Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 35

kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT ----------------- ---------------------------------------------- Môn thi Toán bảng A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ------------------------- Bài 1 (4 điểm) 1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số 1 2 = x x y hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45 0 . 2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi: xy 2 log = ; x + y = 3; y = 0. Bài 2 (4 điểm) 1. Tìm m để hệ ( ) ( ) <+++ <++ 077 022 2 2 mxmx mxmx có nghiệm. 2. Giải phơng trình 332 2 += xxx . Bài 3 (4 điểm) 1. Giải phơng trình cos6x cos4x + 4cos3x + 4 = 0. 2. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng: 6 13 coscoscos 1 coscoscos ++ +++ CBA CBA . Bài 4 (4 điểm) 1. Giải phơng trình ( ) ( ) ( ) [ ] 23log5log3 53 +=+ xxxx . 2. Tính x xx x 13121 lim 3 0 ++ . Bài 5 (4 điểm) 1. Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đờng thẳng = =+ 0122 0322 zyx zyx có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu. 2. Với a, b, c dơng và 1 R, chứng minh rằng: 11 1 11 1 11 1 + + + + + + + + + + ba c ac b cb a ba c ac b cb a .Hết . 1 Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Môn: toán - bảng A (đáp án này có 3 trang) Bà i ý Nội dung Điể m I 1 TXĐ D = R\{1} M Ox M(x 0 ; 0), đờng thẳng qua M với hệ số góc k có phơng trình: y = k(x x 0 ) () () là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ: ( ) ( ) = = k x xx xxk x x 2 2 0 2 1 2 1 có nghiệm ( ) ( ) 0 2 22 1 2 1 xx x xx x x = ( ) [ ] 021 00 =+ xxxx + = = 1 1 2 0 0 0 0 xVoi x x x x Với x 0 = 0 k = 0, Với x 0 = 1 2 0 0 + x x k = ( ) 2 0 0 1 4 + x x Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: 21 21 0 1 45 kk kk tg + = . ( ) 2 0 0 1 4 + x x = 1 . 223 0 = x M 1 ( 223 + ; 0), M 2 ( 223 ; 0). 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 2 Giao điểm của đồ thị hàm số xy 2 log = , và đờng thẳng x +y = - 3 là A(2; 1) V = ( ) + dxxdxx 3 2 2 2 1 2 3log =V 1 + V 2 V 1 = dxx 2 1 2 log = dxxe 2 1 2 ln.log = . = ( ) 12ln2.log 2 e . V 2 = ( ) dxx 3 2 2 3 = .= 3 1 V=[ 3 1 + ( ) 12ln2.log 2 e ] (đvtt) 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ II 1 ( ) ( ) <+++ <++ )2(077 )1(022 2 2 mxmx mxmx 0.5đ 2 y O 1 2 3 x 1 Bµ i ý Néi dung §iÓ m • ∆ 1 = (m – 2) 2 ≥ 0 vµ ∆ 2 = (m – 7) 2 ≥ 0 ⇒ m = 2 hoÆc m = 7 th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. • Víi    ≠ ≠ 7 2 m m vµ 0 ≥ m th× tËp nghiÖm cña (1) lµ D 1 ⊂ R + vµ tËp nghiÖm cña (2) lµ D 2 ⊂ R - nªn hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. • Víi m < 0 tËp nghiÖm D 1 = (m; 2) vµ tËp nghiÖm D 2 = (-7; -m) ⇒ hÖ ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm. • HÖ ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi m < 0. 