Những điều thú vị trong Toán Học - Cực Hay

NHỮNG ĐIỀU THÚ VỊ TRONG TOÁN HỌC Người Sưu Tầm: Đỗ Ngọc Minh – 10A1 – Trường THPT Tân Trào PHẦN MỘT: ĐẠI SỐ PHẦN HAI: HÌNH HỌC 1 PHẦN MỘT: ĐẠI SỐ I. Những cặp số kì lạ 1. 9 + 9 = 18 và 9 × 9 = 81 2. 24 + 3 = 27 và 24 × 3 = 72 3. 47 + 2 = 49 và 47 × 2 = 94 4. 263 + 2 = 265 và 263 × 2 = 526 5. 497 + 2 = 499 và 497 × 2 = 994 Điều thú vị: Tổng và tích các số trong mỗi cặp chỉ khác nhau về vị trí các chữ số. II. Các chữ số ở hai vế đều giống nhau 42 : 3 = 4.3 + 2 ; 63 : 3 = 6.3 + 3; 95 : 5 = 9 + 5 + 5; (2 + 7).2.16 = 272 + 16; 2 10 – 2 = 1022; (8 + 9) 2 = 289; 2 8 – 1 = 128; 4.2 3 = 4 3 : 2 = 34 – 2. III. Các cặp số đặc biệt 13 2 = 169 và 14 2 = 196 157 2 = 24649 và 158 2 = 24964 913 2 = 833569 và 914 2 = 835396 Điều thú vị: Các cặp số trên gồm các số liên tiếp mà bình phương của chúng chỉ khác nhau về vị trí các chữ số. IV. Sự kì lạ của lập phương 37.(3 + 7) = 3 3 + 7 3 48.(4 + 8) = 4 3 + 8 3 147.(14 + 7) = 14 3 + 7 3 111.(11 + 1) = 11 3 + 1 3 1.2.3.(1 + 2 + 3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 . V. Tổng của nhóm các số đối xứng 1. 12 32 43 56 67 87 297 78 76 65 34 23 21. + + + + + = = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 32 43 56 67 87 18211 78 76 65 34 23 21 .+ + + + + = = + + + + + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 12 32 43 56 67 87 1248885 78 76 65 34 23 21 .+ + + + + = = + + + + + 2 2. 13 42 53 57 68 97 330 79 86 75 35 24 31. + + + + + = = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 13 42 53 57 68 97 22024 79 86 75 35 24 31 .+ + + + + = = + + + + + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 13 42 53 57 68 97 1637460 79 86 75 35 24 31 .+ + + + + = = + + + + + VI. Chuyện lạ trong thế giới số tự nhiên Ta có các đẳng thức: 1 + 2 = 3 4 + 5 +6 = 7+8 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24. Từ đây ta rút ra quy luật tổng quát: Số số hạng ở vế phải (n) đem bình phương lên sẽ cho ta số hạng đầu tiên ở vế trái (n 2 ). Tổng n + 1 số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ n 2 ) bằng tổng n số tự nhiên tiếp theo. Và ta hoàn toàn có thể chứng minh như sau: Vì vế trái có n + 1 số hạng liên tiếp bắt đầu từ n 2 nên: VT = 2 2 2 2 2 (2 )( 1) (2 1)( 1) ( 1) ( 2) . ( ) 2 2 n n n n n n n n n n n + + + + + + + + + + + = = . Vì vế phải có n số hạng bắt đầu từ n 2 + n + 1 nên ta có vế phải là: VP = 2 2 2 2 2 (2 3 1) (2 1)( 1) ( 1) ( 2) ( 3) . ( 2 ) 2 2 n n n n n n n n n n n n n n + + + + + + + + + + + + + + + = = . Do đó VT = VP. Vậy đẳng thức là đúng. VII. Điều kì lạ của số 1 .12 .2 (k chữ số 1và k chữ số 2) Ta có: 3.4 = 12 33.34 = 1122 333.334 = 111222 3333.3334 = 11112222 33333.33334 = 1111122222 ………………………………… Từ đây ta có thể rút ra kết luận: Số có dạng 1 .12 .2 (k chữ số 1 và k chữ số 2) được phân tích thành tích của 33 .33 và 33 .34 (mỗi số có k chữ số). Ta có thể chứng minh điều này như sau: 33 .33 33 .34 3 11 .11 (33 .33 1) 11 .11 (99 .99 3) 11 .11 100 .002 11 .11 (10 2) 11 .1100 .00 22 .22 11 .1122 .22 k × = × × + = × + = = × = × + = + = VIII. Bảng cửu chương hiện đại Ta có bảng cửu chương hiện