Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp tỉnh có đáp án(đề 2)

Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 2) năm học : 2008 - 2009 Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 2 ( )x y x x y y x y A x y x x y y x y + = ữ ữ + 1. Rút gọn biểu thức A 2. So sánh A và A Bài 2: (5 điểm) 1. Giải hệ phơng trình: 3 1) - xy )( y x ( 10 ) 1 y )( 1 x ( 22 =+ =++ 2.Phân tích thành nhân tử: ( )( )P xy yz zx x y z xyz= + + + + Bài 3: (2 điểm) 1. Cho các số thực x, y, z thõa mãn: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9x y x y y z x y z+ + + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của xyz. Bài 4: (2 điểm)Tìm các số nguyên dơng x, y, z thõa mãn phơng trình: 4 2 2 0x x yz z + = Bài 5: (5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, góc A= 45 0 và các đờng cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M, N, K lần lợt là trung điểm của BC, AH, EF và 0 là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1. EAH EBC = 2. Bốn điểm M, E, N, F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Ba điểm H, K, O thẳng hàng. Bài 6: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho chu vi tam giác MCN bằng 2. Tính góc MAN. Hết 1 Đáp án: Đề số 2 Bài Đáp án và hớng dẫn chấm điểm Bài 1 (4điểm) Câu 1: (2,5 điểm) ĐK: 0; 0;x y x y 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x y x y x y x y x xy y A x y x xy y x y x y x y + + + + = + + + 2 ( ) ( ) ( ) x y x xy y x y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x y + + + + + + + = + = + + + + xy x xy y = + 0,5 1,0 1,0 Câu 2: (1,5 điểm) Vì 0; 0;x y x y nên 2 ( ) 0x y > 0x xy y xy + > * Nếu x = 0, y > 0 hoặc y = 0, x > 0 thì A A= = 0 * Nếu x > 0, y > 0 và x y : Ta có: 0 1 xy xy A x xy y xy < = < = + Hay 0 1A< < . Ta có: ( 1) 0A A A A A A = < < Vậy A A 0,5 0,5 0,5 Bài 2 5đ Câu 1: (3 điểm): Ta có hệ 3 1) - xy )( y x ( 10 ) 1 y )( 1 x ( 22 =+ =++ 3 1) - xy )( y x ( 10 1 y x yx 2222 =+ =+++ 3 1) - xy )( y x ( 10 1) - (xy y) (x 22 =+ =++ Đặt u = x + y ; v = xy - 1 hệ trở thành : 3 u.v 10 v u 22 = =+ 0,5 0,25 0,25 2 ⇔ 3 u.v 16 v) u ( 2    = =+ ⇔ 3 u.v 4 v u    = ±=+ • NÕu 3 u.v 4 v u    = =+ th× ta cã 1 v 3 u    = = hoÆc 3 v 1 u    = = * víi 1 v 3 u    = = th× 1 1 - xy 3 y x    = =+ ⇔ 2 xy 3 y x    = =+ ⇔ (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) * Víi 3 v 1 u    = = th× 3 1 - xy 1 y x    = =+ ⇔ 4 xy 1 y x    = =+ nªn x , y lµ 2 nghiÖm cña PT : t 2 - t + 4 = 0 cã ∆ < 0 ⇒ v« nghiÖm ⇒ hÖ v« nghiÖm trong trêng hîp nµy . • NÕu 3 u.v 4 v u    = −=+ th× ta cã 1- v 3- u    = = hoÆc 3- v 1- u    = = * Víi 1- v 3- u    = = ta cã 1- 1 - xy 3- y x    = =+ ⇔ 0 xy 3- y x    = =+ ⇔ (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3) * Víi 3- v 1- u    = = ta cã 3- 1 - xy 1- y x    = =+ ⇔ 2- xy 1- y x    = =+ ⇔ (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2) Tãm l¹i hÖ ®· cho cã 6 nghiÖm lµ (x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2) . 