ĐỒN QUỲNH (Chu bién) - PHAM KHAC BAN | VAN NHU CUONG - NGUYEN DANG PHAT - LE BA KHANH TRINH |,
TAI LIEU CHUYEN TOAN
(Tái bản lần thứ tr)
Trang 2LƯU Ý MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG SÁCH Kí hiệu
Ý nghĩa Kí hiệu Ý nghĩa
E bị Tích cĩ hướng cua hai vecto [P, a, Q], Nhị diện cạnh a tạo bởi hai nửa
a và b [P, Q] mặt phang (P), (Q)
(3.6) Gĩc định hướng (số đo gĩc định ae 010 @\:Q.o„ a0 Phép uay tâm O gĩc quay tam O ắc qua
hướng) giữa hai vecto a va b (0,9); Q0.9 SP quay gĩc quay 0
: vài - = —=¬ | Diện tích đại số của tam giác
ch,(a) ‡ Chiếu vectơ a trén truc A s(ABC), ABC định hướng ABC 9 detA | Định thức của ma trận A T(v), T.;Z1 | Phép tĩnh tien theo vecto v , Nhom cac phép tinh tién
d(M: (œ)), | Khoang cach tu diém M dén mat Tích lệch của hai vectơ
d(M: A)_ | phẳng (œ), đến đường thẳng A uaAy U và V
d((P), (Q)), | Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) ` +e
d(4, A’) vả (Q), giữa hai đường thang A va A’ MOK), Vion | Phép vi ty tam 0, t số k
(d,d’) hằng iva om hướng giữa hai đường (x;;x;;x;;x;) | Toạ độ tỉ cự đối với tứ diện
¬- › Phép đồng dạng; phép đồng
.„~ | Tíchhỗnt ba vectơ ;
D(a,b,c) ten non tap cua Da vee z3 0 dạng tỉ số k; nhĩm, tập hợp các
a,b,¢ wee phép déng dang
4,17], | Phép doi hinh (đẳng cự), nhĩm, 2(0, 9, k); | Phép vị tự-quay;
(2 tập hợp các phép dời hình Z(O, A, k) Phép vị tự-đối xứng
D(A), By, | Phép đối xứng qua đường thẳng A, ††,†\,w | Cùng hướng, ngược hướng,
Đ(O),Đẹạ_ | Phép đối xứng tâm O khơng song song
x Lo Vuơng gĩc (giữa hai đường (Ou, Ov) Gĩc định hướng (số đo gĩc định hướng) giữa hai tia Ou va Ov L thang, hai mat phẳng, đường thẳng và mặt phẳng, .)
Trang 3LỜI NĨI ĐẦU
rye ye
Bộ Tài liệu chuyền Tốn TÍ này là tiếp nối bộ Tài hiệu (giáo Khoa) chuyền Tốn 10 đã được xuât bản năm 2009 Nĩ nhằm :
- Phục vụ việc dạy và học lớp II hệ chuyên Tốn, thể hiện tỉnh thần chương trình
chuyên Tốn đã được Hội đồng chương trình Bộ duyệt, khá gần với chương trình và sách giáo khoa (SGK) Tốn nâng cao nhằm giúp học sinh cĩ thể chuyển đổi từ
việc học ở hệ chuyên sang hệ khơng chuyên và ngược lại
- Làm một tài liệu giảng dạy cho giáo viên dạy các lớp chuyên Tốn Giúp học sinh các lớp chuyên tự học, giúp học sinh khá giỏi ở các lớp đại trà cĩ tài liệu de
cĩ thể tự học, tự bồi dưỡng thêm
Bộ sach Tai liệu chuyền Tốn lớp TÚ bao gồm 4 cuốn : -_ Lài liệu chuyên Tốn — Đại số và Giải tích I] - ‘Tai hiệu chuyên Tốn — Hình học II
- ai hiệu chuyên Tốn — Bài tập Đại sế và Giải tích LÍ -_ Fài liệu chuyên Tốn — Bài tập Hình học II
Chúng tơi đã mời được nhiều thầy dạy ở các trường chuyên, lớp chuyên (dạy các lớp bỏi dưỡng thị tốn quốc tế cũng như trong nước, dạy các khối chuyên ở các
trường đại học ) tham giá biên soạn để dài liệu sát với thực tiễn giảng dạy hệ
chuyên ở nước ta đồng thời giới thiệu được phản nào đơi nét giảng dạy ở hệ chuyên Tốn của các trường đĩ
Cuốn sách Tài liệu chuyên Tốn — Hình học II này gồm 3 chương và 2 chuyên đề Các tác giả viết cuốn Tài liệu chuyên Tốn Hình học I1 này là :
- Thay Nguyên Đăng Phất (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội) viết chương I ( Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt pháng) và Chuyên đề I (Bo sung về
phép dời hình và phép đồng dạng)
- Thay Le Ba Khanh Trình (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ
Chí Minh) viết chương TÍ (Đường tháng và mặt phẩng trone khơng gi, Quan hệ
song song)
- Thay Pham Khac Ban (Trudng Dai hoc Su pham Ha Noi) viet chuong If] (Vecto trong khong gian Quan hé vudng g6c trong khong gian)
- Thay Vén Nhu Cương (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội) viết chuyên để H
Trang 4Trong từng chương cĩ nhiều ví dụ, nhiều bài tập, bài tốn (kể cả bài thi của hệ
chuyên, thi học sinh giỏi Tốn quốc gia quốc tế ) Các bài tập đều cĩ lời giải
hoặc hướng dẫn giải đầy đủ trong cuốn Tải liệu chuyên Tốn - Bài tập Hình hoe 11
Các tác giả cùng chủ biên và biên tập viên đã rất cố gắng phối hợp biên soạn và biên tập bộ tài liệu chuyên Tốn này Tuy nhiên, chúng tơi chắc hẳn bộ sách vẫn cĩ thể cịn cĩ thiếu sĩt, chúng tơi mong độc giả lượng thứ và hi vọng các thầy cơ và các em học sinh trong quá trình dạy, học, đọc tài liệu này đĩng gĩp ý kiến cho chúng tơi để lần tái bản sau, sách phục vụ được tốt hơn Các gĩp ý xin gửi VỀ :
Ban Tốn, Cơng ty cổ phần Dịch vụ xuất bản Giáo dục Hà Nội- Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, I187B, Giảng Võ, Hà Nội
Chúng tơi rất cám ơn các tác giả đã nhiệt tình tham gia biên soạn tài liệu trong khi bề bộn bao cơng việc khác Chúng tơi cũng rất cám ơn biên tập viên Hồng Việt, người đã giúp các tác giả và chủ biên sửa chữa các sai sĩt, sắp xếp phối hợp các phần của các tác giả khác nhau, khác phục các khĩ khăn để bộ sách được xuất bản đúng thời hạn, kịp thời phục vụ bạn đọc Mong muốn duy nhât của chúng ta là bộ
sách này thực sự bổ ích cho các học sinh ham thích và học giỏi mơn Tốn, đặc biệt
Trang 5Chương [ | a) b) PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
TRONG MAT PHANG
§1 PHEP DGI HINH PHANG
Đại cương về các phép dời hình phẳng
Định nghĩa phép dời hình
Một phép biến hình ƒ: Z—> ? được gọi là một pháp đời hình của mặt phẳng,
kí hiệu là 2, nếu với hai điểm bat ki M, N nao của Z2 và các ảnh Ä⁄' = SM),
N' =ƒ(N) của chúng, ta đều cĩ M'N' = MN
Nĩi một cách ngắn gọn, phép dời hình của mặt phẳng, hay gọi vắn tắt là phép dời hình phẳng, là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm
bất kì nào của mặt phẳng Vậy là, nếu kí hiệu tập các phép dời hình của mặt,
phẳng là {2} thì: ƒ e {Z2} của 2© (M)(N) = MN (VM, N e2)
Chú thích: Chính vì phép dời hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nào nên người ta cịn gọi nĩ là phép biến hình đẳng cự, hay vắn tắt là
phép dang cu |
Hé qua
Từ định nghĩa của phép đời hình ta suy ra:
- Phép biến hình đồng nhất /ở là một phép đời hình
- Phép biến hình đảo ngược của một phép dời hình cũng là một phép dời hình
- Hợp thành (cũng tức là tích) của hai, hay nœ (n > 2) phép dời hình là
một phép đời hình | | |
- Phép đối xứng - trục, phép đối xứng - tâm, phép tịnh tiến, phép quay
Trang 6c)
ở)
Các tính chất của phép dời hình
ĐỊNH LÍ 1 Phép dời hình bảo tồn sự thẳng hịng của ba điểm uà thứ tự
của chúng trên đường thống chứa ba điểm đĩ
Cụ thể là: Phép dời hình biến ba điểm A, B, C thang hàng, trong đĩ B ở giữa
A và C thành ba điểm A’, B’, C’ thang hang ciing theo thu tự đĩ
Chứng minh xem là bài tập (tự chứng minh)
HỆ QUÁ 1 Phép đời hình biến một đương thăng thành một đường thắng, biến một tia thành mét tia, biến một doạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nĩ
HỆ QUÁ 2 Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nĩ, biến một gĩc thành một gĩc bằng nĩ, biến một dưỡng trịn thành một đường trịn bằng nĩ, trong đĩ tâm biến thành tâm
ĐỊNH LÍ 2 Mội phép dời hình phẳng cĩ ba điểm bất động khơng thẳng hàng là phép biến hình đồng nhất Chứng mình Giả sử fi 2? > 7 la một phép , , A dời hình phẳng cĩ ba điểm bất động khơng thang hàng (h.1.1): A=A'= f(A), B= B =f(B), C=C = f(C) B/ 7
Thế thì theo tính chất của phép đời hình, C
bất kì một điểm nào trên các đường thắng / \ \ (BC) (CA) hoặc (AĐ) đều là điểm bất động Hinh 1.1 |
(hãy chứng minh điều đĩ)
Từ đĩ dễ dàng suy ra mọi điểm M của mặt phang (ABC) déu là điểm bất
động, và do dé f= Id
HỆ QUÁ 3 Một phép dời hình phẳng ⁄ z lở thì hoặc khơng cĩ điểm bất động nào, hoặc cố một điểm bất động duy nhất hoặc cĩ một đường thẳng mà mọi điểm của nĩ đều là điểm bất động (tức là cĩ một đường thẳng cố định)
Khái niệm uề hai hình bằng nhau
Như chúng ta đã thấy (Hệ quả 2), phép dời hình biến một tam giác ABC thành một tam giác khác A'#C” bảng nĩ (h.1.2), trong đĩ các cạnh tương ứng bằng nhau và các gĩc tương ứng bằng nhau:
Trang 7a) Một cách tổng quát, giá sử một 4 phép doi hinh Y bién mot hinh A! (phẳng) thành một hình #", kí hiệu.” = 2) B C PB Ta cĩ định nghĩa sau: Hình 1.3 Hai hình - và - ˆ dược gọi là |
bằng nhau, nếu cĩ một phép đời hình Y biến hình ⁄ thành hinh.#' (va do
đĩ phép dời hình 2ˆ” đão ngược của phép đời hình 2 biến 7 thành WM) kí hiệu như thong thudne: W’ = H: dn
Sự xác định một phép dời hình phẳng
e Khi chúng ta nĩi cho một phép dời hình Z2 mà tơng quát hơn là cho một phép biến hình / của Z (mặt phẳng), tức là chỉ ra đầy đủ các yếu tố để xác định hồn tồn phép đời hình (hay phép biến hình) đĩ của 2 Điều
đĩ cĩ nghĩa là: Với một điểm M bất kì của -? ta phải chỉ ra cách (quy
tác) dựng cũng là cách xác định được điểm tương ứng (ảnh) ÄZ“ của nĩ qua phép đời hình (hay phép biến hình) này
e Vẻ phép dời hình, ta đã biết răng một phép dời hình biên một tạm giác ABC thanh mot tam giác A''C" bảng nĩ, trong đĩ các cạnh tương ứng bảng nhau, các gĩc tương ứng bằng nhau
Mệnh đẻ sau đây khăng định điều ngược lại
Dinh lí 3 (bề sự xác dinh mot phép dời hình phẳng)
ABC cà A?3'C “là hai tam giác bằng nhau cho trước trong mặt phẳng ‹?
