Đề thi hsg tp Hạ Long mới nhất 2017

Nóng bỏng tay, mới thi sáng ngày 6/12/2016. Hạ Long

Đề thi HSG thành phố Hạ Long 6/12/2017 Câu 1: (5,5 điểm) a, Cho hai số nguyên dương a,b số c khác thỏa mãn a Chứng minh rằng: a b = a  c + 1 b c + + =0 b  c b, Cho a số tự nhiên, chứng minh rằng: B= 4a(a+2017)(a+2018)(a+4035)+ 20182 số phương Câu 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: (x2+6x+5) 10  x = x +4x2- 7x- 10 Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn ( 2a+3b) Chứng minh ( 2a2- 48ab- 3b2) Câu 4: ( 7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC Lấy trung điểm I AC Qua I kẻ đường thẳng vng góc với BC, qua C kẻ đương thẳng vng góc với AC, chúng cắt E a, Chứng minh AE vng góc với BI b, Qua C kẻ tiếp tuyến với đường tròn đường kính BC, cắt đường thẳng BI K Chứng minh rằng: IK BK = CE 2 E I c, Cho BC = a, E thuộc đường tròn đường kính BC, tính độ dài đoạn thẳng AB theo a Câu 5: ( 2,0 điểm) Cho hai số dương x,y thỏa mãn x+y  45 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=x2+y2+ + Thầy Đức_Cao Xanh_Hạ Long Thầy Trung Anh_Lớp Toán BigC 01669060043 090414818 Hướng dẫn giải Câu 1: a,  a  b ab  bc  ca   c a b  a  c  b c a+b = a+b+2c+2 -c=     ab  bc  ca  abc ( a  c )( b  c ) ( a  c )( b  c ) c2= ab+ac+bc+c2(c đpcm b, a  N B = 4a(a+2017)(a+2018)(a+4035)+20172.20182 = 4( a2+4035a )( a2+4035a+2017.2018 )+ 20172.20182 Đặt t= a2+4035a => B= 4t( t+2017.2018 ) + 20172.20182 = 4t2+2.2t.2017.2018+20172.20182 = ( 2t+2017.2018)2 => đpcm Bài 2: ( x2+6x +5) Đk: 10  x  10  x  = x +4x2-7x-10 10 Pt: ( x+1 )( X=5 ) x 1   x   10  x   10  x  x  2 = ( x+1 )( x+5 )( x-2 )    x   1( tm )  x   ( lo a i )   x   2  1  x  x  x   x  1  x  Vậy S=   1;  Câu 3: a,b nguyên thỏa mãn ( 2a+3b) Cmr: ( 2a2-48ab-3b2 ) Ta có: 2a2-48ab-3b2= 2a2+ab-3b2-49ab= (2a+3b)(a-b)-49ab Có: (2a+3b)(a-b) Thầy Đức_Cao Xanh_Hạ Long Thầy Trung Anh_Lớp Toán BigC 01669060043 090414818 49ab => ( 2a2-48ab-3b2 ) (đpcm) Câu 4: a/ Ta có C I  I Q I E mà CI=AI nên A I  I Q I E nên A IQ  E IA nên Mặt khác  IA Q   IB Q Xét tam giác BPM tam giác EQM có 2 ( đối đỉnh), QM E  BM P CQ b/ Ta có  CE CI Ta có IK  BK ( Do nên góc P= góc Q = 90 độ (đpcm)  IB M   IE M  C IQ  E IC  IA Q   IE A ) EI CQ CQ  CB CQ  C B C Q  C I C A CQ C I CE  2 E I ( Đpcm) c/ E thuộc (C) tứ giác ACEB hình chữ nhật Khi M trùng O AB Ta có  B P B I  B M B Q  B O B Q  B O ( B O  O Q )  AB  BO a  B O O Q   O Q O C Mà AB O I=  AB 2  a AB   AB  a Câu 5: x,y dương ; thỏa mãn x+y  45 x y Tìm GTNN A= x2+y2+ + HD: Điểm rơi x=1; y=3 => A+10= x2+1+y2+9+  45 x   30  => A  26  2x  6y  y x  45 y =36 Dấu “ =” xảy x   x  Vậy GTNN A 26 x=1; y=3 Thầy Đức_Cao Xanh_Hạ Long Thầy Trung Anh_Lớp Toán BigC 01669060043 090414818 ... Cmr: ( 2a2 -48 ab-3b2 ) Ta có: 2a2 -48 ab-3b2= 2a2+ab-3b2 -49 ab= (2a+3b)(a-b) -49 ab Có: (2a+3b)(a-b) Thầy Đức_Cao Xanh_Hạ Long Thầy Trung Anh_Lớp Toán BigC 01669060 043 09 041 4818 49 ab => ( 2a2 -48 ab-3b2... ab+bc+ac=0 => đpcm b, a  N B = 4a(a+2017)(a+2018)(a +40 35)+20172.20182 = 4( a2 +40 35a )( a2 +40 35a+2017.2018 )+ 20172.20182 Đặt t= a2 +40 35a => B= 4t( t+2017.2018 ) + 20172.20182 = 4t2+2.2t.2017.2018+20172.20182... Dấu “ =” xảy x   x  Vậy GTNN A 26 x=1; y=3 Thầy Đức_Cao Xanh_Hạ Long Thầy Trung Anh_Lớp Toán BigC 01669060 043 09 041 4818