Bộ đề thi HSG lớp 9-Vĩnh Phúc

ĐỀ SỐ 1. ( Thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc) Th ờ i gian la ̀ m ba ̀ i 150 phu ́ t. Câu 1 . Giải hệ phương trình      =+−+ =−−− 0)(4 0)(9 33 33 yxyx yxyx Câu 2 . a.Xác định các giá trị nguyên x,y nghiệm đúng phương trình: 0)1()1( 22 =−+− yyyx b.Tìm các số nguyên không âm x,y,z,t thoả mãn: 2222 tzyx +=+ và tổng : x+y+z+t là số nguyên tố Câu 3 . a. Tìm các số thưc dương x,y thoả mãn đẳng thức : )1212.(24 11 +++=++++ yx yx yx . b. Phương trình ẩn x: x 2 +(A 2 -3)x+B=0. có 2 nghiệm dương cùng không lớn hơn 2. Xác định A và B để tổng các bình phương của 2 nghiệm đó đạt giá trị lớn nhất Câu 4. Giả sử các đường tròn có tâm lần lượt là O 1 , O 2 cắt nhau tại E và F. Đường thẳng O 1 O 2 cắt (O 1 ) tại A và C cắt (O 2 ) tại B và D sắp thứ tự A,B,C,D . Hai đường thẳng EF ,O 1 O 2 cắt nhau tại H, gọi P là điểm tùy ý trên đoạn HE ( P không trùng H,E) đường CP cắt (O 1 ) tại M. Đường thẳng BD cắt (O 2 ) tại N. a. Chứng minh rằng: HC HD HB HA = b. Chứng minh rằng. AM, EF, PN đồng quy a. | MN-BC| +|MB-NC|≥2|MC-NB|. ĐỀ THI SỐ 2. (Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc) Thời gian làm bài 150 phút. Câu 1. a. Giải phương trình: ||583 22 xxx =+++ b. Giải hệ phương trình:    =− =−−− 123 0129128 2 23 xyx xyyxx Câu 2. a. Chứng minh đẳng thưc: 1 2 +2 2 +3 2 + .+n 2 = 6 )12)(1( ++ nnn . b. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất n>1 sao cho: n n 2222 .321 ++++ là số chính phương. Câu 3. Cho biểu thức: A= ( ) 2 12 12 2 21 21624 44         −+−+− xx xxxx . Trong đó x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x: x 2 +(a 2 +3a-4)x-4=0. Tìm các giá trị của tham số a khi biểu thức A nhận giá trị nhỏ nhất. Câu 4. Cho đường tròn (C) đi qua đỉnh C của tam giác ABC và tiếp xúc với đường thẳng AB tại B. Đường tròn (C) cắt cạnh AC và trung tuyến CM ( M ∈ AB ) của ∆ ABC lần lượt tại D và E ( D, E không trùng với C). Tiếp tuyến tại C và E của đường tròn (C) cắt nhau tại F. Chứng minh rằng nếu ba điểm B, D, E thẳng hàng thì: a. EBCB EDCD FB FD . . = . b. 0 90 = ABC . ĐỀ THI SỐ 3. ( Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc) Thời gian làm bài 150 phút. Câu 1 ( 3 điểm ). Cho hệ phương trình với tham số a:    =−+ =+ 1|ax||y| |x||y|4x a) Giải hệ phương trình khi a=-2. b) Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình có đúng 2 nghiêm. Câu 2 ( 2 điểm ) a) Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= -z 2 +z(y+1)+xy. b) Cho tứ giác ABCD (Hai cạnh AB và AD có cùng độ dài )nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính r thì r ≤ 2 2 . Câu 3 ( 2 điểm ). Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình 499(1997 n +1)=x 2 +x có nghiệm nguyên. Câu 4 ( 3 điểm ). Cho tam giác ABC vuông (AC ⊥ BC). Đường tròn (C ) đường kính CD cắt cạnh AC và BC lần lượt tại E và F ( D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng BE với đường tròn (C ), hai đường thẳng AC và MF cắt nhau tại K, giao điểm của đường thẳng EF và BK là P. a) Chứng minh 4 điểm B, M, F, P cùng thuộc một đường tròn. b) Giả sử ba điểm D, M, P thẳng hàng . Tính số đo góc  của tam giác ABC. c) Giả sử ba điểm D, M, P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng minh rằng CM vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MFP. ĐỀ THI SỐ 4. ( Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc) Thời gian làm bài 150 phút. Câu 1. Cho phương trình: x 2 -x-a=0. ( a là tham số). a. Gọi x 1 , x 2 là nghiệm thực dương của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. P= ( ) ( )         +++         ++ 1 2 2 1 1 11 1 11 x x x x . b. Tìm giá trị nguyên của a để phương trình có và chỉ có nghiệm hữu tỷ. c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để phương trình có ngiệm