(3C ˆ= BC, CAˆ= CA, A?®= AB) Bao giờ cùng cĩ một 0à chỉ một phép đời hình 1⁄:.2 ->.biến A thành AB thành B“ồ C thành C’ Dong thoi, phép dời hình 2 này cĩ thể phân tích thàn h tích của kh ơng quá ba phép
Trang 8Chứng mình Trước hết, để trình bày được gọn gàng ta quy ước kí hiệu như sau: /[MM] là trung trực của đoạn thang MN, D A, hoac D(A,) chi phép đối xting - truc cé truc 1a A,, trong dé i 14 chi sé 1, 2, 3
Ù) Tần tại Nếu A và A' là hai điểm phân biệt, ta gọi
| A, = f[AA'] Qua phép Đ(A,) tam giác ABC biến thành tam giác A'B,C,
bang no nén AA’B,C, = AA'B'C’, do dé A’B, = A’B" (h.1.3)
Hinh 1.3
Néu B, # B’, ta gọi A, = /[B,P'] thì theo chứng minh trên, A' € A; Bởi
vậy, qua phép Ø(A;) tam giác A'B,C, biến thành tam giác A'#C; bằng
nĩ, nên AA'E'C; = A A'E'C' và do đĩ: A'C; = A'C"', B'C, = B'C’ Dén day,
néu C, # C’, ta goi A, = t[C,C’] thi A’ va #' đều thuộc A; Và cuối cùng, phép đối xứng - trục Đ(A;) biến tam giác A'#C; thành tam giác A'EC
Như vậy, thực hiện liên tiếp ba phép đối xứng - trục Ø(A,), ¿ = 1, 2, 3 thì tích ƒ= Đ(A;)s Đ(A;)s ĐỊA,) là một phép dời hình 2, biến tam giác ABC
thành tam giác A'B'Œ”, trong do A‘ = +2({A), B =2) và C? = ZC)
Nhận xét Trong quá trình chứng mình, chúng ta đã ba lần sử dụng đến từ "nếu" (cũng cĩ nghĩa là "giả sử rằng") và mỗi lần như thế đều xuất hiện một
Trang 9Với nhận xét này, ta thấy rằng nếu A’ = A thì khơng phải thực hiện Đ(A,) Cũng vậy, nếu Ư, = Ư' thì khơng phải sử dụng đến Ð(A;) và nếu Œ; = C” thì cũng khơng phải su dung dén D(A,)
Nĩi tĩm lại, mỗi lần cĩ một cặp điểm trong ba cặp điểm chỉ ra ở trên mà trùng nhau thì số phép đối xứng - trục cần phải thực hiện giảm đi mội
ii) Duy nhất Giả sử rằng cĩ hai phép dời hình 2 ,: 2?—> Z và 2 ;: Z—> cùng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' Thế thì phép biến hình đà hợp
thành của hai phép đời hình) tích 2; eZ, cũng là một phép dời hình Z biến A thành A, B thanh B va C thanh C Nhu vay là phép dời hình
2=, cĩ ba điểm bất động khơng thẳng hàng là A, B và Œ Theo định
lí 2, phép dời hình Z này phải là phép đồng nhất (2;'sZ, = !2) và do đĩ:
2;5(2227)) =12sld = | (1)
Mat khác, ta lại cĩ (theo tính chất kết hợp của tích các phép biến hình):
2,e( 2609008242 =lado2,=2, | (2)
Doi chiéu (1) va (2), ta suy ra: 7, =
Và định lí 3 đã được chứng minh xong
b) Hệ quả 1
&
Tích của m (1 < nø là một số nguyên dương bất kì) phép đối xứng - trục
trong mặt phẳng bao giờ cũng phân tích được thành tích của khơng quá
ba phép đối xứng - trục
Thật vậy, vì phép đối xứng - trục là một phép dời hình nên tích của một số n tuỳ ý những phép đối xứng - trục cũng là một phép dời hình ⁄ nào đĩ Bởi
vậy, theo định lí 3 ta cĩ điều phải chứng minh (đpem) Hé qua 2
Mỗi phép dời hình phẳng 2 nếu khơng phải là phép đồng nhất thì, hoặc
là một phép đối xứng - trục, hoặc là (cũng tức tương đương với) tích của hai phép đối xứng - trục, hoặc là (tương đương với) tích của ba phép đố
Trang 103
a)
b)
10
Quan hệ giữa các phép tịnh tiến và các phép quay với các phép đối xứng - trục (trong mặt phẳng)
Phần tử sinh của tập hợp {2} các phép dời hình phẳng
Chúng ta đã biết phép đối xứng - trục, phép tịnh tiến và phép quay xung quanh một điểm (bao gồm trong đĩ cả phép đối xứng - tâm) đều là những phép đời hình Nhưng định lí 3 (hệ quả 2) ở trên lại cho biết bất kì một phép đời hình phẳng Z2 nào, khác #¿ - đều hoặc bản thân là một phép đối xứng - trục, hoặc tương đương với tích của hai hay ba phép đối xứng - trục Vì thế,
chúng ta cần phải làm rõ mối quan hệ giữa hai loại tích các phép đối xứng -
trục này với các phép tịnh tiến và các phép quay Ngồi ra, định lí 3 và các hệ quả 1 và 2 của nĩ cịn cĩ ý nghĩa hết sức đặc biệt và quan trọng ở chỗ chỉ ra rằng: Các phép đối xứng - trục đĩng vai trị nền tảng trong việc tạo thành tất cả các phép đời hình phẳng Cũng chính vì vậy, người ta cịn nĩi: Phép đối xứng - trục phâng là phần tử sinh của tập hợp |} các phép đời hình phẳng Mối quan hệ giữa phép tịnh tiến phẳng
uà các phép đối xứng - trục trong mặt phẳng
Tính chất sau đây của phép tịnh tiến phẳng làm rõ mối quan hệ của phép tịnh tiến phẳng và các phép đối xứng - trục phẳng
ĐỊNH LÍ 4 Tích của hai phép đối
xứng - trục (trong mặt phẳng) cĩ
trục song song là một phĩp tịnh > tién phang theo 0ectở 0uơng gĩc UỚI:
hai trục uà gấp đơi 0uectơ của phép
tịnh tiến biến trục thứ nhất A, Me ° if, 3M
thành trục thit hai A, (h.1.4) - |
DINH LI 4’ Dinh Ii dao cua dinh lí 4)
Dao lai, moi phép tịnh tiến phẳng - Ai - A
tw
theo mét vectd o (= 0) đều cĩ thể Hình 14 phân tích được bằng uơ số cách
thành tích của hai phép đối xứng - trục cĩ truc song song va vudng goc
UỚi Uectơ tịnh tiến U, trong đĩ trục thứ hai Ay duoc suy ra từ trục thứ
a ¬ Logs LẠ? 1 -
nhat A, bot phép tinh tién theo vecto 20:
Trang 11c) Mối quan hệ giữa phép quay xung quanh một điểm
(trong đĩ cĩ phép đối xứng - tâm) va các phép đổi xứng - trục
Ta cĩ định lí sau:
ĐỊNH LÍ 5 Tích của hai phép đối
xứng - trục trong mặt phẳng qua hai trục cắt nhau ở điểm O là phép quay xung quanh tam O mị gĩc quay 9 gap đơi gĩc quay Ø của phép quay tam O biến trục thứ nhất 4, thành trục thứ hai A, (h.1.8) D(A, ° D(A) = Q(O, ø), trong đĩ | M y= 20[mod 27] Hình 1.5
{O} = A, A, G= (A, Ay) [mod af
ĨO(Ĩ ø) cịn duoc ki hiéu Q,,, 9, (xem Tai liệu chuyên tốn Hình học 10) ĐỊNH LÍ 5' (Định li dao của định lí ð)
Đảo lại, mọi phép quay phẳng Q(O, ø) đều cĩ thể phân tích được bằng uơ số cách thành tích của hai phép đổi xứng - trục qua hai đường thăng cài
nhau ở tâm quay O, miễn là trục đối xứng thi? hai \, được suy ra từ trục z at a „ a „ ¢ È a „ ”
thứ nhất 1, bởi phép quay tâm O gĩc 0= bằng nữa gĩc quay @ của
phép quay được xét
d) Mối quan hệ giữa phép đối xứng - tâm
(phép quay đặc biệt gĩc m) uà các phép đổi xứng - trục
trong mặt phống
Ta cĩ định lí sau: A,
DINH LI 6 Tich cua hai phép doi
xứng - trục trong mat phang qua 7
hat đường thăng 0uuơng gĩc là một ⁄
phép đơi xứng - tâm mà tâm doi
xứng O là giao điêm của hai đường thang đĩ Hơn nữa, tich nay giao
hoứn được th 1.6) Hinh 1.6
Trang 12e)
p
"+
Đảo lại, mọi phép đối xứng - tâm trong mặt phơng đều cĩ thể xem là tích
_ của hơi phép đối xứng - trục qua bai đường thẳng uuơng gĩc uới nhau Ở
tâm đối xứng A, # Ay, A, A Ay = {O};
D(A) ° D(A) = D(A) 0 D(A, = Đ(O) <5 A, L 4; = O
Chứng minh các định lí 5, 5' và 6 được xem là bài tập, dành cho bạn đọc Đ(O) con duoc ki hiéu D, (xem Tài liệu chuyên tốn Hình học 10)
Tổng hợp cả ba định lí 4, ố uà 6
Khi xét phép dời hình Z z Jd 1a tích của hai phép đối xứng - trục trong mặt phẳng, ta đi đến kết luận, phát biểu trong định lí sau:
ĐỊNH LÍ 7 Mọi phép dời hình (khác Id) mà tương đương uới tích của hai phép đối xứng - trục thì, hoặc là một phép tịnh tiến, hoặc lị một phép quay xung quanh một điểm hay đặc biệt là một phép đối xứng - tâm tuỳ theo hai trục đối xứng song song uới nhau hoặc cắt nhau, hay đặc biệt
