Hai đề thi Đại học và bài giải chi tiết (Đề 1 và 2)

ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( ĐỀ SỐ 1) A.PHẦN BẮT BUỘC CÂU I: Cho hàm số y 2 x3  3(m - 3) x  11- 3m ( Cm ) 19 , 4) tiếp xúc với đồ 12 1) Cho m=2 Tìm phương trình đường thẳng qua A( thị( C2 ) hàm số 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị Gọi M M điểm cực trị , tìm m để điểm M , M B(0,-1) thẳng hàng CÂU II:   Đặt I   sin xdx sin x  cos x cos xdx J  sin x  cos x 1) Tính I-3J I+J 2) Từ kết ,hãy tính giá trị I, J 5 K cos xdx  cos x  3 sin x CÂU III: 1)Chứng minh với t    1,1 ta có:  t   t 1   t 2  t 2)Giải phương trình:  x  x2   x  x 2( x  1) (2 x  x  1) CÂU IV: 1) Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác ( chữ số phải khác 0), có mặt chữ số khơng có mặt chữ số 1? 2) Có số tự nhiên gồm chữ số (chữ số phải khác 0) biết chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần? B.PHẦN TỰ CHỌN Thí sinh chọn câu Va Vb: CÂU Va: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  ( ABCD) ˆ  Hạ SN  CM SA a Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi Đặt góc ACM 1)Chứng minh N ln thuộc đường trịn cố định tính thể tích tứ diện SACN theo a  2) Hạ AH  SC , AK  SN Chứng minh SC  ( AHK ) tính độ dài đoạn HK CÂU Vb: Trong mặt phẳng Oxy, xét đường thẳng (d ) : x  my   0 hai đường tròn: (C1 ) : x  y  x  y  0 (C2 ) : x  y  x  y  56 0 1) Gọi I tâm đường tròn (C1 ) Tìm m cho (d ) cắt (C1 ) hai điểm phân biệt A B Với giá trị m thì diện tích tam giác IAB lớn tính giá trị 2) Chứng minh (C1 ) tiếp xúc với (C2 ) Viết phương trình tổng quát tất tiếp tuyến chung (C1 ) (C2 ) ĐÁP ÁN CÂU I: Cho hàm số y 2 x3  3(m - 3) x  11- 3m ( Cm ) , 4) tiếp xúc với (C2) 12 Cho m=2 Tìm phương trình đường thẳng qua A( Với m=2: y 2 x3  3x  (C2) Đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k: 19 )4 12 19  2x  3x  k ( x  12 )  (1) (d) tiếp xúc (C2)   6 x  x k (2)  y k ( x  có nghiệm Thay (2) vào (1): x3  3x  (6 x  x)( x  19 )4 12  x3  25 x  19 x  0  ( x  1)(8 x  17 x  2) 0   x 1  k 0    x 2  k 12  21  x   k  32  Vậy phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (C2) là: y=4 hay y=12x - 15 hay y  21 645 x 32 128 Tìm m để hàm số có cực trị Ta có: y 2 x3  3(m  3) x  11  3m y, 6 x  6(m  3) y, 0  x  6( m  3) 0 (1)  x 0 (1)    x 3  m Hàm số có cực trị  (1) có nghiệm phân biệt  m  0  m 3 Tìm m để điểm cực trị M1, M2 B(0, -1) thẳng hàng Để tìm phương trình đường thẳng qua điểm cực trị M1, M2 ta chia f(x) cho f ' ( x) : m 3 1 f ( x )  f ' ( x)  x    (m  3) x  11  3m  3 Suy phương trình đường thẳng M1M2 là: y  (m  3)2 x  11  3m M1, M2, B thẳng hàng  B  M1M2  -1=11-3m  m= So với điều kiện m 3 nhận m= ĐS:m=4 CÂU II:  /6 sin x Đặt I   dx, sin x  cos x  cos x J  dx sin x  cos x 1) Tính I - 3J I + J π • sin x - 3cos x I - 3J=  dx sinx + 3cosx π (sinx - 3cosx)(sinx + 3cosx) =  dx sinx + 3cosx π =  (sinx - 3cosx)dx π =(-cosx - 3sinx) =1 - 3 π sin x + cos2 x • I + J=  dx sinx + 3cosx π =  