ĐẠI CƯƠNG về ĐƯỜNG THẲNG và mặt PHẲNG

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Xác định mặt phẳng • Ba điểm khơng thẳng hàng thuộc mặt phẳng (mp(ABC), (ABC)) • Một điểm đường thẳng khơng qua điểm thuộc mặt phẳng (mp(A,d)) • Hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (mp(a, b)) Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn hình khơng gian • Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng • Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt • Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng • Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt VẤN ĐỀ 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng Khi giao tuyến đường thẳng qua hai điểm chung 1.Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD có AB cắt CD E, AC cắt BD F a) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SAB) (SCD), (SAC) (SBD) b) Tìm giao tuyến (SEF) với mặt phẳng (SAD), (SBC) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành tâm O M, N, P trung điểm BC, CD, SO Tìm giao tuyến mp(MNP) với mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) (SCD) Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AC BC K điểm cạnh BD cho KD < KB Tìm giao tuyến mp(IJK) với (ACD) (ABD) Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (IBC) (JAD) b) M điểm cạnh AB, N điểm cạnh AC Tìm giao tuyến mặt phẳng (IBC) (DMN) Cho tứ diện (ABCD) M điểm bên ∆ABD, N điểm bên ∆ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (AMN) (BCD), (DMN) (ABC) VẤN ĐỀ 2: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Muốn tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng ta tìm giao điểm đường thẳng với đường thẳng nằm mặt phẳng cho 1.Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy điểm M, N cho MN khơng song song vói CD Gọi O điểm bên ∆BCD a) Tìm giao tuyến (OMN) (BCD) b) Tìm giao điểm BC BD với mặt phẳng (OMN) 2.Cho hình chóp S.ABCD M điểm cạnh SC a) Tìm giao điểm AM (SBD) b) Gọi N điểm cạnh BC Tìm giao điểm SD (AMN) 3.Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC K điểm cạnh BD không trùng với trung điểm BD Tìm giao điểm CD AD với mặt phẳng (MNK) Cho tứ diện ABCD M, N hai điểm AC AD O điểm bên ∆BCD Tìm giao điểm của: a) MN (ABO) b) AO (BMN) HD: a) Tìm giao tuyến (ABO) (ACD) b) Tìm giao tuyến (BMN) (ABO) 5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang, cạnh đáy lớn AB Gọi I, J, K ba điểm SA, AB, BC a) Tìm giao điểm IK với (SBD) b) Tìm giao điểm mặt phẳng (IJK) với SD SC HD: a) Tìm giao tuyến (SBD) với (IJK) b) Tìm giao tuyến (IJK) với (SBD (SCD) VẤN ĐỀ 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui • Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng thuộc hai mặt phẳng phân biệt • Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng mà giao tuyến đường thẳng thứ ba 1.Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, J hai điểm cố định SA SC với SI > IA SJ < JC Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB M, SD N a) CMR: IJ, MN SO đồng qui (O =AC∩BD) Suy cách dựng điểm N biết M b) AD cắt BC E, IN cắt MJ F CMR: S, E, F thẳng hàng c) IN cắt AD P, MJ cắt BC Q CMR PQ qua điểm cố định (P) di động 2.Cho mặt phẳng (P) ba điểm A, B, C không thẳng hàng (P) Giả sử đường thẳng BC, CA, AB cắt (P) D, E, F Chứng minh D, E, F thẳng hàng 3.Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G ba điểm ba cạnh AB, AC, BD cho EF cắt BC I, EG cắt AD H Chứng minh CD, IG, HF đồng qui Cho hai điểm cố định A, B mặt phẳng (P) cho AB không song song với (P) M điểm di động không gian cho MA, MB cắt (P) A′, B′ Chứng minh A′B′ qua điểm cố định 5.Cho tứ diện SABC Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB B 1, B′ Qua B dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC C1, C′ BB′, CC′ cắt O′; BB1, CC1 cắt O1 Giả sử O′O1 kéo dài cắt SA I a) Chứng minh: AO1, SO′, BC đồng qui b) Chứng minh: I, B1, B′ I, C1, C′ thẳng hàng VẤN ĐỀ 4: Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng Muốn xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) ta làm sau: • Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến (P) với mặt hình chóp (có thể mặt phẳng trung gian) • Cho giao tuyến cắt cạnh mặt hình chóp, ta điểm chung (P) với mặt khác Từ xác định giao tuyến với mặt • Tiếp tục giao tuyến khép kín ta thiết diện 1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, I ba điểm AD, CD, SO Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI) 2.Cho tứ diện ABCD, cạnh a Kéo dài BC đoạn CE=a Kéo dài BD đoạn DF=a Gọi M trung điểm AB a) Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (MEF) a2 b) Tính diện tích thiết diện HD: b) 3.Cho hình chóp S.ABC M điểm cạnh SC, N P trung điểm AB AD Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) HD: Thiết diện ngũ giác Cho hình chóp S.ABCD Trong ∆SBC, lấy điểm M Trong ∆SCD, lấy điểm N a) Tìm giao điểm MN (SAC) b) Tìm giao điểm SC với (AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN) HD: a) Tìm (SMN)∩(SAC) b) Thiết diện tứ giác 5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm SB, SD OC a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC), giao điểm (MNP) với SA b) Xác định thiết diện hình chóp với (MNP) tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA, BC, CD HD: b) Thiết diện ngũ giác Các tỉ số là: 1/3; 1; 6.