cắt nhau theo một gĩc uuơng
Trường hợp phép dời hình là tích của ba phép đối xứng - trục
Trước hết, ta đề cập đến trường
hop đặc biệt ở đĩ hai trục đối ˆ =
xứng song song và trục thứ ba
vuơng gĩc với hai trục song song _ M, đĩ Như vậy, trong trường hợp này
phép dời hình là tích của một phép QA :
unh tiến và một phép đối xứng - M
trục cĩ trục cùng phương với
vectơ tịnh tiến theo thứ tự đĩ hay A, A
theo thứ tự ngược lại (h.1.7) Dé :
thấy rằng tích này giao hốn được : Hinh 1.7
Ta cĩ định nghĩa sau đây: ~ -+ —> ` Senet
-_ ĐỊNH NGHĨA (phép đối xứng - trượt) Tích giao hốn của một phép đối xứng - trục Đ(A) và một phép tịnh tiến 7(0) theo phương của trục đối
xứng A được gọi là một phép đối xứng - trượt của mặt phẳng, và A được `
gọi là trục đối xứng - trượt Kí hiệu: Đ(A, 0);
Trang 13Trường hợp ba trục đối xứng song song với nhau, hoặc đồng quy ở mội điểm, ta cĩ kết quả sau:
ĐỊNH LÍ 8 Tích của bơ phép đối xúng - trục cĩ cúc trục song song uới nhau hoặc đồng quy ở một điểm là một phép đối xứng - trục (cĩ trục song song uới ba trục đầu, hoặc di qua điểm chung của ba trục đĩ)
Hãy chứng minh điều đĩ, xem là bài tập bắt buộc (Bài tập 9, § 1)
Tĩm lại, ngồi hai trường hợp phép đời hình Z là phép đối xứng - trục hay phép đối xứng - trượt vừa nĩi ở trên, chúng ta chỉ cịn phải xét trường hợp tổng quát, ở đĩ ba trục đối xứng khơng song song với nhau, cũng khơng đồng quy, tức là:
œ) Hoặc đơi một cắt nhau tạo thành một tam giác;
B) Hoặc một trục nào đĩ cắt hai trục cịn lại song song
Tuy nhiên, chỉ việc sử dụng các định lí 5 và 5', chúng ta dễ dàng đưa được trường hợp ) về trường hợp œ), hoặc ngược lại (xem các hình I.8a, I.8b) A, Ly, Ve
Đặc biệt, cĩ thể đưa cả hai trường hợp này, chẳng hạn đưa trường hợp œ) về
trường hợp hai trục liên tiếp (các trục của hai phép đối xứng liền kể) song
song và vuơng gĩc với trục thứ ba
Hinh 1.8a Hinh 1.86
_ That vay, xét phép dời hình
| 2 = Đ(A;)sĐ(A,)sĐ(A,),
trong do A, cat A, tai A
Trang 14Theo định lí 5 và 5”, ta cĩ thể thay cặp trục A;, Ä; bằng cặp trục A,, A, cung đi qua A mà A; vuơng gĩc với A; tai H (h.1.8c) Hình 1 8c Sau đĩ thay cặp A;, A; bằng cặp trục A7, A‘, cing di qua H sao cho Ay cling phuong A) (h.1.8d) iA J 2 i i HƯU GƯƠNG aad ne eee cocoa A, te Hinh 1.8d
Khi đĩ tích 2 đã được phân tích thành
GF = D( Al) D(A, ) DAY )
mà A', A; cùng phương và cùng vuơng gĩc với Ar-
Đĩ là trường hợp của phép đối xứng - trượt, ở đĩ hai trục đối xứng song song cịn trục thứ ba thì vuơng gĩc với hai trục này, nghĩa là đã quy được về hình
Trang 154 Vận dụng các phép dời hình phẳng vào việc giải một số bài tốn hình học
Ví dụ 1, Chứng minh tính chất sau đây của trực tâm tam giác:
Trong mọi tam giác, khoảng cách từ mỗi đỉnh đến trực tâm gấp đơi khoảng
cách từ tâm đường trịn ngoại tiếp đến cạnh đối diện Gial (h.1.9) Ta cần chứng mình
d(A, H) = 2d(O, BC) hay AH = 20A,,
trong đĩ đ là kí hiệu khoảng cách và 4, là
trung điểm cạnh 8C Nhưng cả hai đoạn
thang AH va OA, déu vuơng gĩc với BC,
hơn nữa lại cùng hướng Bởi vậy, ta nghĩ đến sử dụng vectơ và bài tốn trở thành
ching minh AH =20A,=O0', trong đĩ
O' doi xting v6i O qua (BC): O' = D,-(O) Tir dé suy ra: AH = 20Ap
Hinh 1.9
Thật vậy, vì điểm #' đối xứng với trực tâm H ctia AABC qua cạnh 5C thuộc
vào đường trịn ngoại tiếp tam giác đĩ (h.1.9), nên các đường trịn (ABC) tâm Ở và (HBC) tâm Ớ" đối xứng nhau qua 8C thì bằng nhau (cĩ cùng bán kính) Và do đĩ, chúng lại cịn tương ứng với nhau trong phép tịnh tiến TÚ)
theo vecto v = OO'= 20A, Vì T(Ò ) biến A thành #7 nên ta cod
AH =20A,
Vi dụ 2 Trong mặt phẳng cho hai đường thang d, vad, cat nhau 6 O vA mét điểm P cố định nằm ngồi ở, d; A là một đường thắng quay xung quanh Ø Gọi là điểm chung của các đường thẳng A,, A; đối xứng với A lần lượt qua d, va d, Tìm quỹ tích của Ä⁄
Nhận xét Chúng ta nhận thấy các yếu tố đối xứng - trục đã xuất hiện ngay trong dữ kiện của bài tốn Vì vậy, bài tốn này địi hỏi phải sử dụng tính chất
? 2 as “ : ` z ? 7 : af 2 (1
của phép đối xứng - trục và gĩc định hướng của hai đường thắng (mod 7)!" vào việc.tìm quỹ tích
f9 Khái niệm này được đề cập ở trong Chuyên dé 1 "Bổ sung về phép đời hình và phép đồng dang"
Trang 1616
Hình 1.10
Giải Gợi P, là điểm đối xứng với P qua đ, ¡ = 1, 2 (h.1.10) Vì P e A nên
suy ra P,e A,= Є(A) Từ đĩ ta được: (A,,A)=2(A,,d,)=2(4.A) [mod 7]; (1) (A,A,) =2(d,.A,) =2(A.d,) [mod x]; (2) Từ (1) và (2) suy ra: (A,,A,)=2(,,4,)= 2ư = Ø [mod z]; (3) trong dé (d,,d,) =ở [mod rn] Vì AiA; =M và P; e A, (¡= 1, 2) nên (3) được viết lại như sau: (MP,,MP,) =2(d,„d,) [mod 7] (3) Mặt khác, vì P,= Є(A), Œ = 1, 2) và Ĩ = đ, © d; nên ta cĩ các đẳng thức:
(OP, ,OP) = 2(OP,,d,) =2(d,,OP) [mod 7] (4) (OP, OP,) = 2(d,,OP,) = 2(OP,4d,) [mod 7] (5)
Từ (4) và (5), nhờ hệ thức Chasles ta được:
(OP,OP,)=20,4,) [mod 7] (6)
Đối chiếu (3') và (6), suy ra:
Trang 17Đăng thức (7) chứng tỏ bốn điểm O, P,, P, va M = A, © A; cùng thuộc một đường tron, đĩ là đường trịn (ĨP,P,), với mọi vị trí của đường thang A quay xung quanh điểm ? cố định Vậy, ta đi đến kết luận:
+ Nếu | và d, khơng vuơng gĩc với nhau ở O và do đĩ, Ĩ, P, và P; khơng tháng hàng thì {M = A, A;} là đường trịn ngoại tiếp tam giác ĨP,?,
+ Nếu đ| vuơng gĩc với đ; thì Ĩ, P¡, P„ thăng hàng và khi đĩ {M⁄} là đường
thang P,P, (di qua O)
Ví dụ 3 (Vận dụng giải tốn dựng hình)
Qua giao điểm P của hai đường trịn cắt nhau (Ĩ,) và (Ĩ;) đã cho hãy kẻ một
cát tuyến A sao cho nĩ định ra trên các đường trịn đĩ hai dây cung bằng nhau Giải (h.1.11)
Phân tích: Giả sử đã dựng được
cất tuyến A đi qua P cat (O,) 6 A và (Ĩ;) ở B sao cho AP = PB, cũng tức là A và B đối xứng nhau qua ? Ta nghĩ đến việc sử dụng phép đối xứng - tâm P để tìm ra tính chất của cát tuyến A cần dựng Như vậy là đã cĩ A = Ð,(B)
va Ư e (Ĩ;) đã cho Suy ra điểm A cần xác định phải thuộc đường
Hình 1.11
trịn (Ĩ; ) đối xứng với đường trịn
(Ĩ;) qua điểm P Bởi vậy, cát tuyến A cần dựng đi qua P và giao điểm thứ hai A của hai đường trịn (Ĩ,) và (Ĩ¿) |
Từ đĩ suy ra cách dựng A theo trình tự sau:
Trước hết, dựng Ø; = Ð,(Ĩ;), rồi dựng đường trịn tâm | O}, di qua P, né cat lại (Ĩ,) ở A ( P) Sau cùng, dựng giao điểm thứ hai B của tia [AP) và đường trịn (Ĩ;)
Biện luận: Dễ thấy rằng AP = PB và bài tốn luơn cĩ nghiệm duy nhất
Trang 185
a)
b)
18
Những điều cần lưu ý khi vận dụng phương pháp biến hình vào việc giải tốn hình học (phần đọc thêm)
Phương pháp biến hình trong uiệc giải tốn hình học
Những bài tốn hình học trình bày dưới dạng những ví dụ minh hoạ sắp đặt
vào mục 4, §I ở trên để cập tương đối đây đủ các dạng tốn hình học
(phẳng), chỉ thiếu dạng tính tốn các đại lượng hình học Dạng chứng minh tính chất hình học của các hình được đề cập đến trong ví dụ 1 Vi du 2 dé cập đến đạng tốn quỹ tích (tìm tập hợp điểm) Tốn dựng hình được đề cập đến trong ví dụ 3
