Pascal - Thuật toán về mảng

Sơ lợc về các chủ đề Sau đây là sơ lợc về các chủ đề sẽ đợc đề cập trong phần này của chơng trình: + Phần cơ sở: là các công cụ và phơng pháp đợc dùng xuyên suốt cho tất cả các chơng sau

Sơ lợc về các chủ đề

Sau đây là sơ lợc về các chủ đề sẽ đợc đề cập trong phần này của chơng trình: + Phần cơ sở: là các công cụ và phơng pháp đợc dùng xuyên suốt cho tất cả các chơng sau của phần này Nó gồm một phần bàn luận ngắn về Pascal, theo sau là giới thiệu về các cấu trúc dữ liệu cơ bản gồm mảng, xâu liên kết, ngăn xếp, hàng

đợi và cây Chúng ta sẽ bàn luận về công dụng thực tiễn đệ quy và bắt đầu hớng tới việc phân tích và tiếp cận thực toán

+ Sắp xếp: Các phơng pháp sắp xếp sẽ đợc phát triển, đợc mô tả, đợc so sánh với nhau Các thuật toán cho nhiều vấn đề có liên quan sẽ đợc xem xét gồm có hàng

đợi u tiên, phép chọn và phép trộn Một vài nền tảng trong số này đợc dùng nh là nền tảng cho các thuật toán khác tiếp sau trong phần này

+ Xử lý chuỗi: gồm một loạt các phơng pháp để phân tích câu Các ky thuật nén tập và mật mã cũng sẽ đợc khảo sát Cũng vậy, một giới thiệu về các chủ đề nâng cao cùng đợc cung cấp qua việc xem xét một vài bài toán cơ bản quan trọng trong phạm vi của chúng

+ Hình học: là một sự tập hợp có chọn lọc các phơng pháp để giải quyết các bài toán liên quan đến điểm và đờng ( và các đối tợng hình học đơn giản khác ) Chúng ta sẽ xem xét các thuật toán để tìm bao lồi của một tập điểm, phần giao của các đối tợng, để giải bài toán điểm gần nhất, tìm kiếm nhiều chiều

+ Đồ thị: Một chiến lợc tổng quát để tìm kiếm trên các đồ thị sẽ đợc phát triển và

đợc áp dụng cho các bài toán liên thông cơ bản, gồm có đờng đi ngắn nhất, cây liên thông tối thiểu, mạng và so khớp Một sự xem xét thống nhất đối với các thuật toán này chứng tỏ rằng tất cả đều dựa vào một thủ tục và thủ tục này phụ thuộc vào một cấu trúc dữ liệu cơ bản đã phát triển trớc đó

+ Các thuật toán toán học: gồm các phơng pháp cơ bản từ số học và các số nguyên, đa thức, và ma trận cũng nh các thuật toán để giải quyết cac vấn đề toán học mà nó phát sinh trong nhiều ngữ cảnh : việc tạo số ngẫu nhiên, lỡi giải của các chơng trình đồng thời, xấp xỉ dữ liệu, và lấy tích phân Sự nhấn mạnh thiên về các khía cạnh thuật toán của phơng pháp, chứ không phải trên nền tảng của toán học + Các chủ đề cao cấp: đợc thảo luận nhằm mục đích liên hệ các chủ đề trong tập sách này với nhiều lĩnh vực nghiên cứu cao cấp khác Phần cứng chuyên dụng, quy hoạch động, quy hoạch tuyến tính, tìm kiếm- vét cạn

I Sắp xếp:

1 Khái niệm:

a) Sắp xếp là một quá trình tổ chức lại một dãy các dữ liệu theo một trật tự nhất định

b) Mục đích của việc sắp xếp là nhằm giúp cho việc tìm kiếm dữ liệu một cách dễ dàng và nhanh chóng Sắp xếp là một việc làm hết sức cơ bản và đợc dùng rộng rãi trong các kĩ thuật lập trình nhằm sử lý dữ liệu

c) Các giải thuật sắp xếp đợc phân chia thành hai nhóm chính là:

- Sắp xếp trong (hay sắp xếp mảng)

Toàn bộ cơ sở dữ liệu cần sắp xếp phải đợc đa vào bộ nhớ chính của máy tính

Do đó nó thờng đợc sử dụng khi khối lợng dữ liệu không vợt quá dung lợng bộ nhớ chính

Nhóm sắp xếp trong bao gồm các phơng pháp :

* Phơng pháp đếm

* Phơng pháp chèn.

