hittps:/iwww facebook.com/letrungkienmath i lisites.google.com/site/letrungkienmath
Bài 1 (5 điểm) 1) Cho a, b, e là các số thực
thỏa mãn a + b + c=2014 và Lith é bic 2014"
Tinh giá trị của biểu thức: oe ee 2) Tìm số tự nhiên n dé 52°-6"?-12 là số nguyén tô Bài 2 (5 điểm) 1) Giải phương trình: +2~2x-2{2x+Ï~2=0 2) Giải hệ phương trình: [x?+y?=4z—5+2xy |x*+y*=9z—5~4z2~2x2y2ˆ Bài 3 (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0<z<4;0<b<4;0<e<4 và a+b+e=6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=a? +b? +c? +ab+be+ca
Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác 48C có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (Ø) Gọi điểm 7 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 4ÖC, tia AI cắt (O) tại điểm AM (khác 4)
Thời gian làm bài: 150 phút
a) Chimg minh cac tam giac IMB va IMC la các tam giác cân
b) Đường thẳng MO cắt (Ó) tại điểm N (khác
.M) và cắt cạnh BC tại điểm P Chứng minh
2E Ne
©) Gọi các điểm D, Z lần lượt là hình chiếu của / trén cde canh AB, AC Goi cdc diém H,
K lần lượt đối xứng với các điêm D, E qua J
Biết rằng 4B + 4C = 3BC, chứng minh cdc
điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn Bài 5 (2 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn 5" = 2” = 1 2) Cho lục giác đều 48CDEƑF có độ dài cạnh bang 1 và P là điểm nằm trong lục giác đó Các tia AP, BP, CP, DP, EP, FP cit cdc cạnh của lục
giác này lần lượt tại các diém M, M2, Ms, My,
‘Ms, Me (lan lugt khác các diém A, B, C, D
Chimg minh lyc giéc MiMzMsMsMsMg c6 it nhật
một cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1
Trang 2hittps:/iwww.facebook.com/letrungkienmath i Wisites.google.com/site/letrungkienmath Hutng Adn gidé DETHI HOC SINH GIO! TOAN LOP 9 TP HANOI N Bài 1 1) Từ giả thiết ta có TỶ TÌM đóng [ a+b a+b mm tr 4a bóc atb+e =0âđ+=0 ab c(atb+e) â(a+b)(b+c)X(c+a)=0 a+b=0;e=2014 =|b+e=0:a=2014 Vậy =———- 4 ni 2014215 c+a=(0:b=2014 2) Ta có 2n” ~6n+2=2[n(n—3) +1] Vì nứn — 3) chin nén n(n—3)+1=2k +1 voik Ee NU (1) Suy ra 52° -6"*2 19 95%*+1.4.113 213, Vi vay 32-12 _12 nguyên tố œ5?” 712-13 ânớ(n-3)+]=lôân=0 hoc =3 Bi 2 ) DK 2-5 Dat r-1=V2x4+1,121 ta có x2~2x=2f; f2 ~2f =2x =Œ-@I=0œ®x=¿ (Vix+/>0) ex=4, ear x —4x=0 2) Từ PT thứ nhất suy ra 4z~5=(x~ y)? >0 Suyra x-l=v2x+lôâ =z xó T PT th hai suy ra (4z~5(z~1)<0 aisesh, Do đó 23, suy ra x=y=0
Bài 3 Do vai trò của a, ð, e như nhau, giả sử a=max {a,b,c}, khi đó 2<a<4 Ta có
PtP 4 Hathtcy _a@ +P +2 +36
= 2i5)p)f XÂY nth i SES aE
Mặt khác, vì be >0 nên
aˆ+b}+c? =aÊ +(b+e)Š =2be < aẺ +(6—a)? = 2a? -12a+36 = 2[(a-2)(a—4) +10] < 20 P Suy ra a’ +6? +c” dat gid trị lớn nhất bằng 20 y >b;a>c; be=0 Ea ~2\(a-4)=0 amas i SX Oa a+b+c=6 yt ent ako ĂM HỌC 2013 - 2014 Khi đó P đạt giá trị lớn nhất bằng 28 Đăng thức xảy ra khi (4; b; e) = (4; 2; 0) và các hoán vị của nó Bai 4 a) Tacé IBM — JBC + CBM 3 _ ABC BAC 4 2 SN BIM = 14B + IBA ABC , BAC -—— + — 2 2 iP cc Suy ra ÍBM = BIM M => AIME cân tại M Tương tự, AIMC cân tại M 6) ts 6 no Sc ee 2 MC 1 MI ® (do MP 1 BC va MI = MC); AMBN vuông tai B, co MP.MN = MB? = MP a (2) => AMPI MI MN a AMIN (c.g.c) MỊ _IP —_=— (3) MN IN BAC _ IP Từ (1), (2) và 3 ir (1), (2) va (3) suy ra sin Bay TT ©) Ta có 4B + 4C=38C <= AE =BC; AIAE 2 AMCP (g.8) GP anes suy ra ——= - 1 => IE =2MP Goi F la trung diém cita /K, AMCP = AMIF (c.g.c) do MC= MI:PMC = Ed = MIF: MP = IF == 1B
= IFM = MPC =90° = AIMK can tai M
=> MK = MI Tuong ty, MH = MI Suy ra ‘MB = MC = MH = MK = MI
Trang 3i s:www.facebook.com/letrungkienmath Bài 5 1) Tacé 5*-2” =1¢> 2” =5*-1, + Với x=2k+l,keNÑ ta có: 27 =4?! +5?! + +5+]) + Nếu y < 2 thì PT vô nghiệm + Nếu y= 2 thì x = I (thỏa mãn)
+Nếu y>2 thì PT vô nghiệm vì VT:8 còn VPZ 8
„ Với x=2k,keNÑ ta có 2” =(5 ~)(SỲ +I) s-1=22 =| với a,b eÑ;0<a<b;a+b=y => 2-27 =29(2'°-4 1) =2 si+i=2 + Nếu a>2 thì 2“(2°~“~1)‡4, vô lí i ; 5# =2, vơ lÍ * Vậy (x; y
2) s Nhận xét Trong nhiều trường hợp,
MIMEMaMIMM, suy biên không còn là lục giác
nên sau đây ta thông nhất gọi là đa giác iM, Ms + Gọi Ø là tâm của lục giác đều 48CD# (kí
hiệu là Z) Nếu P = O thì đa giác AMI , = , ta có đpem
-sifes.google.comusiteiÏetrungieiertmath:
« Nếu P thuộc một trong ba đường chéo lớn của
2Pz O thì P thuộc một trong sáu đoạn Ó4,
OB, OC, OD, OE, OF Gia sit P e OD, khi đó hai tia AP, DP lin lugt di qua dinh D, dinh A cla Zva ta cé M, =D, My = A Con lai 4 tia,
cắt nhiều nhất 4 canh cia & Nhu vay tổn tai
ít nhất hai cạnh 4Z, 4F của S không chứa
các điểm Mi, ., Ms Xét tam giác có một
cạnh là 4Z và một cạnh là A⁄¿A⁄, của đa giác
M, Me gin AB nhất (My = 4), ta luôn có
M,BM, >90° = MuM,> AB = 1
+ Nếu P không thuộc ba đường chéo lớn của s7 thi P nằm trong một trong sáu tam giác đều của “Zmà ba đường chéo lớn chia ra Giả sử P nằm
trong AODE Như vậy, tồn tại ít nhất cạnh 4' của không chứa các điểm Ai, ., M Khi đó
MMs luôn là một cạnh của đa giác My Me va ABMsM, la tir gidc luén e6 ABM, > 90°;