Tuy nhiên, điều muốn nĩi 6 day là cả ba bài tốn trên đây đều cĩ một đặc điểm chung về phương pháp giải Phép tịnh tiến đã được sử dụng để giải bài tốn nêu trong ví dụ 1 Phép đối xứng - trục đã được sử dụng để giải bài tốn quỹ tích nêu trong ví dụ 2 và phép đối xứng - tâm đã được vận dụng để giải bài tốn dựng hình nêu trong ví dụ 3 Bởi vậy, cĩ thể gọi tên phương pháp giải các bài tốn đĩ là phương pháp tịnh tiến và phương pháp đối xứng (cụ thể hơn là đối xứng - trục và đối xứng - tâm) gắn với tên gọi của phép biến hình cụ thể được sử dụng đến
Lưu ý thêm rằng những bài tốn nêu trong ba vi dụ minh hoạ ở mục 4, §1 trên đây đều cĩ thể giải được về cơ bản chỉ cần huy động vốn kiến thức hình học thuộc sách giáo khoa trung học cơ sở, nhưng đã được chúng ta giải lại theo quan điểm biến hình Như vậy là, trong việc khảo sát tính chất hình học
của các hình hình học và nĩi đẩy đủ hơn là trong việc giải tốn hình học,
ngồi phương pháp tống hợp, phương pháp toạ độ và phương pháp vectơ mà
chúng ta đã biết và đã sử dụng, cịn cĩ phương phấp biến hình Đĩ là phương
pháp vận dụng tính chất của các phép biến hình điểm thường gặp như dời hình, đồng dạng, vào việc khảo sát tính chất hình học của các hình, tính tốn các đại lượng hình học, tìm tập hợp điểm và vào việc giải cả tốn dựng hình
Cách nhận biết lớp các bài tốn hình học
cĩ hd năng gidi được bằng phương phap bién hinh
e Vé mat nguyén tac, bat ki bai todn hinh hoc nào cũng đều cĩ thể giải được bằng phương pháp toạ độ (cũng cịn gọi là phương pháp đại số) Tuy nhiên, nhiều bài tốn hình học giải bằng phương pháp tổng hợp
Trang 19thơng thường lại đi đến kết quả nhanh chĩng, gọn gàng và đẹp hơn nhiều Cũng vậy, nhiều bài tốn hình học cĩ thể giải được nhanh chĩng và gọn gàng nếu biết sử dụng phương pháp vectơ
se - Như chúng ta đã thấy, thường thì một bài tốn hình học cĩ thể giải được - bang nhiều cách khác nhau, chí ít là một cách: phương pháp tổng hop hay phương pháp toa độ Tuy nhiên, đứng trước một bài tốn mới về hình học ta nên xem xét can than để lựa chọn phương pháp giải thích hợp sao cho đạt kết quả nhanh, gọn và dễ dàng nhất
se Để cĩ thể giải được một bài tốn hình học bằng phương pháp biến hình,
trước hết phải nhận ra được dấu hiệu của lớp các bài tốn cĩ khả năng
giải được bằng phương pháp này Đương nhiên, khơng phải bài tốn nào
cũng giải được bằng phương pháp biến hình Một câu hỏi được đặt ra là: Làm thế nào để nhận biết được một bài tốn hình học nào đĩ cĩ khả năng giải được bằng phương pháp biến hình?
Muốn vậy, ta hãy trở lại phân tích từng ví dụ đã chỉ ra ở trên Cơ sở của việc
cĩ thể sử dụng phép biến hình này nọ vào mỗi bài tốn (ví dụ) đã được chỉ ra Thường thì trong dữ kiện của bài tốn và (hoặc) trong tính chất của hình địi hỏi phải thiết lập (chứng minh) hoặc trong điều kiện địi hỏi ở hình cần
dựng đã xuất hiện những yếu tế cĩ mối liên hệ đáng chú ý đến một phép biến hình cụ thể nào đĩ Chẳng hạn, trong ví dụ 1 khi thiết lập tính chất của
trực tâm tam giác, sau khi sử dụng một tính chất khác đã biết của trực tâm là các điểm đối xứng của nĩ qua mỗi cạnh đều nằm trên đường trịn ngoại tiếp tam giác thì tức khắc làm xuất hiện hai đường trịn bằng nhau là (A5C) tâm
O va (HBC) tam O', trong dé H 1a truc tam AABC cịn Ĩ' đối xứng với Ĩ qua
5C Hai đường trịn này vừa là tương ứng với nhau khơng những trong phép đối xứng - trục (ĐC) và trong phép đối xting - tam P(A,), trong dé A, là trung điểm chung của 8C và ĨĨ' mà cũng cịn tương ứng với nhau cả trong phép tịnh tiến T(+') theo vectơ = ĨđØ/ =2ĨA,, Chính mối liên hệ này của hai đường trịn bảng nhau đã giúp ta thiết lập được hệ thức vectơ:
AH =OỚØ =20ĨA, (vì phép tịnh tiến theo ØỚ' khơng những biến Ĩ thành
Ø' mà cũng biến (Ĩ) thành (Ĩ"), trong đĩ điểm A trên (Ĩ) biến thành điểm H
trén (O’))
Trang 2020
Tĩm lại, muốn nhận biết được một bài tốn hình học nào đĩ cĩ khả năng giải được bằng phương pháp biến hình (cụ thể là phương pháp dời hình, bao gồm tịnh tiến, đối xứng - tâm, đối xứng - trục, quay hoặc phương pháp đồng dạng, .), trước hết chúng ta phải xem xét, phân tích nội dung bài tốn để tìm ra yếu tố nào trong đĩ cĩ mối liên hệ đáng chú ý đến một phép biến hình cụ thể nào đĩ Sau đĩ, vận dụng các tính chất của phép biến hình này mà tìm ra lời giải hay đáp số của bài tốn được xét Đặc biệt đáng chú ý là phương pháp biến hình cũng thường gặp và được sử dụng trong việc giải một số bài tốn quỹ tích và dựng hình, nhất là tốn dựng hình Theo quan điểm của lí thuyết
tập hợp thì hình là một tập hợp điểm nào đĩ Bởi vậy, việc dựng một hình hình học nào đĩ rốt cuộc lại quy về dựng một số điểm hữu hạn đủ để xác định,
cũng cĩ nghĩa là đủ để tạo nên hình đĩ Trong mặt phẳng, thơng thường một điểm được xác định bởi giao của hai đường, trong đĩ cĩ đường thắng và đường cơnic mà đường trịn là một elip đặc biệt Trong hai đường dùng để xác
định điểm phải dựng là một trong các giao điểm của chúng, thường thì một
đường đã cĩ sẵn trong dữ kiện của bài tốn cịn đường thứ hai là quỹ tích của những điểm cĩ mội tính chất đạc trưng hình học nào đĩ và được suy ra từ một đường đã cho trong dữ kiện của bài tốn bởi một phép biến hình nào đĩ Phép
biến hình này được phát hiện để sử dụng nhờ việc phân tích cụ thể nội dung
bài tốn hình học được đặt ra như đã nĩi ở trên Ví dụ 3 trình bày trong mục 4 ở trên đã minh hoạ cho những nhận xét chung vừa nêu Xoay quanh việc sử dụng phương pháp biến hình vào việc giải tốn dựng hình Cịn ví dụ 2 đưa ra cũng ở mục 4 ở trên lại minh hoạ cho việc cần khai thác tính chất của phép biến hình (cụ thể là phép đối xứng - trục đã xuất hiện ngay trong nội dung của bài tốn) nào đĩ mà từ đấy (cĩ thể kết hợp với một vài tính chất hình học khác, chẳng hạn trong bài tốn này là gĩc dịnh hướng [mod z] của hai đường thẳng) tìm ra quỹ tích của những điểm cần tìm Tuy nhiên, cũng lưu ý thêm rằng trong nhiều trường hợp khác, chúng ta lại giải được bài tốn quỹ tích bằng phương pháp biến hình nhờ vận dụng được tính chất hình học đặc trưng (kể cả định nghĩa) của phép biến hình đĩ
Nhĩm các phép dời hình
Trang 21œ) Định nghĩa phép tốn trong mot tap hop
b)
c)
Trước khi đưa ra khái niệm nhĩm (cũng tức là cho định nghĩa thế nào là một nhĩm), ta hãy định nghĩa thế nào là một phép tốn trong một tập hợp Xét một tập hợp những phần tử (thuộc loại bất kì) Nếu ta cĩ một quy tắc để từ bất cứ hai phần tử ø, Ð nào của tập hợp được xét lấy-theo một thứ tự nhất định đều cĩ
được một phần tử thứ ba e thì ta nĩi rằng ta cĩ một phép tốn ở trong tập hợp
đã cho Người ta thường gọi một phép tốn như vậy là “phép nhân” và phần tử c được gọi là “tích” của hai phần tử ø và b lấy theo thứ tự đã cho Tích này cĩ thể thuộc hay khơng thuộc tập hợp đã cho Nếu nĩ thuộc tập hợp đã cho thì người ta nĩi rằng tập hợp này đĩng kín đối với phép nhân nĩi trên
