SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KY THI CHQN HOC SINH GIOI TINH HAI DUONG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN THỊ: TỐN HUONG DAN CHAM Ngay thi: 04 thang 10 nam 2017 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) (Điểm toàn bài lẫy điểm lé đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa)
Câu Nội dung Diem
1) Tim tất cả các gia tri cua m dé (C,) y=x°>—3mx+1 co hai diém cuc tri A, B sao cho (1,08)
diện tích AIAB bằng 8/2 với I(2;1) TXĐ: D=il ;y =3x?—-3m;y =0 <© x” =m (l) 025 (C„) có hai điểm cực trị A, B PT (1) có 2 nghiệm phân biệt < m > 0 ° Khi đó: 4(jứm;~2mlm +1), BÍ—m;2mlm +1) LI | Phương trình AB: y=—2mx+1 hay 2mx+ y-1=0 0.25 4m| 4m Ta có: AB =.|4m 4m’ +1), d(I;AB)= | = (Dom > 0) ( ), 4:48) V4m? +1 4m +1 1 1 4m Sy spr = ~-AB.d (I; AB) =—./4m(4m? +1), = =8)2 vaBl ~ > ( ) 2 m{ m ) Jam? ai 0,25 <> 4mm =8V2 © m/m =2V2 © m=2(TM) 025 Kết luận: m = 2
2) Một công ty muôn làm một đường ông dan dâu từ một kho A ở trên bờ đên một vị trí B trên một hòn đảo Hòn đảo cách bờ biên 6 km Goi C la diém trên bờ sao cho BC
vuông góc với bờ biên Khoảng cách từ A đên C là 2 km Người ta cân xác định một vị (1,04) trí D trên AC đê lắp ông dân theo đường gâp khúc ADB Tính khoảng cách AD dé so ° tién chi phi thap nhat, biet rang gia dé lap dat moi km đường ông trên bờ là
Trang 2khoảng băng 6,5 km 1) Giải phương trình ——— + tan x = cot’ x (1,0d) sin 2x 4 ain4
Diéu kién: sin2x' 0 PT tuong duong voi —.— = eos - me 0,25 sin 2x sin’ xcosx Wl) — =c0Đ7xTsin x â 1=cos2x.cosx 0,25 cos x & cos’2x+cos2x-2=0 0,25 2x=1 , ` cose kêt hợp với điêu kiện : phương trình vô nghiệm 0,25 c0s2x =—2 S x°—6x” +13x= y`+ +10 (1) 2) Giải hệ phương trình (1.08) 42x+y+2 2J5-x—y=x°-3x?°+10y—8 (2) 2x+y+2>0 * DK: S—-x-y20 0,25 (1© (x-2} +x-2=y`+y(*®) Xét hàm số #(=#+r Ta có ƒ (=3 +1>0VieR—= f(t) đồng biến trên R 025 Do đó (*)© y=x-2 : 12 | Thay y=x~2 vào (2) ta được :AJ3x —AJ7—2x =x° —3x? +10x—28 3(x-3)_ 2(x-3) ©x43x—3+1—-47—2x =x?—3x? +10x—30 © + =(x—3)(x’ +10 V3x+3 14+V7-2x ( \ ) 0.25 x=3 ©| 3 + 2 =x +10 , M3x+3 1+A7-2x °) 7 3 2 PT (3) vô nghiệm vì với 0<x<— thì + <1+2=3,x?+10>10 Vy h â) 5 VƠ3x+3 1+AV7-2x y 025 r = 3 > có nghiệm duy nhât {; 1 y = 1) Cho day sé (u,) có ø, =—7,ø, = 5w, -12 (n€0") Tim lim = (1,08) w„¡ =5M,—l12 ©w,¡—3=5(w„T—3) 0,25 Đặt v =z -3=>v,, =5y Vnc[]” = dấy số (y,) lập thành cấp số nhân có công bội 025 Hilt g=5,v,=u,-3=—10 ° >v,=v,q"' =-10.5"' >u, =-2.5"-3 0,25 = tim f= tim? = tim -2-3{ =) ]=2 0,25 5" 5" 5
3) 2) Trong mặt phăng Oxy, cho đường tròn (I) có hai đường kính AB và MN với (1;0đ) H2 A(;3), ;—1) Tiêp tuyên của (D tại B cắt các đường thăng AM và AN lân lượt tại E và F Tìm tọa độ trực tâm H của AMEE sao cho H nằm trên đường thắng
