Cách thứ hai : Một cách khác để tìm bộ ba số Pitago là nhận xét một số đặc điểm của bộ ba.. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bằng độ dài cạnh còn lại Xét tam giác ABC với
Trang 1NHỮNG ĐIỀU THÚ VỊ TRONG TOÁN HỌC
Người Sưu Tầm: Đỗ Ngọc Minh – 10A1 – Trường THPT Tân Trào
PHẦN MỘT: ĐẠI SỐ PHẦN HAI: HÌNH HỌC
Trang 2PHẦN MỘT: ĐẠI SỐ
I Những cặp số kì lạ
1 9 + 9 = 18 và 9 9 = 81
2 24 + 3 = 27 và 24 3 = 72
3 47 + 2 = 49 và 47 2 = 94
4 263 + 2 = 265 và 263 2 = 526
5 497 + 2 = 499 và 497 2 = 994
Điều thú vị: Tổng và tích các số trong mỗi cặp chỉ khác nhau về vị trí các chữ số.
II Các chữ số ở hai vế đều giống nhau
42 : 3 = 4.3 + 2; 63 : 3 = 6.3 + 3; 95 : 5 = 9 + 5 + 5;
(2 + 7).2.16 = 272 + 16; 210 – 2 = 1022; (8 + 9)2 = 289;
28 – 1 = 128; 4.23 = 43 : 2 = 34 – 2
III Các cặp số đặc biệt
132 = 169 và 142 = 196
1572 = 24649 và 1582 = 24964
9132 = 833569 và 9142 = 835396
Điều thú vị: Các cặp số trên gồm các số liên tiếp mà bình phương của chúng chỉ khác nhau
về vị trí các chữ số.
IV Sự kì lạ của lập phương
37.(3 + 7) = 33 + 73 48.(4 + 8) = 43 + 83
147.(14 + 7) = 143 + 73 111.(11 + 1) = 113 + 13
1.2.3.(1 + 2 + 3) = 13 + 23 + 33
V Tổng của nhóm các số đối xứng
Trang 31. 12 32 43 56 67 87 297 78 76 65 34 23 21.
12 32 43 56 67 87 18211 78 76 65 34 23 21
12 32 43 56 67 87 1248885 78 76 65 34 23 21
2. 13 42 53 57 68 97 330 79 86 75 35 24 31
13 42 53 57 68 97 22024 79 86 75 35 24 31
13 42 53 57 68 97 1637460 79 86 75 35 24 31
VI Chuyện lạ trong thế giới số tự nhiên
Ta có các đẳng thức:
1 + 2 = 3 4 + 5 +6 = 7+8 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24
Từ đây ta rút ra quy luật tổng quát: Số số hạng ở vế phải (n) đem bình phương lên sẽ cho ta
số hạng đầu tiên ở vế trái (n 2 ) Tổng n + 1 số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ n 2 ) bằng tổng n
số tự nhiên tiếp theo Và ta hoàn toàn có thể chứng minh như sau:
Vì vế trái có n + 1 số hạng liên tiếp bắt đầu từ n 2 nên:
VT =
2
( 1) ( 2) ( )
Vì vế phải có n số hạng bắt đầu từ n 2 + n + 1 nên ta có vế phải là:
VP = 2 2 2 2 (2 2 3 1) (2 1)( 1)
Do đó VT = VP Vậy đẳng thức là đúng.