Định nghĩa 1 (khái niệm nhĩm)
Một tập hợp [7] trong đĩ cĩ xác định một phép nhân được gọi là làm
thành một nhĩm đối với phép nhân nào đĩ nếu bốn điều kiện sau đây được thoả mãn:
i) Tập hợp [7] đĩng hín đối với phép nhân đã cho
1) Phép nhân đã cho cĩ tính chất bếf hợp: (ab)e = a(be)
11) Trong tập hợp [7| cĩ một phần tử e sao cho với bất cứ phần tử a nao
cua [T] ta đều cĩ:ze=a=ea; Một phần tử e như vậy được gọi là: phan ti don vi
1v) Ứng với mọi phần tử ơ của [7] bao giờ cũng cĩ một phần tử ø' của
[T] sao cho: aa'=e=a'a Mét phan tu a’ nhu vậy được gọi là phần
tử đảo ngược của a và được kí hiệu là a”,
Vài vi dụ uề nhĩm (trong số học)
Vi du l Tập hợp Z2 các số nguyên làm thành một nhĩm đối với phép cộng
các số nguyên (các phần tử ở đây là các số nguyên, phép nhân của nhĩm là
phép cộng số nguyên) Ta dễ dàng kiểm tra được tập hợp Z2 các số nguyên thoả mãn đầy đủ bốn điều kiện (¡) —> (iv) nêu ra ở tiểu mục b) trên đây để Z làm thành một nhĩm đối với phép cộng các số nguyên Trong nhĩm Z nay, số 0 đĩng vai trị phần tử đơn vị và số nguyên —a đĩng vai trị là phần tử đảo ngược của số nguyên a
Trang 22d)
e)
22
Vi du 2 Tap hop Q cac số hữu tỉ, trừ số 0, làm thành một nhĩm đối với phép nhân các số hữu tỉ (hãy chứng minh) Trong nhĩm Ơ này, phần tử đơn
¬ ^“ ` + 2 og? 2 ^“ ~ 3 ` ^“ ~ ” l `
> a’
vị là số 1 va phan tu dao ngược của šØ hữu tỉ z là số hitu ti — De y rang neu a ta khơng trừ số Ơ ra thì điều kiện (¡v) khơng được thoả mãn vì số 0 khơng cĩ
số đảo ngược
Chú thích Ta cĩ nhận xét ngay rằng tập hợp các số nguyÊn, trừ số 0 (cũng ttic IA Z \ (0}) khơng làm thành một nhĩm đối với phép nhân các số nguyên
V ges ca baa l
vì điều kiện (iv) khong dude thoả mãn (do số đảo ngược — của một số a nguyén a # | khong phải là số nguyên, mà là một phân số tối giản)
Một số hái niệm bhác liên quan đến bhúi niệm nhĩm
ĐỊNH NGHĨA 2 Nếu phép nhân trong một nhĩm mà giao hốn được thì người ta gọi nhĩm đĩ là nhĩm giao hốn hay nhĩm Abel
ĐỊNH NGHĨA 3 Giả sử 7" là một tập hợp con của nhĩm 7 Nếu với phép nhân trong 7' thu hẹp trên T" (tức là chỉ xét phép nhân các phần tử thuộc 7") mà 7 là một nhĩm thì T" gọi là một nhĩm con của TT Chẳng hạn, tập hợp các số chắn cũng làm thành một nhĩm đối với phép cộng Như vậy, nhĩm các số chấn là một nhĩm con của nhĩm các số nguyên (đối với phép cộng) _ Điều kiện cân uà đủ để một bộ phận của một nhĩm nao do là một nhĩm con của nhĩm đĩ
ĐỊNH LÍ 9 Nếu một tập hợp L?"] khơng rỗng rút từ một nhĩm 7 }ra mà
thoả mãn hai điều biện (i) va (iv) trong định nghĩa 1, thì tập hợp đĩ là một nhĩm con của [FIAT] AFI
Chứng minh Điều kiện (ii) đã thoả mãn đối với [Z ] thì tất nhiên cũng thoa mãn đối với mọi bộ phận của [.Z ], đặc biệt là đối với |.7”]
Vi Ww '1 thoả mãn điều kiện (iv) nén phan tử đơn vị e của [Z ] cĩ thể xem là
tích của hai phần tử đảo ngược thuộc [Z7] Nhưng [Z7] cũng thoả mãn điều
Trang 23Dp
8)
Vay [-7"] thoả mãn cả bốn diéu kién (i), (ii), (iii), (iv), nén no 1A một nhĩm
Mặt khác, [.Z“] được rút ra từ [.Z ] nên [.Z'] là một nhĩm con của [.? ]; kí hiệu [.Z'] [.Z ] Nhĩm dời hình của mặt phẳng ĐỊNH LÍ 10 Tập hợp các phép đời hình trong mặt phẳng làm thịnh một nhĩm gọi là nhĩm dời hình của mặt phẳng, hay uắn tắt là nhĩm dời hình phẳng
Chứng mình, Rõ ràng tích của hai phép đời hình trong mặt phẳng là một
phép dời hình phẳng và mỗi phép dời hình phẳng 2 cĩ một phép đảo ngược 2` cũng là một phép dời hình Vậy tập hợp các phép dời hình phẳng Z thoả
mãn hai điều kiện (¡) và (iv) trong định nghĩa I, tiểu mục b) ở trên
Ngồi ra, dễ thấy rằng tích các phép dời hình cĩ tính chất kết hợp:
2152921) = (2,522), 229252)
Sau củng, trong tập hợp các phép dời hình ta cĩ phép biến hình đồng nhất 7đ _ (đĩng vai trị phần tử đơn vị e) với tính chất old = 2 dù cho 2 là bất kì
phép dời hình nào
Từ đĩ, theo định nghĩa I, ta kết luận được rằng tập hợp các phép dời hình 2 của mặt phẳng làm thành một nhĩm đối với phép tốn lấy tích các phép dời hình, gọi là nhĩm đời hình của mặt phẳng, hay vắn tắt là nhĩm đời hình
phăng và kí hiệu là nhĩm {2}
(Chú thích: Đề nghị bạn đọc tự chứng minh chỉ tiết các phép dời hình phẳng thoả mãn đầy đủ bốn điều kiện (¡) —> (iv) nêu trong định nghĩa I của khái niệm nhĩm)
Nhận xét
1”) Nhĩm dời hình phẳng khơng phải là một nhĩm Abel vì tích của hai phép đời hình ⁄,, 2; nĩi chung là khơng giao hốn 2,e2, # 2,924
2) Tuy nhiên, tích của hai phép tinh tién -7(v, ), 7(v, ) là một phép tịnh
ee
tién 7 (v=¥,+y,) theo vecto v=v,+¥, =v, +v, và đảo ngược của phép
Trang 2424
tỉnh tiến Z7(») là phép tịnh tiến 7(—v) theo vectơ đối yp: Ty) = F7(-y) Hơn nữa, tích hai phép tịnh tiến giao hốn được:
TT, ) = TY, TAM) = TV Yd:
Từ đĩ suy ra:
ĐỊNH LÍ 11: Tập hợp các phép tinh tiến trong mặt phẳng làm thành một
nhĩm Abel, gọi là nhĩm tịnh tiến phẳng, kí hiệu |7 ] Nhĩm tinh tiến LŸ ] là một nhĩm con của nhĩm dời hình [2l: L7] cl2l
BÀI TẬP
Bài tập về đại cương các phép dời hình phẳng (1-7)
Chứng minh định li 1 (muc Ic, §1): Phép dời hình bảo tồn sự thang hang của bất kì ba điểm nào, và do đĩ, biến đường thẳng thành đường thẳng Chứng minh phép dời hình bảo tồn quan hệ song song của hai đường thẳng và khoảng cách giữa chting: Néu a // b; a’ = F(a), b' = F(b) thi: a’ // b’ va
d(w', b') = d(a, b), trong dé d(x, y) hay d( // y) là kí hiệu chỉ khoảng cách
giữa hai đường thẳng song song x và y
Hãy sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, chứng minh tính chất
nêu trong định lí 2 của phép dời hình phẳng
Chứng minh chi tiết hơn hệ quả 2 của định li | về tính chất của 2: Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nĩ, trong đĩ trọng tâm G,
trực tâm #7, các tâm / và Ĩ của các đường trịn nội và ngoại tiếp của tam giác
tạo ảnh ABC theo thứ tự biến thành các tâm tương ứng G', H', I’ va O' cua tam giac anh A’B'C’
Chứng minh rằng trong một phép tịnh tiến, ảnh đ của một đường thăng đ
thì, hoặc song song với đ, hoặc trùng đ (# // đ hoặc #' = đ) Từ đĩ suy ra tap
hợp tất cả các đường thẳng bất biến trong một phép tịnh tiến
Trang 259
Phép đối xứng - tâm bảo tồn phương của mọi đường thẳng: đồng thời tìm được tập hợp tất cả những đường thẳng bất biến qua phép đối xứng - tâm Chứng minh rằng phép đối xứng - trục Øa (hoặc kí hiệu D(A)) biến một đường thang ø thành đường thang a’, đối xứng với a qua truc A (ta viết
a’ = D\(a)) Từ đĩ tìm được những phương đường thẳng bất biến trong một
phép đối xứng - trục
Bài tập về sự xác định và hợp thành của các phép dời hình (8-12) Chứng mình định lí:
Trong mặt phẳng cho hai đoạn thẳng bằng nhau AZØ và A'Ø' Thế thì tồn
tại hai và chỉ hai phép đẳng cự ƒ: ?-—> , ¡ = 1, 2 của #2biến A thành A’, B
thành B’