đ:x— y+6=0 và có hoành độ dương
Trang 3Đường tròn (I) có tâm I(2;1) ,bán kính r=/5 AF là đường cao tam giác MEF nên H,A,F thắng hàng 4 4 | ,: _ AI NI 1 L AI song song voi HM nên ——=——— =——> HM =2AI HM NM 2 0,25 Goi I’d6i xứng với I qua A nên 7 {0;5) II =2AI=HM, II //HM nên HMI I' là hình bình 025 hành => "H=IM=r=V5 Hed>H(;t+6),t>0;7'H =45 ©(-09°+(+6—5)? =5 0,25 t=1 © 2° +2t-4-06 :=-2() Vậy H(;?7) y HQ;7) 0,25
Cho hình chóp S.ABC có 4= SB =SC =a, ASB =60°,ESB =90°, ASC =120° (1,0) 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Xét tr dién SABC co: SA=SB=SC=a $
A ABS đều :do SA=SB, AS8=60°—> 4B=a
ASBC vuông tạ S BC=aV2
ASAC: AC =VSA? + SC? -2SA.SC.Cos120° = aV3
0,25 IV.1
Có : AC” = AB” + BC” > AABC vuông tại B 0,25
Hình chớp S.ABC có %4 = $8 = $C =a Hạ SH L (ABC)—H là tâm đường tròn ngoại tiép 025 tam giác ABC —>H là trung điểm của AC
2 3
Xét A SAC:SH= > 5 C6: Size = = — „c = {SHS san = 2 0,25
2) Gọi L, J, G lần lượt là trung diém SC, AB, IJ Mat phang (P) di qua G cắt các cạnh SA, SB, SC 14n lượt tai A’, B’, C’ Goi V, „„ Vz „» V, „„„ lần lượt là thé tích các
IV.2 khối chóp 4.4'B'C',B.A'B'C', A.A'B'C' Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1,08)
P=P pc: TỶy mm Ð F „„c theo a
Trang 4Dit a= SA,b = SB,c =SC,SA'=xSA=xa, SB' = ySB = yb,SC' = zSC = zc(0<x,y,z $1) C'A'=SA'-SC'=xa-zc,C'B'= SB'-SC'= GA+GB+GC+GS =2GI+2GJ =0 yb— zc &C'A+C'B+C'C+C'S =4C'G 0,25 oo OG =1 (54+ 4 58 +50 -450) = 1441 5464-2 0 4 4 4 Do A’, B’,C’,G đồng phẳng nên C'G=mC'A'+ nC'8 B'=mxat nyb + c(—mz — nz)(2) 1 mx = — 4 >> ^ À 3 A 4X ` „ I 0,25 à a,b,c không đồng phăng nên từ (1) và (2) ta có 4 ny = 1 =_-+—+—=4 1 —mz —nz =—— L 4 Ta có Vy xpc _ AA` _ SA- SA 1,
Vs apc SA’ SA’ x
Tương tự ta có Ứ2amC + su rmC + Meso: 1 +— 14+ —l=1
S.A'B'C' Ve Be Vs ope lở Z 0,25 © Via ape + Ve apc + Vo wee = V5 pcs
V5 pc: _SA' SB’ SC'
Vi SA’ SB’ SCO sane = S.ABC
Trang 50,25 ~3g2m—5)+11# > 1Í 2 — yy > #33 vạn c [0:1 6 12 12 6 ae ; , 0,25
Dấu đẳng thức xẩy ra khi m =2 Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là m3
Với các số thức dương a,b,c Tim gid trị nhỏ nhất của biểu thức| 1,0 _ I - 8 2a+b+V8be [2b +2(at+c) +5 Ta có V8be =2Vb.2c <b+2c > Ị > } 0,25 ca 2a+b+v8bc 2(a+b+c) x , 2 2 —8 —8 0,25 Mặt khác 2J2(ø+c)“ +2b“ >(a+c)+b> > 5+/2atcy+2b?> Statbte Do d6 P= } — 8 2(a+b+c) 5+a+b+ec Dat t=a+b+c,t>0 0,25 1 8 0 2 ' Xét f(t) =—-——,t>0 t 3 5 LO 2t S+t Ta có 9 " ° : 1 8 3: —5)(5f + 5 #Œ)=-~z;+ 2 (S+?) = ¬ >) >0 2ƒ(S+f£) 5 f(t) 9 ƒŒ)=0©:== 2 3 10
Bang bién thién
Tir bang bién thién 0,25
=/(0>ƒC)=~OWVr>0 = P2 flarb+c)2——
Khi a=c=—-,b=> thi P=—-—.Vậy giá trị nhỏ nhất của 12 6 10 P là -— 10