Swing up và điều khiển con lắc ngược

Trong những năm gần đây, nền công nghiệp nước ta đã và đang phát triển với tốc độ cao. Song song với sự phát triển đó là hàng loạt các robot công nghiệp với nhiều tính năng vượt trội được ra đời nhằm hỗ trợ, nâng cao năng suất lao động. Nhiều lý thuyết điều khiển hiện đại cũng như kinh điển được nghiên cứu, áp dụng vào hệ thống như: PID, LQR, ROOT LOCUS, FUZZY... “Con lắc ngược” là một trong những mô hình robot đơn giản được nghiên cứu nhằm kiểm chứng lại các lý thuyết điều khiển kinh điển cũng như hiện đại đã được nêu trên.

LỜI MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, nền công nghiệp nước ta đã và đang phát triển với tốc

độ cao Song song với sự phát triển đó là hàng loạt các robot công nghiệp với nhiều tínhnăng vượt trội được ra đời nhằm hỗ trợ, nâng cao năng suất lao động Nhiều lý thuyếtđiều khiển hiện đại cũng như kinh điển được nghiên cứu, áp dụng vào hệ thống như: PID,LQR, ROOT - LOCUS, FUZZY

“Con lắc ngược” là một trong những mô hình robot đơn giản được nghiên cứunhằm kiểm chứng lại các lý thuyết điều khiển kinh điển cũng như hiện đại đã được nêu

trên Nhận biết được tầm quan trọng của vấn đề đó, em đã chọn đề tài : “Điều khiển cân

bằng và thiết kế bộ Swing – up cho con lắc ngược” Đồ án của em bao gồm 5 chương:

- Chương 1 : Tổng quan về hệ thống con lắc ngược.

- Chương 2 : Xây dựng mô hình toán học hệ thống con lắc ngược.

- Chương 3 : Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho con lắc ngược.

- Chương 4 : Thiết kế bộ điều khiển Swing-up cho con lắc ngược.

- Chương 5 : Kết luận và đánh giá

Bằng sự cố gắng, nỗ lực nghiên cứu của bản thân, đặc biệt là sự hướng dẫn tậntình, chu đáo của thầy Ts Dương Minh Đức, em đã hoàn thành đồ án đúng thời hạn Dothời gian thực hiện đề tài là có hạn, cũng như kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thểtránh khỏi những sai sót Em mong được sự đóng góp ý kiến từ các thầy cô cũng như cácbạn để đồ án được hoàn thiện hơn nữa

Sinh viên thực hiện

Lê Tuấn Minh

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VỀ HỆ THỐNG CON LẮC NGƯỢC

1.1 Đặt vấn đề

Trong cuộc sống hiện đại, các phương tiện di chuyển của con người ngày càngđược hoàn thiện hơn, không chỉ về kích cỡ, kiểu dáng, tiện ích mà con tiết kiệm nănglượng và bảo vệ môi trường Việc phát minh ra xe hai bánh tự cân bằng (SEGWAY) làmột bước tiến quan trọng của khoa học, phát minh này giúp cho việc di chuyển của conngười trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn bao giờ hết Nó được đánh giá là một trongnhững phương tiện di chuyển của tương lai

Hình 1.1: Xe hai bánh tự cân bằng

Vấn đề đặt ra khi thiết kế Segway là làm thế nào để xe có thể tự cân bằng khi hoạtđộng? Đây chính là bài toán điều khiển cân bằng con lắc ngược – một vấn đề rất đượcquan tâm trong lĩnh vực điều khiển Mô hình thực tế con lắc ngược có thể dùng để kiểmchứng lại các lý thuyết điều khiển như PID, Root Locus, State Space, Fuzzy, NeuralNetwork… Tuy nhiên con lắc ngược cũng đặt ra nhiều thách thức đối với lý thuyết điềukhiển cũng như các thiết bị điều khiển chúng Vì đây là hệ thống phi tuyến nên vấn đềđiều khiển ổn định con lắc gặp khá nhiều khó khăn

Trong đó:

1.2 Mô tả hoạt động của hệ thống con lắc ngược

Hình 1.2: Mô hình con lắc ngượcXét hệ thống con lắc ngược như ở hình 1.2 Một thanh có chiều dài 2l được gắnvới giá đỡ thông qua một khớp quay, giá đỡ này có thể dịch chuyển tự do dọc theo thanhray Chúng ta chỉ xét bài toán trong không gian hai chiều, nghĩa là con lắc chỉ chuyểnđộng trong mặt phẳng Hệ thống con lắc ngược không thể tự ổn định trừ khi có ngoại lựctác động thích hợp Yêu cầu thiết kế là giữ cho con lắc luôn thẳng đứng (vị trí cân bằng)

Hình 1.3: Nguyên lý hoạt động của hệ thống con lắc ngượcNguyên tắc điều khiển cân bằng con lắc ngược: khi con lắc bị nghiêng sang một

Xe hai bánh tự cân bằng Điều khiển góc phóng tên lửa

1.3 Tầm quan trọng và ý nghĩa thực tiễn của đề tài

Hệ thống con lắc ngược là hệ thống phức tạp có tính phi tuyến cao và không ổnđịnh Các vấn đề điều khiển liên quan đến hệ thống này bao gồm thiết kế bộ điều khiểnSwing – up, thiết kế bộ điều khiển giữ cân bằng cho con lắc…là những vấn đề rất thú vị

và là thách thức của lĩnh vực điều khiển tự động Bên cạnh đó, nếu hệ thống được chế tạovới độ chính xác và tin cậy cao thì đây là mô hình lý tưởng để thực hiện các thí nghiệmthu thập dữ liệu, từ đó có thể sử dụng các thuật toán nhận dạng để nhận dạng mô hình của

hệ thống con lắc ngược

Con lắc ngược là cơ sở để tạo nên những hệ thống tự cân bằng như: xe hai bánh tựcân bằng, tháp vô tuyến, giàn khoan, robot hình người, công trình biển Khi các lýthuyết điều khiển hiện đại ngày càng hoàn thiện hơn thì con lắc ngược là một trong cácđối tượng được áp dụng để kiểm tra các lý thuyết đó

Hình 1.4: Các ứng dụng điều khiển con lắc ngược

1.3 Mục tiêu và phương pháp thực hiện đề tài

Mục tiêu của đề tài là khảo sát các phương trình động lực học, xây dựng mô hìnhtoán học, mô phỏng đặc tính hoạt động của hệ thống con lắc ngược

Đề tài đi sâu vào nghiên cứu, khảo sát một số phương pháp điều khiển có thể ápdụng cho hệ con lắc ngược; tiến hành tổng hợp, thiết kế bộ điều khiển và xây dựng các

mô hình mô phỏng của giải thuật điều khiển ứng dụng vào hệ con lắc ngược; so sánh cáckết quả mô phỏng đạt được về đặc tuyến làm việc, thời gian xác lập, sự ổn định của hệthống Từ đó, phân tích các ưu điểm và khuyết điểm của các phương pháp điều khiển vàlựa chọn ra phương pháp thích hợp nhất

1.4 Nội dung của đề tài

Đề tài gồm có những nội dung chính sau:

Chương 1 : Giới thiệu về hệ thống con lắc ngược

Nội dung chính của chương này là nêu khái quát về hệ thống con lắc ngược: Môhình con lắc; tầm quan trọng và ý nghĩa thực tiễn của việc điều khiển con lắc ngược, mụctiêu và phương pháp thực hiện đề tài

Chương 2 : Xây dựng mô hình toán học của hệ thống con lắc ngược

Chương này trình bày cách thiết lập các phương trình toán học của con lắc dựatrên những thông số vật lý cho trước, đó là cơ sở để phục vụ cho việc tuyến tính hóa vàxây dựng mô hình toán học cho hệ thống con lắc ngược

Chương 3 : Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

Từ mô hình toán học của con lắc đã xây dựng được ở Chương 2, đề xuất ra haigiải thuật điều khiển cân bằng cho con lắc là PID và LQR Dựa vào kết quả mô phỏngtrên Matlab để đánh giá về ưu, nhược điểm của từng phương pháp; so sánh và lựa chọnphương pháp điều khiển thích hợp

Chương 4 : Thiết kế bộ điều khiển Swing-up cho hệ thống con lắc ngược

Chương này trình bày cách xây dựng giải thuật Swing – up cho hệ con lắc ngược,truyền cho con lắc một năng lượng đủ lớn để làm cho con lắc chuyển động đến vị trímong muốn Sau đó nghiên cứu việc kết hợp hai giải thuật: điều khiển cân bằng và Swing– up