0.5® 0.5® 0.5® 2 • ⇔ ( ) ( ) ( )( ) 0133033 2 =−+−++⇔=++−+− xxxxxxxx • 2 131 03 0 3 2 − =⇔    =−− ≤ ⇔−=+ x xx x xx • 2 173 023 1 13 2 + =⇔    =−− ≥ ⇔−=+ x xx x xx KÕt luËn: 2 131 − = x vµ 2 173 + = x lµ nghiÖm. 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® III 1 ⇔ 04cos33cos43cos2 2 =−++ xsxx ⇔ ( ) 02sin213cos2 2 =++ xx ⇔    = −= 02sin 13cos x x ⇔        = += 2 3 2 3 π ππ lx k x KL: NghiÖm x = π + 2kπ 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 2 • ®Æt CBA coscoscos ++ = 1+ 2 sin 2 sin 2 sin4 CBA = t ⇒ 1< t ≤ 2 3 • XÐt f(t) = t t 1 + trªn (1; 2 3 ], cã f’(t) = 2 1 1 t − > 0 ⇒ hµm sè ®ång biÕn trªn (1; 2 3 ] • ∀t ∈ (1; 2 3 ] th× f(1) < f(t) ≤ f( 2 3 ) = 6 13 0.5® 0.5® 0.5® 3 Bà i ý Nội dung Điể m Vậy 6 13 coscoscos 1 coscoscos ++ +++ CBA CBA Dấu bằng xảy ra khi: CBA coscoscos ++ = 2 3 hay tam giác đều. 0.5đ IV 1 Pt ( ) ( ) 3log5log 53 + xx = 3 2 + x x với x > 5 Hàm số y = ( ) ( ) 3log5log 53 + xx đồng biến trên (5; + ) Hàm số y = 3 2 + x x có y= ( ) 2 3 5 x < 0 nghịch biến trên (5; + ) phơng trình có nghiệm duy nhất x = 8 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 2 L = x xxxx x 131313121 lim 333 0 +++++ = x x x x 121 31lim 3 0 + + + x x x 131 lim 3 0 + = L 1 + L 2 L 1 = x x x x 121 31lim 3 0 + + = ( ) 121 2 31lim 3 0 ++ + xx x x x = 1 L 2 = x x x 131 lim 3 0 + = ++++ 13131 3 lim 3 2 3 0 xxx x x = 1 Vậy L = 2 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ V 1 = =+ )(0122 )( 0322 Qzyx P zyx ta nhận thấy )( )( QI PI và (P) (Q) hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng phân giác 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phơng trình 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là: |2x + 4y z -3| = |x 2y -2z -1| = =++ 04- 3z-x 3 0 2 - z 4y x Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/) = 3 2141 + = 3 4 Phơng trình mặt cầu cần lập là: ( ) ( ) ( ) 9 16 111 222 =+++ zyx 0.5đ 0. 5đ 0.5đ 0.5đ 2 Giả sử a b c > 0 0 11 1 11 1 11 1 + + + + + + + + ba c ba c ac b ac b cb a cb a 0 1 11 11 1 11 1 11 1 + + + + + + + + + baba c c acac b b cbcb a a 0.5đ 0.5đ 4 Bµ i ý Néi dung §iÓ m ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 11 11 1 11 11 1 11 11 1 ≥ ++ −+− + + ++ −+− + ++ −+− ⇔ −− −− − −− −− − −− −− − αααα αα α αααα αα α αααα αα α bcac acbaca c acac abacbc b cbcb cacbab a . ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 11 11 11 1111 11 1111 11 1111 11 ≥         ++ − ++ −+ +         ++ − ++ −+ +         ++ − ++ −⇔ −−−− −− −−−− −− −−−− −− αααααααα αα αααααααα αα αααααααα αα abcbbaba acac babaacac cbcb acaccbcb baba §iÒu nµy lu«n ®óng víi mäi a ≥ b ≥ c > 0 vµ α > 1, α ∈ R dÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c > 0. 0.5® 0.5® 5 . .Hết . 1 Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Môn: toán - bảng A (đáp án này có 3 trang) Bà i ý Nội dung Điể m I 1 TXĐ D. kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT ----------------- ---------------------------------------------- Môn thi Toán bảng A Thời gian làm