dx sinx + 3cosx π =  dx 2( sinx + cosx) 2 π =  dx π sin(x+ ) π π sin(x + ) =  dx π 2 - cos (x + )   Đặt t cos( x  )  dt  sin( x  )dx 3 Đổi cận : x 0  t   x   t 0  dt  I J   1 t2 12   dt 1 t2 1 2 1      dt  1 t 1 t   1 t   ln   ln  1 t  4 5 cos x dx Tính I, J, K   cos x  sin x 3  I  J 1   Ta có:   I  J  ln    1  I  ln   16   J  ln    16 Đổi biến số cho tích phân K: 3  dt dx Đặt t x  Đổi cận: 3  t 0 5  x  t x  3  cos  t      K  cos  t  3   sin  t  3      cos 2t   dt sin t  cos t  sin t  cos t   dt sin t  cos t 1  I  J  ln      dt CÂU III: Chứng minh t    1,1 ,  t   t 1   t 2  t   v́ t    1,1 nên đặt t= cos2x với x   0,   2 Khi bất đẳng thức trở thành:  cos x   cos x 1   cos 2 x 2  cos 2 x  cos x  2sin x 1  sin 2 x 2    sin 2 x    cos x  sin x  1  sin x 1  sin 2 x(*) 1  sin x   cos x  sin x  ( a)   1  sin x 1  sin x(b) Tacó:   (a)   cos x  sin x   2(cos x  sin x) x   0,   2   (b)  sin x sin 2 x x   0,   2   Do (*) x   0,  , nghĩa bất đẳng thức chứng minh  2 Giải phương trình: Ta đặt điều kiện cho phương trình : Điều kiện vế trái: 1 x  x 0  2 x   x  x 1   2 x  x 0   x 2 x 1 Điều kiện vế phải: Với  x 2 thì  x  x 1 , ta áp dụng bất đẳng thức  t   t 2  t câu thì ta được: VT=  x  x     2 x  x 2   x  x   x  x    Do (VT)  x  x  nên điều kiện vế phải là: 2( x  1) (2 x  x  1)  x  x   2( x  x  1)2  2( x  x)  1 x  x    Đặt t x  x điều kiện trở thành: 2(t  1) (2t  1) t   t (4t  10t  7) 0  t 0(4t  10t  7) 0, t Vậy điều kiện vế phải là: x  x 0  x 0  x 2 Tóm lại: điều kiện phương trình là: 0  x 2  x 0  x 2   x 0  x 2 Dễ dàng nhận thấy x 0  x 2 nghiệm phương ìŕnh phương trình có nghiệm x 0  x 2 CÂU IV: Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác nhau, có mặt chữ số khơng có mặt chữ số Gọi số cần tìm là:x= a1a2a3a4a5a6 Vì khơng có mặt chữ số nên chươ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, để thành lập số cần tìm Vì phải có mặt chữ số a1 0 nên số cách xếp cho chữ số cách Số cách xếp cho vị trí cịn lại : A58 Vậy số số cần tìm là: A58 =33.600 (số) Có số tự nhiên gồm chữ số biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Gọi số cần tìm là: Y= a1a2a3a4a5a6a7 Giả sử a1 0: Cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C72 Cách xếp vị trí cho ba chữ số là: C53 Cách xếp cho vị trí cịn lại là: 2! C82 Bây ta xét a1 = 0: Cách xếp vị trí cho hai chữ số là: C62 Cách xếp vị trí cho ba chữ số là: C43 Cách xếp cho vị trí cịn lại là:7 Vậy số cần tìm là: C C 2! C - C C 7= 11.340 (số) CÂU Va: N thuộc đường tròn cố định Ta có: SN  CM  AN  NC N  ( ABCD) ANC 900 nên N thuộc đường trịn đường kính AC cố định Ta có: CN=AC cos  a cos  1 Vậy VSACN = S ACN SA  AC.CN sin  SA 3 = a 2.a 2.cos  sin  a = a sin 2 Tính đoạn HK Ta có CN  ( SAN )  CN  AK (1) Và AK  SN (2) Từ (1),(2)  AK  ( SCN )  AKH vng K Ta có: AN  AC.sin  a sin  1 1     SAN có AK AS AN 2a 2a sin  a sin   AK   sin  Tam giác SAC có AH= a Vậy HK  AH  AK a  2a sin   sin  a  a sin  =  sin  HK  a cos   sin  