x 1 , x 2 thoả mãn: ( ) ( ) 644141 2 1 3 2 2 2 3 1  ++++ xxxx . Câu 2. a. Tìm tất cả (x, y) thực thoả mãn: x 5 -y 5 =x 3 -y 3 =x-y. b. Giải phương trình ẩn x, y, z: (x 2 +1)(y 2 +3)(z 2 +27)=72xyz. Câu 3. Cho ∆ A 1 A 2 A 3 và các đường tròn (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ) đôi một tiếp xúc với nhau, (O 1 ) đi qua A 2 , A 3 ; (O 2 ) đi qua A 3 , A 1 ; (O 3 ) đi qua A 1 , A 2 . Biết rằng tam giác có đỉnh là A 1 , A 2 , A 3 đồng dạng với tam giác có đỉnh là O 1 , O 2 , O 3 . Hãy tính số đo các góc của tam giác A 1 A 2 A 3 . Câu 4. Cho ∆ ABC có AC=b, BC=a, không đổi. Trên cạnh AB về phía ngoài của tam giác dựng hình vuông ABDE. Gọi O là tâm hình vuông. M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Tìm giá trị lớn nhất của tổng OM+ON khi góc ACB thay đổi. ========== ========== ĐỀ THI SỐ 5 (Thi học sinh giỏi Huyện Yên Lạc) Thời gian làm bài 150 phút. Câu 1. Cho A= 2 168 1 4444 xx xxxx +− −−+−+ a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b. Rút gọn A. c. Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên. Câu 2. a.Cho y=(x-a) 2 +(x-b) 2 , a và b là các hằng số. Với giá trị nào của x thì y nhỏ nhất. b. Cho: ab ba 2 2 = + ; ( a>0, b>0). Tính b a . Câu 3. Giải hệ phương trình:        =         + − =         + + 24 1 17 2 1 13 yx y yx x Câu 4. Cho A, B thuộc đường tròn ( O), AB không là đường kính, C là trung điểm của cung nhỏ AB, F là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B; D, E lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến tại C với hai tiếp tuyến tại A và B. Chứng minh rằng: S DEF > 2 1 S ABC . Câu 5. Đường thẳng xy cố định và đường tròn cố định tâm O không cắt nhau. Từ điểm A di động trên xy dựng hai tiếp tuyến AB và AC tiếp xúc với đường tròn tại B và C. Chứng minh rằng BC đi qua điểm cố định khi A di động trên xy. ĐỀ THI SỐ 6. (Thi học sing giỏi huyện Yên Lạc) Thời gian làm bài 150 phút. _______________________________________________________________ Câu 1. Cho biểu thức: A=         + − + − + +         − − + + + + 1 1xy xxy 1xy 1x :1 1xy xxy 1xy 1x . a. Rút gọn A. b. Tính giá trị của A nếu: x= 7474 −−+ ; y= 32 − . c. Biết x+y=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Câu 2. a. Tìm các số x, y, z biết :      ++ = −+ = ++ = ++ ≠++ zyx 1 z 3yx y 2zx x 1xy .0zyx . b. Giải phương trình : .k1x2x1x2x =−−+−+ với k>0. Câu 3. a.Cho các số dươbg a, b, c. Chứng minh rằng : . 222 cba a c c b b a ++≥++ b. Cho S= 100 1 . 3 1 2 1 1 ++++ . Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên. Câu 4. Cho ∆ ABC cân tại A. Biết BÂC=20 0 và AB=AC=b, BC=a. Chứng minh rằng: a 3 +b 3 =3ab 2 . Câu 5. Cho đường kính AB của đường tròn và một điểm C nằm trên đường kính đó. Tìm trên đường tròn các điểm E, F đối xứng với nhau qua AB sao cho AE ⊥ CF. ========== ========== ĐỀ THI SỐ 7 (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT ) Thời gian làm bài 150 phút. _______________________________________________________________ Câu 1. a. Giải phương trình: .1x3x 2 1 x 2 2 +−=       − b. Tìm a để biểu thức sau có căn bậc hai: A= .1 2 a3 3 a2 −− c. Giải hệ phương trình:    =+− =−+ .05y3x2 .04y2x3 Câu 2. Cho phương trình: x 2 -2x-1=0. a. Hãy giải phương trình. b. Gọi hai nghiệm của phương trình là x 1 , x 2 . Tính: (x 1 -x 2 ) 4 . Câu 3. Một ôtô du lịch đi từ A đến C; cùng lúc đó, từ địa điểm B nằm trên đoạn đường AC có một ôtô vận tải cùng đi đến C. Sau 6 giờ ôtô du lịch và ôtô vận tải cùng tới C. Hỏi ôtô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu biết vận tốc ôtô tải bằng 5/6 vận tốc ôtô du lịch?. Câu 4. Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm A, B sao cho AB<2R. Gọi giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, B là P. Qua A, B kẻ các dây AC, BD song song với nhau, gọi giao điểm của các đây AD, BC là Q. a. Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp. b. Chứng minh PQ//AC. Câu 5. Biết rằng: y 2 +xy+z 2 +1- 2 x3 2 . Chứng minh rằng: .2zyx2 ≤++≤− ========== ========== ĐỀ THI SỐ 8 (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT ) Thời gian làm bài 150 phút. _______________________________________________________________ Câu 1. a. Tìm tập xác định của các hàm số sau: ;1x2y −= . 5x4 2x3 y + − = b. Rút gọn: B= . x3 1x2 2x 3x 6x5x 9x2 − + − − + − +− − c. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:    += −= x1y x1y . Câu 2. Cho phương trình ẩn x: x 2 -2(m+1)x+n+2=0. a. Tìm giá trị của m, n để phương trình có nghiệm là 3 và -2. b. Cho m=0, tìm các giá trị nguyên của n để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn: 2 1 x x 1 2 x x + là một số nguên. Câu 3. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 132 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi lấy lượng nước đó đổ vào hai bình kia thì: Hoặc bình thứ ba đây nước, còn bình thứ hai chỉ được một nửa bình. Hoặc bình thứ hai đây nước, còn bình thứ ba chỉ được một phần ba bình. (Coi như trong quá trình đẩy nước từ bình này sang bình khác lượng nước hao phí bằng không). Hãy tính thể tích mỗi bình. Câu 4. Cho hình thang ABCD. Có hai đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đường tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại điểm I. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K. a. Chứng minh các tứ gíac OBID, OBKD là các tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh IK//BC. c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều gì để tứ giác AIKD là hình bình hành. ========== ========== ĐỀ THI SỐ 9 (Tuyển sinh vào lớp 10 THP) Thời gian làm bài 150 phút. _______________________________________________________________ Câu 1. a. Tìm các giá trị của m để hàm số: y=(2-m)x+19: 1. Nghịch biến. 2. Đồng biến. b. Rút gọn: P= . xx 1 : 1xx 2 xxxx 2 2 −       ++ + ++ c. Vẽ đồ thị hai hàm số: y=x-1 (1) và y=x+1 (2) trên cùng một hệ trục toạ độ. Cho nhận xét về hai đồ thị trên. Câu 2. Cho hệ phương trình:    =++ =−− .0myx .02yx 2 ( m là tham số ). a. Giải hệ phương trình với m=-4. b. Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt (x 1 , y 1 ); (x 2 , y 2 ) thoả mãn : x 1 x 2 +y 1 y 2 >0. Câu 3. Ba ôtô chở 100 tấn hàng hết tổng cộng 40 chuyến. Số chuyến xe thứ nhất chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai. Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn. Tính xem mỗi ôtô chở bao nhiêu chuyến. Câu 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB ; điểm C cố định trên OA ( C không trùng với O, A), điểm M di động trên đường tròn, tại M vẽ đường thẳng vuông góc với MC cắt các tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lượt tại D và E. a. Chứng minh tam giác DCE vuông. b. Chứng minh tích AD.BE không đổi. c. Tìm vị chí điểm M sao cho diện tích tứ giác ABDE nhỏ nhất. ========== ========== [...]... góc hạ từ O xuống BI a Chúng minh rằng OK=KH b Tìm quỹ tích các điểm K khi M di động Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Sở gd&đt vĩnh phúc - Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trờng chuyên vĩnh phúc năm học 2003-2004 đề thi môn :toán chớnh thc (Dành cho các thí sinh thi vào chuyên Toán, Toán Tin) Thời gian làm bài 150 phút Câu 1: Giải phơng trình sau: x 2 2 x 5 = Câu 2:... biu thc AB AC + AP AQ c Hóy tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca din tớch tam giỏc APQ theo b, c -Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm Sở gd&đt vĩnh phúc Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trờng chuyên vĩnh phúc năm học 2004-2005 - đề thi môn :toán ( Dành cho cỏc thớ sinh thi chuyờn Toỏn, Toỏn -Tin) Thời gian làm bài 150 phút Cõu 1: Gii phng trỡnh: x ( x 1) + x ( x + 2) = 2 x 2 Cõu 2: Cho... AM ti I a Gi s AM i qua trung im ca dõy cung BC , hóy tớnh t s b Tỡm qu tớch im I khi M di ng trờn BC ====================== Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm AM BM Sở gd&đt vĩnh phúc Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trờng chuyên vĩnh phúc năm học 2003-2004 - - Đề thi môn: Toán (Dành cho tất cả các thí sinh) (Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1: Cho biểu thức : P x x2 y 2 = 2 2 x + y2 x y x y 1... nh v trớ ca im C sao cho din tớch hỡnh thang vuụng ABKI ln nht Cõu 4 Gii phng trỡnh: (6x+5)2(3x+2)(x+1)=35 ========== ========== Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm Sở gd&đt vĩnh phúc Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trờng chuyên vĩnh phúc năm học 2004-2005 - - đề thi môn :toán ( Dành cho tát cả các thí sinh) (Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1: Cho hệ phơng trình : ( a + b) x + ( a b ) y = 1 ( 2a... OD MH 2 =1 AM MB OJ 2 Và tứ giác CEFD nội tiếp trong một đờng tròn tâm K b Xác định vị trí của M sao cho độ dài đạon KE là ngắn nhất - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Huyện tam dơng Phòng gd&đt - đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2003-2004 Môn : Toán ( Thời gian làm bài 150 phút) Câu 1: Cho hệ phơng trình : x + my = 2 mx 2 y = 1 a Giải hệ phơng trình với m=2 b Tìm... và là số đo góc MAK a Chứng minh rằng MK=ALsin b Chứng minh rằng diện tích tứ giác AKMN bằng diện tích tam giác ABC - -Cán bộ coi thi không giải thêm Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học 2004 2005 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu 1: a) Giải phơng trình 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 16 b) Giải hệ phơng trình: y + xy 2 = 6 x 2 2 2 2 1... thoả mãn đẳng thức xy zt = 1 Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + y2 + z2 + t2 + (x + t)2 + (y + z)2 Đề Thi vào lớp 10 Năm học 2004 2005 Câu 1( 2 điểm ) : Ngày thi : 29 6 2004 Thời gian thi : 150 ( phút ) a Tính giá trị của biểu thức : A = 2 + ( 2 1) b Giải phơng trình: x2+ x 2 = 0 2 Câu 2( 2,5 điểm ) : Cho hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn... Câu 5( 0.75 điểm ) : Cho a, b là các số dơng thoả mãn điều kiện a + b = 2ab Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B= a +1 b +1 + 2a 1 2b 1 The end Đề Thi vào lớp 10 Năm học 2005 2006 Ngày thi : 6 7 2005 Thời gian thi : 150 ( phút ) Câu 1: a) Tìm tập xác định của các biểu thức sau: a1) 1 x +4 a2) 1 x2 b) Cho hàm số bậc nhất ẩn x: y = (a + 1)x + 1 b1) Xác định giá trị của a để... ========== ========== Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm THI S 24 (Tuyn sinh vo lp 10 THPT) Thi gian lam bai 150 phut _ Cõu 1 Rỳt gn biu thc : 1 a a M= 1 1 + a 1+ a a vi a0 v a1 Cõu 2 Gii h phng trỡnh: x2 + y 2 = 25 xy = 12 Cõu 3 Hai ngi cựng lm chung mt cụng vic s hon thnh trong 4 gi Nu mi ngi lm riờng hon thnh cụng vic thỡ thi gian ngi th nht hon thnh... song vi ng thng ST ========== ========== Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm THI S 25 (Tuyn sinh vo lp 10 THPT) Thi gian lam bai 150 phut _ Cõu 1 Cho biu thc: A= x 2 + x 1 2 1 1 : + x + x + 1 x + 2 x +1 1+ x 1 x x 2 x +1 4x a Rỳt gn biu thc b Cú giỏ tr no ca x A= 4/5 hay khụng? Cõu 2 Lan v Hựng khi hnh ng thi t hai a im A v B Lan i t A, Hựng i t B v i ngc . ba điểm B, D, E thẳng hàng thi : a. EBCB EDCD FB FD . . = . b. 0 90 = ABC . ĐỀ THI SỐ 3. ( Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc) Thời gian làm bài 150. AM, EF, PN đồng quy a. | MN-BC| +|MB-NC|≥2|MC-NB|. ĐỀ THI SỐ 2. (Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc) Thời gian làm bài 150 phút. Câu 1. a. Giải phương