[r]
(1)Đề 10
CAÂU I:
a) Khảo sát hàm số: 2
5 4 y =x - x + b) Cho parabol: 2
5 6
y= x - x + vaø 2
5 11 y = -x - x - Viết phương trình tiếp tuyến chung parabol CÂU II:
a) Tìm x , y nguyên dương thỏa phương trình:3x+5y=26
b) Cho a b c > Chứng minh : (a b c )(1 1 ) 9
a b c
+ + + + ³
CÂU III:
a) Giải phương trình :sinx+sin2x+sin3x=0
b) Chứng minh tam giác ABC có cot 2 C
tga+tgb= g
tam giác ABC cân CÂU IV:
a) Từ bốn chữ số 4, 5, 6, lập số có chữ số phân biệt?
b) Từ chữ số 0, 1, 2, 3,4, lập số chẵn gồm chữ số đơi khác nhau?
Thí sinh chọn hai câu Va hoặv Vb
CÂU Va:
a) Cho đường trịn 2 2 (x-a) +(y-b) = R
Chứng minh tiếp tuyến đường trịn điểm (x y 0, 0 ) có
phương trình: 2
0 0
(x -a x)( -a)+(y -b y)( -b) = R
b) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm Hyperbol 2
2 2 1 x y
a -b = đến tiệm cận số khơng đổi CÂU Vb:
Cho tứ diện ABCD Gọi A B C D 1, 1, 1, 1 tương ứng trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Gọi G giao điểm của AA BB 1, 1
a) Chứng minh rằng: 1
3 4 AG AA =
b) Chứng minh rằng: AA BB CC DD 1, 1, 1, 1 đồng quy Đáp án đề 10
Caâu I:
a) Khảo sát hàm số: 2
5 4 y =x - x +
· Tập xác định: D = R
· y’= 2x -
· BBT:
(2)Đề Luyện Thi Đại học 10
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung cuûa hai parapol: 2
( ) : 6
1
P y= x - x+ vaø ( ) : 2 11
2
P y = -x + x-
- Gọi ( ) D : y= ax + b tiếp tuyến chung (P1) (P2) - ( ) D tiếp xúc với (P1) (P2)
GV: Đinh Văn Trí Luyện Thi Đại Học
2 6
2 5 11
2 (5 ) 0
2 (5 ) 11 0
2
0 10 4 1 0
1
0 2 10 4 19 0
2
3 3
10 5
x x ax b
x x ax b
x a x b
x a x b
a a b
a a b
a a
b b
ì - + = +
ï Û í
ï- + - = +
ỵ
ì - + + - =
ï Û í
ï - - + + =
ỵ
ì D =
ì + + + =
ï ï
Û í Û í
D =
ï ï - - - =
ỵ ỵ
= = -
ì
Û í Ú
= - =
ỵ
co ùnghiệm kép co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép co ùnghiệm kép
ì í ỵ Vậy phương trình tiếp tuyến chung là:
y = 3x - 10 hay y = - 3x + CAÂU II:
a) Tìm x, y nguyên dương thoả 3x + 5y = 26 Ta có:
3x + 5y = 26 26 2. 1
3 3
y y
x - y -
Û = = - +
Ta lại có:
· x y, ẻÂ
1 3 ,
1 3 7 5
y y t
y t
y t x t
Ỵ ì ï Û í -
= Ỵ
ù ợ
ẻ ỡ Û í
= - Þ = +
ỵ
(3)1 3 , 0
7 5 0
7 1
5 3
1 0 (vì t ) t
x y
t t
t t
- ì · > Û í
+ > ỵ
- Û < <
= - = ẻ Â
Vaäy: 2 7
4 1
x x
y y
= =
ì ì
Ú
í í
= =
ỵ ỵ
b) Cho a, b, c > Chứng minh (a b c )(1 1 ) 9
a b c
+ + + + ³
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta : 3
a b c+ + ³ abc 1 1 1 3 1
3
a+b+c ³ abc (vì a, b, c > 0) Nhân vế với vế ta :
1 1 1
(a b c ) 9
a b c
ổ ử
+ + ỗ + + ÷ ³
è ø (đpcm)
CÂU III:
a) Giải phương trình:sinx + sin2x + sin3x = Ta có phương trình