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 C©u 2: (2 ®iÓm) Ta cã: ( )( )P xy yz zx x y z xyz= + + + + − ( ) ( ) ( )xy x y z yz x y z zx x y z= + + + + + + + + ( )( ) ( )y x z x y z zx x z= + + + + + ( )( )x z x y z zx= + + + + ( )( )( )x y x z y z= + + + 1,0 1,0 Bµi 3 (2®iÓm) C©u 1: (2 ®iÓm) Ta cã: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9x y x z y z x y z+ + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2( 2 ) 3( 2 1) 12x xyz y z y xyz x z x y z xyz⇔ + + + + + + − + = 2 2 2 ( ) 2( ) 3( 1) 12x yz y xz xyz⇔ + + + + − = 2 2 3( 1) 12 ( 1) 4xyz xyz⇒ − ≤ ⇔ − ≤ 2 1 2 1 3xyz xyz⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ 1,0 3 d H O K N M F E C B A Mà xyz = -1 0 0 ( ; ; ) (1, 1,1);(1,1, 1);( 1,1,1);( 1, 1, 1) 1 x yz y xz x y z xyz + = + = = = Vậy giá trị nhỏ nhất của xyz = -1 1,0 Bài 4 (2 điểm) Ta có: 4 2 2 0x x yz z + = 2 2 ( ) 2 (1)x x yz z = Xét 3 trờng hợp: * Nếu z = 1 thì (1) 2 2 ( ) 1x x y = 2 1 1 2 1 1 x x y y = = = = * Nếu z = 2 thì (1) 2 2 2 ( 2 ) 0 2x x y x y = = nên có nghiệm: 2 2 ; 2x k y k= = (với k Z + ) * Nếu z > 2 thì (1) ta có: z- 2 > 0 và 2 2z x M nên 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0z x z x x x yz x x y + > < < (vô lý) Vậy bộ ba số nguyên dơng (x; y; z) thõa mãn đề bài là: (1; 2; 1) và (2k; 2k 2 ; 2) với k là số nghuên dơng. 0,5 0,5 Bài 5 5đ Câu 1(1 điểm) Do ã 0 45BAC = nên AEB và AFC là các tam giác vuông cân EA EB = (*) ã 0 45ACF HCE = vuông cân tại H HE HC = (2*) Từ (*) và (2*) suy ra HAE CBE = 0,5 0,5 Câu 2: (2,5 điểm) Do EN là trung tuyến của tam giác vuông AEH Nên EN = NH (1) ã ã NAE AEN = (2) Ta lại có: ã ã HAE EBC= (3) (vì HAE CBE = c/m câu a) Tơng tự trong tam giác vuông BEC có EM là trung tuyến nên: EM = MB MBE cân tại M ã ã MEB MBE = (4) Từ (2); (3) và (4) suy ra ã ã NEA MEB= Nên ã ã ã ã 0 90AEN NEH NEH MEB+ = + = MEN vuông tại E Nếu gọi I là trung điểm của MN thì ta có IM = IN = IE (3*) C/M tơng tự ta có: 0,5 0,5 0,5 4 Trong tam giác vuông HFA có FN là trung tuyến Suy ra FN = NA = NH (5) Từ (1) và (5) suy ra NE = NF FNE cân tại N ã ã NEF NFE = (6) Mặt khác: ã ã MEF MFE= (vì ME MF= c/m trên) (7) Từ (6) và (7) suy ra ã ã ã ã 0 90NEF MEF NFE MFE+ = + = Do đó FI là trung tuyến của tam giác vuông MFN IN IM FI = = (4*) Từ (3*) và (4*) suy ra bốn điểm M, F, N, E nằm trên đờng tròn (I; ) 2 MN 0,5 0,5 Câu 3: ( 1,5 điểm) Do tam giác AEB là tam giác vuông cân nên E nằm trên đờng trung trực của AB //OE AB OE HF (8) (vì cùng vông góc với AB) Tơng tự ta có: OA = OC (vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Nên O nằm trên đờng trung trực của AC (a) Mà tam giác CFA vuông cân tại F do đó F nằm trên đờng trung trực của AC (b) Từ (a) và (b) suy ra : FO AC //FO BE hay //OF HE (9) Từ (8) và (9) suy ra tứ giác HFOE là hình bình hình Mà KE = KF KO KH = do đó H, K, O thẳng hàng (đpcm) 0,5 0,5 0,5 Bài 6 2đ Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK = DN Khi đó MK = MB + BK = MB + DN = 1 CM +1 CN = 2 ( CM + CN ) = MN (vì CM +CN + MN = 2 ) Và ADN ABK AN AK = = ã ã DAN BAK = . Từ đó suy ra: AMN AMK = (CCC) ã ã ã ã ã ã ã ã ã 0 0 2 90 45MAN MAK MAN NAK NAB BAK NAB DAN MAN = = = + = + = = 5 K N M D C B A . Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 2) năm học : 2008 - 20 09 Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2) Bài 1: (4 điểm) Cho. Tính góc MAN. Hết 1 Đáp án: Đề số 2 Bài Đáp án và hớng dẫn chấm điểm Bài 1 (4điểm) Câu 1: (2,5 điểm) ĐK: 0;