CÂU Vb: (C ) : x  y  x  y  0 (C ) : x  y  x  y  56 0 ( d ) : x  my   0 Ta có (C1) có tâm I (1;-2) bán kính R1 =3 (d) cắt (C1) điểm phân biệt A, B  d ( I  (d ))  R1   2m     m2   4m  4m2  18  9m2  5m2  4m  17   m R 1   IA.IB  Ta có: S IAB  IA.IB sin AIB 2 Vậy : S IAB lớn AIB 900  AB = R 3  d(I,(d))= 2   2m  2  m 2  16m2  16m  36  18m2  2m2  16m  32 0  (m  4) 0  m  2) (C2 ) có tâm J(-2,2) bán kính R2 = Ta có: IJ=  16 =5= R2  R1 Vậy (C1 ) (C2 ) tiếp xúc điểm có tọa độ thỏa :  x  y  x  y  0     x  y  x  y  56 0 14   x    x  22  Suy phương trình tiếp tuyến chung là: 14 14  22   22     y     x    2 y    0 5      12 78  x y 0 5  3x - 4y – 26 = x ĐỀ THI ĐẠI HỌC SỐ 02 Câu I : Cho hàm số y  x3  3(m  1) x  3(2m  1) x  ( m tham số ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m=1 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu hai điểm đối xứng qua điểm I(0,4) Câu II:  x  y  x  y 4 Giải hệ phương trình :   xy ( x  1)( y  1) 4 Giải bất phương trình : 16 x  3x 4 x  x Câu III: Giải phương trình 3tgx+2cotg3x = tg2x Cho tam giác ABC ,chứng minh rằng: 2r sin A  sin B  sin 2C  R sin A  sin B  sin C r bán kính đường trịn nội tiếp , R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Câu IV: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA, SB, SC đơi vng góc Đặt SA= a,SB= b, SC= c Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài đoạn SG theo a,b,c Một mặt phẳng (P) tuỳ ý qua S G cắt đoạn AB M cắt đoạn AC N a Chứng minh AB AC  3 AM AN b Chứng minh mặt cầu qua điểm S,A,B,C có tâm O thuộc mặt phẳng (P) Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a,b,c mặt phẳng (P) song song với BC Câu V: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x  x  ; y = 2x-1; x = ĐÁP ÁN CÂU I: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = y  x3  x  x   TXĐ: D = R y '  x  12 x   x 1 y ' 0    x 3 y ''  x  12 y '' 0  x 2  y 2  điểm uốn (2, 2) 10  BBT:  Đồ thị: Cho x = 0, y = x = 4, y = 2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng qua điểm I(0, 4) Ta có: y  x3   m 1 x   2m  1 x  y '  x3   m  1 x   2m  1 y ' 0   x3   m  1 x   2m  1 0 x   m  1 x  2m  0 Hàm số có cực đại cực tiểu   ' 0  m   2m    m2   m 0   (1)   y  3m   x1 1   x 2m   y 4m3  3m   2 Tọa độ điểm cực đại cực tiểu là: M (1,  3m  3), M (2m  1, 4m3  3m  3) M Và M đối xứng qua I  I trung điểm M M 2 11   x  x 0   y1  y2 8  m    4m  6m  0  m  (nhận) ĐS: m  2m  0  4m  3m   3m  8 m     m  1 4m  4m  0   CÂU II:  x  y  x  y 4 1) Giải :   xy ( x  1)( y  1) 4  x  x  y  y 4    Hệ phương trình  x  x y  y 4   x  x 2  x   x 2      y  1 y 2  y  y 2        Vậy hệ có nghiệm (-1, -1), (-1, 2), (2, -1), (2, 2) 2) Giải: 16 x  3x 4 x  x Bất phương trình:  16 x 3 x  x  x x x x  3 1  9          1 (*)  16   4  16  x x x Xem hàm số f ( x)          16   4  16   y = f(x) Là hàm số liên tục giảm  (*)  f ( x)  f (1) Do đó:  x 1 CÂU III: 1) Giải phương trình 3tgx + 2cotg3x = tg2x cos x 0  Điều kiện: sin 3x 0 cos x 0  