1/8/2015 Các khái niệm Phương trình vi phân (PTVP) cấp phương trình có dạng CHƯƠNG F ( x, y, y′) = 0, (1) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP y′ = dy dx Ví dụ 3.1 y′ + y = x ; ( x + y)dy − ydx = Nếu giải phương trình (1) theo y′ = f ( x, y) Đồ thị nghiệm y = y ( x) gọi đường cong tích phân (1) y′ , ta (2) Nghiệm PTVP (1) (2) khoảng (a, b) hàm số y = y ( x) xác định (a, b) cho thay vào PTVP ta đẳng thức Bài tốn Cauchy (Cơsi) (bài tốn đầu) Bài tốn Cauchy tốn tìm nghiệm PTVP (1) (2) thỏa mãn điều kiện đầu Nghiệm y = y ( x) cho dạng tường minh dạng ẩn hay nói cách khác tìm đường cong tích phân (1) (2) qua điểm ( x0 , y0 ) Hàm số y = ϕ( x, C ) gọi nghiệm tổng quát PTVP cấp miền D ⊂ ℝ với điểm ( x0 , y0 ) ∈ D, tồn số C0 cho y = ϕ( x, C0 ) nghiệm toán Cauchy với điều kiện đầu y ( x0 ) = y0 Điều có nghĩa tồn C0 cho i) y = ϕ( x, C0 ) nghiệm lân cận x0 ii) y0 = ϕ( x0 , C0 ) y ( x0 ) = y0 (3) Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát cho số C giá trị cụ thể gọi nghiệm riêng Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy giá trị gọi nghiệm kỳ dị 1/8/2015 Một số dạng PTVP cấp 2.1 Phương trình tách biến (có biến phân li) Dạng Ví dụ 3.2 Giải PTVP y′ = cos x Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y (0) = f ( x)dx = g ( y)dy ∫ Ta có y = cos xdx + C = sin x + C , với C số tùy ý, tất nghiệm phương trình Vì = y (0) = sin + C , nên C = nghiệm riêng cần tìm y = sin x + (4) Phương pháp giải Lấy nguyên hàm hai vế phương trình (4), ta ∫ f ( x)dx = ∫ g ( y)dy + C , với C số tùy ý Chú ý Phương trình dạng Ví dụ 3.3 Giải PTVP xdx − y dy = f1 ( x) g1 ( y)dx = f ( x) g ( y )dy (5) đưa dạng (4): trước hết cần lưu ý - Nếu g1 ( y ) = b y = b nghiệm (5) - Nếu f ( x) = a x = a nghiệm (5) - Các nghiệm khác tìm cách chia hai vế cho g1 ( y ) f ( x) lấy tích phân ∫ f1 ( x) dx = f ( x) ∫ g ( y) dy + C g1 ( y) 10 Ví dụ 3.4 Giải PTVP x(1 + y )dx + y (1 + x )dy = Ví dụ 3.5 Giải PTVP y′ = xy ( y + 2) Phương trình y′ = f (ax + by + c) đưa biến phân ly cách đổi biến z = ax + by + c 11 12 1/8/2015 Bài tập Giải PTVP sau Bài tập Tìm nghiệm PTVP thỏa mãn điều kiện ban đầu x(1 + y ) dx + y (1 + x ) dy = 2 2 xy + 3x , y (2) = x2 + ( x + 1) y′ = xy y′ = ( x − yx ) y′ + y + xy = π x( y + 1)dx + y ( x + 1)dy = 0, y (0) = 2 y′ + cos( x + y) = cos( x − y), y (0) = ( x − y x)dx + ( y − x y)dy = ydx = ( x − a )dy e1+ x tan ydx − e2 x π dy = 0, y (1) = x −1 13 Bước 2: Tìm nghiệm (6) dạng 2.2 Phương trình tuyến tính cấp Dạng y ′ + p ( x) y = q ( x ) − p ( x ) dx y = C ( x).e ∫ Thế (7) vào (6), ta p ( x ) dx C ′( x) = q ( x).e ∫ (6) ⇒ C ( x) = C1 + ∫ q ( x).e ∫ Phương pháp giải Bước 1: Giải phương trình p ( x ) dx (7) dx (8) với C1 số tùy ý Thế (8) vào (7), ta nghiệm (6) y ′ + p ( x) y = nghiệm 14 p ( x ) dx − p ( x ) dx y=e ∫ C1 + ∫ q( x).e ∫ dx − p ( x ) dx y = C e ∫ 15 16 Ví dụ 3.8 Giải PTVP Ví dụ 3.6 Giải PTVP y′ − x y = 0, y(3) = −e9 y′ + y = x Ví dụ 3.9 Giải PTVP Ví dụ 3.7 Giải PTVP y′ + y cos x = e − sin x ( x + 1) y′ + xy = −2 Ví dụ 3.10 Giải PTVP 17 dy = x + 2xy + y dx 18 ... biến z = ax + by + c 11 12 1/ 8/2 015 Bài tập Giải PTVP sau Bài tập Tìm nghiệm PTVP thỏa mãn điều kiện ban đầu x (1 + y ) dx + y (1 + x ) dy = 2 2 xy + 3x , y (2) = x2 + ( x + 1) y′ = xy y′ = ( x... = π x( y + 1) dx + y ( x + 1) dy = 0, y (0) = 2 y′ + cos( x + y) = cos( x − y), y (0) = ( x − y x)dx + ( y − x y)dy = ydx = ( x − a )dy e1+ x tan ydx − e2 x π dy = 0, y (1) = x 1 13 Bước 2: Tìm... cách chia hai vế cho g1 ( y ) f ( x) lấy tích phân ∫ f1 ( x) dx = f ( x) ∫ g ( y) dy + C g1 ( y) 10 Ví dụ 3.4 Giải PTVP x (1 + y )dx + y (1 + x )dy = Ví dụ 3.5 Giải PTVP y′ = xy ( y + 2) Phương