đại sau đây: 3 123456789 9 111111111 123456789 18 222222222 123456789 27 333333333 123456789 36 444444444 123456789 45 555555555 123456789 54 666666666 123456789 63 777777777 123456789 72 888888888 123456789 81 999999999 × = × = × = × = × = × = × = × = × = Điều này hoàn toàn có thể giải thích được như sau:Với mọi a là các số nguyên từ 1 đến 9, ta có: [ ] 123456789 9 123456789 (10 1) (1234567890 123456789) 9a a× × = × − × = − × = 111111111 a aaaaaaaaa= × = IX. Những tháp số kì lạ Tháp số thứ nhất: 1.9 + 2 = 11 12.9 + 3 = 111 123.9 + 4 = 1111 1234.9 + 5 = 11111 12345.9 + 6 = 111111 123456.9 + 7 = 1111111 1234567.9 + 8 = 11111111 12345678.9 + 9 = 111111111 Tháp số thứ hai: 1.8 + 1 = 9 12.8 + 2 = 98 123.8 + 3 = 987 1234.8 + 4 = 9876 12345.8 + 5 = 98765 123456.8 + 6 = 987654 1234567.8 + 7 = 9876543 12345678.8 + 8 = 98765432 123456789.8 + 9 = 987654321 4 Tháp số thứ ba: 9.9 + 7 = 88 98.9 + 6 = 888 987.9 + 5 = 8888 9876.9 + 4 = 88888 98765.9 + 3 = 888888 987654.9 + 2 = 8888888 9876543.9 + 1 = 88888888 98765432.9 + 0 = 888888888 X. Những tính chất kì lạ của số 37 1. Tính chất 1 Nếu nhân 37 với 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27 thì được kết quả là số có ba chữ số giống nhau: 37.3 = 111 37.6 = 222 37.9 = 333 37.12 = 444 37.15 = 555 37.18 = 666 37.21 = 777 37.24 = 888 37.27 = 999 Thực ra tính chất này không có gì kì lạ. Ta luôn có 37.3 = 111 ⇒ 37.(3a) = aaa với mọi a là các số nguyên từ 1 đến 9. 2. Tính chất 2 Các số có dạng 99 .99 đều chia hết cho 37. Thật vậy: 1 99 .99 999 10 999 10 . 999000 999 k k− = × + × + + + = 3 3( 1) 3 3 3( 1) 3 999 10 10 . 10 1 37 27 10 10 . 10 1 k k k k− −     = × + + + + = × × + + + +     M 37. 3. Tính chất 3 Lấy số có ba chữ số là bội của 37 rồi hoán vị vòng quanh ta được thêm hai số nữa cũng là bội của 37. Ví dụ: Ta có : 629 M 37, hoán vị vòng quanh được hai số 269 và 962, hai số này cũng chia hết cho 37. XI. Bộ ba số Pitago Định nghĩa: Bộ ba số nguyên dương thoả mãn phương trình 2 2 2 a b c= + gọi là bộ ba số Pitago, chẳng hạn (3;4;5); (5;12;13); (6;8;10);… Lưu ý: phương trình 2 2 2 a b c= + được gọi là phương trình Pitago. 5 Để tìm bộ ba số Pitago ta có thể dùng các cách sau: 1. Cách thứ nhất : Một cách thông thường để tìm bộ ba số Pitago là lấy hai số tuỳ ý nguyên tố cùng nhau m và n với m > n trong đó có một số chẵn một số lẻ và dựa vào công thức: 2 2 2 2 ( ;2 ; )m n mn m n− + . Chẳng hạn với m = 2, n = 1 thì ta được bộ ba số (3;4;5) Bộ ba số (a;b;c) được gọi là bộ ba cơ sở nếu (a;b) = 1 Công thức (1) cho ta tất cả bộ ba cơ sở. 2. Cách thứ hai : Một cách khác để tìm bộ ba số Pitago là nhận xét một số đặc điểm của bộ ba. Giả sử số thứ nhất của bộ ba là lẻ, ta sẻ có: với bộ ba (3;4;5) thì 2 3 4 5= + ; với bộ ba (5;12;13) thì 2 5 12 13= + … Từ đó ta sẽ có cách tìm bộ ba số Pitago như sau: • Lấy một số lẻ tuỳ ý và bình phương nó lên • Phân tích bình phương này thành tổng hai số liên tiếp. Hai số hạng của tổng chính là số hạng thứ hai và thứ ba của bộ số. Giả sử số thứ nhất của bộ ba là chẳn, ta sẻ có: với bộ ba (4;3;5) thì 2 4 2(3 5)= + ; với bộ ba (8;15;17) thì 2 8 2(15 17)= + … Từ đó ta sẻ có cách tìm sau đây: Lấy một số là bội của 4, chia bình phương của nó cho 2, lấy kết quả phân tích thành tổng của hai số lẻ liên tiếp ta sẻ được hai số còn lại của bộ ba. Chẳng hạn lấy số 16 (là bội của 4), bình phương lên được 256, chia cho 2 được 128, phân tích 128 thành tổng hai số lả liên tiếp là 63 và 65. Ta được 2 2 2 16 63 65+ = . 