Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn.M là một điểm trên đường tròn M khác A,B.. Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại P, Q.. 1 Chứng minh rằng: tứ giác APMO nội tiếp
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐĂKLĂK NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1: (1,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A = 12 27 - 48
2) Chứng minh rằng: x - y ; v x 0, y 0 và x y.
1 :
y
y x xy
x y
x
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình: 2x + y = 1
3x + 4y = -1
3 4x -x
2
x x
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho phương trình : x2 + 2(m+1)x + m2 = 0 (m là tham số)
1) Tìm m để phương trình có nghiệm
2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 sao cho x12 + x22 – 5x1x2 = 13
Câu 3: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn.M là một điểm trên đường tròn (M khác A,B) Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại P, Q
1) Chứng minh rằng: tứ giác APMO nội tiếp
2) Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ
3) Chứng minh rằng: AP BQ = AO2
4) Khi điểm M di động trên đường tròn (O), tìm các vị trí của điểm M sao cho diện tích
tứ giác APQB nhỏ nhất
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + 3y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x2 + y2 + 16y + 2x
Hết
Trang 2-BÀI GIẢI TÓM TẮT
Câu 1: (1,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A = 12 27 - 48
A = 2 3 3 3 - 4 3
2) Chứng minh rằng: x - y ; v i x 0, y 0 và x y.
1 :
y
y x xy
x y
x
1
) (
y x y x y
x xy
y x xy
= x - y (đpcm).
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình: 2x + y = 1 (1)
3x + 4y = -1 (2)
-8x - 4y = -4 (3)
3x + 4y = -1 (2)
Cộng (2) và (3) vế theo vế, ta có:
- 5x = -5 x = 1 Thay x = 1 vào (1), ta có : 2 + y = 1 y = -1
x = 1
y = -1
3 4x -x
2
x x
3) -1)(x
- (x
2
x x
ĐKXĐ: x 1; x 3.
0
3) -1)(x
- (x
2 3x
-
x 2
x 2 - 3x + 2 = 0
* Có thể giải bằng công thức nghiệm hay phân tích thành nhân tử hoặc nhận thấy dạng của phương trình: a + b + c = 0 nên có 1 nghiệm là x 1 = 1 (loại), nghiệm còn lại là x 2 =
a
c
= 2 (nhận).
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho phương trình : x2 + 2(m+1)x + m2 = 0 (m là tham số)
1)Tìm m để phương trình có nghiệm
' = (m + 1)2 – m2
'
= m2 + 2m + 1 - m2 = 2m + 1 Phương trình có nghiệm khi 2m + 1 0 m
2
1
2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 sao cho x12 + x22 – 5x1x2 = 13
x1 + x2 = - 2(m + 1); x1x2 = m2
x12 + x22 – 5x1x2 = (x1 + x2 )2 – 7x1x2 = 13
= [-2(m + 1)]2 - 7m2 = 13
4m2 + 8m + 4 -7m2 = 13
-3m2 + 8m – 9 = 0
'
= 16 – 27 = - 11 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Vậy không có giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x12 + x22 – 5x1x2 = 13
Trang 3Câu 3: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn.M là một điểm trên đường tròn (M khác A,B) Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại P, Q
1) Chứng minh rằng: tứ giác APMO nội tiếp
x y Tứ giác APMO có: PM O PA O
= 900 (T/c tiếp tuyến) nên nội tiếp đường tròn
2) Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ
Q Theo tính chất tiếp tuyến ta có: AP = PM và BQ = MQ
M Vậy : AP + BQ = PM + MQ = PQ
P 3) Chứng minh rằng: AP BQ = AO2
Theo tính chất tiếp tuyến ta có:OP là phân giác của A O M
A O B Và OQ là phân giác của PA O
A O M và
M O
B là hai góc kề bù => OP OQ.
PA M
+ MO Q = 90 0 => PO A+ BO Q = 90 0
PO A + OP A= 90 0 => PO A = BO Q
Vậy AOP BQO => OABQ
OB
AP
4) Khi điểm M di động trên đường tròn (O), tìm các vị trí của điểm M sao cho diện tích
tứ giác APQB nhỏ nhất
Tứ giác APQB có AP// QB (PA AB; QB AB) nên APQB là hình thang, Diện tích APQB= (AP + BQ) AB : 2
chính giữa của cung AB thì AP + BQ nhỏ nhất, khi đó diện tích tứ giác APQB nhỏ nhất
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + 3y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x2 + y2 + 16y + 2x (1)
x + 3y = 5 x = 5 – 3y thay vào (1), ta có:
A = (5 – 3y)2 + y2 + 16y + 2(5 – 3y)
A = 25 – 30y + 9y2 + y2 + 16y + 10 – 6y
A = 10y2 – 20y + 35 = 10(y2 – 2y + 1) + 25
A = 10(y – 1)2 + 25 25 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 25 khi y – 1 = 0 y =1