* Phơng pháp chọn

* Phơng pháp đổi chổ

* Phơng pháp trộn

- Sắp xếp ngoài (hay sắp xếp tập tin)

Vận dụng trong trờng hợp ta phải sắp xếp các tập tin chứa nhiều mẫu tin và mỗi mẫu tin có chiều dài tơng đối lớn do đó ta không thể nạp toàn bộ vào bộ nhớ chính

để sắp xếp thứ tự Vì vậy ta phải có những phơng pháp thích hợp cho việc sắp xếp tập tin

2 Sắp xếp trong:

a) Khái niệm:

Cấu trúc dữ liệu thích hợp cho các phần tử cần sắp xếp thứ tự là Record Mỗi phần tử có hai vùng đặc trơng là: Vùng Key để chứa khoá của phần tử và đợc

sử dụng trong các giải thuật tìm kiếm, vùng info dùng để chứa đữ liệu các phần tử

Ta khai báo :

Type

Item = Record

key : Integer;

Info : Integer;

End;

Var

A : Array[1 n] of Item;

Khoá của phần tử có thể là chữ hoặc số

Yêu cầu giải thích là dùng ít vùng nhớ và thời gian thực hiện nhanh

b) Phơng pháp đếm (Counting sort)

* Giải thích:

Nội dung của phơng pháp này là đếm các phần tử có khoá nhỏ hơn hay bằng khoá của các phần tử A[i] Nếu có j phần tử có khoá nhỏ hơn khoá của phần tử A[i] thì phần tử A[i] sẽ có vị trí theo thứ tự (j+1) trong dãy đã có thứ tự

Trong giải thuật, ta dùng mảng Count[i] ( i = 1, 2, n ) với Count[i] cho biết số phần tử có khoá nhỏ hơn khoá của phần tử A[i] Nh vậy Count[i+1] là vị trí của phần tử A[i] trong dãy đã có thứ tự

* Ví dụ:

Sắp xếp dãy 2 3 1 5 2 7 6 9 4

i: 1 2 3 4 5 6 7 8

Count: 2 0 4 1 6 5 7 3

Nh vậy phần tử có khoá 9 ở vị trí 8 vì Count[9]=7

* Thể hiện bằng Pascal:

Procedure Count_Sort;

Var

Count : Array[1 n] of Integer;

A : Array[1 n] of Item;

i,j : Integer;

Begin

For i := 1 to n do Count[i] := 0;

For i := n downto 2 do

For j := i-1 downto 1 do

If A[i].Key < A[j].Key Then

Count[j] := Count[j] + 1

Else Count[i] := Count[i] + 1;

For i := 1 to n do S[Count[i] + 1] := A[i];

For i := 1 to n do A[i] := S[i];

End;

c) Phơng pháp chèn (Insertion Sort)

* Giải thích:

Nội dung của phơng pháp này là giả sử ta có dãy A[1] A[i-1] đã có thứ tự, có phải xác định vị trí thích hợp của phần tử A[i] trong dãy A[1] A[i - 1] bằng phơng pháp tìm kiếm tuần tự từ A[i - 1] trở về A[1] để tìm ra vị trí thích hợp của A[i] Ta chèn A[i] vào vị trí này và kết quả là đãy A[1] A[i] có thứ tự Ta áp dụng cách làm này với i = 2, 3, , n

* Ví dụ:

Ta phải sắp xếp dãy số:

39 50 7 37 89 13 1 62

i=2 39 50 7 37 89 13 1 62

i=3 39 50 7 37 89 13 1 62

i=4 7 39 50 37 89 13 1 62

i=5 7 37 39 50 89 13 1 62

i=6 7 37 39 50 89 13 1 62

i=7 7 13 37 39 50 89 1 62

i=8 1 7 13 37 39 50 89 62

1 7 13 37 39 50 89 62

* Thể hiện bằng Pascal:

Procedure Insertion_Sort;

Var

x : Item;

i,j : Integer;

Begin

For i := 2 to n do

Begin

x := A[i];

A[0] := x;

j := j - 1;

While x.Key < A[j].Key do

Begin

A[j+1] := A[j];

j := j - 1;

End;

A[j+1] := x;

End;

End;

d) Phơng pháp chọn (Selection Sort)

* Giải thích:

Nội dung của phơng pháp này là ở bớc thứ i (i = 1, 2, 3, , n-1 ) ta lựa chọn phần

tử nhỏ nhất trong dãy A[i] A[n] rồi đổi chổ phần tử này với phần tử A[i] Cuối cùng ta sẽ có dãy A[1] A[n] có thứ tự

* Ví dụ:

Ta phải sắp xếp dãy số :

39 50 7 37 89 13 1 62

i=1 39 50 7 37 89 13 1 62

i=2 1 50 7 37 89 13 39 62

i=3 1 7 50 37 89 13 39 62

i=4 1 7 13 37 89 50 39 62

i=5 1 7 13 37 89 50 39 62

i=6 1 7 13 37 50 50 39 62

i=7 1 7 13 37 39 50 89 62

1 7 13 37 39 50 89 62

* Thể hiện bằng Pascal:

Procedure Selection_Sort;

Var

x : Item;

i,j ,k : Integer;

min : Integer;

Begin

For i := 2 to n-1 do

Begin

min := A[i].Key;

k := i;

For i := 1 to n-1 do

For j := i+1 to n do

If A[j].Key < min Then

Begin

min := A[j].Key;

k := j;

End;

x := A[k];

A[k] := A[i];

A[i] := x;

End;

End;

e) Phơng pháp đổi chỗ:

Có rất nhiều phơng pháp sắp xếp dựa trên việc đổi chỗ giữa 2 phần tử của dãy Sau đây chúng ta xét các phơng pháp:

- Bubble Sort

- Shake Sort

- Sell Sort

- Quick Sort

* Bubble Sort:

* Giải thích:

Nội dung của phơng pháp này là duyệt các dãy A[1], , A[n] Nếu A[i].Key > A[i+1].Key (i = 1, 2, 3, , n-1)#0 thì ta đổi chỗ A[i].Key với phần tử A[i+1].Key Lập lại quá trình duyệt dãy này cho đến khi không còn việc đổi chổ của hai phần tử

Chú ý rằng bất cứ lúc nào phần tử nhỏ nhất cũng gặp trớc tiên Nó nh những bột khí nhẹ sẽ nổi lên trên khi đun nớc Sau đó ở thứ hai phần tử nhỏ thứ 2 sẽ đợc đặ vào đúng một vị trí Vì vậy sắp xếp nổi bột thao tác nh một kiểu sắp xếp chọn, mặc dù nó không làm nhiều việc hơn để đa từng phần tử vào đúng vị trí

* Ví dụ:

Ta phải sắp xếp dãy số:

39 50 7 37 89 13 1 62

Bớc 0 1 2 3 4 5 6 7

50 1 1 1 1 13 1 62

39 39 7 7 7 7 7 7

7 50 39 13 13 13 13 13

37 7 50 39 37 37 37 37

89 37 13 50 39 39 39 39

13 89 37 37 50 50 50 50

1 13 89 62 62 62 62 62

62 62 62 89 89 89 89 89

* Thể hiện bằng Pascal:

Procedure Bubble_Sort;

Var

x : Item;

i,j : Integer;

Begin

For i := 2 to n do

For j := n downto i do

If A[j-1].Key > A[j].Key Then

Begin

x := A[j-1];

A[j-1] := A[j];

A[j-1] := x;

End;

End;

* Cải tiến:

Ta nhận thấy rằng nếu ở một lần duyệt dãy nào đó mà không co s xẩy ra sự đổi chổ giữa hai phần tử thì dãy dang sắp đã có thứ tự và giải thuật kết thúc

Ta có thể cài đặt cờ để ghi nhận điều này và có chơng trình sau:

Procedure Bubble_Sort2;

Var

x : Item;

i : Integer;

flag : Boolean;

Begin

flag := true;