3. Cách thứ ba : Xét ABC∆ có độ dài ba cạnh là a, b, c với , ,a b c∈ ¥ và a b c≤ ≤ . Đặt: , ,c b x c a y a b c z− = − = + − = với , ,x y z ∈ ¥ (2) Rõ ràng: 0,0z x y> ≤ ≤ . Từ (2) ta có: , , .a x z b y z c x y z= + = + = + + Áp dụng vào tam giác vuông ta có: 6 2 2 2 ( ) ( ) ( )x z y z x y z+ + + = + + 2 2z xy⇔ = (3) Đây là một cách biểu diễn khác của định lý Pitago. Từ (3) ⇒ z luôn là số chẵn. Với trường hợp: 2 2z xy< thì ABC∆ tù. 2 2z xy> thì ABC ∆ nhọn. Đẳng thức 2 2z xy= chính là cách thứ ba để tìm bộ số Pitago. ( ; ; )x z y z x y z+ + + + Nếu (x;y) = 1 thì ta được bộ ba cơ sở. Ví dụ: Giả sử z = 2 thì 2 2 1.2. 2 z xy = = = Với x = 1, y = 2, (x;y) = 1 ta tìm được: (a;b;c) = (3;4;5). Giả sử z = 4 thì 2 8 1.8 2 z xy = = = . Với x = 1, y = 8, (1;8) = 1 ta tìm được: (a;b;c) = (5;12;13). Giả sử z = 6 thì 2 18 1.18 2.9 2 z xy = = = = . Với x = 1, y = 18, (x;y) = 1 ta được (a;b;c) = (7;24;25). Với x = 2, y = 9, (2;9) = 1 ta được (a;b;c) = (8;15;17). 7 B A C I M D E PHẦN HAI: HÌNH HỌC CÁC NGHỊCH LÝ TRONG HÌNH HỌC I. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bằng độ dài cạnh còn lại Xét tam giác ABC với D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Dễ thấy rằng : AB + AC = BD + DF + FE + EC. Nếu tiếp tục dựng các đường gấp khúc như hình vẽ và tương tự như trên ta sẽ có độ dài đường gấp khúc bằng tổng hai cạnh AB và AC. Mặt khác số các đoạn của đường gấp khúc ngày càng tăng và dần tới cạnh BC của tam giác. Hay nói cách khác, giới hạn độ dài của đường gấp khúc là cạnh BC. Trong khi đó thì độ dài đường gấp khúc luôn bằng AB + AC. Từ đó suy ra: AB + AC = BC (!). Điều sai lầm trong cách chứng minh này là cho rằng giới hạn độ dài đường gấp khúc là cạnh BC. II. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông đều bằng cạnh huyền Xét tam giác ABC vuông tại A. Đường trung trực của AC và phân giác trong của góc B cắt nhau tại I. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của I trên AB và AC. Ta có BID BIE∆ = ∆ (cạnh huyền và một cạnh góc vuông) ⇒ BD = BE (1). Đồng thời AID CIE∆ = ∆ (cạnh huyền và một cạnh góc vuông) ⇒ AD = CE (2). Từ (1) và (2) suy ra: BD + AD = BE + CE ⇔ AB = BC (!). Sai lầm ở đây là cho rằng điểm I nằm trong tam giác. Thực chất đường trung trực của AC và phân giác trong của góc B luôn cắt nhau tại một điểm nằm ngoài tam giác và điểm này thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ---------------------HẾT--------------------- 8 A B C D F E . và điểm này thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - - HẾT -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - - 8 A B C D F E . NHỮNG ĐIỀU THÚ VỊ TRONG TOÁN HỌC Người Sưu Tầm: Đỗ Ngọc Minh – 10A1 – Trường THPT Tân Trào PHẦN MỘT: ĐẠI SỐ PHẦN HAI: HÌNH HỌC 1 PHẦN MỘT: ĐẠI SỐ I. Những