Chương 5 : Kết luận và đánh giá

Với : Lực tiếp tuyến

Và : Lực hướng tâm

Phân tích tổng các lực tác động lên giá đỡ theo phương ngang ta được phươngtrình chuyển động:

(2.1)Tổng hợp các lực tác động lên con lắc theo phương ngang:

(2.2)Suy ra:

(2.3)

Từ (2.1), (2.3) :

(2.4)

Lấy tổng các lực vuông góc với con lắc, ta có phương trình:

(2.5)Nhân cả 2 vế với l ta có:

(2.6)Tổng hợp Momen của con lắc với trọng tâm trùng với tâm con lắc, ta có:

(2.7)Kết hợp (2.6) và (2.7) ta được:

(2.8)

Từ những phân tích và phương pháp thiết kế điều khiển trên, chúng ta sẽ tuyếntính hóa các công thức quanh vị trí cân bằng, θ = π, và coi như hệ thống ở trong một lâncận nhỏ quanh điểm cân bằng

Gọi là độ lệch của con lắc so với vị trí cân bằng, suy ra θ = π + Vì góc rất nhỏnên ta có thể xấp xỉ các công thức:

(2.9)(2.10)(2.11)

Áp dụng vào các công thức (4), (8) và thay thế F bởi u ta được:

(2.12)(2.13)

2.2 Xây dựng hàm truyền

Để có hàm truyền, ta phải chuyển các công thức (2.12) và (2.13) sang miền ảnhLaplace với điều kiện ban đầu bằng 0

(2.14)(2.15)

Từ công thức (2.14) suy ra:

(2.16)Thay vào công thức (2.15) ta có:

(2.17)

Ta được hàm truyền:

(2.18)Với:

Từ hàm truyền ta thấy có cả điểm cực và điểm không tại gốc tọa độ nên ta chia cả

tử và mẫu cho s ta được hàm truyền đối với vị trí con lắc:

(2.19)

Tương tự ,ta cũng có thể xây dựng hàm truyền đối với vị trí của giá đỡ như sau:

(2.20)

2.3 Xây dựng mô hình trạng thái của hệ thống con lắc ngược

Từ hai phương trình (2.12), (2.13) ở chương II, ta có:

(2.21)(2.22)

Rút từ phương trình (3.1) ta có:

(2.23)Thế (3.3) vào (3.2) ta có:

(2.24)

Khử mẫu và rút gọn (2.24) ta được:

(2.25) Bằng cách tương tự, ta cũng có phương trình:

(2.26)Phương trình động học của hệ thống con lắc ngược trong không gian trạng thái:

2.4 Kết luận

Ở chương này, chúng ta đã thực hiện được các công việc như sau:

- Từ các thông số vật lý, xây dựng phương trình động học mô tả hệ thống con lắcngược

- Tuyến tính hóa và xây dựng hàm truyền của vị trí giá đỡ và góc nghiêng của conlắc

- Xây dựng mô hình con lắc ngược trong không gian trạng thái

CHƯƠNG 3: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG CHO HỆ THỐNG CON

LẮC NGƯỢC

Các thông số kĩ thuật của hệ thống con lắc ngược:

l Khoảng cách từ trục quay tới trọng tâm của lắc 0.3 m

θ Góc nghiêng của con lắc so với phương thẳng đứng rad

3.1 Bộ điều khiển PID

Bộ điều khiển PID là giải pháp thích hợp cho một hệ thống SISO được miêu tả bởihàm truyền Ở đây, hệ thống con lắc ngược là hệ SIMO với một đầu vào là tín hiệu điềukhiển u; hai đầu ra là vị trí của giá đỡ và góc nghiêng của con lắc Về lý thuyết, để ápdụng được bộ điều khiển PID, chúng ta sẽ cố gắng điều khiển vị trí góc nghiêng của conlắc mà không quan tâm đến vị trí của giá đỡ

Yêu cầu thiết kế:

- Thời gian xác lập nhỏ hơn 5s

- Góc nghiêng của con lắc nhỏ hơn 0.05 rad so với phương thẳng đứng

–

Hình 3.1: Điều khiển với bộ điều khiển PID

uD

uP uI

3.1.1 Khái niệm về bộ điều khiển PID

Hình 3.2: Đáp ứng của hệ thống khi giữ KD, KI là hằng số, thay đổi Kp

0 0.5 1 1.5

tự động với yêu cầu chính xác (accurate), đáp ứng nhanh (fast response), độ quá điềuchỉnh nhỏ (small overshot)