While flag do

Begin

flag := False;

For i := 1 to n-1 do

If A[i].Key > A[i+1].Key Then

Begin

x := A[i];

A[i] := A[i+1];

A[i+1] := x;

End;

End;

End;

f* Shake Sort:

* Giải thích:

Phơng pháp này là một cải tiến của phơng pháp Bubble Sort theo hớng "Không những phần tử nhẹ nổi lên trên mà cả phần tử nặng cũng xuống dới" giống nh khi

ta rung"rung" một cái nồi và thuật toán sắp xếp phải đợc điều khiển cả hai quá trình "nổi lên" và "chìm xuống" này một cách tự giác Muốn vậy ta phải ghi nhớ lần đổi chổ cuối cùng khi duyệt dãy từ trên lên và khi duyệt từ trên xuoóng để quyết định chu trình kế tiếp sẽ duyệt từ đâu đến đâu

* Ví dụ:

Sắp xếp dãy số:

39 50 7 37 89 13 1 62

d = 2 3 3 4 4

c = 8 8 7 7 4

39 1 1 1 1

50 39 39 7 7

7 50 7 39 13

37 7 37 13 37

89 37 50 37 39

13 89 13 50 50

1 13 62 62 62

62 62 89 89 89

* Thể hiện bằng Pascal:

Procedure Shake_Sort;

Var

x : Item;

i,k,d,c : Integer;

Begin

d := 2;

c := n;

k := n;

Repeat

For i := c downto d do

If A[i-1].Key > A[i].Key Then

Begin

x := A[i-1];

A[i-1] := A[i];

A[i-1] := x;

k := i;

End;

d := d + 1;

For i := d to c do

If A[i-1].Key > A[i].Key Then

Begin

x := A[i-1];

A[i-1] := A[i];

A[i-1] := x;

k := i;

End;

c := k-1;

Until d>c;

End;

g * Shell Sort:

* Giải thích:

Các phơng pháp sắp xếp dã trình bày ở trên nói chung đều di chuyển mỗi phần tử

đi một vị trí trong mỗi bớc Phơng pháp Shell Sort dựa trên ý tởng chính là hoán các phần tử ở xa nhau Để làm đợc việc đó ta cần phải sắp các tập tin để nó có tính chất là việc lấy mọi phần tử thứ h (bắt đầu từ vị trí bất kì nào) cũng đều cho ra tập tin đã sắp Một tập tin nh vậy đợc gọi là sắp theo độ dài bớc h Một cách nói khác, một tập tin dợc sắp theo độ dài bớc h là tập tin đợc sắp độc lập với nhau, đan xen vào nhau Bằng cách sắp xếp theo độ dài bớc h ứng với vài giá trị h khá lớn, chúng

ta có thể di chuyển các phần tử ở những khoảng cách xa nhau trong mảng và vì vậy dễ dàng hơn để sắp xếp độ dài bớc h các giá tri nhỏ hơn Dùng thủ tục cho bất kì một dãy các giá trị của h tận cùng là 1 sẽ cho ra một tập tin đã sắp xong: Dó chính là Shell Sort

* Ví dụ:

Ta phải sắp xếp dãy số:

39 50 7 39 89 13 1 62

Bớc 1: 4-Sort

39 50 7 39 89 13 1 62

39 13 1 37 89 50 7 62

Bớc 2: 2-Sort

39 13 1 37 89 50 7 62

1 13 7 37 39 50 89 62

Bớc 3: 1-Sort

1 13 7 37 39 50 89 62

1 7 13 37 39 50 89 62

* Thể hiện bằng Pascal:

Chú ý:

- Ta dùng dãy phụ chứa dộ tăng h[i], , h[t] để điều khiển quá trình sắp xếp thứ

tự với h[t]=1 Việc chộn các độ tăng thích hợp sẽ làm giảm thời gian sắp thứ tự

- Dặt h1 = h[1] ta phải khai báo dãy a nh sau:

A : Array[1 n] of Item;

các phần tử A[i] (i<=0) là các lính canh Sau đây ta chọn:

h[1] = 9, h[2] = 5, h[3] = 3, h[4] = 1

Procedure Shell_Sort;

Const

t = 4;