Ta có: tga  tgb     x   k   3x k   2 x   k      x   k  k  x    k  x    sin a cos b sin a sin b  cos a cos b   cos a sin b cos a sin b 12  cos( a  b) cos a cos b Aùp dụng vào phương trình ta được:   tgx  cot g x  tg x  cot g 3x Phương trình (cộng vế cho cotg3x) 3cos  x  x  cos(2 x  x)  cos x sin x cos x sin x 3cos x cos x    3cos x cos x cos x cos x  cos x  3cos x   cos 2 x  cos x  0    cos x  cos   cos x  cos      x   k   x   k 2     (thoûa điều kiện)    x   k  x   k 2    Đáp số: x   k , x   k (với cos   k   )  2) Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: 2r sin A  sin B  sin 2C  R sin A  sin B  sin C sin A  sin B  sin 2C sin A  2sin( B  C ) cos( B  C ) Ta có: 2sin A cos A  2sin A cos( B  C ) 2sin A  cos A  cos( B  C )  2sin A  cos( B  C )  cos( B  C )  2sin A   2sin B sin(  C )  4sin A sin B sin C Vế phải:  sin A  sin B  sin 2C sin A  sin B  sin C a b c 4sin A sin B sin C   2R 2R 2R a b c sin A  sin B  sin C   2R 2R 2R abc 2R abc   R3 a  b  c R a  b  c  Mặt khác: diện t ích S = pr =  abc 4R 13  abc 4 prR 2(a  b  c )rR 2(a  b  c )rR 2r  Do đó:vế phải=  (điều phải chứng minh) R (a  b  c) R CÂU IV: 1) Tính SG: Gọi I trung điểm BC BC b  c (do SBC vuông)  2 2 ASI có AI SA  SI b2  c 2  AI a  SGI có: SG SI  IG  2SI IG  cos I  SI  1 SI  SG SI  AI  2SI AI AI 1  SG  SI  AI  b2  c   b2  c   a     3  9       4a  4b  4c 36  SG  a  b2  c AB AC + =3 2) a) Chứng minh AM AN S S AMG  AM AG  AM  AMG  AM Ta có: S AB AI AB AB S ABI ABC   14 S AMG 1 AM S AB ABC S ANG 1 AN Tương tự: S AC ABC S S ANG 1  AM  AN   AMG   S  AB AC  ABC S  AM AC  AN AB   AMN    S 3 AB AC  ABC AM AN  AM AC  AN AB      AB AC  AB AC  AB AC   3 AM AN  b) Tam giác SBC có I tâm Trong mặt phẳng (SA, d) (d trục SBC ) Gọi O giao điểm SG d Ta có GAS  GIO  OI GI   SA GA  OI  SA  OS OA Vậy O mặt cầu qua S, A, B, C  O  SG  ( P ) Khi (P) // BC ta có MN//BC S  MN  SO 1  MN SO  BC SG 2 1  b  c a  b2  c2  b2  c2 a  b2  c2 MN  AK  AK  ( SMON ) AK  SO ta có SOMN    Vẽ Vậy chiều cao hình chóp ASMON AK 2 SA.SI 2 SA.SI abc  AK   SG SG 2 b c Vậy : S ASMON  S SMON AK Ta có: S ASG  SG AK  S ASI  3 15 1  BC.SG 3 abc 1  abc SG b2  c2 CÂU V: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường (P): y= x2 – 2x + 3, (d): y = 2x –1, x = 0; Phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): x  x  2 x   x 2 2  x  x    x  1  dx   x   dx S  Vậy:    0 x  2    (đvdt) 3   16 ... Vậy hệ có nghiệm ( -1, -1) , ( -1, 2), (2, -1) , (2, 2) 2) Giải: 16 x  3x 4 x  x Bất phương trình:  16 x 3 x  x  x x x x  3 ? ?1? ??  9          ? ?1 (*)  16   4  16  x x x Xem hàm... 19 )4 12  x3  25 x  19 x  0  ( x  1) (8 x  17 x  2) 0   x ? ?1  k 0    x 2  k ? ?12  21  x   k  32  Vậy phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (C2) là: y=4 hay y =12 x... J   1? ?? t2 12   dt 1? ?? t2 1 2 1      dt  1? ?? t 1? ?? t   1? ?? t   ln   ln  1? ?? t  4 5 cos x dx Tính I, J, K   cos x  sin x 3  I  J ? ?1   Ta có:   I  J  ln    1? ??  I