 3r r r r r 1r r r r b) a = i − 3j ; b = i + j ; c = −i + j ; d = −4 j ; e = 3i 2 r r r r Bài 2: Viết dạng u = xi + yj biết toạ độ vectơ u r r r r là: a) u = (2; −3); u = (−1;4); u = (2;0); u = (0; −1) r r r r b) u = (1;3); u = (4; −1); u = (1;0); u = (0;0) r r Bài 3: Cho a = (1; −2), b = (0;3) Tìm toạ độ vectơ r r r r r r r r r sau: a) x = a + b; y = a − b; z = 2a − 3b r r r r r r r 1r b) u = 3a − 2b; v = + b; w = 4a − b r 1 r r Bài 4: Cho a = (2;0), b = −1; ÷, c = (4; −6) 2 r r r r a) Tìm toạ độ vectơ d = 2a − 3b + 5c r r r r b) Tìm số m, n cho: ma + b − nc = r r r c) Biểu diễn vectơ c theo a, b Bài 5: Cho hai điểm A(3; −5), B(1;0) uuur uuu r a) Tìm toạ độ điểm C cho: OC = −3AB a) b) Tìm điểm D đối xứng A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3 Bài 6: Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB Bài 7: Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2) a) Tìm toạ độ vectơ uuu r uuur uuu r AB, AC, BC b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB uuur uuu r uuur c) Tìm tọa độ điểm M cho: CM = 2AB − 3AC uuur uuur uuur r d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN + 2BN − 4CN = Bài 8: Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C b) Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC ... = f) 5x + − 5x − 13 = x2 + x − + x2 + 8x − = Bài 9: Giải phương trình sau: a) x + + − x = 3+ (x + 3) (6 − x) b) 2x + + x + = 3x + (2x + 3) (x + 1) − 16 c) x − 1+ 3 x − (x − 1) (3 x) = d) 7− x +... m = Bài 12: Cho phương trình: x2 − (m2 − 3m)x + m3 = Bài 8: Giải phương trình sau: a) x + 1− x − = b) 3x2 + 5x + − 3x2 + 5x + = c) x2 + − x2 − = 2d) 3x + − x + = a) Tìm m để PT có nghiệm bình... x− a) = 3b) = c) + =2 x+ x− m x−1 x− m x x x+ m x+ = d) e) = x−1 x− x+ m x+ Bài 13: Giải phương trình sau: a) x4 − 3x2 − = b) x4 − 5x2 + = 0c) x4 + 5x2 + = d) 3x4 + 5x2 − = e) x4 + x2 − 30 = Bài