VII Điều kì lạ của số 1 12 2 (k chữ số 1và k chữ số 2)
Ta có: 3.4 = 12
33.34 = 1122 333.334 = 111222 3333.3334 = 11112222 33333.33334 = 1111122222
………
Từ đây ta có thể rút ra kết luận: Số có dạng 1 12 2 (k chữ số 1 và k chữ số 2) được phân tích thành tích của 33 33 và 33 34 (mỗi số có k chữ số) Ta có thể chứng minh điều này
Trang 433 33 33 34 3 11 11 (33 33 1) 11 11 (99 99 3)
11 11 100 002 11 11 (10k 2) 11 1100 00 22 22 11 1122 22
VIII Bảng cửu chương hiện đại
Ta có bảng cửu chương hiện đại sau đây:
123456789 9 111111111
123456789 18 222222222
123456789 27 333333333
123456789 36 444444444
123456789 45 555555555
123456789 54 666666666
123456789 63 777777777
123456789 72 888888888
123456789 81 999999999
Điều này hoàn toàn có thể giải thích được như sau:Với mọi a là các số nguyên từ 1 đến 9, ta có: 123456789 9 a 123456789 (10 1) a (1234567890 123456789) 9
111111111 a aaaaaaaaa
IX Những tháp số kì lạ
Tháp số thứ nhất:
1.9 + 2 = 11 12.9 + 3 = 111 123.9 + 4 = 1111 1234.9 + 5 = 11111 12345.9 + 6 = 111111 123456.9 + 7 = 1111111 1234567.9 + 8 = 11111111 12345678.9 + 9 = 111111111 Tháp số thứ hai:
1.8 + 1 = 9 12.8 + 2 = 98 123.8 + 3 = 987 1234.8 + 4 = 9876 12345.8 + 5 = 98765
Trang 5123456.8 + 6 = 987654 1234567.8 + 7 = 9876543 12345678.8 + 8 = 98765432 123456789.8 + 9 = 987654321 Tháp số thứ ba:
9.9 + 7 = 88 98.9 + 6 = 888 987.9 + 5 = 8888 9876.9 + 4 = 88888 98765.9 + 3 = 888888 987654.9 + 2 = 8888888 9876543.9 + 1 = 88888888 98765432.9 + 0 = 888888888
X Những tính chất kì lạ của số 37
1 Tính chất 1
Nếu nhân 37 với 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27 thì được kết quả là số có ba chữ số giống nhau:
37.3 = 111 37.6 = 222 37.9 = 333 37.12 = 444 37.15 = 555 37.18 = 666 37.21 = 777 37.24 = 888 37.27 = 999
Thực ra tính chất này không có gì kì lạ Ta luôn có 37.3 = 111 37.(3a) = aaa với mọi a là các số nguyên từ 1 đến 9.
2 Tính chất 2
Các số có dạng 99 99 đều chia hết cho 37
99 99 999 10k 999 10k 999000 999
999 10 k 10 k 10 1 37 27 10 k 10 k 10 1
37
3 Tính chất 3
Lấy số có ba chữ số là bội của 37 rồi hoán vị vòng quanh ta được thêm hai số nữa cũng
là bội của 37
Trang 6XI Bộ ba số Pitago
Định nghĩa: Bộ ba số nguyên dương thoả mãn phương trình a2 b2 c2 gọi là bộ ba số Pitago,
chẳng hạn (3;4;5); (5;12;13); (6;8;10);…
Lưu ý: phương trình a2 b2c2 được gọi là phương trình Pitago.
Để tìm bộ ba số Pitago ta có thể dùng các cách sau:
1 Cách thứ nhất : Một cách thông thường để tìm bộ ba số Pitago là lấy hai số tuỳ ý nguyên
tố cùng nhau m và n với m > n trong đó có một số chẵn một số lẻ và dựa vào công thức:
(m n ; 2mn m; n ).
Chẳng hạn với m = 2, n = 1 thì ta được bộ ba số (3;4;5)
Bộ ba số (a;b;c) được gọi là bộ ba cơ sở nếu (a;b) = 1
Công thức (1) cho ta tất cả bộ ba cơ sở
2 Cách thứ hai : Một cách khác để tìm bộ ba số Pitago là nhận xét một số đặc điểm của bộ
ba
Giả sử số thứ nhất của bộ ba là lẻ, ta sẻ có: với bộ ba (3;4;5) thì 32 4 5; với bộ ba (5;12;13) thì 52 12 13 …
Từ đó ta sẽ có cách tìm bộ ba số Pitago như sau:
Lấy một số lẻ tuỳ ý và bình phương nó lên
Phân tích bình phương này thành tổng hai số liên tiếp Hai số hạng của tổng chính
là số hạng thứ hai và thứ ba của bộ số.