Chứng minh định lí 8 (phát biểu trong phần f) mục 3) 10” Trong mặt phẳng cho ba đường thẳng A; @ = 1, 2, 3)
11
12
14
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba đường thang A, (i = 1, 2, 3) déng quy hoặc song song là tích ƒ= Ð;sÐ,oÐ, cũng là một phép đối xứng - trục, trong do D, = D(A,), 1 = 1, 2, 3
Ching minh rang tích của hai phép quay @,(Ĩ,, @,) và Ĩ;(O,, @;) với
O, # O, la mét phép quay hay một phép tịnh tiến tuỳ theo tổng @¡ + (0; = (@ của các gĩc quay khơng là bội của 2z (radian) hay là bội của 2z (cũng tức là
ọ = 0 [mod 2r]) |
Chứng minh rằng tích của một phép quay và một phép tịnh tiến (theo thứ tự đĩ hay theo thứ tự ngược lại) là một phép quay
Bài tập vận dụng các phép dời hình vào giải tốn hình học (13-17)
Gọi Á là một trong hai giao điểm của hai đường tron (0, ) va (Ĩ,) Mot
Trang 2615
16
a)
26
Cho tam gidc ABC déu va M là một điểm tùy ý nằm trong tam giác
a) Chứng minh rằng MA, MB và MC: là độ dài ba cạnh của một tam giác nào
đĩ, kí hiệu là z(M)
b) Hãy tính các gĩc của tam giác r(M) biết rằng AM =110” và BMC = 120”,
Trong mặt phẳng cho hai tam giác ABC, ADE co cac gĩc ở đỉnh A chung bù
nhau, đồng thời AB | AD, AB = AD; AC L AE, AC = AE và hai tam giác đĩ khơng cịn điểm chung nào khác ngồi đỉnh A Chứng minh rằng đường
thang chứa trung tuyến xuất phát từ đỉnh chung A của tam giác này cũng chứa đường cao hạ từ A của tam giác Kia
, Dựng ra phía ngồi tam giác ABC hai hình vuơng ACLM va BCNP Chung minh rằng nếu giữ hai đỉnh A, Ư cố định và cho C chay khắp nửa mặt phẳng mở (nửa dương) cĩ bờ là đường thang AB thì đường thắng MP luơn đi qua
một điểm cố định Hãy xác định điểm đĩ
§2 PHÉP ĐỒNG DẠNG PHẲNG
a - ~ 3
Đại cương về phép đồng dạng phẳng
Định nghĩa phép đồng dạng
Một phép biến hình ƒ#: 2—> được gọi là phép đồng dạng của mặt phẳng
hay vắn tắt là phép đồng dạng phẳng, kí hiệu là Z, nếu với bất kì hai
điểm M, N nào của ? và cac anh M' = f(M) va N' = fW) của chúng, ta đều cĩ M'N' = BMN, trong đĩ È là một số dương xác định Số & được gọi là tỉ số hay hệ số của phép đồng dạng, hay nĩi gọn hơn là tỉ số (hay hệ
số) đồng dạng Phép đồng dạng tỉ số k được kí hiệu bởi Z(È)
Nĩi một cách ngắn gọn, phép đồng dạng phẳng tỉ số & là phép biến hình của mặt phẳng, nhân khoảng cách giữa bất kì hai điểm nào của nĩ với cùng một
số dương k xác định cho trước
Trang 27b) e Từ định nghĩa của phép đồng dạng, đễ dàng suy ra: Phép đảo ngược của ` 9 “ ` z ^ ” , 1 en? phép đồng dạng t¡ số # là phép đồng dạng tI số 1 > ta viet: ay evel of (Z, (k)) =Z, F V V
Ì hay Z,(k)oZ, B = 2 (trong đĩ Z là một phép đời hình)
Tích của hai phép đồng dạng cĩ các tỉ số #¡;, k, là phép đồng dạng với tỉ số
k=k,k:
Z2@;)sZ.Œ,) = Z,(k, ky), nhung Z,(k,)°Z,(ky) = Z,(Ak,) Phép biến hình đồng nhất 7đ là một phép đồng dạng
Các tính chất của phép đồng dạng
Cũng từ định nghĩa của phép đồng dạng, ta dễ dàng suy ra các tính chất sau
đây của phép đồng dạng, trong đĩ cĩ những tính chất của phép đời hình
ĐỊNH LÍ 12 Phép đồng dạng bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm va thứ
tự của chúng trên đường thẳng chứa ba điểm đĩ
Cụ thể là: phép đồng dạng biến ba điểm A, B, C thang hàng theo thứ tự đĩ
thành ba điểm A', #', C” thăng hàng cũng theo thứ tự đĩ
HỆ QUÁ 1 Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thắng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng cĩ độ dài được nhân lên với hệ số (tỉ số) đồng dạng (A’B’ = kAB, V{A, B))
HỆ QUÁ 2 Phép đồng dạng biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nĩ; biến một gĩc thành một gĩc bằng nĩ; biến một đường trịn thành một đường trịn, trong đĩ tâm biến thành tâm cịn bán kính được
nhân lên với hệ số (tỉ số) đồng dạng (R' = kR)
Chú thích Phép đồng dạng tuy khơng bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm
nhưng cũng giống như phép dời hình, phép đồng dạng bảo tồn gĩc (nĩi
đúng ra là bảo tồn độ lớn thơng thường của gĩc, bao gồm gĩc giữa hai tia, giữa hai vectơ, giữa hai đường thăng) Vì thế, người ta cịn nĩi: phép đồng
dạng là một phép biến hình bảo giác
Trang 28c) Khai niém vé hai hinh déng dang
ĐỊNH NGHĨA Hai hình và ⁄' gọi là đồng dạng với nhau nếu cĩ một
phép đồng dạng Z biến hình này thành hình kia: Z(⁄) =.“ (h.1.12) (⁄) (2) ' B Hinh 1.12
“Nếu phép déng dang Z bién hinh -#thanh hinh -#' thi phép dong dang dao ~ nguoc Z' cha Z bién.W” thanh.W: Z(H") = #
2
a)
28
Kí hiệu hai hình đồng dang boi dau: «; chang han: #”' w.W (hình ⁄đồng dang voi hinh.#”), AA’B'C’ w AABC |
Chú thích Phép biến đổi (biến hình) đồng dạng trong mặt phẳng hay gọi vắn
tất là phép đồng dạng phẳng lần đầu tiên được đưa vào SGK Hình học 10 và
Tài liệu chuyên Tốn Hình học 10 là phép vị tự, một phép đồng dạng đặc
biệt trong mặt phẳng
Sau đây, chúng ta nhắc lại định nghĩa phép vị tự - một phép đồng dạng đặc biệt của mặt phẳng và khảo sát chi tiết các tính chất của phép vi tu phẳng cùng những ứng dụng quan trọng của nĩ vào việc khảo sát tính chất của hình cũng như vận dụng vào việc giải tốn hình học
Phép vị tự trong mặt phẳng
Định nghia |
Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và * là một số thực khác
khơng cho trước Phép biến hình của mặt phẳng biến mỗi điểm M thành
điểm M' sao cho OM'=kOM , (1)
được gọi là một phép vị tự tâm O, hệ số (tỉ số) k và kí hiệu là V(O &) hay
Vo,» (xem Tài liệu chuyên tốn Hình học 10) Điểm Ĩ gọi là tâm vị tự
Trang 29b)
Một phép vị tự hồn tồn được xác ()
định nếu cho biết tâm Ĩ và tỉ số #
Nếu cĩ đăng thức (1) thì ta nĩi: AZ' là
ảnh hay điểm tương ứng của điểm M M'
qua phép vị tự (Ĩ, #), hoặc người ta Or")
cting goi M' la hinh vi tu cia diém M
Nếu phép vi tu (0, &) bién một hình Hành 1.13
: thành một hình (gồm các ảnh M' của tất cả các điểm M thuộc hình ) thì ta cũng nĩi ” là hình vị tự của hình Z hay ˆvà 'ˆ là hai hình vị tự với nhau
Chú thích:
1) Cĩ hai trường hợp đặc biệt đáng chú ý của phép vị tự, ứng với hai giá trị của hệ số & là & = +I
Néu k= +1, khidé OM'=OM (YM) thi M' =M (VM)
Vậy, trong trường hợp này, phép vị tự tỉ số 1 là phép đồng nhất
Nếu # = -I, thì OM’=—OM (VM) tức M' đối xứng với M qua điểm Ĩ
Vậy, trong trường hợp này, phép vị tự tỉ số —1 là phép đối xting qua tam O 2) Tuỳ theo hệ số vị tự # dương hay âm, người ta cịn gọi rõ hơn là: phép vị tự dương hay phép vị tự âm
Tuy nhiên, một phép vị tự 4m hé so —k (k > 0) là tích của một phép vị tự dương hệ số k (k > 0) và một phép đối xứng-tâm (hay phép quay gĩc 7) Các tính chất của phép uị tự ĐỊNH LÍ 13 Phép vi tự tỉ số b là một phép đồng dạng tỉ số JAI, trong đĩ nếu phép u‡ tự V(O, b) biến M thành M; N thành N thì: MN' =kMN Chit thich 1) Người ta cịn nĩi, phép vị tự tỉ số & biến một vectơ v thanh vecto y’ bằng —
k lan vectơ w: 9ˆ = ky, hoặc nĩi gọn hơn là: phép vị tự tỉ số & nhân một
vectơ lên k lan (h.I.14)
