b Viết phương tŕnh mặt phẳng P chứa d1 sao cho giao tuyến của mặt phẳng P và mặt cầu S là đường tròn có bán kính r=1... Lập tổ công tác 6 người... Như vậy còn lại 12 người.. Số cách chọ
Trang 1ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( SỐ 5)
CÂU I
Cho hàm số y x2 6x2 9
x
− +
=
− +
a) Khảo sát sự biến thiên và veơ đồ tḥ của hàm số
b) Tm tất cả các điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được tiếp tuyến ́ với đồ th,song song với đường thẳng ̣ y= −34x
CÂU II
Cho hệ phương tŕnh: 2 2
12 26
xy y
− =
− = +
a) Giải hệ phương tŕnh với m=2 b) Với nhương giá tṛ nào của m th́ hệ phương tŕnh đaơ cho có nghiệm?
CÂU III
a) Tính: 6 3
0 cos 2
tg x
x
π
=∫ b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho h́nh phẳng D giới hạn bởi các đường
ln
y = x, y= 0, x e= Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay D quanh trục Ox
CÂU IV
Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nươ trong đó có An và B́nh,người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người.T́m số cách chọn trong moăi trường hợp sau:
a) Trong tổ phải có cả nam laăn nươ
b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên,hơn nươa An và B́nh không đồng thời có mặt trong tổ
PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh được chọn một trong 2 câu sau)
CÂU VA:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng:
d1: − − =2x y x z− − =2 06 0, d2: 14 22 11
, d3: x2−5 = y+11= z+12
Và mặt cầu: ( ) :S x2 +y2 +z2 + 2x− 2y+ 2z− = 1 0
a) Chứng minh rằng d1,d2 chéo nhau và viết phương tŕnh đường thẳng d cắt d1,cắt d2 và song song với d3
b) Viết phương tŕnh mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r=1
CÂU VB:
Trang 2Cho h́nh vuông ABCD cạnh a.Gọi O là giao điểm hai đường chéo.Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa h́nh vuông,ta lấy điểm S sao cho góc
a) Tính khoảng cách giươa 2 đường thẳng BC và SD
b) Gọi (α) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) Tính diện tích thiết diện tạo bởi (α) và h́nh chóp S.ABCD
Đáp án CÂU I:
a) Khảo sát sự biến thiên và veơ đồ tḥ 2 6 9
( ) 2
x
− +
=
− +
• TXĐ: D = R\ {2}
2 4 3 '
2
y
x
+ −
=
− +
3
x y
x
=
= ⇔ =
• TCĐ: x = 2 v́ xlim→2= ∞
Ta có: 4 1
2
x
= − + +
− +
• TCX: y = - x + 4 v́ lim 1 0
2
x
− +
→ ∞
• BBT:
• Đồ tḥ:
Cho x = 0 ⇒ =y 92
Trang 3b) T́m M∈ Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) song song với đường thẳng y=
3
4
− x có dạng
Gọi M(0, b) ∈ Oy, tiếp tiếp qua M song song đường thẳng y= −34x có dạng:
(D): y= −34x b+
(D) tiếp xúc (C)
(1)
(2)
x b x
x
− +
⇔
− + −
− +
co ùnghiệm
(2) ⇔ x2 4 0 − x= ⇔ =x 0 ∨ =x 4
Thay vào (1): 0 9; 4 5
x= ⇒ =b x= ⇒ =b
Vậy : 1(0; ),9 2(0; )5
CÂU II:
Cho
2
2
12 26
xy y
Giải hệ khi m=2
Ta có: Hệ phương tŕnh ⇔ y x y x x y(( −− ) 26) 12== +m
Trang 4
(26 )
(2) 12
y x y
m y x
− =
⇔ = +
Thế (2) vào (1) ta được :
Với m= 2: Phương tŕnh (*) trở thành : 16y2 =144
2 9
(2)
(2)
y
⇔
= − → = −
Vậy khi m= 2 hệ có nghiệm : x y=73 ∨ x y= −73
b) T́m m để hệ có nghiệm:
Ta có: Hệ có nghiệm ⇔ phương tŕnh (*) có nghiệm
14
m m
⇔ + >
⇔ > −
CÂU III:
a) Tính
6 3
0 cos 2
tg x
x
∏
= ∫ Đặt t= tgx 12
cos
x
Đổi cận :
3
= ⇒ =
3
3 3
2
0
t
t
t
= ∫ − = ∫ − + − ÷÷
b) Tính thể tích do h́nh phẳng giới hạn bởi y= lnx, y= 0, x= e quay quanh Ox
Trang 5Đồ tḥ y= lnx cắt Ox tại điểm có hoành độ x= 1
Do đó: e 2ln
1
Đặt u ln2x du 2lnx dx
x
dv = dx, chọn v = x
( )2 e e
e
e 2 ln 1
xdx
π π
= − ∫
Xem eln
1
Đặt u lnx du 1dx
x
dv = dx, chọn v = x
( ln )1e e 1
1
Vậy: V = π (e 2) − (đvtt)
CÂU IV:
Có 6 nam và 8 nươ trong đó có An và B́nh Lập tổ công tác 6 người T́m số cách chọn: a) Có cả nam laăn nươ:
Trang 6• Số cách lập tổ công tác không phân biệt nam nươ là: C146
• Số cách lập tổ công tác toàn nam là: C66
• Số cách lập tổ công tác toàn nươ là: C86 Suy ra số cách lập tổ công tác có cả nam laăn nươ là:
6 ( 6 6) 2974
C − C +C = (cách)
b) Có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và B́nh không đồng thời có mặt:
Có 3 trường hợp xảy ra:
• Trường hợp 1: Trong tổ không có An laăn B́nh
Như vậy còn lại 12 người
Số cách chọn tổ trưởng :12 cách
Số cách chọn tổ viên: C115
⇒ Số cách chọn tổ trong đó không có An laăn B́nh là:
5
11
C = (cách)
• Trường hợp 2: Trong tổ không có An và không có B́nh.