Giả sử số thứ nhất của bộ ba là chẳn, ta sẻ có: với bộ ba (4;3;5) thì 42 2(3 5) ; với bộ ba (8;15;17) thì 82 2(15 17) …
Từ đó ta sẻ có cách tìm sau đây:
Lấy một số là bội của 4, chia bình phương của nó cho 2, lấy kết quả phân tích thành tổng của hai số lẻ liên tiếp ta sẻ được hai số còn lại của bộ ba.
Chẳng hạn lấy số 16 (là bội của 4), bình phương lên được 256, chia cho 2 được 128, phân tích
128 thành tổng hai số lả liên tiếp là 63 và 65 Ta được 162632 652
3 Cách thứ ba : Xét ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c với a b c , , và a b c
Trang 7Đặt: c b x c a , y a b c z, với x y z , , (2)
Rõ ràng: z0,0 x y Từ (2) ta có:
a x z b y z c x y z
Áp dụng vào tam giác vuông ta có:
(x z ) (y z ) (x y z )
2 2
(3) Đây là một cách biểu diễn khác của định lý Pitago Từ (3) z luôn là số chẵn
Với trường hợp: z2 2xy thì ABC tù
z2 2xy thì ABC nhọn
Đẳng thức z2 2xy chính là cách thứ ba để tìm bộ số Pitago.
(x z y z x y z ; ; ) Nếu (x;y) = 1 thì ta được bộ ba cơ sở
Ví dụ: Giả sử z = 2 thì 2 2 1.2
2
z
Với x = 1, y = 2, (x;y) = 1 ta tìm được: (a;b;c) = (3;4;5)
Giả sử z = 4 thì 2 8 1.8
2
z
Với x = 1, y = 8, (1;8) = 1 ta tìm được: (a;b;c) = (5;12;13)
Giả sử z = 6 thì 2 18 1.18 2.9
2
z
Với x = 1, y = 18, (x;y) = 1 ta được (a;b;c) = (7;24;25)
Với x = 2, y = 9, (2;9) = 1 ta được (a;b;c) = (8;15;17)
Trang 8I M D
E
PHẦN HAI: HÌNH HỌC CÁC NGHỊCH LÝ TRONG HÌNH HỌC
I Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bằng độ dài cạnh còn lại
Xét tam giác ABC với D, E, F lần lượt là trung
điểm của AB, AC, BC Dễ thấy rằng : AB + AC
= BD + DF + FE + EC Nếu tiếp tục dựng các
đường gấp khúc như hình vẽ và tương tự như trên
ta sẽ có độ dài đường gấp khúc bằng tổng hai
cạnh AB và AC
Mặt khác số các đoạn của đường gấp khúc ngày
càng tăng và dần tới cạnh BC của tam giác Hay nói cách khác, giới hạn độ dài của đường gấp khúc là cạnh BC Trong khi đó thì độ dài đường gấp khúc luôn bằng AB + AC
Từ đó suy ra: AB + AC = BC (!)
Điều sai lầm trong cách chứng minh này là cho rằng giới hạn độ dài đường gấp khúc là cạnh BC
II Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông đều bằng cạnh huyền
Xét tam giác ABC vuông tại A Đường trung trực của AC
và phân giác trong của góc B cắt nhau tại I Gọi D, E lần
lượt là hình chiếu của I trên AB và AC
Ta có BIDBIE (cạnh huyền và một cạnh góc vuông)
BD = BE (1)
Đồng thời AIDCIE (cạnh huyền và một cạnh góc
vuông) AD = CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BD + AD = BE + CE AB = BC (!)
Sai lầm ở đây là cho rằng điểm I nằm trong tam giác Thực
chất đường trung trực của AC và phân giác trong của góc B luôn cắt nhau tại một điểm nằm ngoài tam giác và điểm này thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A
D
F E
Trang 9- HẾT
