Dap an de thi hoc sinh gioi K11 nam 2016

SỞ GD & ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2015 - 2016 Mơn: TỐN; Khối 11 (Đáp án – thang điểm gồm 03 trang) Câu Đáp án Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị … (2.0 điểm) Gọi A(a;a3  3a  2) , B(b;b3  3b  2) , a �b hai điểm phân biệt (C) Ta có: y'  3x2  nên tiếp tuyến với (C) A B có hệ số góc là: y'(a)  3a2  ,y'(b)  3b2  Tiếp tuyến A B song song với khi: y'(a)  y'(b) � 3a2   3b2  � (a b)(a b)  � a   b(vì a �b) Điểm 0.5 0.5 AB  � AB2  32 � (a b)2  � (a3  3a 2)  (b3  3b  2)� � � 32 � (a b)2  � (a3  b3 )  3(a b)� � �  32 � (a b)2  � (a  b)(a2  ab b2 )  3(a  b)� � � 32 0.5 � (a  b)2  (a b)2 � (a2  ab  b2 )  3� � � 32 , thay a = -b ta được:   4b2  4b2 b2   32 � b6  6b4  10b2   � b  � a  2 � (b2  4)(b4  b2  2)  � b2   � � b  2 � a  � Với a  2, b  � A(2; 0) , B(2; 4) Với a  2, b  2 � A(2; 4) , B(2; 0) Giải phương trình: (2.0 điểm) cosxcos2xcos3x  sin2 3x  cos4x  sinxsin3x � cosxcos2xcos3x  sin3x(sin3x  sinx)  cos4x � cosxcos2xcos3x  sin3xsin 2xcosx  cos4x � cosx(cos2xcos3x  sin 2xsin3x)  cos4x � cosxcos5x  cos4x � cos6x  cos4x  cos4x � cos6x  cos4x � x  k � 6x  4x  k2 k � �� � k � x  � 6x  4x  k2 x � � Vậy nghiệm phương trình cho là: x  (2.0 điểm) 1.0 0.5 0.5 k � TH1: viên bi đỏ vị trí – – – – + Trong trường hợp nhỏ: có 3! cách xếp viên bi đỏ vào vị trí Có 3! cách xếp viên lại vào vị trí lại Vậy có 2.3!.3! = 72 cách xếp Trang 1/3 0.5 0.5 TH2: viên bi đỏ vị trí – – – – + Trường hợp viên bi đỏ vị trí – – 6: - có 3! cách xếp viên bi đỏ vào vị trí - Có cách chọn ví trí xếp viên bi xanh – – - Có 2! cách xếp viên bi xanh vào vị trí chọn - Có cách xếp viên bi vàng vào vị trí lại Vậy có 2.3!.2! = 24 cách xếp + Trường hợp viên bi đỏ vị trí – – cho kết tương tự � có 2.24 = 48 cách xếp Vậy có 72 + 48 = 120 cách xếp thỏa mãn đề Tính cosin góc tạo hai đường thẳng SA BD * Đặt AB = x ; gọi K trung điểm (1.5 điểm) BC - Có A  SBC � ABC   BC , 0.75 0.25 S 0.25 I SK  BC , AK  BC A �  60o góc � BC   SAK  , � SKA N C A  SBC mặt phẳng đáy H K M B Hạ HI  SA � d(H;SA)  IH Do hình chóp SABC nên H trọng tâm ABC ; AH  o Xét SHK vuông: SH  HK tan60  x x ;HK  x 1 a   � x  a Vậy SH  2 IH SH AH * Trong (ABC): Qua H kẻ đường thẳng // BC cắt AC N; AB M MN//BC; BC   SAK  � MN   SAK  � MN  SA ; mà 0.5 Xét SHA vuông: SA  HI � SA  (IMN) ; A  SAC  � SAB  SA 0.5 � góc  SAC  SAB � MIN Do MIN cân nên IHM vuông � tan � MIN MH �   � MIN  2arctan IH 3 0.25 … (0.0 điểm) Đường tròn (C) có tâm I(2;1) , bán kính R  Do M �d nên M(a;1 a) Do M nằm (C) nên IM  R � IM  � (a  2)2  (a)2  � 2a2  4a   (*) Ta có MA  MB2  IM  IA  (a 2)2  (a)2   2a2  4a Do tọa độ A, B thỏa mãn phương trình: (x  a)2  (y  a  1)2  2a2  4a � x2  y2  2ax  2(a  1)y  6a   (1) Do A, B thuộc (C) nên tọa độ A, B thỏa mãn phương trình x2  y2  4x  2y   (2) Trừ theo vế (1) cho (2) ta (a 2)x  ay  3a  (3) Do tọa độ A, B thỏa mãn (3) nên (3) phương trình đường thẳng  qua A, B Trang 2/3 0.25 0.25 +) Do (E) tiếp xúc với  nên (E) có bán kính R1  d(E, ) Chu vi (E) lớn � R1 lớn � d(E, ) lớn �5 11 � Nhận thấy đường thẳng  qua điểm K � ; � �2 � 0.25 Gọi H hình chiếu vng góc E lên  � d(E,  )  EH �EK  10 Dấu “=” xảy H �K �   EK uuur � � r EK �  ; �,  có vectơ phương u  (a;a  2) Ta có � 2� uuur r Do   EK � EK.u  �  a (a 2)  � a  3 (thỏa mãn (*)) 2 Vậy M  3;  điểm cần tìm 0.25 (2.0 điểm) Giải phương trình: (1   x)( 2x2  2x   x  1)  x x Với đk: x �0 PT � (1   x)( 2x2  2x   x  1)  (1   x)(  x  1) x � 2x2  2x   x2  x  x   x  (1) (x  1)2  x �  x 1 x  2x2  2x   x2  x 0.25 0.25 � (x   x)( 2x  2x   x  x  x   x)  (*) � x 1  x  � x  3 (tmđk) 0.25 2x2  2x   x2  x  x   x  0(2) Giải (2): (2) + (1) � 2x2  2x    x � x  (tmđk) Vậy (*) có nghiệm � x  0.25 3 x  Chứng minh … (2.0 điểm) 1 P   y z x y z x , đặt a  ;b  ;c  Ta có: kết hợp với giả thiết ta 1 1 1 x y z x y z � a �b �c  �  c �1 1 �� suy � Khi P    abc  ab �1 1 a 1 b 1 c � � 1  � � a b ab  �0 (đúng ab �1 ) Ta có  a  b  ab    1 c  � Suy 1 a 1 b c 1 Hay P � c 32 c �    � c c  c c 1 c 1 c 1 c  Trang 3/3 0.25 0.25 0.25 c c 2t  với  t �1 t1 f ' t    ,t � ;1 Ta có hàm số f  t liên tục  ;1� , �  t  1 Đặt t  c �  t �1 Xét hàm số f  t  Hàm số f  t nghịch biến  ;1� � Suy f  t �f  1  Vậy giá trị nhỏ P  x  y  z Trang 4/3 0.25 ... – 6: - có 3! cách xếp viên bi đỏ vào vị trí - Có cách chọn ví trí xếp viên bi xanh – – - Có 2! cách xếp viên bi xanh vào vị trí chọn - Có cách xếp viên bi vàng vào vị trí lại Vậy có 2.3!.2! =... SAC  � SAB  SA 0.5 � góc  SAC  SAB � MIN Do MIN cân nên IHM vuông � tan � MIN MH �   � MIN  2arctan IH 3 0.25 … (0.0 điểm) Đường tròn (C) có tâm I(2;1) , bán kính R  Do M �d... HI  SA � d(H;SA)  IH Do hình chóp SABC nên H trọng tâm ABC ; AH  o Xét SHK vuông: SH  HK tan60  x x ;HK  x 1 a   � x  a Vậy SH  2 IH SH AH * Trong (ABC): Qua H kẻ đường thẳng //