Var

x : Item;

i,j,k,s,m: Integer;

h : Array[1 t] of Integer;

Begin

h[1] = 9;

h[2] = 5;

h[3] = 3;

h[4] = 1;

For m := 1 to t do

Begin

k := h[m];

s := -k;

For i := k+1 to n do

Begin

x := A[i];

j := i - k;

If s = 0 Then s:=-k;

s := s + 1;

A[s] := x;

While x.Key<A[j].Key do

Begin

A[j+k] :=A[j];

j := j - k;

End;

A[j+k] := x;

End;

End;

End;

h Quick Sort:

* Giải thích:

Nội dung của phơng pháp này là chọn phần tử x ở giữa của dãy làm chuẩn để so sánh Ta phân hoạch dãy này thành 3 dãy con liên tiếp nhau:

- Dãy con thứ nhất gồm phần tử có khoá nhỏ hơn x.key

- Dãy con thứ hai gồm các phần tử có khoá bằng x.key

- Dãy con thứ ba gồm các phần tử có khoá lớn hơn x.key

Sau đó áp dụng giải thuật phân hoạch này cho dãy con thứ nhất nhất và dãy con thứ ba, nếu các dãy con có nhiều hơn một phần tử (Đệ qui)

Cụ thể là xét một doạn của dãy từ thành phần L đến thành phần thứ R.

- Lấy giá trị của thành phần thứ (L+R) Div 2 gán vào biến X

- Cho i ban đầu là L

- Cho j ban đầu là R

- Lập lại

* Chừng nào còn A[i] < X thì tăng i

* Chừng nào còn A[j] > X thì giảm j

* i<=j thì

+ Hoán vị A[i] và A[j]

+ Tăng i

+ Giảm j

Cho đến khi i>j

+ Sắp xếp đoạn từ A[L] đến A[j]

+ Sắp xếp đoạn từ A[i] đến A[R]

* Ví dụ:

Sắp xếp dãy số:

39 50 7 37 89 13 1 62

X = 37

Sau 2 lần đổi chổ ta đợc dãy:

1 13 7 37 89 50 39 62

Xử lý dãy con:

1 13 7

Ta đợc:

1 7 13

Sử lý dãy con:

89 50 39 62

Ta đợc:

39 50 89 62

39 50 62 89

Vậy dãy đã sắp xếp là:

1 7 13 39 50 62 89

* Thể hiện bằng Pascal:

Để đơn giản ta viết thủ tục sắp một mảng số nguyên đợc truyền tham biến

Procedure Quick_Sort(Var A : Array[1 n] of Integer);

Procedure Sort(L,R : Integer);

Var

i,j,Tg,X : Integer;

Begin

X := A[(L+R) Div 2];

i := L;

j := R;

Repeat

While (A[i] < X) do Inc(i);

While (A[j] > X) do Dec(j);

If i <= j Then

Begin

Tg := A[i];

A[i] := A[j];

A[j] := Tg;

Inc(i);

Dec(j);

End;

Until i>j;

If L < j Then Sort(L,j);

If i < R Then Sort(i,R);

End;

Begin

Sort(1,n);

End;

i Phơng pháp trọn (Merging Sort)

* Giải thích:

Nội dung của phơng pháp này là chia dãy số cần sắp thành các dãy con đã có thứ tự(goi là các Run) và có số phần tử là luỹ thừa 2 sau đó tìm cách trộn dần chúng với nhau thành các Run có thứ tự chiều dài tăng dần cho đến khi chỉ còn một Run thì quá trình sắp xếp kết thúc

Ta có giải thuật sau đây để trộn 2 Run x và y cùng thứ tự có chiều dài lần lợt là m

và n thành một run z có chiều dài là m + n

Procedure Merge;

Var

i,j,k : Integer;

Begin

i := 1;

j := 1;

k := 1;

While (i <= m) and (j <= n) do

Begin

If X[i] < Y[j] Then

Begin

Z[k] := X[j];

i := i + 1;

End

Else

Begin

Z[k] := Y[j]

j := j + 1;

End;

k := k + 1;

End;

While i<=m do

Begin

Z[k] := X[j];

k := k + 1;

i := i + 1;