2 sin cos sin 0 sin (2 cos 1) 0
sin 0 1 cos
2 2
2 2 3
2
( )
2 2 3
x x x
x x
x x
x k
x k
k x
k
x k
p p
p
p
p p
Û + =
Û + =
= é
ê Û
ê = - ë
= é ê Û
ê = ± + ë
é = ê
Û ê Ỵ
ê = ± + ê
ë
¢
b) Chứng minh tam giác ABC có cot 2 C
tgA+tgB= g
(4)Đề Luyện Thi Đại học 10
[ ]
2
2 cot 2
cos
sin( ) 2
2 cos cos sin
2 cos
sin 2
2 cos cos
sin 2 sin
1 2
cos cos
sin 2 sin cos cos
2
1 1
(1 cos ) cos( ) cos( )
2 2
1 cos cos cos( ) cos( ) 1
0
C
tgA tgB g
C A B
C
A B
C C
C
A B
C
C
A B
C
A B
C A B A B
C C A B
A B A B A B
+ =
+
Û =
Û =
Û =
Û =
Û - = + + -
Û - = - + -
Û - =
Û - = Û = Vậy D ABC cân C CÂU IV:
a) Từ bốn chữ số 4, 5, 6, lập số có chữ số phân biệt:
· Số số có chữ số: 1 4
A
· Số số có chữ số phân biệt: 2 4
A
· Số số có chữ số phân biệt: 3 4
A
GV: Đinh Văn Trí Luyện Thi Đại Học
· Số số có chữ số phân biệt: 4 4
A
Vậy số số cần tìm là: 4 64
4 4 4
A +A +A +A = (soá)
b) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số chẵn gồm chữ số đôi khác nhau:
Gọi số cần tìm có dạng:
1 5 a a a a a
· Trường hợp 1 : 0
5 a =
Số cách chọn vị trí lại: 4 5 A
· Trường hợp 2: { }2, 4
5 a Ỵ -
5
a Có cách chọn -
1
a Có cách chọn (vì 1
a khác 0) - , ,
2 3 4 a a a coù 3
4
A cách chọn Þ Số số trường hợp 2: 2.4. 3
4 A (soá) Vậy số số cần tìm là: 4 2.4. 3 312
5 4
A + A = (số) CÂU Va:
a) Đường trịn (x a- )2+(y b- ) 2 = R 2 (C)
· Có tâm I(a, b) bán kính R
· Gọi ( ) D tiếp tuyến (C) tại ( , ) 0 0 0 M x y Ta coù: ( , ) ( )
(5), 0 0 0
( )( ) ( )( ) 0
0 0 0 0
( )( ) ( )( ) 0
0 0 0 0 0
2 2
( ) ( )
0 0
( )( ) ( )( )
0 0 2
2
( )( ) ( )( )
0 0
MM IM
x x x a y y y b
x a x a a x y b y b b y
x a y b
x a x a y b y b
R
x a x a y b y b R
Û =
Û - - + - - =
Û - - + - + - - + - =
- + -
Û - - + - - =
Û - - + - - =
uuuuuuruuuur
(vì ( , ) ( ) 0 0 0
M x y Ỵ C )
Vậy phương trình tiếp tuyến tại ( , ) 0 0 x y là:
2
( )( ) ( )( )
0 0
x a x- -a + y b y- -b = R b)
2 2
1 ( ) 2 2
x y
H
a b
- =
Laáy ( , ) ( ) 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
M x y Ỵ H Ûb x -a y = a b
Hai tiệm cận (H) là: bx - ay = 0 ( ) 1 D vaø bx + ay = 0 ( )
2 D Ta coù:
0 0 0
( , ( )) ( , ( ))
1 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
0 0
2 2
bx ay bx ay
d M d M
a b a b
b x a y
a b
a b c
- +
D D =
+ +
-
= =
+
(với c nửa tiêu cận (H)) CÂU Vb:
a) 3
4 1 AG
AA =
Gọi I, J trung điểm CB, CD và
1
A =BIÇ DJ Ta có:
1 D Ỵ AJ
Vaø: 1 1 1 1 1 3
JD JA A D
JA = JD = AD = Tam giaùc
1 1
GA A :GDA . 1 1 1
3 1
3 4 1
D A GA
GA AD
AG AA
Þ = =
Þ =
(6)Đề Luyện Thi Đại học 10
Chứng minh tương tự ta có 1 BB và
1
CC qua G Vậy 1 AA ,
1 BB ,
1 CC ,
1