Bộ điều khiển PID được mô tả bởi mô hình vào – ra:

(3.1)trong đó: e(t) là tín hiệu đầu vào, u(t) là tín hiệu đầu ra, Kp là hệ số khuếch đại, TI là hằng

Hình 3.3: Đáp ứng của hệ thống khi giữ KD, KP là hằng số, thay đổi KI

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Vai trò của khuếch đại Kp: Khi sai lệch e(t) càng lớn thì thông qua thành phần , tínhiệu điều chỉnh càng lớn (tác động điều khiển lớn) Bộ điều khiển tỉ lệ P giúp giảm thờigian đáp ứng, giảm sai lệch tĩnh nhưng không triệt tiêu được sai lệch tĩnh Tuy nhiên nếu

Kp lớn sẽ làm cho độ quá điều chỉnh lớn hoặc làm cho hệ mất ổn định

Khâu tích phân:

Khâu tích phân được mô tả bởi phương trình:

(3.4)Vai trò của khâu tích phân: Khi sai lệch e(t) chưa bằng 0 thì thông qua thành phần, bộ PID vẫn còn tạo ra tín hiệu điều chỉnh Bộ điều khiển tích phân I có khả năng triệttiêu sai lệch tĩnh, nhưng nếu KI quá lớn sẽ làm cho hệ dao động

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.5 1

độ quá điều chỉnh; cải thiện đáp ứng quá quá độ của hệ thống, tuy nhiên đôi khi làm hệmất độ ổn định do khá nhạy cảm với nhiễu

Các ảnh hưởng của bộ điều khiển P, I, D với hệ kín được tổng hợp trong bảng dướiđây:

Thời gian đápứng Độ quá điềuchỉnh Thời gian quáđộ Sai lệch tĩnh

Bảng 3.1: Ảnh hưởng của các thành phần KP, KI, KD đến đáp ứng của hệ kín

Hình 3.5: Cấu trúc bộ điều khiển PID cho hệ thống con lắc ngược

Chú ý: Những tương quan trên có thể không chính xác trong nhiều tình huống,

bởi KP, KI, KD phụ thuộc vào nhau Trong thực tế việc thay đổi một trong những thông sốtrên có thể làm thay đổi sự ảnh hưởng của hai thông số còn lại Vì lí do này, bảng chỉ nên

sử dụng như một tài liệu tham khảo khi ta cần xác định các giá trị KP, KI, KD

Chất lượng hệ thống phụ thuộc vào các tham số KP , KI , KD Muốn hệ thống cóđược chất lượng như mong muốn thì phải phân tích đối tượng, rồi trên cơ sở đó chọn cáctham số cho phù hợp

Phương pháp chỉnh định bằng tay bộ điều khiển PID:

Khi thiết kế bộ điều khiển PID cho một hệ thống; làm theo các bước sau đây đểnhận được đáp ứng mong muốn:

1) Mô phỏng đáp ứng của hệ kín với KP = 1, KI = 1, KD = 1

2) Điều chỉnh KP để cải thiện thời gian đáp ứng

3) Điều chỉnh KI để cải thiện thời gian đáp ứng và triệt tiêu sai lệch tĩnh

4) Điều chỉnh KD để giảm độ quá điều chỉnh

5) Nếu đáp ứng chưa đạt được các yêu cầu thiết kế thì tiếp tục điều chỉnh từng hệ số

KP, KI, KD cho đến khi nhận được đáp ứng mong muốn

Hình 3.6: Sơ đồ khối hệ thống được sắp xếp lại

Để cho đơn giản và thuận tiện cho quá trình tính toán và thiết kế bộ điều khiển,

mô hình hệ thống được sắp xếp lại như sau:

Hàm truyền hệ kín:

(3.6)Trong đó, là hàm truyền đối với vị trí con lắc:

(3.7)Với:

Hình 3.7: Sơ đồ khối hệ thống với bộ điều khiển PID

3.1.3 Thiết kế bộ điều khiển PID cho đối tượng con lắc ngược

Lựa chọn tham số lần 1: KP = 1, KI = 1, KD = 1:

0 10 20 30 40 50

60 DAP UNG CUA GOC NGHIENG CON LAC VOI BO DIEU KHIEN PID: Kp = 1, Ki = 1, Kd = 1

THOI GIAN (sec)

Hình 3.8: Đáp ứng của góc nghiêng con lắc với KP = 1, KI = 1, KD = 1

Nhận xét: Hệ chưa ổn định, ta sẽ điều chỉnh đáp ứng của hệ bằng cách tăng hệ số tỉ lệ KP

Lựa chọn tham số lần 2: KP = 100, KI = 1, KD = 1:

-0.15

-0.1 -0.05

0 0.05 0.1 0.15 0.2

System: G Settling Time (sec): 1.64 DAP UNG CUA GOC NGHIENG CON LAC VOI BO DIEU KHIEN PID: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 1

THOI GIAN (sec)

Hình 3.9: Đáp ứng của góc nghiêng con lắc với KP = 100, KI = 1, KD = 1

Nhận xét: Ta thấy hệ ổn định với thời gian xác lập 1.64s < 5s (theo yêu cầu thiếtkế), sai lệch tĩnh bằng 0 nên ta không cần phải điều chỉnh KI Tuy nhiên độ quá điềuchỉnh vẫn còn lớn nên ta cần tăng KD để giảm độ quá điều chỉnh

System: G Settling Time (sec): 0.844 DAP UNG CUA GOC NGHIENG CON LAC VOI BO DIEU KHIEN PID: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20

THOI GIAN (sec)

Hình 3.10: Đáp ứng của góc nghiêng con lắc với KP = 100, KI = 1, KD = 20

Nhận xét: Độ quá điều chỉnh đã được giảm xuống, nghĩa là góc nghiêng của conlắc nhỏ hơn 0.05 rad so với phương thẳng đứng, thời gian đáp ứng của góc nghiêng conlắc là 0.844s < 5s Tất cả các chỉ tiêu trên đều thỏa mãn yêu cầu thiết kế đã đặt ra nên bộđiều khiển PID dùng để ổn định góc nghiêng con lắc mà ta đã thiết kế là hoàn toàn phùhợp

3.1.4 Vấn đề của bộ điều khiển

Ở phần trên chúng ta chỉ quan tâm đến việc điều khiển góc nghiêng của con lắc

mà không quan tâm đến vị trí của giá đỡ Bây giờ ta sẽ xem xét đến vấn đề trên sẽ ảnhhưởng như thế nào đến vị trí của giá đỡ

Sơ đồ khối hệ thống:

Hình 3.11: Sơ đồ khối hệ thống nếu xét đến cả vị trí giá đỡ

Sơ đồ khối hệ thống được sắp xếp lại:

Hình 3.12: Sơ đồ khối hệ thống được sắp xếp lạiHàm truyền hệ kín:

Giữ nguyên Ppend(s) và C(s) như ở phần trước Ta quan sát đáp ứng của hệ thốngvới bộ điều khiển PID: KP = 100, KI = 1, KD = 20

DAP UNG CUA VI TRI GIA DO VOI BO DIEU KHIEN PID: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20

THOI GIAN (sec)

Hình 3.13: Vị trí giá đỡ khi sử dụng bộ điều khiển PID

Ta thấy giá đỡ chuyển động theo chiều âm với vận tốc không đổi Vì thế tuy bộđiều khiển PID ổn định được góc nghiêng của con lắc nhưng việc thiết kế bộ điều khiểnnày không thể thực hiện với các hệ thống thực tế

3.2 Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu LQR

3.2.1 Các điểm cực vòng hở

Xét hệ thống con lắc ngược được mô tả bởi mô hình trạng thái:

(3.8)Với các ma trận:

và 4 biến trạng thái lần lượt đại diện cho vị trí giá đỡ, vận tốc chuyển động của giá đỡ,góc nghiêng của con lắc, vận tốc góc của con lắc Tín hiệu vào là tín hiệu điều khiển vàhai đầu ra là vị trí của giá đỡ và góc nghiêng của con lắc

Bước đầu tiên để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái là xác định các điểmcực vòng hở của hệ thống (giá trị riêng của ma trận A) Hệ ổn định BIBO khi và chỉ khi

ma trận A có tất cả các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo

Qua tính toán ta thu được các điểm cực vòng hở là:

Ta thấy có một điểm cực nằm bên phải trục ảo

Kết luận: hệ không ổn định

3.2.2 Kiểm tra tính điều khiển được

Theo tiêu chuẩn Kalman: Hệ tuyến tính điều khiển được khi và chi khi ma trậnđiều khiển có hạng là n Nghĩa là ma trận phải chứa n vector cột độc lập tuyến tính

Qua tính toán ta có:

Ta có:

Kết luận: hệ là điều khiển được

3.2.3 Phương pháp điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu (Linear Quadratic Regulator –LQR)

Hình 3.14: Sơ đồ khối bộ điều khiển LQR phản hồi âmXét đối tượng (3.8), ta giả sử tất cả các trạng thái đều đo được Bài toán đặt ra ởđây là tìm bộ điều khiển K tĩnh, phản hồi trạng thái của vector điều khiển tối ưu:

(3.9)

để ổn định đối tượng (3.8) theo các chỉ tiêu thiết kế mong muốn

Phương trình trạng thái của hệ kín là:

Khi hệ thống bị nhiễu đánh bật ra khỏi điểm cân bằng (hoặc điểm làm việc) đếnmột điểm trạng thái nào đó, bộ điều khiển sẽ kéo được hệ từ về gốc tọa độ 0 (hay điểmlàm việc cũ) Trong quá trình trở lại này, sự tổn hao năng lượng được đánh giá bởi hàmmục tiêu:

(3.11)Mục tiêu của phương pháp thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu LQR

là tìm K sao cho tích phân (3.11) đạt giá trị nhỏ nhất Hàm mục tiêu (3.11) được miêu tảbởi

Để bài toán có nghiệm, ma trận được giả thiết là ma trận đối xứng xác định không

âm và ma trận là ma trận đối xứng xác định dương, tức là:

(3.12) (3.13)Chú ý: Chất lượng đáp ứng đầu ra của hệ kín phụ thuộc vào việc lựa chọn thông sốcho hai ma trận và :

Nếu chọn lớn, để tích phân J nhỏ thì trạng thái phải nhỏ Điều này có nghĩa làcàng lớn sẽ làm cho các điểm cực của hệ kín (giá trị riêng của ma trận ) nằm càng xa trục

ảo về bên trái, tức là thời gian xác lập giảm

Nếu chọn lớn, để tích phân J nhỏ thì tín hiệu điều khiển u phải nhỏ, dẫn đến trạngthái x lớn, thời gian xác lập tăng Thông thường R được chọn bằng 1

Ma trận được tính như sau:

(3.14)Với P là nghiệm của phương trình Riccati:

(3.15)

Cách xác định ma trận Q:

Thông thường, ma trận được chọn theo luật Bryson như sau:

(3.16)Với:

(3.17)

− : là phần tử đường chéo thứ i của ma trận , là trọng số đại diện cho trạng thái

− là giá trị lớn nhất chấp nhận được của

Các bước thực hiện:

− B1: Chọn ma trận theo yêu cầu chất lượng đáp ứng

− B2: Giải phương trình Riccati, sau đó tính hệ số

− B3: Mô phỏng đáp ứng hệ thống với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tìm được

− B4: Nếu đáp ứng chưa thỏa mãn yêu cầu thì điều chỉnh và quay trở lại bước 2

3.2.4 Thiết kế bộ điều khiển LQR cho hệ thống con lắc ngược

Hệ con lắc ngược tịnh tiến là hệ thống có tính phi tuyến cao, tuy nhiên khi con lắctiếp cận vị trí cân bằng với góc lệch nhỏ, ta có thể tuyến tính hóa mô hình phi tuyến để

từ đó áp dụng bộ điều khiển LQR vào việc điều khiển cân bằng

Giả thiết:

- Hệ thống phản hồi trạng thái đầy đủ, nghĩa là ta có thể đo được 4 biến trạngthái (vị trí xe , vận tốc xe , góc lệch , vận tốc góc )

- Không có nhiễu tác động vào hệ thống

- Ban đầu giá đỡ ở vị trí , chúng ta sẽ điều khiển con lắc cân bằng tại vị trí đặtcủa giá đỡ là

- Thời gian xác lập của hệ nhỏ hơn 5s

- Góc nghiêng của con lắc luôn nhỏ hơn 0.05 (rad) so với phương thẳng đứng

Mô hình trạng thái của hệ thống con lắc ngược: