SỞ GD & ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2015 - 2016 Mơn: TỐN; Khối 11 (Đáp án – thang điểm gồm 03 trang) Câu Đáp án Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị … (2.0 điểm) Gọi A(a;a3 3a 2) , B(b;b3 3b 2) , a �b hai điểm phân biệt (C) Ta có: y' 3x2 nên tiếp tuyến với (C) A B có hệ số góc là: y'(a) 3a2 ,y'(b) 3b2 Tiếp tuyến A B song song với khi: y'(a) y'(b) � 3a2 3b2 � (a b)(a b) � a b(vì a �b) Điểm 0.5 0.5 AB � AB2 32 � (a b)2 � (a3 3a 2) (b3 3b 2)� � � 32 � (a b)2 � (a3 b3 ) 3(a b)� � � 32 � (a b)2 � (a b)(a2 ab b2 ) 3(a b)� � � 32 0.5 � (a b)2 (a b)2 � (a2 ab b2 ) 3� � � 32 , thay a = -b ta được: 4b2 4b2 b2 32 � b6 6b4 10b2 � b � a 2 � (b2 4)(b4 b2 2) � b2 � � b 2 � a � Với a 2, b � A(2; 0) , B(2; 4) Với a 2, b 2 � A(2; 4) , B(2; 0) Giải phương trình: (2.0 điểm) cosxcos2xcos3x sin2 3x cos4x sinxsin3x � cosxcos2xcos3x sin3x(sin3x sinx) cos4x � cosxcos2xcos3x sin3xsin 2xcosx cos4x � cosx(cos2xcos3x sin 2xsin3x) cos4x � cosxcos5x cos4x � cos6x cos4x cos4x � cos6x cos4x � x k � 6x 4x k2 k � �� � k � x � 6x 4x k2 x � � Vậy nghiệm phương trình cho là: x (2.0 điểm) 1.0 0.5 0.5 k � TH1: viên bi đỏ vị trí – – – – + Trong trường hợp nhỏ: có 3! cách xếp viên bi đỏ vào vị trí Có 3! cách xếp viên lại vào vị trí lại Vậy có 2.3!.3! = 72 cách xếp Trang 1/3 0.5 0.5 TH2: viên bi đỏ vị trí – – – – + Trường hợp viên bi đỏ vị trí – – 6: - có 3! cách xếp viên bi đỏ vào vị trí - Có cách chọn ví trí xếp viên bi xanh – – - Có 2! cách xếp viên bi xanh vào vị trí chọn - Có cách xếp viên bi vàng vào vị trí lại Vậy có 2.3!.2! = 24 cách xếp + Trường hợp viên bi đỏ vị trí – – cho kết tương tự � có 2.24 = 48 cách xếp Vậy có 72 + 48 = 120 cách xếp thỏa mãn đề Tính cosin góc tạo hai đường thẳng SA BD * Đặt AB = x ; gọi K trung điểm (1.5 điểm) BC - Có A SBC � ABC BC , 0.75 0.25 S 0.25 I SK BC , AK BC A � 60o góc � BC SAK , � SKA N C A SBC mặt phẳng đáy H K M B Hạ HI SA � d(H;SA) IH Do hình chóp SABC nên H trọng tâm ABC ; AH o Xét SHK vuông: SH HK tan60 x x ;HK x 1 a � x a Vậy SH 2 IH SH AH * Trong (ABC): Qua H kẻ đường thẳng // BC cắt AC N; AB M MN//BC; BC SAK � MN SAK � MN SA ; mà 0.5 Xét SHA vuông: SA HI � SA (IMN) ; A SAC � SAB SA 0.5 � góc SAC SAB � MIN Do MIN cân nên IHM vuông � tan � MIN MH � � MIN 2arctan IH 3 0.25 … (0.0 điểm) Đường tròn (C) có tâm I(2;1) , bán kính R Do M �d nên M(a;1 a) Do M nằm (C) nên IM R � IM � (a 2)2 (a)2 � 2a2 4a (*) Ta có MA MB2 IM IA (a 2)2 (a)2 2a2 4a Do tọa độ A, B thỏa mãn phương trình: (x a)2 (y a 1)2 2a2 4a � x2 y2 2ax 2(a 1)y 6a (1) Do A, B thuộc (C) nên tọa độ A, B thỏa mãn phương trình x2 y2 4x 2y (2) Trừ theo vế (1) cho (2) ta (a 2)x ay 3a (3) Do tọa độ A, B thỏa mãn (3) nên (3) phương trình đường thẳng qua A, B Trang 2/3 0.25 0.25 +) Do (E) tiếp xúc với nên (E) có bán kính R1 d(E, ) Chu vi (E) lớn � R1 lớn � d(E, ) lớn �5 11 � Nhận thấy đường thẳng qua điểm K � ; � �2 � 0.25 Gọi H hình chiếu vng góc E lên � d(E, ) EH �EK 10 Dấu “=” xảy H �K � EK uuur � � r EK � ; �, có vectơ phương u (a;a 2) Ta có � 2� uuur r Do EK � EK.u � a (a 2) � a 3 (thỏa mãn (*)) 2 Vậy M 3; điểm cần tìm 0.25 (2.0 điểm) Giải phương trình: (1 x)( 2x2 2x x 1) x x Với đk: x �0 PT � (1 x)( 2x2 2x x 1) (1 x)( x 1) x � 2x2 2x x2 x x x (1) (x 1)2 x � x 1 x 2x2 2x x2 x 0.25 0.25 � (x x)( 2x 2x x x x x) (*) � x 1 x � x 3 (tmđk) 0.25 2x2 2x x2 x x x 0(2) Giải (2): (2) + (1) � 2x2 2x x � x (tmđk) Vậy (*) có nghiệm � x 0.25 3 x Chứng minh … (2.0 điểm) 1 P y z x y z x , đặt a ;b ;c Ta có: kết hợp với giả thiết ta 1 1 1 x y z x y z � a �b �c � c �1 1 �� suy � Khi P abc ab �1 1 a 1 b 1 c � � 1 � � a b ab �0 (đúng ab �1 ) Ta có a b ab 1 c � Suy 1 a 1 b c 1 Hay P � c 32 c � � c c c c 1 c 1 c 1 c Trang 3/3 0.25 0.25 0.25 c c 2t với t �1 t1 f ' t ,t � ;1 Ta có hàm số f t liên tục ;1� , � t 1 Đặt t c � t �1 Xét hàm số f t Hàm số f t nghịch biến ;1� � Suy f t �f 1 Vậy giá trị nhỏ P x y z Trang 4/3 0.25 ... – 6: - có 3! cách xếp viên bi đỏ vào vị trí - Có cách chọn ví trí xếp viên bi xanh – – - Có 2! cách xếp viên bi xanh vào vị trí chọn - Có cách xếp viên bi vàng vào vị trí lại Vậy có 2.3!.2! =... SAC � SAB SA 0.5 � góc SAC SAB � MIN Do MIN cân nên IHM vuông � tan � MIN MH � � MIN 2arctan IH 3 0.25 … (0.0 điểm) Đường tròn (C) có tâm I(2;1) , bán kính R Do M �d... HI SA � d(H;SA) IH Do hình chóp SABC nên H trọng tâm ABC ; AH o Xét SHK vuông: SH HK tan60 x x ;HK x 1 a � x a Vậy SH 2 IH SH AH * Trong (ABC): Qua H kẻ đường thẳng //