Như vậy có 13 người trong đó có An nhưng không có B́nh
Nếu An là tổ trưởng th́ số cách chọn 5 tổ viên trong 12 người còn lại là:
5
12
Nếu An là tổ viên th́ số cách chọn 1 tổ trưởng và 4 tổ viên còn lại trong
12 người còn lại là:12.C114
⇒ Số cách chọn tổ mà trong đó có An và không có B́nh là:
5 12 4 4752
C + C = (cách)
• Trường hợp 3: Trong tổ có B́nh và không có An:
Tương tự trường hợp 2 có 4752 cách
• Tóm lại:
Số cách chọn tổ trong đó có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và B́nh không đồng thời có mặt
là: 5544 + 4752 + 4752 = 15048 (cách)
CÂU IV:
a) d1 , d2 chéo nhau
Ta có d1 đi qua A(0, -2, -6) có VTCP (1,1, 2)
1
uur
2
d đi qua B(4, 2, 1) có VTCP auur2= (1, 2,1)
Ta có:
Trang 7, ( 3,1,1)
1 2 (4, 4,7)
a a
AB
uur uur
uur uur uuur uuur
Vậy: d1 , d2 chéo nhau
• Phương tŕnh đường thẳng d cắt d1 cắt d2, song song d3
Ta có VTCP của d3 là auur3= (2, 1, 1) − −
Gọi α là mặt phẳng chứa d1 và song song d3
, (1,5, 3)
1 2
⇒uuur=uur uur= −
⇒ phương tŕnh α: x + 5y - 3z – 8 = 0
Gọi β là mặt phẳng chứa d2song song d3
, ( 1,3, 5)
2 3
⇒uuur=uur uur= − −
⇒Phương tŕnh β: -x + 3y -5z -8 = 0
Đường thẳng d cần t́m là giao tuyến của α và β
⇒ Phương tŕnh d là:− + − + =x x+53y y− − =3z5z8 03 0
(v́ d khác phương d1 , d 2)
b)
• Mặt cầu (S) có tâm I(-1, 1, -1) và R= 2
• Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r= 1
⇒ d(I,(P))= R2 −r2 = 3
• Mặt phẳng (P) chứa d1 nên phương tŕnh có dạng:
m(x – y – 2 ) + n(2x – z – 6 )= 0
⇔ (m+2n)x-my-nz-2m-6n=0
Ta có: d(I,(p))= 3
Cho n= 1, ta có 5m2 +22mn+17 0=
17 1
5
⇔ = − ∨ = −
Vậy phương tŕnh (P) là:
Trang 84 0
x y z
+ − − =
CÂU Vb)
a) Khoảng cách giươa BC và SD
Ta có SO là trục h́nh vuông ABCD và SCB¼ =60
⇒SA = SB = SC = SD = CB = a Và BC// (SAD) nên d(BC, SD) = d(I,(SAD))
Với I là trung điểm CB
Gọi H là trung điểm AD, ta có:BC⊥ (SHI)
Veơ IJ ⊥SH ta có IJ ⊥ (SAD)
⇒ d(BC, SD) = IJ
• Tam giác SIH có
2
3 3
2
a a
IJ SH
a
Vậy d(BC, SD) = 6
3
b) ( ) α Cắt h́nh chóp theo thiết diện là h́nh thang BCFE Do h́nh chóp đều nên BCFE là h́nh thang cân:
(EF+BC).IJ
S
Do EF//AD nên:
3
2
a SJ
2
a EF
Trang 9Vậy 2 36 2 6
a
a a
a S
BCEF
+