Trang 30Cc) ii) Vi phép vi tu 1a mot phép đồng PB' dạng đặc biệt, nên phép vị tự cĩ : mọi tính chất của phép đồng dạng Tuy nhiên, phép vị tự cịn cĩ những tính chất đặc trưng riêng của nĩ ĐỊNH LÍ 14 Trọng một phép u¡ tự mị hệ số uị tự khác 1, tâm u¡ tự A A'
là điểm bất động duy nhất uà
một đường thẳng bhơng di qua Hình 1.14 tâm uị tự biến thành một đường _
thẳng song song uới nĩ Chùm đường thẳng cĩ tâm ở tâm UỊ tự là tập hợp
những đường thẳng bất biến duy nhất của phép vi tu Phép vi tự phang gây nên một phép uị tự trên mọi đường thẳng (bất biến) đi qua tam vi tu
Việc chứng minh các tính chất của phép vị tự nêu trong hai định lí trên đây khá đơn giản Chúng dược suy ra trỰC tiếp từ định nghĩa của phép vị tự và định lí Thales (xem hình 1.14 chẳng hạn); xin dành cho bạn đọc
Tâm uị tự của hai đường trịn
ĐỊNH LÍ 15 Phép 0¿ tự biến một đường trịn thành một đường trịn, trong đĩ tâm biến thành tâm cịn bán hính được nhân lên uới trị tuyệt đối của hệ số U‡ tự
Đảo lại, nếu (O, R,) uà (O›„ Ry) là hơi đường trịn phân biệt của mặt ¡ống thì, nĩi chung cĩ hai phép uị tự biến đường trịn này thành đường tron kia ma tam vi tu la cac diém chia trong va ngồi đoạn nối tâm theo tỉ số hai bán hính
Ching minh Goi S 1a tam vi tự, k là hệ số vị tự Thế thì nếu Š = Ĩ thì phép vị
tu V(O, &) biến đường trịn (Ở, Đ) thành đường tron (O, | k R) déng tam O, bán kính R’ = |k| R
Nếu § # Ĩ thì phép vị tự V(S, &) tâm S, he số & biến đường trịn (Ĩ, ®) thành -
đường trịn (G”, Đ'), trong đĩ Ĩ' được xác định bởi: SƠ = kSO và R' = |k|R,
f
Trang 31Đảo lại, giả sử (Ø,, Đ;), ¡ = 1, 2 là hai đường trịn khơng đồng tâm và cũng
khơng cĩ cùng bán kính: Ĩ, z Ĩ;, ®, z R, Thé thì tồn tại hai và chỉ hai phép vị tự Í(Š;, &,), ¡ = 1, 2 tam S, va Š, theo thứ tự chia ngồi và chia trong đoạn
^Z* ^ Z ” a Z k, ` R, t at
noi tam O,0, theo cdc ti s6 tuong ting k, = — va k, = ——>, biến (O,, R,)
R, OR,
thành (Ø;, R,), (h.1.15) Cac diém S, va S, theo thứ tự được gọi đĩ là tâm vị tự ngồi và tâm vị tự trong của hai đường trịn (Ĩ,„ #,),¡ = l, 2
Hình 1.18
Cĩ hai trường hợp dặc biệt:
e Hai đường trịn đồng tâm nhưng khơng cùng bán kính: O, = 0, = ĨO, K, # R, Khi do, ca hai phép vi tu citing tam S triing voi O va ti số vi tu
R,
&,= +— đều bién dudng tron (O, R,) thanh đường trịn (Ĩ, #,)
l
e Hai đường trịn khơng đồng tâm nhưng cùng bán kính: O,#0,, Rk, =R,=R, cũng tức là hai đường trịn bằng nhau (O,, R) va (O,, R) Trong trường hợp này, phép đối xứng - tâm Ĩ là phép vị tự duy nhất (cĩ hệ số & = —1) biến (Ĩ;,, Đ) thành (Ĩ;, R), hoặc ngược lại, trong đĩ Ĩ là trung điểm của đoạn nối tâm Ĩ,Ĩ; phép đối xứng - tâm Ĩ cũng là phép vị tự đặc biệt tâm Ĩ tÍ số k = —1: Ð(Ĩ) = V(Ĩ, —1)
Chú thích
¡) Nếu hai đường trịn tiếp xúc nhau ở A thì tiếp điểm A của chúng là một trong hai tâm vị tự %„ ¿ = 1, 2 A là tâm vị tự trong hay tam vị tự ngồi của hai dung tron (O,, R,) và (Ĩ;, Đ,) tuỳ theo hai đường trịn đĩ tiếp xúc ngồi hay tiếp xúc trong với nhau ở điểm A (h.1.16a) va (h.1.16b) Con tâm vị tự thứ hai là điểm chia ngồi hay chia trong đoạn nối tâm O,0,
¬ RR
theo tỉ số +—*
]
Trang 32
a) b)
Hinh 1.16
ii) Nếu hai đường trịn khơng đựng nhau, hoặc ngồi nhau thì giao điểm của (O,Ĩ;) và một tiếp tuyến chung ngồi hoặc một tiếp tuyến chung trong của chúng cũng xác định tâm vị tự ngồi Š, hoặc tâm vị tự trong 5; của
hai đường trịn (Ĩ,, E,) và (Ĩ;, R,) (h.1.17a) va (h.1.17b)
Hinh 1.17
d) Tich cua hai phép vi tu
ĐỊNH LÍ 16 Tích của hat phép vi tu cĩ các ti sO k, va ky la mot phép u‡ tự
tỉ số b = b¡.h; cĩ tâm thẳng hàng uới tâm của hai phép vi tu đĩ hoặc một phép tịnh tiến tuỳ theo hịh; # 1 hodc kjk, = 1
Chứng minh Gia st V(O,, k,) va \7,(0,, k;) là hai phép vị tự Dé thay rang néu O, = O, = O thì VCO, k,)oV,(O, k,) = VO, kk)
Trang 33b “SỐ ¬ Nếu Ø; # Ø¡, lược đồ của tích là: ăE>ME>M' vàt ,s,: M Bị MU "¬ Theo định nghĩa thì: VM, OM, =k,O,M va O,M' =k,O,M, (1.18) Khử điểm trung gian ÄZ, nhờ quy tắc cộng vectơ: O,M,=O,M.-OO, Hệ thức trên trở thành: Hình 1.18 VM, O,M' =É,(k,O/M =ĨØ,Ì: —Œ)
Vậy điểm bất động Ĩ phải tìm của tích 1,s1,, nếu tồn tại thì được xác định bởi (1) (bảng cách cho M' = Mi = QO): |
0,0 =k, (k,00-0,0.), 2)
(2)
nghia la: (1—k,k, )O,0 =(1-4, )O,0,
Trường hợp tổng quat: 4,4, # | Dang thitc (2’) xac dinh mot diém O duy nhat, thang hang voi O,, O Bằng cách lấy (1) trừ (2) vế đối vẽ ta đi đến: VM, OM'=kk,OM Hệ thức này xác dịnh phép vị tự V'(Ĩ, #j4,) tâm Ĩ, tỉ số k = kk, (# 1) Trường hợp đặc biệt: “4,4; = 1 Khơng cĩ một điểm bất động nào, nhưng với l , os : k, = — thi dang thtte (1) tro thanh: VM, O,M' = 0,M —k,O,O, , af 0.0, (3)
mà ta viết lại dudi dang: VM, MM’ =(1-k,)O,0,
Hệ thức (3) này xác định phép tịnh tiến theo vectơ » =(1 —k,)O,O, : đpem
Trang 343 Sự xác định một phép đồng dạng phẳng a) Dinh li 17 (vé sự xác định một phép đồng dạng phẳng) b) J4 ABC va A'B'C' là hai tam giác đồng dạng cho trước trong mặt phẳng A'B' _ B'C' _ C'A' _ BC CA phép déng dang Z: P+ P bién A, B, C theo thié tu thành A',B'.C (xác định bởi: k) Bao giờ cũng cĩ một uà chỉ một Chứng mình Xét phép vị tự V(A, #); nĩ biến tam giác ABC thành tam giác AB,C,, trong đĩ : AB, = kAB, B,C, = kBC, C,A=KkCA (h.1.19) Như vậy, phép vị tự V(A, #) biến AAĐC thành AAB,C, = AA'B'C’ Hình 1.19
Thé thi (theo dinh li 3) cé mot phép doi hinh Y duy nhat bien A, B,, C, theo
thứ tự thành A’, B’, C’ Do do, tich Zo V(A, k) la một phép đồng dạng Z(|kl) ,
k| biến A thành A’, B thanh B’ va C thanh Cc" {Ï SỐ Bây giờ giả sử cĩ hai phép đồng dạng Z, và Z; đều biến AAZC thành AA'#CŒ thì phép Z¿'sZ, là một phép đồng dạng tỉ số 1, tức là một phép dời hình 7 biến AAðC thành chính nĩ, trong đĩ biến A thành A Ø thành Ừ và C thành C Vi vậy, theo định lí 3, $1 thì Z2 c4 = ld và do đĩ, ⁄; = 42 Định lí đã được chứng minh Hệ quả |
Một phép đồng dạng phẳng bao giờ cũng cĩ thể phân tích được thành tích của một phép vị tự và một phép đời hình (đẳng cự) theo thứ tự đĩ hay theo thứ tự ngược lại
Trang 35c)
a)
Chu thich
I) Đối với phép dời hình (đẳng cự) thì phép đối xứng - frục đĩng vai trị
phần tử sinh, cịn đối với các phép đồng dạng thì, đĩng vai trị phần tử
sinh là phép vị tự và phép đối xứng - trục, trong đĩ phép vị tự đĩng vai k| 41 trị nổi bật, phân biệt sự khác nhau giữa Z và 2 ở tỉ SỐ t)) = rac] oF =Z, it | II) Sự phân tích nĩi trên là khơng duy nhất i) Nếu Z(|K|) =sV(A, #) thì: (Z( Vận dụng phép đồng dạng vào việc giải một số bài tốn hình học phẳng
Khao sat tinh chất hình học của một số hình (hình hình học)
Ví dụ 1 Chứng minh định lí về đường trịn Euler: Trong một tam giác, trung điểm các cạnh, chân các đường cao và trung điểm của các đoạn thăng nối trực tâm với các đính này nằm trên một đường trịn, gọi là đường trịn chín điểm hay đường trịn Euler của tam giác đĩ Bán kính đường trịn Euler bằng
nửa bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác và tâm @' của đường trịn Euler