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SB, G trọng tâm ∆SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) Chứng minh (CGM) chứa CD b) Chứng minh (CGM) qua trung điểm SA Tìm thiết diện hình chóp với (CGM) c) Tìm thiết diện hình chóp với (AGM) HD: b) Thiết diện tứ giác c) Tìm (AGM)∩(SAC) Thiết diện tứ giác 7.Cho hình chóp S.ABCD, M điểm cạnh BC, N điểm cạnh SD a) Tìm giao điểm I BN (SAC) giao điểm J MN (SAC) b) DM cắt AC K Chứng minh S, K, J thẳng hàng c) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN) HD: a) Gọi O=AC∩BD I=SO∩BN, J=AI∩MN b) J điểm chung (SAC) (SDM) c) Nối CI cắt SA P Thiết diện tứ giác BCNP 8.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang ABCD với AB//CD AB > CD Gọi I trung điểm SC Mặt phẳng (P) quay quanh AI cắt cạnh SB, SD M, N a) Chứng minh MN qua điểm cố định b) IM kéo dài cắt BC P, IN kéo dài cắt CD Q Chứng minh PQ qua điểm cố định c) Tìm tập hợp giao điểm IM AN HD: a) Qua giao điểm AI SO=(SAC)∩(SBD) b) Điểm A c) Một đoạn thẳng II HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG a P b Định nghĩa a, b ⊂ (P ) a / /b ⇔  a ∩ b = ∅ Tính chất • Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt đôi theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng qui đơi song song • Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng • Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau: Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba Áp dụng định lí giao tuyến song song 1.Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC, ABD Chứng minh IJ//CD 2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang với đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm SA SB a) Chứng minh: MN // CD b) Tìm giao điểm P SC với (AND) Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh SI // AB // CD Tứ giác SABI hình gì? 3.Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, BC, AD, AC, BD a) Chứng minh MNPQ hình bình hành b) Từ suy ba đoạn MN, PQ, RS cắt trung điểm đoạn Cho tam giác ABC nằm mặt phẳng (P) Gọi Bx, Cy hai nửa đường thẳng song song nằm phía (P) M, N hai điểm di động Bx, Cy cho CN = 2BM a) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định I M, N di động b) E thuộc đoạn AM EM = EA IE cắt AN F Gọi Q giao điểm BE CF CMR AQ song song với Bx, Cy (QMN) chứa đường thẳng cố định M, N di động 5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành Gọi M, N, P, Q điểm nằm BC, SC, SD, AD cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD a) Chứng minh: PQ // SA b) Gọi K giao điểm MN PQ Chứng minh: SK // AD // BC c) Qua Q dựng đường thẳng Qx // SC Qy // SB Tìm giao điểm Qx với (SAB) Qy với (SCD) VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: • Tìm điểm chung hai mặt phẳng • Áp dụng định lí giao tuyến để tìm phương giao tuyến Giao tuyến đường thẳng qua điểm chung song song với đường thẳng 1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang với đáy lớn AB Gọi I, J trung điểm AD, BC G trọng tâm ∆SAB a) Tìm giao tuyến (SAB) (IJG) b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJG) Thiết diện hình gì? Tìm điều kiện AB CD để thiết diện hình bình hành 2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành Gọi I, J trọng tâm tam giác SAB, SAD M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJM) 3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang với đáy AD = a, BC = b Gọi I, J trọng tâm tam giác SAD, SBC a) Tìm đoạn giao tuyến (ADJ) với mặt (SBC) đoạn giao tuyến (BCI) với mặt (SAD) b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến hai mặt phẳng (ADJ) (BCI) giới hạn hai mặt phẳng (SAB) (SCD) HD: b) (a+b) Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi I, J trung điểm AC, BC Gọi K điểm cạnh BD với KB = 2KD a) Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (IJK) Chứng minh thiết diện hình thang cân b) Tính diện tích thiết diện 5a2 51 HD: b) 288 5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình vng cạnh a, tâm O Mặt bên SAB tam giác · Ngoài SAD = 900 Gọi Dx đường thẳng qua D song song với SC a) Tìm giao điểm I Dx với mp(SAB) Chứng minh: AI // SB b) Tìm thiết diện hình chóp SABCD với mp(AIC) Tính diện tích thiết diện a2 14 HD: b) Tam giác AMC với M trung điểm SD Diện tích ... song • Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng • Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba... điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng thuộc hai mặt phẳng phân biệt • Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng mà giao tuyến đường thẳng. .. diện hình chóp với mặt phẳng Muốn xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) ta làm sau: • Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến (P) với mặt hình chóp (có thể mặt phẳng trung gian) •