thì thắng hàng với tâm Ĩ đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm Ở và trực tâm trên đường thăng Euler sao cho Ĩ“ là trung điểm của đoạn Ø7 và hàng điểm
H,G,O,O' la điều hồ
Giải Gọi O' là tâm đường
tron ngoại tiếp tam giác trung bình A'#C” của tam giác ABC (h.1 20) Thé thì O' la hinh vi tu cla tam O
đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC trong phép vị tự V(G, “51 Do dé O' ciing
nam trén dudng thang Euler
OGH va ta cĩ: Hinh 1.20
Trang 36b)
GO' - 166, hay la: GØ 1 2 GO 2 Từ hệ thức trên ta dễ dàng suy ra: HG=2GO=4Ĩ'G và OH =30G; 30%G =@'O=-ƠH OH O'l - Và do đĩ, ta duoc: O' =—-O'O va UIGOO') OG OG :e=—==~—]1; đĩ là dpem HO ~~ GO' Cũng từ đĩ suy ra: | HO GO 2
tam của phép vị tự thứ hai, biến đường trịn (Ở) = (ABC) thành đường trịn
hay la: HO’ =< 110: và do đĩ, /7 là
(O') = (A'B'C’) theo tl so k =
2|
m—
Vận dụng uào giải tốn quỹ tích
Ví dụ 2 Chúng minh rằng: Quỹ tích những điểm của mặt phẳng mà tỉ số
khoảng cách từ đĩ đến hai đường thắng cắt nhau ở một điểm Ĩ bằng # (k > 0) khơng đổi gồm hai đường tháng đi qua Ĩ
Giải Giả sử x'x và v'y là hai đường thẳng cho trước cat nhau ở điểm O (h.1.21) va M là một điểm của mat phang MH : + sao cho —— = &k (hang so MK
dương cho trước), trong đĩ: 1,
Trang 37c)
ta nghĩ đến việc tìm những điểm thuộc quỹ tích cần tìm trên một cát tuyến AB của hai đường thắng ĨØv và Ĩy sao cho ĨA = O8 (A e Ĩx, 8 e Oy) Với
mọi điểm Ä⁄ của (AB), các tam giác vuơng MƒAH! và MBK cĩ các gĩc nhọn MH = MA D , bang nhau 6 A va B thì đồng dạng véi nhau va ta c6: —— =—— Do dé, Mk MB “2 ~ ` ^ si » „ ae “ a? MA ` a ~ ` ` diém M sé la mot điểm của quỹ tích nếu ti số UB =k; vi vay, ro rang la: MH _„ MA MK MB
Khi tỉ số & # I thì trên (AĐ) cĩ hai điểm M⁄ và 4⁄Z' đáp ứng điều kiện đồi hỏi
của bài tốn Vậy quỹ tích cần tìm bao gồm hai dudng thang (OM) va (OM’)
liên hợp điều hồ đối voi hai dudng thing Ox va Oy da cho (vi hang diém
(ABMM') là điều hồ sao cho: |
MA = _MA = Â (Ä >0 cho trước))
M'B B
Van dung vao giai todn dung hinh
Ví dụ 3 Dựng một tam giác biết các độ dài h„ J„, h„ ba đường cao của nĩ
Giới
Phản tích Gọi a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC phải tìm, ứng với các đường cao cĩ độ dài tương ting h,, h,, h da cho Thé thi ta cĩ:
a?
adi:b:c= Ft Me ep
hoh h a b Cc oh t CS
(*)
Các đăng thức (*) chứng tỏ rằng nếu tồn tại, thì tam giác cần dựng sẽ đồng dạng với một tam giác -# cĩ độ dài các canh a’, ', c' mà ta kí hiệu là
> \ es Ah ¬
#(œ',b',,€') với: at = *, b' =h vac’ =h, (**)
h ad
Vậy, việc dựng tam gidc ABC phai tim đưa về việc dựng tam gidc -7(A'B'C’)
cĩ các cạnh mà độ dài xác định bởi các đăng thức (**)
AABC œ A.7(A'EC')
Trang 38Tuy nhiên, việc dựng tam giác ‹7 lại rất đơn giản bởi vì chỉ cân đưa về việc
dựng đoạn ti 1é tha tu a’ Tir su phân tích trên đây, ta suy ra từng bước để
dựng được AABC can tim |
Bước dựng cuối cùng là dựng tam
giác ABC, vị tự với tam giác AB,Cb C / (h.1.22) trong phép vi tu V(A, &) a h tam A, ti s6 k = —, trong dé AB,C, H h 0 a là một tam giác dựng bất kì, miễn là AAB,CŒ, œ A7 (w, b, c) và
h, = AH, là chiều cao AH, ha tt A AA, =h., g hạ 9
của AAB,C, Dé dàng chứng minh BB, =h,, hy,
tam siác ABC cĩ các chiều cao là am 8 ¢ CC, =f _
hh, va h ° °
Hình 1,22
a?
Biện luận Bài tốn cĩ lời giải khi và
chỉ khi tồn tại tam giác -7(ø', b', c') Bởi vậy, bài tốn cĩ nghiệm khi và chỉ ` l l ` l 2 ⁄ ` , + “7 ` +7 khi nh và " biểu thị số đo độ dài các cạnh của một tam giác nào đĩ; 1 u oh b 1 — ~ —— 3 I1 ¬ 4s , yo , cũng tức là: 3.7 o -——„— | Nĩi khác đi là, trong ba số nghịch đảo của các o `": a, b ott € ⁄ | h + ad sé h., h,, h,, mdi s6 nho hơn thực sự tổng của hai số cịn lại, nghĩa là thoả w mãn bất đẳng thức tam giác Nhĩm các phép đồng dạng
Bây giờ đến lượt chúng ta để ý đến phép biến đổi (biến hình) đồng dạng
(rong mặt phẳng được xem xét trên bình diện tập hợp {Z} tất cả các phép
đồng dạng Z(#), tỉ số k (rong đĩ k là một số dương bất kì) bao gồm cả các
phép dời hình ⁄Z là những phép đồng dạng đặc biệt Z(1) cĩ tỉ số đồng dạng
Trang 39a) Nhĩm đồng dạng của mặt phẳng
b)
DINH LI 18 Tap hop các phép đồng dạng trong mặt phẳng làm thành một nhĩm gọi là nhĩm đồng dạng của mặt phẳng, hay uắn tắt là nhĩm
đồng dạng phẳng
Ching minh RO rang tích của hai phép đồng dạng Z,Œ,) và Z⁄2Œ,) là một
phép dong dang Z,,(k,k.), cé ti s6 déng dang k = kk, bằng tích các tỉ số đồng dang của hai phép đĩ Nếu k,k, = I thì tích Z4;(1) = Z¿(;)sZ,@j) (hoặc tích Z.,(1) = Z,@j)s2Z;Œ,)) trở thành một phép đời hình ⁄⁄ nào đĩ Ngồi ra, mỗi phép đồng dạng phẳng Z(#) cĩ một phép đảo ngược - (Zuo) = nh K ~ ` a z gr ve 9 at ~ | cũng là một phép đồng dạng với tï số đồng dạng — 1 Cũng như tích các phép đời hình, tích các phép đồng dạng cĩ tính chất kết hợp: | ⁄49 2924) 49¿)94 (249494)
Saư cùng, trong tập hợp các phép đồng dạng ta cĩ phép biến hình đồng nhất Id (đĩng vai trị phần tử đơn vị ¢) voi tinh chat Ze /d = Z dd cho Z 1a bat ki phép đồng dạng nào
- Từ đĩ, ta đi đến kết luận: Tập hợp các phép đồng dạng {Z} của mặt phẳng
làm thành một nhĩm đối với phép tốn lấy tích các phép đồng dạng
Các nhĩm con của nhĩm đồng dụng
Dễ dàng chứng minh được định lí sau đây:
ĐỊNH LÍ 19
i) Tập hợp các phĩp 0 tự 0à tịnh tiến trong mặt phẳng làm thành một nhĩm, gọt là nhĩm vi tv va tịnh tiến Nhĩm này là một nhĩm con của nhĩm đồng dạng phăẳng, nhưng lại chứa một nhĩm con là nhĩm tịnh tiến
i) Nhĩm dời hình phằng là một nhĩm con của nhĩm đồng dạng phẳng
Trang 40c)_ Hình học của một nhĩm các phép biển hình
ĐỊNH NGHĨA
i) Các khái niệm, các tính chất hay các đại lượng được bảo tồn qua bat
cứ một phép biến hình nào của một nhĩm các phép biển hình gọi là
-các bất biến của nhĩm đĩ
ii) Tập hợp các bất biến của một nhĩm các phép biến hình gọi là hình
học của nhĩm các phép biến hình dĩ
iii) Hình học của nhĩm đồng dạng phẳng [Z2] gọi là hình học phảng Euchde
Bài tập về pháp vị tự và sự xác định một phép dong dang (18-25)
18 Chứng minh rằng trong một tam giác:
a) Ba dudng trung tuyến đồng quy ở một diểm, điểm này cách mỗi dỉnh của tam giác này bằng 3 Tộ dài của đường trung tuyến phát xuất từ đính đĩ
b)_ Trọng tâm Ở, trực tâm // và tâm đường trịn ngoại tiếp Ở cùng năm trên một đường thẳng, gọi là đường thẳng Euler và giữa các điểm đĩ cĩ hệ
GO I
thức:
GHI 2
19 Cho hinh thang ABCD (AB // CD) Goi M la giao điểm của hai đường thang AD, BC va N là giao điểm hai đường chéo của tứ giác a) Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp của các tam giác ABM, CDM tiếp xúc với nhau b) Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp của các tam giác A4, CDN tiếp xúc với nhau
20 Trong mặt phẳng cho trước đường trịn œø với tâm @ bán kính # và hai điệm
A,B Xét điểm C thay đổi trên đường trịn ø, tìm quỹ tích trọng tâm của
tam giác ABC